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Curso:
Habilidad para lograr aprendizajes efectivos en matemática
Titulo:
Lectura complementaria 3 conceptos elementales de probabilidades
Unidad:
4
Módulo: Desarrollo Objetivos de Aprendizaje
3 conceptos elementales de probabilidades
Un docente de matemática, con pocos años de experiencia, enseña a sus estudiantes
conceptos elementales de probabilidades. Desde la sala se podía ver a los peatones que
pasaban por la calle. Era una avenida importante, muy transitada y, naturalmente, pasaban
caminando diariamente hombres y mujeres. El docente se molestaba porque los estudiantes
se distraían mirando por la ventana todo el tiempo. Entonces, decidió plantear un problema y
preguntar a la clase:
– ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo peatón que pase sea un hombre?
Y continúa:
– Lo que quiero decirles es: si hiciéramos este experimento muchas veces, ¿cuántas veces
uno esperaría que pasase un hombre y cuántas que pasara una mujer?
Por supuesto, debe entenderse que uno apunta al caso general y la respuesta se presume
aproximada. Si hace falta la aclaración, supondremos que pueden pasar mujeres y hombres
por igual. Es decir, la probabilidad de que pase un hombre o una mujer es la misma. La
respuesta, entonces, es obvia: la mitad de las veces uno espera que pase un hombre. Es
decir, la probabilidad (que es siempre un número que está entre 0 y 1) es 1/2.
Los estudiantes asienten satisfechos, porque comprenden perfectamente.
El docente sigue:
– ¿Y si quisiera calcular la probabilidad de que los próximos dos transeúntes sean hombres?
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Deja a los estudiantes pensando un ratito y luego dice:
– Como ya sabemos, la probabilidad de que un evento se produzca se calcula dividiendo los
casos favorables sobre los casos posibles.
En este escenario, los casos posibles son:
Hombre-Hombre (H-H, para abreviar)
Hombre-Mujer (H-M)
Mujer-Hombre (M-H)
Mujer-Mujer (M-M)
Por otro lado, el único caso favorable es: H-H.
Luego, la probabilidad de que pasen dos hombres es 1/4 (un caso favorable sobre cuatro
posibles). Es decir, el 25 por ciento de las veces. Una cuarta parte. En consecuencia, la
probabilidad de que no sea así, es decir, de que no sean dos hombres, es de 3/4 (el 75 por
ciento).
Los estudiantes necesitan pensar un poco por qué es cierto esto último; se detienen, piensan
y al final entienden.
Luego de un rato, el docente sigue:
– ¿Y cuál es la probabilidad de que los próximos tres transeúntes que pasen sean hombres?
Si uno vuelve a considerar todos los casos posibles, son ocho:
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H-H-H
H-H-M
H-M-H
H-M-M
M-H-H
M-H-M
M-M-H
M-M-M
Como ve, importa el orden de aparición de los transeúntes.
Luego, volviendo a la pregunta anterior, como hay ocho casos posibles y sólo uno favorable
(H-H-H), la probabilidad ahora es:
1/8, o el 12,5% de las veces
que es lo mismo que (1/2)3.
Un estudiante que disfrutaba de las apuestas, le dice al docente:
– Ya que usted viene en bicicleta al colegio, ¿la apostaría a que ninguno de los tres próximos
peatones va a ser una mujer?
El docente, a quien a diferencia del estudiante no le gustaba apostar, le contesta:
– No, no querría perder mi bicicleta. Por otro lado, lo que yo digo es que la probabilidad de
que no pase ninguna mujer entre los tres próximos peatones es 1/8, pero no hay
seguridades.
El estudiante insiste.
– Mmmmm…, si acepta la apuesta, tiene sólo 1/8 de probabilidad de perder, y 7/8 de ganar.
No está mal, ¿no?
– Aun así, no quiero – dice el docente.
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El estudiante va por más.
– Bueno, suponga que pregunto cuál es la probabilidad de que los próximos 20 peatones
sean todos hombres (es decir, ni una mujer).
El docente responde de inmediato:
– Como antes, será 1/2 elevado a la 20, o sea: (1/2) 20, lo que es lo mismo que multiplicar el
número 1/2 veinte veces por sí mismo:
(1/2)20 = 1/1048576 = 0,00000095
Entonces, la probabilidad de que no pase ninguna mujer entre los próximos 20 peatones es
muy muy baja y, por lo tanto, la probabilidad de ganar es, a su vez, muy alta. En este caso,
hablamos de 99,9999 por ciento de posibilidades de ganar. Es decir que el docente tiene una
posibilidad en más de un millón de perder. Realmente, casi cualquiera debería aceptar,
porque si bien no es imposible perder, es muy, muy improbable que ocurra.
– Y del mismo modo –siguió el docente–, la probabilidad de que los próximos 100 peatones
sean todos hombres es de 1/2 elevado a la 100. O sea:
(1/2)100 = 1/1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376
que es un número espantosamente pequeño. Le da a usted una virtual certeza de ganar. Es
más: el número que aparece en el denominador (más de un quintillón) es mucho mayor que
el número de partículas de todo el universo, de acuerdo con la física moderna.
La verdad, está como para apostar.
El docente, que quería darle una lección al estudiante, finalmente dice:
– Bueno, en estas circunstancias acepto, para mostrarle que confío en lo que digo. Apuesto
mi bicicleta a que entre los próximos 100 peatones habrá al menos una mujer. Será
simplemente cuestión de ir hacia la ventana, mirar y contar, hasta que aparezca la primera
mujer.
A todo esto, se oye que de la calle proviene música, algo parecido a una marcha. El docente
se pone pálido. Se acerca a la ventana y dice:
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–Perdí. ¡Adiós bicicleta!
Por la calle venía avanzando un desfile militar.
Moraleja: en la práctica, las probabilidades se usan cuando, por ejemplo, no contamos con
información certera. Pero a veces calcularlas no es tan simple. Las probabilidades pueden
ser subjetivas u objetivas, y en la vida real a veces se estiman mal.
Más allá de que el estudiante nunca dijo qué ganaba el docente si aparecía una mujer entre
los siguientes 100 peatones, lo que también queda claro es que cuando uno dice que las
posibilidades de que pase un hombre o una mujer son iguales, debe tener cuidado.
Por eso, normalmente nuestras decisiones son, cuando menos, arriesgadas.
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