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Curso Preuniversitario
Álgebra
Trigonometría
Geometría Analítica
Primera edición electrónica
Santiago Relos P.
Con exámenes generados por AMARU‐SOFT
Curso Preuniversitario
Versión 11.0 – Enero, 2016.
Santiago Relos P.
[email protected], [email protected]
Universidad Privada Boliviana
Universidad Mayor de San Simón
Cochabamba - Bolivia
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Prólogo
Este texto está dirigido a los estudiantes que deseen prepararse para un primer año en cualquier carrera universitaria, está diseñado para que los estudiantes que hagan este curso, puedan enfrentarse con mucha solvencia
a la asignatura de CÁLCULO I. Agradezco a los profesores de la Universidad Privada Boliviana, especialmente
a Diego Sejas por haber hecho una lectura de este texto y hacer notar algunos errores, también agradezco al
profesor Walter Mora por permitirme emplear su platilla LATEX.
Algunos ejercicios propuestos han sido generados por AMARU-SOFT. Al final del texto se presentan exámenes
generados por este programa, se hace notar que dicho programa está en la fase de prueba, además falta
implementar muchos módulos; el lector notará que algunos de los temas tratados en el texto no están aún
implementados en los exámenes. (El programa AMARU-SOFT está siendo desarrollado por el autor de este
texto).
Cochabamba, enero 2016.
E L AUTOR
Derechos reservados AMARU-SOFT © 2016
Í NDICE GENERAL
Prológo
1
II
P OTENCIACIÓN Y R ADICACIÓN
1.1
Potencias
1.1.1 Propiedades
1.1.2 Cuidados en la potenciación
1.2
Radicales
1.2.1 Propiedades
1.2.2 Racionalización
2
D ESIGUALDADES CON UNA VARIABLE
3
I NTRODUCCIÓN A LAS F UNCIONES
3
4
4
5
5
6
PÁGINA 9
PÁGINA 13
3.1
La definición de función
13
3.2
El gráfico de una función
14
3.3
El dominio más grande de una función
15
Funciones Especiales
16
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5
3.4.6
3.4.7
3.4.8
3.5
Función Identidad
Funcion Constante
Función Valor Absoluto
La Función Lineal
La función parábola
Función Potencia
Función Polinomial
Las funciones Trigonométricas
Algebra de funciones
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
4
PÁGINA 3
Las cuatro operaciones aritméticas
La función compuesta
Funciones Inyectivas y Sobreyectivas
Inversa de una función
L A FUNCIÓN E XPONENCIAL Y L OGARÍTMICA
16
16
16
16
17
18
18
19
21
21
21
22
24
PÁGINA 27
4.1
La función Exponencial
27
4.2
La función Logarítmica
28
VI
5
4.3
Relación entre Logaritmo y Exponencial
29
4.4
Problemas con logaritmos y exponenciales
29
Á LGEBRA DE POLINOMIOS
5.1
5.2
PÁGINA 33
División de polinomios
33
5.1.1 División directa
33
Factores notables
34
5.2.1 Casos particulares
5.2.2 Expresiones conjugadas
5.3
5.4
34
35
El Binomio de Newton
35
Factorización
37
5.4.1 Polinomios de grado 2
5.4.2 Polinomio de grado 3
5.5
38
38
Fracciones parciales
41
5.5.1 Fracciones parciales
5.5.2 Cálculo de constantes en fracciones parciales
5.6
Resolución de ecuaciones con raíces cuadradas
41
42
44
6
C ONSTRUCCIÓN DE F UNCIONES
PÁGINA 47
7
L A DEFINICIÓN DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
PÁGINA 53
7.1
7.2
La definición de función trigonométrica en un triángulo rectángulo
La definición de función trigonométrica en un sistema de ejes coordenados
7.2.1 Signos de las funciones trigonométricas en el plano
7.2.2 Valor de las funciones trigonométricas sobre los ejes coordenados
7.2.3 Resumen de los valores de las funciones trigonométricas para los ejes coordenados
7.3
Ángulos notables
54
55
55
56
57
7.3.1 Ángulo de 300 y 600
7.3.2 Ángulo de 450
57
57
7.4
Ángulos multiplicados por el signo menos
58
7.5
Fórmulas de reducción
58
³
7.5.1 Reducción en los casos α + k 360
0
´
7.5.2 Fórmula general de reducción
8
53
I DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
58
59
PÁGINA 61
8.1
Dos identidades fundamentales
61
8.2
Consecuencias
63
8.3
Resumen de las identidades fundamentales
64
8.4
Ecuaciones
67
VII
9
R ESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
9.1
9.2
Introducción
69
Resolución de triángulos rectángulos
70
9.2.1 Conocidos los dos lados
9.2.2 Conocidos un lado y un ángulo
9.3
Resolución de triángulos oblicuángulos
9.3.1 Ley de senos
9.3.2 Ley de cosenos
10
I NTRODUCCIÓN A LA G EOMETRÍA A NALÍTICA
10.1
Sobre los puntos en el plano
10.1.1 Distancia entre dos puntos
10.1.2 Punto medio entre dos puntos
11
PÁGINA 69
70
71
73
73
74
PÁGINA 79
79
79
80
10.2
Pendiente de una recta
80
10.3
Ángulo entre dos rectas
82
10.4
Rectas paralelas y perpendiculares
83
L A ECUACIÓN DE LA RECTA
11.1
11.2
La definición de recta como lugar geométrico
PÁGINA 85
85
11.1.1 La ecuación de la recta punto-pendiente
11.1.2 La ecuación de la recta punto-punto
11.1.3 La ecuación simétrica de la recta
11.1.4 La ecuación general de la recta
11.1.5 Distancia de un punto a una recta
85
86
86
87
88
Intersección de rectas, la regla de Cramer
89
12
E CUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
PÁGINA 95
13
L A PARÁBOLA
PÁGINA 99
13.1
13.2
La definición de parábola
Ecuaciones de la parábola
13.2.1 Vértice en el origen y foco sobre un eje de coordenadas
13.2.2 Vértice (h, k) y foco en una recta paralela al eje de coordenadas
13.3
14
Tangente a una parábola
L A ELIPSE
99
99
99
101
101
PÁGINA 105
14.1
Definición de elipse
105
14.2
Ecuaciones de la elipse
105
14.2.1 Centro el origen y eje mayor en el eje x
14.2.2 Centro el origen y eje focal en el eje y
106
107
1
14.3
15
14.2.3 Centro (h, k) y eje focal paralelo al eje x
14.2.4 Centro (h, k) y eje focal paralelo al eje y
107
108
La propiedad de reflexión de una elipse.
108
L A HIPÉRBOLA
15.1
La definición de hipérbola
113
15.2
Ecuaciones de la hipérbola
113
15.2.1 Centro el origen y eje transverso en el eje x
15.2.2 Asíntotas de la hipérbola
15.2.3 Centro el origen y eje transverso en el eje y
15.2.4 Centro (h, k) y eje transverso paralelo al eje x
15.2.5 Centro (h, k) y eje transverso paralelo al eje y
16
PÁGINA 113
A MARU - S OFT
114
115
115
115
115
PÁGINA 119
16.1
Primer examen
119
16.2
Segundo examen
130
16.3
Examen final
141
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1
1.1
Potenciación y Radicación
Potencias
Definición 1.1
(La n-ésima potencia) Si n es un número natural la n − ési ma potencia de un número real a se define por:
a n = |a · a{z· · · a}
n factores de a
el número a se llama base y n se llama exponente.
¡ ¢
Observación. Si c es un número real, la expresión c a n significa c a n y no (c a)n .
Ejemplo 1.1
4 · 32
=
4 · (3 · 3) = 4 · 9 = 36
−3 · 2
4
=
(−3) (2 · 2 · 2 · 2) = −48
5 · (−4)
3
=
5 · ((−4) · (−4) · (−4)) = −320
Definición 1.2
(Exponente negativo)Si a 6= 0, para todo n:
a −n =
1
an
Definición 1.3
(Exponente cero)Si a 6= 0 :
a0 = 1
4
Potenciación y Radicación
1.1.1. Propiedades
Para todos los enteros m, n :
1. (a · b)n = a n b n
2. a n a m = a n+m
¡ ¢m
3. a n = a n m
4.
³ a ´n
b
=
an
bn
5.
an
= a n−m
am
6.
an
1
= m−n
m
a
a
A partir de la primera propiedad se puede probar:
(a · b · c)n = a n · b n · c n
que se puede extender a más factores.
Observación. En lo que sigue escribiremos ab en lugar de a · b.
Ejemplo 1.2
¡
¢¡
¢4 ¡
¢¡
¢¡
¢
(abc)2 a 3 b 4 ab −3 = a 2 b 2 c 2 a 3 b 4 a 4 b −12 = a 2+3+4 b 2+4−12 c 2 = a 9 b −6 c 2
Ejemplo 1.3
¡ 4 3¢ ¡
¢
3x y −7x −2 y 5 z = (3) (−7) x 4−2 y 3+5 z = −21x 2 y 8 z
Ejemplo 1.4
¡
¢
¡
¢
¡
¢
a 1−2 b 2−2 a 2 b 3 + 4
a −1 a 2 b 3 + 4
a 3 b 5 + 4ab 2 ab 2 a 2 b 3 + 4
¢ =
¡
¢
= 2 2¡ 2
=
a2b4 − a3b2
b2 − a
a b b −a
b2 − a
1.1.2. Cuidados en la potenciación
La potenciación no es conmutativa, es decir:
a n 6= n a
Ejemplo 1.5 34 = 81 y 43 = 64
La potenciación no es asociativa:
¡
an
¢m
m
6= a (n )
¡ ¢4
4
Ejemplo 1.6 23 = 212 = 4096 y 2(3 ) = 24178 51639 22925 83494 12352
Ejercicios propuestos
Probar:
5
Potenciación y Radicación
1.
2.
³ y ´2
2x −2 − y 2
=
2
−2
−x + 2y
x
x −2
y4
− x y4
=−
x 2 −y 2
y4
µ
3.
4.
a
b2
¶−3 µ
− ab3
b −4
a5
³
5.
a3b2
c2
−1 + x 3 y 8
¡
¢
x2 x2 − y 2
c 2 a3
b5
¶3
=
= b2 a6 − b5 a2
3 −2
x 2 y −3 + z yx3
´
y5
x 3 y 4 + x −2 y 2
1.2
c 12
b 21
=
x4 + z3
x5 y 2 + 1
Radicales
Definición 1.4
(Raíz n − ési ma) Sea n un número natural, a un número real:
p
n
a = b, si a = b n .
p
2. Si a < 0 y n es impar, entonces un número negativo b es la n − ési ma raíz de a, escrito n a, si a = b n .
p
3. Si a = 0 entonces n a = 0.
1. Si a > 0, entonces un número positivo b es la n − ési ma raíz de a, escrito
Notación.
En
p
n
a, en símbolo
p
se llama radical, n el índice y a el radicando.
Definición 1.5
(Exponente racional) Sean m, n números naturales, sea a un número real tal que
1
1. a n =
2. a
m
n
m
3. a n
p
n
a
p
¡ p ¢m
n
= am = n a
¡ ¢ 1 ³ 1 ´m
= am n = a n
1.2.1. Propiedades
No son ciertas expresiones como:
p
n
a existe entonces:
6
Potenciación y Radicación
Propiedad
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Notación radical
p
p p
n
n
ab = n a b
p
n
a
a
= p
n
b
b
q
p
p
n m
a = nm a
(
p
a
si a > 0
n
an =
a
si a < 0 y n es impar
p
n
n
a = |a| si a < 0 y n es par
Notación exponente
1
1
1
(ab) n = a n b n
³ a ´ 1 a n1
n
= 1
b
bn
³ 1 ´1
1
n
am
= a nm
Cuadro 1.1: Tabla muy sencilla.
p
a2 +
p
b2
a2 − b2 = a2 −
p
p
a +b = a + b
p
b2
a2 + b2 =
p
p
p
p
Ejemplo 1.7 (Simplificación usando propiedades)
p
3
q
4
a5 =
p
3
x 3 y 12 z 7
a3 a2 =
=
=
=
p
3
p
4
a3
x3
p
3
q
4
a2 = a
y 12
p
3
a2
p
4
z7
p
p
4
4
4
x3 y 4 y 3 z4z3
p
p
¯ ¯q
4
4
4
x 3 ¯ y ¯ y 3 |z| z 3
q
Actividades
Comprobar las siguientes igualdades (suponga todas la variables positivas):
p
p
p
7
7
z 23 x 17 a 8 = z 3 x 2 a z 2 x 3 7 a
p
p
p 23
23
23
2.
a 123 b 547 = a 5 b 23 a 8 b 18
1.
p
7
1.2.2. Racionalización
Definición 1.6
(Racionalización) Llamamos racionalización al proceso de eliminar el radical del denominador de una expresión
algebraica.
p
n
La regla para racionalizar es la siguiente: Si a > 0, m < n y a m aparece en el denominador, para racionalizar se multiplica
p
n
el numerador y denominador por a n−m pues
³ p ´³ p
´ p
n
n
n
am
a n−m = a m+n−m = a
7
Potenciación y Radicación
p
p
n
n
Otra manera es: Si a > 0 y a m aparece en el denominador, se multiplica numerador y denominador por a p de modo que
m+p
sea un entero positivo pues entonces:
n
p
p
p
m+p o
m+p
n
n
n
libre de radical pues
a m a p = a m+p = a n
es entero
n
Ejemplo 1.8 Racionalizamos y simplificamos
p
p
p
2 4x 24x 24x
2
=
=
=
p
p
p
p
4
4
4
4
x
x3
x3 x
x4
p
p
p
p
3
3
3
3
a8
a8 b
a8b
a8b
=
=
=
p
p
p
3
3
3
17
b
b6
b 17 b
b 18
p
p
p
p
p
p
5
5
5
a 4 b 13 5 x 3 y 4
a 4 b 13 5 x 3 y 4
a 4 b 13 5 x 3 y 4
=p
=
=
p
p
5
5
x3 y 6
x 12 y 26 5 x 3 y 4
x 15 y 30
s
3
s
5
a 4 b 13
x 12 y 26
Ejercicios propuestos
Simplifica y racionaliza las siguientes expresiones algebraicas, suponga todas las variables positivas:
p
3
p
3
a6 a2 x2
1. p
.
Sol.:
3
x 11
x 31
r
7 a 37 b 13
p
x 38 y 19
a 4 b 14 a 7 b 11 x 11 y 13
2. r
. Sol.:
x6 y 2
14 a 11 b
a 20
x 3 y 23
r
3
a 4 b 11
x5 y 2
3. q
4
x3 y 5
a3b
p
6
x 22 y 5
4. p
9
q
3
5.
. Sol.:
x 7 y 11
x5 y 7
a 22 b 13
q
x3 y
a3 b5
. Sol.:
. Sol.:
a2b3 y
x2
y
p
18
p
6
p
12
a b 11
x3 y 3
x 16 y 11
y
x y5 a b
a6b2
p
12
x7 y
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2
Desigualdades con una variable
En esta sección se resuelven desigualdades de la forma:
g (x) < 0; g (x) ≤ 0; g (x) > 0; g (x) ≥ 0
previamente definimos:
Definición 2.1
(Puntos críticos algebraicos o puntos clave)Si g (x) se define sobre un intervalo (L,U ), los puntos críticos algebraicos
de g son L, U y
1. Los puntos x ∈ (L,U ) donde g (x) = 0
2. Los puntos x ∈ (L,U ) donde g (x) no está definida
Observación. Lo anterior vale para intervalos de la forma [L,U ] , (L,U ] , [L,U ) , (−∞, ∞) , (a, ∞) , (−∞, b) .
Ejemplo 2.1 Considérese g (x) =
conjunto:
x2 − 9
definida en (−2, ∞) . Los puntos críticos algebraicos son los elementos del siguiente
x2 − 4
{−2, 2, 3, ∞} ,
nótese que g (x) se hace cero en x = 3 y x = −3, el número x = −3 no puede ser punto crítico algebraico pues no se encuentra
en el intervalo (−2, ∞) . Por otra parte g (x) no está definida en ±2.
Ejemplo 2.2 Considérese g (x) = ln x + 1 definida sobre (0, 2) . Los puntos críticos algebraicos están dados por:
©
0, e −1 , 2
ª
Teorema 2.1
Supóngase que a y b son puntos críticos algebraicos de g (x) tal que en (a, b) la función g (x) no tiene otro punto
crítico, entonces para todo x ∈ (a, b) la expresión algebraica g (x) tiene signo constante en (a, b), es decir, o es siempre
positivo o es siempre negativo.
10
Desigualdades con una variable
Ejemplo 2.3 Calcular los signos de g (x) = x 2 − 4 para g definida en (−∞, ∞) .
Sol.: Los puntos críticos son: −∞, −2, 2, ∞. Localizamos estos puntos en la recta real
−∞
∞
2
−2
para calcular el signo en cada intervalo, calculamos una imagen para un punto arbitrario de cada intervalo:
g (−5) = (−5)2 − 4 = 21 > 0
g (0) = 02 − 4 = −4 < 0
g (5) = 52 − 4 = 21 > 0
Por tanto los signos de g (x) son:
+
−∞
+
−
∞
2
−2
Observación. Nótese que la solución de la desigualdad x 2 − 4 > 0 es S 1 = (−∞, −2) ∪ (2, ∞) y la solución de x 2 − 4 < 0 es
S 2 = (−2, 2) .
Si un punto crítico algebraico a se origina de un factor elevado a un exponente par, entonces el signo de la expresión algebraica no cambia alrededor de este punto. por otra parte, si viene de un factor elevado a un exponente impar, el signo cambia
alrededor del punto a.
Ejemplo 2.4 Resolver:
(x + 4) (x − 2)4 (x − 4)
>0
x 2 (x − 1)
Solución. Los puntos críticos algebraicos se muestran en el siguiente gráfico:
−∞
0
−4
1
2
∞
4
Nótese que, como la expresión algebraica está factorizada, es suficiente calcular el signo en algún intervalo, los signos de los
demás intervalos se deducen a partir de esto.
(10 + 4) (10 − 2)4 (10 − 4)
(x + 4) (x − 2)4 (x − 4)
Con g (x) =
,
se
encuentra
g
=
> 0, por tanto los signos de g (x) son:
(10)
x 2 (x − 1)
(10)2 (10 − 1)
+
−
−∞
−4
+
0
−
1
+
−
2
4
∞
11
Desigualdades con una variable
por tanto la solución es: (−4, 0) ∪ (0, 1) ∪ (4, ∞) .
Ejercicios propuestos
Resolver:
3
2
1. 2x − 7x − 5x + 4 > 0.
2. (4x − 15)3 (x − 1) < 0.
µ
¶
1
Sol.: −1, ∪ (4, ∞) .
2
µ
¶
15
Sol.: 1,
.
4
3.
x
1
+
− x ≥ 0, Sol.: (−∞, −1] ∪ (0, 1]
x 2 + 1 2x
4.
1
x
−
≤ 0, Sol.: (−∞, 0) ∪ (2, ∞)
x x −2
5.
x
x2 + 1
+
1
≥ 1, Sol.: (0, 1]
2x
6. x 4 − 9 ≥ 7.,
Sol.: (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
x2 + x − 9
> 1.
Sol.: (−3, 0) ∪ (3, ∞) .
x
µ
¶
1
8. (x − 1) (x − 2) 1 −
> 0.
Sol.: (−∞, 0) ∪ (2, ∞) .
x
³
³ p i
p i
2x
1
+
− 1 ≥ 0.
Sol.: −∞, − 3 ∪ (2, ∞) ∪ 1, 3 .
9.
x −2 x −1
7.
10. x 6 + 4x 2 − 5 ≤ 0.
Sol.: [−1, 1] .
µ
¶
2
Sol.: − , 0 ∪ (0, 1) .
3
11.
1
2
+ 2 > 3.
x x
12.
1
1
1
+
+
> 0.
x4 x3 x2
3x 2
< 0.
x −1
¡ 2
¢¡
¢
x − 1 x2 − 4
13. x 2 −
14.
15.
x2 − 9
Sol.: x 6= 0.
Sol.: (1, 4) .
≤ 0.
1
1
+
< 0.
x x −2
Sol.: (−3, 2] ∪ [−1, 1] ∪ [2, 3) .
Sol.: (−∞, 0) ∪ (1, 2)
1
1
1
16.
+
+
< 0.
x x −2 x −4
! Ã
!
p
p
2 3
2 3
Sol.: (−∞, 0) ∪ 2 −
,2 ∪ 2+
,4 .
3
3
Ã
17. Resolver la desigualdad ax 2 + bx + c ≤ 0 donde a > 0. Considere los siguientes casos:
a) ax 2 + bx + c = a (x − r 1 ) (x − r 2 ) donde r 1 , r 2 ∈ R y r 1 < r 2 .
b) ax 2 + bx + c = a (x − r 1 ) (x − r 2 ) donde r 1 , r 2 ∈ R y r 1 = r 2 .
c) b 2 − 4ac < 0.
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3
3.1
Introducción a las Funciones
La definición de función
El concepto de función fué introducida en matemáticas por Leibniz. En esta sección se dará una descripción intuitiva de este
concepto.
Sean X , Y conjuntos. Una función es una correspondencia de los elementos de X con los elementos de Y tal que a cada x ∈ X
le corresponde un y solamente un elemento de Y .
Ejemplo 3.1 Sea X un conjunto de personas, Y = N (aquí N es el conjunto de números naturales). Consideremos la siguiente correspondencia entre estos dos conjuntos: A cada persona de X le corresponde su edad. Claramente esta correspondencia
es una función.
Ejemplo 3.2 Sea X = N, Y un conjunto de familias de cierta comunidad. Consideremos la siguiente correspondencia: A
cada número n ∈ N le corresponde una familia de Y con exactamente n miembros. Esta correspondencia en general no es
una función pues pueden existir familias con el mismo número de miembros.
Notación Para denotar una función emplearemos usualmente letras como f , g , está claro es posible emplear cualquier otra
letra o símbolo. Si x ∈ X y a x le corresponde y ∈ Y , y la letra empleada para la función es f escribiremos
f
f (x) = y ó x → y
y diremos que la ”imagen” de x por la función f es f (x).
Para decir que f es una función de X en Y escribiremos f : X → Y , el conjunto X se llamará dominio de f y se denotará con
D f , el conjunto Y se llamará codominio de f y se denotará con C f . Los valores y ∈ Y tales que son imagenes de algún x ∈ X
14
Introducción a las Funciones
forman el conjunto que se llamará rango de f y se denotará con R f , es claro que R f ⊂ C f . Gráficamente:
Observemos que ningún elemento del dominio de una función puede carecer de imagen.
Finalmente observemos que una función f : X → Y consta de tres partes:
1. El conjunto X llamado dominio,
2. el conjunto Y llamado codominio y
3. una regla que permita asociar, de modo bien determinado (único) un elemento x ∈ X con un elemento y = f (x) ∈ Y .
En lo que sigue supondremos que D f , R f ,C f son subconjuntos de R.
3.2
El gráfico de una función
Si f : X → Y , el gráfico de f se define por:
¡ ¢ ©¡
¢
ª
Gr a f f = x, y : y = f (x) , x ∈ X
Ejemplo 3.3 Sea X = {−1, 2, 3} , Y = R y f la función definida por:
f (−1)
=
3
f (2)
=
0
f (3)
=
1
¡ ¢
la gráfica es: Gr a f f = {(−1, 3) , (2, 0) , (3, 1)} . Representamos a continuación este conjunto en el sistema de coordenadas
cartesianas:
Nótese que D f = {−1, 2, 3} y R f = {3, 0, 1} , el dominio se representa en el eje x y el rango en el eje y.
15
Introducción a las Funciones
Ejemplo 3.4 Consideremos la función f : {−3, −1, 0, 1, 2} → R definida por f (x) = x 2 . Su gráfica es
¡ ¢
Gr á f f = {(−3, 9) , (−1, 1) , (0, 0) , (1, 1) , (2, 4)}
Ejercicios propuestos
µ
¶
©
ª
b−a
, j = 0, 1, 2, 3, 4, 5, graficar
Sea A = x j : j = 0, 1, 2, 3, 4, 5 , el conjunto de puntos del intervalo [a, b] tales que x j = a + j
5
¡
¡ ¢¢
los puntos x j , f x j j = 0, 1, 2, 3, 4, 5 para las siguientes funciones:
1. f (x) = x 2 − 4 en [−2, 2]
2. f (x) = x 2 − 4 en [−2, 4]
3. f (x) = x 3 − 8 en [−2, 2]
p
4. f (x) = x + 1 en [−1, 4]
3.3
El dominio más grande de una función
Si se da una regla de correspondencia f entre números reales, el dominio más grande para f se define como el conjunto de
números x tales que f (x) existe.
p
Ejemplo 3.5 Si f (x) = x 2 − 4, el dominio más grande de f es:
©
ª
D f = x ∈ R : x2 − 4 ≥ 0
resolviendo la desigualdad x 2 − 4 ≥ 0 se encuentra:
D f = (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
Ejercicios propuestos
Hallar el dominio más grande de las siguientes funciones:
1. f (x) =
p
x 2 − 4. Sol.: (−∞, −2] ∪ [2, ∞)
16
Introducción a las Funciones
r
1
5
x− 3
. Sol.: (−∞, 2) ∪ [5, ∞)
x3 − 8
x −8
s
(x − 2)11 (x + 2)33
2. f (x) =
3. f (x) =
(x − 1)21 (x + 3)22
. Sol.: [−2, 1) ∪ [2, ∞)
s
4x 2
4
x4
−
+
. Sol.: (−∞, 3) ∪ (8, ∞)
(x − 3) (x − 8) (x − 3) (x − 8) (x − 3) (x − 8)
·
¸
5
5. f (x) = (2x + 5)1/4 − (4 − x)1/8 . Sol.: − , 4
2
4. f (x) =
3.4
Funciones Especiales
En lo que sigue R denota el conjunto de todos los nñumeros reales.
3.4.1. Función Identidad
La función f : R → R definida por f (x) = x se llama función identidad. Para esta función D f = R f .
3.4.2. Funcion Constante
La función definida por f (x) = c, se llama función constante. Nótese que R f = {c} .
3.4.3. Función Valor Absoluto
(
La función f : R → R definida por f (x) = |x| =
x
−x
si x ≥ 0
se llama función valor absoluto, D f = C f = R, R f = R+ ∪ {0}.
si x < 0
3.4.4. La Función Lineal
Sea f : R → R definida por f (x) = ax +b, con a, b ∈ R, f se llama función lineal, para esta función D f = C f = R f = R. El número
a se llama pendiente y b se llama ordenada en el origen.
17
Introducción a las Funciones
3.4.5. La función parábola
Se define como f : R → R, f (x) = ax 2 + bx + c, donde a, b, c son constantes conocidas y a 6= 0. dependiendo del signo de a se
tienen los siguientes casos:
y
x
a >0
y
x
a <0
Para graficar una parábola puede emplearse completación de cuadrados de modo que a partir de y = ax 2 +bx +c se obtenga:
y − k = a (x − h)2
de donde se deduce que su vértices tiene coordenadas V = (h, k) .
Ejemplo 3.6 Graficar: f (x) = −2x 2 + 8x − 9.
y
=
y
=
y
=
−2x 2 + 8x − 9
¡
¢
−2 x 2 − 4x − 9
¡
¢
−2 x 2 − 4x + 4 + 8 − 9
y +1
=
−2 (x − 2)2
por tanto la parábola tiene vértice en V = (2, −1)
18
Introducción a las Funciones
y
2
x
−1
f (x) = −2x 2 + 8x − 9
3.4.6. Función Potencia
La función f : R → R definida por f (x) = x n , con n entero positivo, se llama función potencia. Para esta función D f = R, C f =
R, R f = R+ ∪{0} si n es par y R f = R si n es impar. Las gráficas para n par y n impar tienen la siguiente forma, respectivamente:
Ejercicios propuestos Esbozar la gráfica de:
1. f (x) = x 2 − 4x + 5. Sol.: Vértice en (2, 1) dirigida hacia arriba.
2. f (x) = −3x 2 + 4x − 1. Sol.: Vértice en V = (2/3, 1/3) dirigida hacia abajo.
3
9
11
3. f (x) = x 2 + x + . Sol.: Vértice en V = (−3, −4) dirigida hacia arriba.
4
2
4
2
8
52
4. f (x) = − x 2 + x + . Sol.: Vértice en V = (2/3, 4/3) dirigida hacia abajo.
5
15
45
3.4.7. Función Polinomial
La función polinómica P n : R → R de grado n está definido por:
P n (x) = c n x n + c n−1 x n−1 + ... + c 1 x + c 0 =
n
X
c n−k x n−k
k=0
Donde c n 6= 0. Para la función polinómica D P n = C P n = R.
Para obtener la forma de la gráfica de la función polinomial es útil la siguiente propiedad de los polinomios, llamada: propiedad asintótica.
Propiedad asintótica.Para valores |x| muy grandes:
c n x n + c n−1 x n−1 + ... + c 1 x + c 0 ' c n x n
19
Introducción a las Funciones
Ejemplo 3.7 Si f (x) = x 6 − 14x 4 + 49x 2 − 36 para valores grandes de x se tiene:
x
10
100
1000
10000
100000
x 6 − 14x 4 + 49x 2 − 36
864864
9. 98600 × 1011
9. 99986 × 1017
9. 99999 × 1023
1. 0 × 1030
x6
106
1012
1018
1024
1030
El comportamiento asintótico muestra que las gráficas de los polinomios para valores x muy grandes, se parecen a la gráfica
de la función potencia x n . Para x cerca de cero se comportará de acuerdo al número de raíces que tenga el polinomio. A
continuación se muestran gráficos para explicar este comportamiento.
3.4.8. Las funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son sin x, cos x, tan x, cot x ,sec x, csc x. Las gráficas de estas funciones se muestran a continuación.
20
Introducción a las Funciones
Ejercicios propuestos
Graficar las siguientes funciones
1.


 x
f (x) =
−1


0
x ∈ [0, 2)
x ∈ [2, 4)
otro caso
(
x ∈ [−2, 0)
x ∈ [0, 2)
2.
f (x) =
x2
−x 2
3.


 cos x
f (x) =
2 sin x


1
x ∈ [−π, 0)
x ∈ [0, π]
otro caso
4.


 1
f (x) =
−1


0
x ∈ [0, 1/2)
x ∈ [1/2, 1)
otro caso
21
Introducción a las Funciones
A continuación se muestran las gráficas de éstas funciones, no necesariamente en orden.
3.5
Algebra de funciones
3.5.1. Las cuatro operaciones aritméticas
Si f , g son funciones con dominios D f y D g , respectivamente, se definen:
1.
¡
¢
f + g (x) = f (x) + g (x) , D f +g = D f ∩ D g .
2.
¡
¢
f − g (x) = f (x) − g (x) , D f −g = D f ∩ D g .
3.
¡
¢
f g (x) = f (x) g (x) , D f g = D f ∩ D g .
4.
µ ¶
©
ª
f
f (x)
, D f = D f ∩ D g − x : g (x) = 0
(x) =
g
g (x)
g
p
p
Ejemplo 3.8 Se definen f (x) = x − 2, g (x) = ln 9 − x 2 , y h (x) = x − 2 ln 9 − x 2 , puesto que
¡
¢
¡
¢
D f = [2, ∞) y D g = (−3, 3) ,
se tiene que D h = D f g = [2, 3) .
3.5.2. La función compuesta
¡
¢
¡
¢
Sean f , g funciones tales que g : A → B y f : B → C , la función definida por f ◦g : A → C , f ◦ g (x) = f g (x) se llama función
compuesta.
22
Introducción a las Funciones
p
Ejemplo 3.9 Si g (x) = 4x − x, f (x) = e x
2 −2x
, entonces:
¡
¢
f g (x) =
¡
p ¢
f 4x − x
p
=
e (4x−
p
2
x ) −2(4x− x )
Ejercicios propuestos
p
Sean f (x) = x 2 − 4, g (x) = ln (− (x − 1) (x − 3))
1. Calcular f + g y su domino,
2. Calcular
g
y su dominio
f
3.5.3. Funciones Inyectivas y Sobreyectivas
Definición 3.1
(Función Inyectiva). Sea f : X → Y . La función f se llama función inyectiva si para todo x 0 , x 1 ∈ X con x 0 6= x 1 se tiene
f (x 0 ) 6= f (x 1 ).
o equivalentemente f es inyectiva si f (x 0 ) = f (x 1 ) implica x 0 = x 1 .
Obs. f no es inyectiva si dos elementos distintos tienen la misma imagen.
Ejemplo 3.10 La función f : R → R definida por f (x) = x + 3 es inyectiva, en efecto si f (x 0 ) = f (x 1 ) tenemos x 0 + 3 = x 1 + 3
de donde x 0 = x 1 , lo que muestra que f es inyectiva.
Ejemplo 3.11 La función g : R → R definida por f (x) = x 2 no es inyectiva pues para x 0 = −2 , x 1 = 2 x 0 6= x 1 ∧ f (x 0 ) = 4 =
f (x 1 ).
Las funciones inyectivas se conocen tambien como funciones uno a uno.
Interpretación geométrica
Geométricamente una función f es inyectiva si toda recta paralela al eje X corta a la gráfica de f en a lo sumo un punto;
como consecuencia de lo anterior una función no es inyectiva si existe una paralela al eje X que corta la gráfica de f en más
de un punto.
Definición 3.2
(Función Sobreyectiva) Una función f : X → Y es llamada sobreyectiva si todo y ∈ Y , es imagen de algún x ∈ X .
Observemos que una función f no es sobreyectiva si algún elemento de Y no tiene preimagen.
23
Introducción a las Funciones
Ejemplo 3.12 Considérese la función:
f no es sobreyectiva, pues existen elementos de Y , como y = 2 ∈ Y , para los cuales no existe un x ∈ X tales que f (x) = 2.
Ejemplo 3.13 La función f : R → R definida por f (x) = x 3 − 1 es sobreyectiva. En efecto sea y ∈ Y , y buscaremos x ∈ X tal
que f (x) = y. De esta igualdad se tiene x 3 − 1 = y, despejando x tenemos x =
³p
´3
f (x) = 3 y + 1 − 1 = y.
p
3
y + 1, este valor de x es el buscado pues
Observemos que si una función no es sobreyectiva, se puede construir un codominio adecuado de manera que la función
sea sobreyectiva. Esto se logra eliminando los elementos que no tengan preimagen. Así en el primer ejemplo podemos volver
a definir la función como sigue:
Aqui claramente f es sobreyectiva. Notemos que esta función no es 1-1, asi pues, ser sobreyectiva no implica ser inyectiva,
también, ser inyectiva no implica ser sobreyectiva.
Definición 3.3
(Imagen de un Conjunto) Sea f : X → Y una función y sea A ⊂ X . La imagen de A por la función f , escrito f (A) es el
conjunto
©
ª ©
ª
f (A) = f (x) : x ∈ A . = y ∈ Y : f (x) = y, x ∈ A
si un elemento pertenece a la imagen de A escribimos
y ∈ f (A) ⇔ (∃x, x ∈ A)( f (x) = y)
24
Introducción a las Funciones
Algunas consecuencias de esta definición se enuncian en el siguiente teorema.
Teorema 3.1
Sea f : X → Y una función, y sean A, B subconjuntos de X , entonces:
a) f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B )
b) f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B )
c) A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B )
d) f (;) = ;
Teorema 3.2
Sea f : X → Y una función. f es sobreyectiva si y solamente si f (X ) = Y .
Definición 3.4
Si f : X → Y es inyectiva y sobreyectiva, f es biyectiva.
3.5.4. Inversa de una función
Consideremos la función f : X → Y biyectiva, la función inversa de f , denotada por f −1 es la función de Y en X tal que:
f −1 ◦ f = I X
f ◦ f −1 = I Y
¡ ¢
donde I X es la identidad en X e I Y es la identidad en Y . Si y = f (x) entonces x = f −1 y .
1
2
Ejemplo 3.14 Consideremos la función f : R → R dada por f (x) = 2x − 1, f es biyectiva y la inversa es f −1 (x) = (x + 1), en
efecto
¡
¢
f ◦ f −1 (x)
=
=
=
¡
¢
f µ f −1 (x) ¶
1
(x + 1)
f
2
µ
¶
1
2 (x + 1) − 1 = x
2
y
¡
¢
f −1 ◦ f (x)
=
=
=
¡
¢
f −1 f (x)
f −1 (2x − 1)
1
(2x − 1 + 1) = x
2
Ejemplo 3.15 La función f es sobreyectiva pero no inyectiva, luego no puede tener inversa, pues la relación inversa f −1 no
es función ya que 5 ∈ Y tiene dos imagenes, 3 y 4.
A continuación algunos teoremas sobre composición e inversa.
25
Introducción a las Funciones
Teorema 3.3
Sean f y g funciones inyectivas, entonces f ◦ g es inyectiva.
Teorema 3.4
Sean f y g funciones sobreyectivas,entonces f ◦ g es sobreyectiva.
Teorema 3.5
Si f y g son invertibles (tienen inversa) entonces f ◦ g es invertible y
( f ◦ g )−1 = g −1 ◦ f −1 .
Ejercicios propuestos
Hallar dominios y codominios en donde la siguiente función es inyectiva y sobreyectiva, redefinir luego la función de modo
que se tenga una función invertible, hallar la inversa.
p
p
1. f (x) = x 2 − 4x + 5. Sol.: (a) f : (−∞, 2] → [1, ∞). f −1 (x) = 2 − x − 1, (b) f : [2, ∞) → [1, ∞). f −1 (x) = 2 + x − 1
p
1 − 13 − 12x
2
−1
2. f (x) = −2x + 2x + 6. Sol.: (a) f : (−∞, 1/2] → [13/2, ∞). f (x) =
, (b) f : [1/2, ∞) → [−∞, 13/2). f −1 (x) =
2
p
1 + 13 − 12x
.
2
3. (Inversa AMARU SOFT) Considere f (x) = f (x) = 5x 2 + 2x − 2, Defina dominio y codominio
adecuados para que
p
µ
¸
·
¶
µ
¶
1
5x
+
11
11
−1
−
1
−1
f (x) sea invertible. Hallar la inversa. Sol.: (i) f : −∞, −
→ − , ∞ , f (x) =
. (ii) f : − , ∞ →
5
5
5
5
p
·
¶
11
−1
+
5x
+
11
− , ∞ , f −1 (x) =
.
5
5
4. (Inversa AMARU SOFT) Considere f (x) = f (x) = −x 2 + 6x − 4, Defina dominio y codominio adecuados para que f (x)
p
sea invertible. Hallar la inversa. Sol.: (i) f : (−∞, 3] → (∞, 5] , f −1 (x) = 3 − −x + 5. (ii) f : [3, ∞) → (∞, 5] , f −1 (x) =
p
3 + −x + 5.
p
3
5. f (x) = x 3 − 8. Sol.: f : R → R, , f −1 (x) = x + 8
h π πi
6. f (x) = sin x. Sol.: f : − ,
→ [−1, 1], f −1 (x) = arcsin(x)
2 2
h π πi
→ [−∞, ∞] , f −1 (x) = arctan(x)
7. f (x) = tan x. Sol.: f : − ,
2 2
8. f (x) = ln x. Sol.: f : R → R, , f −1 (x) = ex
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4
4.1
La función Exponencial y Logarítmica
La función Exponencial
La función f : R → R definida por f (x) = a x o f (x) = a −x con a > 1 se llama función exponencial. f (x) = a x se llama exponencial positiva y f (x) = a −x se llama exponencial negativa.
A continuación se muestran gráficas cuando a = 3:
Observemos que si x decrece a −∞, f (x) = 3x se acerca a cero (sin llegar nunca a él). Similarmente si x crece a +∞, f (x) = 3x
crece a +∞.
Observemos también que la gráfica de la función exponencial siempre pasa por (0, 1).
Finalmente notemos que el rango es (0, ∞) .
Propiedades
1. a b+c = a b a c
2. a b−c =
ab
ac
³ ´c
3. a b = a bc
4. Si b a = b c entonces a = c, se llama propiedad de inyectividad.
28
La función Exponencial y Logarítmica
4.2
La función Logarítmica
El dominio de la función logaritmo es R+ y el codominio R, se define mediante la regla f (x) = logb x, donde b > 0, b 6= 1 y:
y = logb x si y solamente si b y = x
Ejemplo 4.1
1. 42 = 16 por tanto log4 16 = 2
2. 23 = 8 por tanto log2 8 = 3
3. 104 = 10000 por tanto log10 10000 = 4
Observación. Las bases más empleadas son b = 10 y b = e, donde e es el número irracional e = 2. 71828 1828..., escribiremos
log x en lugar de log10 x y ln x en lugar de loge x.
Algunas propiedades de la función logaritmo son:
(a) logb b = 1
(b) logb 1 = 0
(c) logb (xz) = logb x + logb z
x
(d) logb ( ) = logb x − logb z
z
(e) logb (x z ) = z · logb x
loga x
(f) logb x =
loga b
1
(g) logb a =
loga b
(h) Si logb a = logb c entonces a = c, se llama propiedad de inyectividad.
(i) Para todo número n distinto de cero, logb a = logb n a n .
La gráfica de la función logaritmo tiene el siguiente aspecto:
No son ciertas expresiones como:
logb (A + B ) = logb A + logb B
logb (A − B ) = logb A − logb B
µ ¶
logb A
A
=
logb
B
logb B
¡
¢ ¡
¢
logb (A · B ) = logb A · logb B
29
La función Exponencial y Logarítmica
4.3
Relación entre Logaritmo y Exponencial
Si definimos f (x) = logb x y g (x) = b x , entonces:
¡
¢
f g (x)
¡
¢
g f (x)
¡ ¢
¡ ¢
f b x = logb b x = x logb b = x
¡
¢
g logb x = b logb x = x
=
=
la última igualdad se puede probar de la siguiente manera: Si z = b logb x , entonces lomando logaritmo de base b se encuentra:
¡
¢¡
¢ ¡
¢
logb z = logb x logb b = logb x (1)
de donde logb z = logb x, de donde z = x.
Más aún definiendo f : (0, ∞) → R y g : R → (0, ∞), por las propiedades indicadas se puede probar que f y g son inyectivas y
sobreyectivas, por tanto son invertibles, es decir la función f (x) = logb x y g (x) = b x son funciones inversas una de la otra.
4.4
Problemas con logaritmos y exponenciales
Ejemplo 4.2 Resolver: 23x + 2−3x =
5
2
Solución. Multiplicando por 23x se encuentra:
¡ 3x ¢2
5
2
+ 1 = 23x ,
2
de donde:
¡
23x
¢2
−
5 3x
2 + 1 = 0,
2
por tanto:
23x =
5
2
±
q
25
4
2
−4
=
5±3
.
4
Con el signo “ + " se encuentra 23x = 2, de donde por la inyectividad de la función exponencial se obtiene 3x = 1 por tanto
1
1
1
para este caso x = . Con el signo “ − " se encuentra 23x = , de donde 3x = −1, luego x = − . De lo anterior se deduce que
3
2
3
¾
½
1 1
,−
.
el conjunto solución es S =
3 3
Ejemplo 4.3 Resolver:
¡
¢
log (2) + log 2 − 6x − x 2 = 2 log (2 − x)
Solución. Aplicando propiedades la ecuación dada se escribe como:
£ ¡
¢¤
£
¤
log (2) 2 − 6x − x 2 = log (2 − x)2
de donde aplicando la inyectividad del logaritmo se encuentra:
¡
¢
(2) 2 − 6x − x 2 = (2 − x)2
8
resolviendo se encuentra: x = 0, y x = − .
3
30
La función Exponencial y Logarítmica
Ejemplo 4.4 Resolver:
2
16x+1 − 2x = 0
Solución. La ecuación dada se escribe como:
24(x+1) = 2x
p
p
de donde: x 2 = 4 (x + 1), por tanto: x = 2 + 2 2, y x = 2 − 2 2.
Ejercicios propuestos
Simplificar
1. log3 84 72886 09443 + log3 9. Sol.: 27
2. e loge 3 27 . Sol.: 3
¡
¢−1
3. log125 5 . Sol.: 3
8
4. 2 log16 4 − 3 log2 3 . Sol.: −255
Resolver:
2
1. 33x+x − 81x
2 −9/16
= 0. Sol.:
3 1
,−
2 2
3
1
2. 23x − 2−3x = , Sol.:
2
3
3
3. 24x+1 − 5 · 22x + 3 = 0, Sol.:
4. 82b−3x − 212x = 0, Sol.:
1 ln 2
,0
2 ln 2
2b
7
¡
¢x−4
5. 10x−1
= 10000, Sol.: 0, 5
p
1
x
10. Sol.: −1,
3
p
64
7. logx 81 = 256, Sol.: 3
6. 100 · 103x =
8. log3 x +
log3 81
log3 x
= 4, Sol.: 9
1
9. logx−1 4 = , Sol.: 17
2
1
5
10. log2x 10 = − , Sol.:
2
1000
11. logx 2 +4x 25 = 2, Sol.: 1, −5
12. log3 x + log3 9 = 27, Sol.: 84 72886 09443
q
13.
log10 (x + 2) + 5 − log10 (x + 2) − 3 = 0, Sol.: 10−1 − 2
2
31
La función Exponencial y Logarítmica
¡
¢
1 1p
14. log10 x 2 + x = 2, Sol.: − ±
401
2 2
p
1
1
15. log10 x + 4 + log10 (2x + 1) =
, Sol.: 0
2
log2 10
16.
p
1
1
2 1p
2 1p
10, − −
10
+ log2 x + 2 −
= 0, Sol.: − +
logp3x−1 2
logpx 2
3 3
3 3
¡
¡
¢
¢¡
¢
39
17. log10 4x 2 + 8x + 4 + 1 logx+1 10 = 1, Sol.: −
40
¡
¢
18. log2 x 2 − x −
19. log3
p
1
logx−2 2
=
¡
¢
1
log2 x 2 + 4x + 4 , Sol.: 4
2
x 2 − 1 logpx 3 = 1, Sol.:
20. x log q
3 2
3
p
x = 1. Sol.:
1 1p
+
5
2 2
2
3
´¡
³
p
¢
21. 1 + logpx x + 1 log6x−6 x = 1, Sol.: 2, 3
22. (Logaritmos AMARU SOFT) Resolver log3 (63x 2 + 26x + 10) log(13x 2 +17x+18) 3 = 1. Sol.: x 1 =
¡
¢
23. (Logaritmos AMARU SOFT) Resolver: log5x−2 2x 3 − 3x 2 + 3x − 2 −
24. (Logaritmos AMARU SOFT) Resolver: log2 (36x + 80) −
8
1
, x2 = −
25
2
1
− 1 = 0 Sol.: x = 4
logx+1 (5x − 2)
1
= log2 (2x + 6) Sol.: x 1 = 4, x 2 = −1
2 log(x+12)2 2
!
à p
2
p
4x + 9
6
− log x + 5 = 0 Sol.:
25. (Logaritmos AMARU SOFT) Resolver: log p
3
−8x − 7
x =−
4
3
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5
5.1
Álgebra de polinomios
División de polinomios
5.1.1. División directa
Para este propósito se tiene la siguiente regla:
1. Se ordenan los polinomios en una recta en orden decreciente, por ejemplo para el cociente
x3
+4x 2
−5
−5 + x 3 + 4x 2
se construye:
x +2
x +2
2. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, el resultado es el primer término del
cociente.
3. Se multiplica el resultado obtenido en el paso anterior con el divisor, el resultado con signo cambiado se escribe debajo
del dividendo y se hace la suma. De este modo se a concluido un paso.
4. Se repite lo anterior hasta que el grado del último resultado sea estríctamente menor que el grado del divisor:
Ejemplo 5.1
Dividendo −→
x3
−x 3
+4x 2
−2x 2
2x 2
−2x 2
−5
x +2
x 2 + 2x − 4
←− Divisor
←− Cociente
−5
−4x
−4x
+4x
−5
+8
3
por tanto:
x 3 + 4x 2 − 5
3
= x 2 + 2x − 4 +
x +2
x +2
←− Residuo
34
Álgebra de polinomios
Ejemplo 5.2
2x 5
−2x 5
−x 4
−x 4
x4
+3x 3
−2x 3
+x 3
+x 3
−x 3
−11x 2
+x
−10
−11x 2
x2
−10x 2
+x
−10
+x
−x
−10
−10x 2
10x 2
x2 + 1
2x 3 − x 2 + x − 10
−10
+10
0
por tanto:
2x 5 + 3x 3 − x 4 − 11x 2 + x − 10
= 2x 3 − x 2 + x − 10
x2 + 1
Ejercicios propuestos
Realizar las siguientes divisiones:
1.
x 5 − 4x 2 + 5
x +1
Sol.: x 3 + x − 4 + 2
x2 − 1
x −1
2.
x 4 − 16
Sol.: x 2 − 4
x2 + 4
3.
x + 49
x 5 − 4x 2 + 5
Sol.: x 3 + x 2 − 3x − 11 + 2
x2 − x + 4
x −x +4
4.
x 6 − x 2 + 4x 5 + 2
+64x − 58
Sol.: x 4 + 4x 3 − 4x 2 − 16x + 15 +
x2 + 4
x2 + 4
5.
x 4 − x 2 + 4x 5 + 2
64x + 22
Sol.:4x 3 + x 2 − 16x − 5 + 2
x2 + 4
x +4
5.2
Factores notables
Por división se puede probar:
¡
¢
x n − a n = (x − a) x n−1 + ax n−2 + a 2 x n−3 + · · · + a n−1
5.2.1. Casos particulares
x2 − a2
=
3
3
=
4
4
=
x −a
x −a
(x − a) (x + a)
¡
¢
(x − a) x 2 + xa + a 2
¡
¢
(x − a) x 3 + x 2 a + xa 2 + a 3
35
Álgebra de polinomios
5.2.2. Expresiones conjugadas
A partir de los anteriores resultados se obtienen:
p ´ ³p
p ´
y− b
y+ b
¶
q
³p
´ µq
p
p
3
3
3
3
y− b
y 2 + 3 yb + b 2
¶
q
q
³p
´ µq
p
p
4
4
4
4
4
4
y− b
y 3 + y 2 b + yb 2 + b 3
³p
para n natural:
³p
n
y−
=
y −b
=
y −b
=
y −b
¶
q
q
´µq
p
p
n
n
n
n
n
b
y n−1 + y n−2 b + y n−3 b 2 + · · · + b n−1 = y − b
Ejercicios propuestos
Aplicando factores notables yo expresiones conjugadas, simplificar los siguientes cocientes para evitar un resultado 0/0 en
el valor de x dado:
1.
x 5 − 32
, x = 2. Sol.: x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16
x −2
2.
x4 − 1
, x = 1. Sol.: x 2 + 1
x2 − 1
³p
p ´
x2 − 4
3. p
p , x = 2. Sol.: (x + 2) x + 2
x− 2
´
p
¡ 2
¢ ³p
p
3
3
2+ 3
2
3
−
16)
−
16)
−
1)
+
−
1)
x
+
3x
+
9
(8x
(8x
(3x
(3x
x − 27
4. p
, x = 3. Sol.:
p
3
3
5
8x − 16 − 3x − 1
´
³p
p
3
p
p
x2 + 3 x + 1
x +1− 2
5.
, x = 1. Sol.: ¡p
p
p ¢
3
x −1
x +1+ 2
x 2 + 4x + 3
0
6. (Conjugada AMARU SOFT) Considere f (x) = p
. En x = −3, f (−3) produce . Simplifip
3
3
0
3x 3 − 6x 2 − 45x − −x 3 − 3x 2
que el factor (x + 3). Sol.:
µq
¶
¢2 q¡
¢ q¡
¢ q
¢2
3 ¡
3 ¡
(x + 1)
3x 3 − 6x 2 − 45x + 3 3x 3 − 6x 2 − 45x 3 −x 3 − 3x 2 +
−x 3 − 3x 2
f (x) =
4x 2 − 15x
p
p
6x − 6 − −x + 8
0
7. (Conjugada AMARU SOFT) Considere f (x) = p
. En x = 2, f (2) produce . Simplifique el factor
p
3
3
0
−5x 2 + 4 − 5x − 26
(x − 2). Sol.:
µq
¶
p
¢2 q¡
¢p
3 ¡
3
7
−5x 2 + 4 + 3 −5x 2 + 4 3 (5x − 26) + (5x − 26)2
f (x) =
p
¡p
¢
(−5x − 15) 6x − 6 + −x + 8
5.3
El Binomio de Newton
36
Álgebra de polinomios
Definición 5.1
(Factorial) Si n ∈ N, definimos el factorial de n por:
n! = (1) (2) (3) · · · (n)
definimos también 0! = 1
Ejemplo 5.3
3! = (1) (2) (3) = 6
Definición 5.2
Ã
(Combinación) Para m y r naturales o cero con r ≤ m, definimos el símbolo
Ã
m
r
!
5
2
!
=
m!
r ! (m − r )!
=
5!
= 10
2!3!
m
r
!
por:
Ejemplo 5.4
Ã
Se conoce como el binomio de Newton al desarrollo del binomio (x + a)n donde n ∈ N. Se tienen varias formas de este
desarrollo algunos son las siguientes:
1.
Ã
!
Ã
!
Ã
!
Ã
!
n
n
n
n
n
n 0
n−1 1
n−2 2
x a +
x
a +
x
a +···+
x0 an
(x + a) =
0
1
2
n
o empleando la notación sumatoria:
n
(x + a) =
n
X
Ã
r =0
n
r
!
x n−r a r
2. A partir de lo anterior, realizando algunas simplificaciones se puede escribir:
(x + a)n = x n +
n n−1
n (n − 1) n−2 2
x
a+
x
a + · · · + an
1!
2!
3. También se tiene el triàngulo de Pascal:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
8
9
4
21
6
35
4
1
5
15
35
70
126
1
10
20
56
84
1
3
10
15
28
36
3
5
6
1
2
21
56
126
1
6
1
7
28
84
1
8
36
1
9
1
37
Álgebra de polinomios
¶
1 4
Ejercicio. Desarrollar: x +
.
y
Solución. Emplearemos la segunda forma:
µ
µ
x2 −
1
y
2
¶4
µ
¶¶
1 4
x2 + −
y
¡ ¢2 ³ ´2
¡ ¢1 ³ ´3
¡ 2 ¢3 ³ 1 ´
¶
µ
4 · 3 x 2 − 1y
4 · 3 · 2 x 2 − 1y
−y
¡ 2 ¢4 4 x
1 4
+
+
+ −
x
+
1!
2!
3!
y
µ
=
=
=
x8 −
4x 6 6x 4 4x 2
1
+ 2 − 3 + 4
y
y
y
y
¶
2 13
Ejercicio. Hallar el séptimo término en el desarrollo de: x − 2 .
x
Ã
!
n
X
n
Solución. Aplicando la fórmula (x + a)n =
x n−r a r , podemos observar que el séptimo término en el desarrollo
r
r =0
del binomio se encuentra con r = 6. Por tanto el término que nos interesa es:
Ã
!
¶
µ
2 6 13! 26 x 21
13 ¡ 3 ¢7
= 109824x 9
x
− 2 =
6
x
6!7! x 12
µ
3
Ejercicios propuestos
Simplificar:
1.
(x − 3)4 − x 4
Sol.: −4x 3 + 18x 2 − 36x + 27
3
nx n−1 n (n − 1) x n−2 h
(x + h)n − x n
donde n ∈ N. Sol.:
+
+ · · · + h n−1
h
1!
2!
¡
¢16
3. Hallar el coeficiente de x 22 del desarrollo de x 2 + 2x . Sol.: 8200192.
2.
5.4
Factorización
En este capítulo estudiamos algunas técnicas de factorización de polinomios, especialmente para los de grado ≤ 4.
Definición 5.3
(Factor Lineal) Un factor es lineal si tiene la forma (ax + b)m , donde a, b son constantes con a 6= 0 y m es un número
natural.
38
Álgebra de polinomios
Definición 5.4
¡
¢m
(Factor cuadrático irreducible) Un factor es cuadrático irreducible si tiene la forma ax 2 + bx + c
donde a, b, c son
constantes con a 6= 0, b 2 − 4ac < 0 y m un natural.
Teorema 5.1
Un polinomio p (x) se encuentra en su forma factorizada si todos sus factores son lineales o cuadráticos irreducibles.
Observación. Debemos convenir que si un polinomio se encuentra en su forma factorizada y (ax + b)m es un factor, tal factor
¡
¢m
no puede más de una vez. La misma observación para el factor cuadrático irreducible ax 2 + bx + c .
Ejemplo 5.5 la siguiente expresión no está factorizada, ¿por que?:
¡
¢5
(2x − 3)3 (x + 2)2 (2x − 3) x 2 + 4x + 10
5.4.1. Polinomios de grado 2
Considérese el polinomio p (x) = ax 2 + bx + c, realizando completación de cuadrados:
¶
µ
c
b
2
2
ax + bx + c = a x + x +
a
a
µ
¶
b
b2
c
b2
2
= a x + x+ 2 − 2 +
a
4a
4a
a
¶2 µ 2
¶¶
µµ
b
b − 4ac
−
= a x+
2a
4a 2
(a) si el término b 2 − 4ac ≥ 0, entonces:
2
ax + bx + c
Ãp
!2 !
b 2 − 4ac
a
−
2a
!Ã
!
Ã
p
p
2
b
b − 4ac
b
b 2 − 4ac
x+
a x+
+
−
2a
2a
2a
2a
õ
=
=
b
x+
2a
¶2
(b) si b 2 − 4ac ≥ 0, el polinomio ya está factorizado, en este caso, se dice que el polinomio ax 2 + bx + c es irreducible.
5.4.2. Polinomio de grado 3
La resolución del problema de calcular las raíces de una ecuación cúbica se debe a varias personalidades, podemos citar a
Scipione del Ferro (1465-1526) Matemático Italiano, Niccolo Fontana (1500 - 1557), matemático italiano apodado Tartaglia y
Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (1501 - 1576) matemático italiano. A continuación desarrollamos las ideas que nos
dejaron tan ilustres personajes.
5.4.2.1. La ecuación y 3 + p y + q = 0
p
p
Empezamos suponiendo que una solución tiene la forma: y = 3 u + 3 v, entonces:
¡p
p ¢3
3
u+ 3 v
y3 =
³p
´
p
p p
3
3
= u +v +3
u2 3 v + 3 u v 2
p p ¡p
p ¢
= u +v +3 3 u 3 v 3 u + 3 v
p p
= u +v +3 3 u 3 v y
39
Álgebra de polinomios
de donde:
p p
y 3 − 3 3 u 3 v y − (u + v) = 0,
por tanto, por igualación de coeficientes, se debe tener:
(
− (u + v) = q
p p
−3 3 u 3 v = p

 u + v = −q
³ p ´3
 uv = −
3
esto muestra que u y v satisfacen la ecuación cuadrática:
z2 + q z −
resolviendo encontramos:
1
z =− q±
2
³ p ´3
3
s
= 0,
q2 p3
+
.
4
27
Tomando el signo + se encuentra:
u
=
v
=
=
=
1
− q+
2
−q − v

s
q2 p3
+
4
27

s
2
3
q
p
1

+
−q − − q +
2
4
27
s
1
q2 p3
+
,
− q−
2
4
27
por tanto una solución de la ecuación y 3 + p y + q = 0 es:
v
v
s
s
u
u
u
u
3
3
q
q2 p3 t
q
q2 p3
t
y= − +
+
+ − −
+
2
4
27
2
4
27
q
q2 p3
Definiendo A = − , B =
+
, se tiene:
2
4
27
q
y=
3
p
A+ B +
q
3
p
A − B.
Atendiendo al valor de B se tienen los siguientes casos:
1. B ≥ 0. En este caso no hay nada que hacer, es decir, una solución es:
q
q
p
p
3
3
y = A+ B + A− B
2. B < 0. En este caso la solución se escribe como
q
y=
donde i =
1
3
p
A + i −B +
q
3
p
A − i −B
p
−1. 1 Finalmente atendiendo los signos de A se puede probar que:
No pretendemos justificar el porqué podemos escribir
p
−1 = i , esto es tema de variable compleja.
40
Álgebra de polinomios
a) A > 0 :
y =2
qp
3
Ã
A2 − B
b) A < 0 :
y =2
qp
3
cos
Ã
A2 − B
cos
arctan
π − arctan
¡p
¢!
−B /A
3
¡p
¢!
−B / (−A)
3
Ejemplo 5.6 Hallar una raíz de: y 3 − 5y + 4 = 0
4
42 (−5)3
17
Solución. A = − = −2, B =
+
= − , luego:
2
4
27
27
sr
y
Ã
¢!
¡p
π − arctan 17/27/2
17
4+
cos
27
3
3
=
2
=
1. 56155 2813
Ejemplo 5.7 Hallar una raíz de: y 3 − 5y − 2 = 0
Solución. A = −
98
−2
(−2)2 (−5)3
= 1, B =
+
= − , luego:
2
4
27
27
sr
y
=
=
=
Ã
¡p
¢!
arctan 98/27/1
98
1+
cos
2
27
3
Ã
p
p !
2 15
7 6
1
cos arctan
3
3
9
3
2. 41421 3562
Ejemplo 5.8 Hallar una raíz de: y 3 + 2y + 3 = 0.
3
3
9
8
275
Solución. A = − = − , B = +
=
, por tanto:
2
2
4 27 108
s
y
=
=
=
3
− +
2
r
s
r
3
275
− −
2
108
s
s
r
r
3
3
275 3 3
275
−
+
− +
2
108
2
108
−1
3
275
+
108
3
5.4.2.2. La ecuación x 3 + ax 2 + bx + c = 0
a
Realizamos la sustitución x = y − , con este cambio se encuentra:
3
³
³
³
a ´3
a ´2
a´
x 3 + ax 2 + bx + c =
y−
+a y −
+b y −
+c
3
µ3
¶ 3 µ
¶
1 2
2 3
1
3
= y + − a +b y +
a + c − ba
3
27
3
1
2 3
1
por tanto con p = − a 2 + b y q =
a + c − ba, la ecuación dada se convierte en y 3 + p y + q = 0, recordemos que esta
3
27
3
ecuación ya está resuelta.
41
Álgebra de polinomios
Ejercicios propuestos
Resolver:
1. x 3 − 3x − 2, Sol.: {−1, 2}
2. x 3 − 4x 2 + x + 6. Sol.: {−1, 2, 3}
½
¾
8 2 1
3
4 1 3
3. x − x − x +
= 0, Sol.: − , ,
5
20
10
10 2 2
3
5.5
Fracciones parciales
Inicialmente se enuncian sin demostración algunos resultados del álgebra elemental. Como se sabe, si a n 6= 0, la expresión
p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n se llama polinomio en x de grado n.
Teorema 5.2
Todo polinomio a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n tiene a lo sumo n raíces reales distintas.
Observación. Un polinomio puede no tener raíces reales (Ej. x 2 + 1).
Teorema 5.3
¡
¢
Todo polinomio se puede factorizar en factores con coeficientes reales de la forma (Ax + B ) y ax 2 + bx + c , donde
ax 2 + bx + c es irreducible, esto es, b 2 − 4ac < 0.
En esta sección nos interesan cocientes de polinomios en donde el grado del numerador es estrictamente menor que el grado
del denominador; si este no es el caso, por simple división puede llevarse a la forma de un polinomio más un cociente con la
forma deseada.
Ejemplo 5.9
x4 − x2 + 5
7
= x2 − 2 + 2
x2 + 1
x +1
5.5.1. Fracciones parciales
P (x)
P (x)
el grado de P (x) es estrictamente menor que el grado de Q (x) entonces es posible escribir
como suma de
Q (x)
Q (x)
funciones racionales más simples de la forma:
A
,
(ax + b)k
o
Ax + B
¡
¢k .
ax 2 + bx + c
Si en
De acuerdo a los factores del polinomio Q (x) podemos tener los siguientes casos:
42
Álgebra de polinomios
5.5.1.1. Factores lineales: ax + b
La regla es la siguiente: A cada factor
(ax + b)m
le corresponde la suma
A1
A2
Am
+
+···+
ax + b (ax + b)
(ax + b)m
donde los A i son constantes a determinar.
Ejemplo 5.10 Sea f (x) =
x2 + 5
(x − 1) (x − 2)2
, entonces f se puede expresar como la suma de expresiones racionales más sim-
ples.
Al factor (x − 1) le corresponde
B
,
x −1
en donde B es una constante a determinar.
Al factor (x − 2)2 le corresponde la suma
A2
A1
+
,
x − 2 (x − 2)2
en donde A 1 y A 2 son constantes a determinar.
Entonces f puede escribirse como
f (x) =
A1
A2
B
+
+
x − 1 x − 2 (x − 2)2
5.5.1.2. Factores cuadráticos: ax 2 + bx + c
La regla a aplicar es la siguiente: A cada factor
¡
ax 2 + bx + c
¢m
le corresponde la suma
A1 x + B1
A2 x + B2
Am x + Bm
+¡
¢m
¢2 + · · · + ¡ 2
2
ax 2 + bx + c
ax
+ bx + c
ax + bx + c
en donde los A i , B i son constantes a determinar.
Ejemplo 5.11 Sea f (x) = ¡
x 2 − 3x + 1
¢¡
¢2 , entonces f se puede expresar como
x2 + x + 1 x2 + 1
f (x) =
Ax + B
x2 + x + 1
+
Cx +D
Ex +F
+¡
¢2
2
x +1
x2 + 1
en donde A, B,C , D, E , F son constantes a determinar.
5.5.2. Cálculo de constantes en fracciones parciales
Via ejercicios, en esta sección, ilustramos las técnicas para calcular las constantes en fracciones parciales.
Ejercicio. Expresar como suma de fracciones parciales la siguiente función racional.
f (x) =
x2 + 5
(x − 1) (x − 2)2
.
43
Álgebra de polinomios
Solución.
x2 + 5
(x − 1) (x
=
− 2)2
B
C
A
+
+
x − 1 x − 2 (x − 2)2
quitando denominadores
x 2 + 5 = A (x − 2)2 + B (x − 1) (x − 2) +C (x − 1)
(1)
el resultado mostrado en (1) es una identidad, esto es, (1) es válido para todo x.
Método general. Realizando operaciones algebraicas en (1) encontramos
x 2 + 5 = (A + B ) x 2 + (−4A − 3B +C ) x + (4A + 2B −C )
igualando coeficientes encontramos el sistema de ecuaciones:
A +B
−4A − 3B +C
4A + 2B −C
=
=
=
1
0
5
resoviendo este sistema encontramos A = 6, B = −5, C = 9, por tanto:
x2 + 5
(x − 1) (x
− 2)2
=
6
5
9
−
+
.
x − 1 x − 2 (x − 2)2
Método abreviado. Puesto que (1) es una identidad, es válido para todo x. Sustituimos valores de x apropiados, buscamos números x tales que se anulen la mayor cantidad de sumandos que aparecen en (1).
Sustituyendo x = 1 en (1):
6= A
Sustituyendo x = 2 en (1):
9=C
Hasta ahora hemos logrado calcular A y C . No tenemos más valores que anulen algunos sumandos de (1). Elegimos
ahora un valor arbitrario, digamos x = 0, sustituyendo este valor en (1) encontramos
5 = 4A + 2B −C
de donde despejando B tenemos
B=
1
(5 − 4A +C )
2
luego puesto que A = 6 y C = 9 tenemos B = −5. Este resultado coincide con el encontrado en el método general. En este
método elegimos el valor arbitrario x = 0, debe quedar claro que pudimos haber elegido cualquier otro número real.
Ejercicios propuestos
Mediante fracciónes simples, probar las siguientes identidades:
1.
2x + 1
3
7
=
+
(x + 2) (x − 3) 5 (x + 2) 5 (x − 3)
44
Álgebra de polinomios
2. ¡
3.
4.
x2
x 2 + 2x + 2
¢
(x − 1)
x +2
(x − 2)2 (x + 1)
x3
(x − 1)2 (x + 2)
5. ¡
=
=
1
2 2x + 1
+
5 (x − 1) 5 x 2 + 2x + 2
4
3 (x − 2)2
= 1+
−
1
1
+
9 (x − 2) 9 (x + 1)
1
3 (x − 1)2
+
8
8
−
9 (x − 1) 9 (x + 2)
2x
3x 3 − 5x 2 + 9x − 5
1
1
¢
=
+
+
x 2 + 4x + 5 (x − 2)2 x 2 + 4x + 5 x − 2 (x − 2)2
6. (Fracciones parciales AMARU SOFT) Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) = ¡
Sol.: f (x) =
5x − 5
¢
x 2 + 2x + 2 (x + 1)
10x + 15
−10
+
x 2 + 2x + 2 x + 1
7. (Fracciones parciales AMARU SOFT) Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
Sol.: f (x) = −2x + 19 +
5.6
−2x 4 − 3x 3 + 3x 2 − 2x + 3
x 3 + 11x 2 + 40x + 48
−81
261
−45
+
+
(x + 4) (x + 4)2 (x + 3)
Resolución de ecuaciones con raíces cuadradas
Consiste en resolver ecuaciones en donce aparecen raíces cuadradas. Una técnica para resolver este tipo de ecuaciones es
eliminar la raíz cuadrada mediante la elevación al cuadrado. En este proceso, debe tenerse en cuenta que la elevación al
cuadrado, posiblemente origine soluciones extrañas, es decir, soluciones de la última ecuación encontrada, pero no de la
que se pretende resolver:
Ejemplo 5.12 Resolver
p
p
x −2+2 x +1 = 5
Solución: Aplicando sucesivamente despeje de una raíz cuadrada y elevando al cuadrado se encuentra:
p
p
x −2 = 5−2 x +1
p
x − 2 = 25 − 20 x + 1 + 4 (x + 1)
p
20 x + 1 = 3x + 31
400 (x + 1) = 9x 2 + 186x + 961
9x 2 − 214x + 561 = 0,
resolviendo se encuentra x = 3.
187
Observación. Otra solución de la ecuación cuadrática es x =
, sin embargo, este número no es solución del problema
9
dado.
45
Álgebra de polinomios
Ejercicios propuestos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
p
p
x + 2 + 3 2x = 8. Sol.: x = 2
p
p
803
−5x + 1 + 2 12 + x = 10. Sol.:x = −3, −
81
p
p
p
x + 8 + 2 x = 5 3x − 2. Sol.: x = 1
p
p
2x − 5 − x + 1 − 3 = 0. Sol x = 63
p
p
x + 5 − 20 − x + 1 = 0. Sol.:: x = 4
p
p
2x + 7 − x
− 2 = 0. Sol: x = 1
p
3x − 2
p
p
2x + 1 − 3x + 4 = −1. Sol.: x = 0, x = 4
p
p
(Radicales AMARU SOFT) Resolver: 25x 2 + 14x + 4 = 5x + −6x + 4. Sol.: x 1 = 0, x 2 = 0.
9. (Radicales AMARU SOFT) Resolver:
p
p
p
7
7
−25x − 7 + −25x − 7 = −50x − 14. Sol.: x 1 = −
= −0,28. x 2 = −
= −0,28.
25
25
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6
Construcción de Funciones
En esta sección se plantean problemas que originarán funciones; más aún, veremos que los dominios de estas funciones
satisfacen ciertas condiciones.
Ejemplo 6.1 A partir de una hojalata rectangular de 90 cm. por 50 cm. se desea construir un recipiente recortando en las
esquinas un cuadrado de lado x (ver figura). Determine el volumen de dicho recipiente.
Solución. El volumen del recipiente será la función V dependiente de x dado por:
V (x) = x (90 − 2x) (50 − 2x)
Para calcular el dominio de esta función notemos que x debe ser positivo, además x debe ser menor a 25 ¿porque?, por tanto
el dominio de la función V es el intervalo D V = (0, 25) .
Ejemplo 6.2 Se desea inscribir un cono recto de radio basal x cm. y altura h cm. en una esfera 10 cm. de radio (ver figura).
Determinar el volumen del cono en términos de h.
1
Solución. El volumen del cono está dado por V (x, h) = πx 2 h, ahora encontraremos una relación entre x y h. Es un resultado
3
de geometría que:
(AO) (OB ) = (CO) (OD)
48
Construcción de Funciones
por tanto:
x 2 = h (20 − h)
1
1
por tanto V (h) = πh (20 − h) h = πh 2 (20 − h) , el dominio debe ser D V = (0, 20) .
3
3
Ejercicios propuestos
1. Encuentre una función
p 2 que permita calcular el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de cada
3x
lado. Sol.: A (x) =
.
4
2. Una niña de 1,20 m está de pie a una distancia de x m de un farol de 2,5 m de altura. Calcular la longitud de la sombra
de la niña en función de x.
Sol.: S =
12
x.
13
3. Se tiene la necesidad de contruir un tanque cilíndrico de altura h con semiesferas de radio x agregadas en los extremos.
Si el volúmen del tanque debe ser 10 m 3 , determinar el costo de construcción de este tanque, en términos de x, si los
extremos cuestan $20 y los lados cuestan $10 por metro cuadrado.
Sol.: C (x) =
200 160 2
+
πx .
x
3
4. Dos embarcaciones salen de un puerto en direcciones norte y oeste. La embarcación en dirección al norte va a una
velocidad de 40 km/h y la otra a 30 km/h. Describir mediante una función, la distancia que los separa en función del
tiempo t . Sol.: d (t ) = 50t
5. Se inscribe un triángulo en una circunferencia de radio 10 cm., de modo que un lado sea el diámetro de la circunferencia (ver figura). Si una lado es x, hallar una función dependiente de x que dé el área de dicho triángulo. Sol.:
Construcción de Funciones
49
1 p
A (x) = x 400 − x 2 .
2
6. Los puntos A y B están situados en lados opuestos de un río recto de 100 m. de ancho cuyas orillas se suponen paralelas.
Se desea tender un cable desde A hasta B pasando por un punto C (ver figura). Si el costo por metro de cable por tierra
es $U S 8 y por agua es un 25 % más. Determinar el costo del cable que se empleará en este tendido en términos de x,
donde x es la distancia de E a C .
Sol.: d (x) = 10
p
x 2 + 1002 + 8 (200 − x) .
7. Un alambre de 50 cm. de longitud se corta en dos partes, formando con una de ellas un triángulo equilátero y con la
otra un cuadrado. (a) Si x es el lado del triángulo equilátero,
determinar la suma de áreas como función de x. (b) lo
p
µ
¶
50 − 3x 2
3 2
x +
mismo que en (a) si x es el lado del cuadrado. Sol.:
4
4
¡
¢
2
8. Hallar la distancia de un punto x, y de la parábola y = 4x al punto (4, 0) como una función de x. Sol. d (x) =
p
x 2 − 4x + 16.
9. (a) Considere el punto (3, 4). Por este punto pasa una recta de pendiente m. Hallar el área del triángulo formado por
(3m − 4)2
esta recta y los ejes coordenados en función de m. (b) lo mismo que en (a) para (−3, 4) . Sol.:(a) A (m) = −
,
2m
D A = (−∞, 0)
10. En un triángulo ABC se sabe que AB = 10 y la altura bajada desde el vértice C es 2. Siµ x es la¶distancia del vértice A al
10 − x
pie de la altura, hallar el ángulo C en términos de x. Sol.: f (x) = arctan (x/2) + arctan
, D f = [0, 10] .
2
11. Se considera un cono inscrito es una esfera de radio r = 10 cm. Si la altura del cono es h y el radio de la base es x,
³
´
p
1
determine el volumen del cono en términos de x. Sol.: V (x) = πx 2 10 + 100 − x 2 .
3
12. Considere la parábola de ecuación y = 4 − x 2 , sea (a, b) un punto de la parábola en donde la recta de pendiente m
es tangente a esta curva. (a) Muestre que m = −2a. (b) Determine el área que forma la recta tangente con los ejes
50
Construcción de Funciones
¡
coordenados en términos de a. Sol.: S (a) =
a2 + 4
4a
¢2
, D S = (0, ∞) .
13. Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico con volumen 32 cm 3 . Determinar el área total en esta construcción en términos del radio de la base x para los siguientes casos: (a) tapado por ambos lados (b) tapado por uno de los
2πx 3 + 64
πx 3 + 64
lados. Sol.: (a) A (x) =
, (b) A (x) =
x
x
14. Se quiere construir una tienda de campaña de forma cónica (cono rectangular) con capacidad de a m3 . Determinar la
cantidad des
tela que debe emplearse en términos del radio x de la base (suponga que no se requiere tela para la base).
Sol.: S (x) =
x 6 π2 + 9a 2
x2
15. Sea x el lado igual de un triángulo isósceles, determinar el área de dicho triángulo en términos de x, si su perímetro es
p
20 centímetros. Sol.: A (x) = 2 (10 − x) 5x − 25.
16. Un vidrio rectangular de 80 cm. por 60 cm, se rompe en una esquina según una recta, tal como se ve en el gráfico. Con
¡
¢
un punto x, y de la recta se construye un rectángulo. Hallar el área de dicho rectángulo en términos de x.
Sol.: A (x) =
1
(60 − x) (x + 140) .
2
17. Determinar el volumen de un cono circunscrito a una semiesfera de radio R, en términos de su altura h, de modo que
µ 2 ¶µ
¶
R π
h3
el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera. Sol.:
.
3
h2 − R 2
Construcción de Funciones
51
18. Determinar el área lateral de un cono circular recto, en términos de su radio x, que se inscribe en un cono circular
recto de radio
p 1 cm y altura 3 cm. (Sug. El vértice del cono inscrito está en el centro de la base del cono dado). Sol.:
A (x) = πx
10x 2 − 18x + 9.
19. Una ventana está formada por un rectángulo y una semicircunferencia de radio x. Si el perímetro de la ventana es 3,5
m, hallar el área de la ventana en función de x.
1
Sol.: A (x) = x (7 − πx − 4x)
2
20. (Construcción de funciones AMARU SOFT) Considere la función:
¶
 µ
2

x x +
si x ∈ [0, 1]
3
f (x) =
5

− (x − 9) si x ∈ [1, 9]
24
(a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0, 1), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a
los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en µla recta.¶Determinar
el área
µ
¶ del rectángulo en
8
24a + 45
términos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (1, 9). Sol.: A(a) = −a a +
(a − 1)
15
5
21. (Area AMARU SOFT) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (16, 7) y (−16, 7). Con un punto (x, y) del segmento que
une el origen con (16, 7) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de tal triángulo son (0, 7) y (−x, y), hallar el área
7x(16 − x)
de dicho triángulo en función de x. Sol.: A(x) =
16
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7
La definición de función trigonométrica
En este capítulo se definen las funciones trigonométricas, éstas funciones pueden definirse en:
Un triángulo rectangulo o en
el sistema de ejes coordenados.
7.1
La definición de función trigonométrica en un triángulo rectángulo
nu
te
o
p c
Hi
sa
a
α
A
b
Cateto adyacente
C
Sea α un ángulo agudo de un triángulo rectángulo 4ABC . Definimos:
Función seno:
cateto opuesto BC a
sen α =
=
=
hipotenusa
c
AB
Función coseno:
cos α =
cateto adyacente AC b
=
=
hipotenusa
c
AB
tan α =
cateto opuesto
BC a
=
=
cateto adyacente AC b
Función tangente:
Función cotangente:
Cateto opuesto
B
54
La definición de función trigonométrica
cot α =
cateto adyacente AC b
=
=
cateto opuesto
BC a
sec α =
hipotenusa
c
AB
=
=
cateto adyacente AC b
Función secante:
Función cosecante:
csc α =
c
hipotenusa
AB
=
=
cateto opuesto BC a
Observación. Nótese que de acuerdo al teorema de pitágoras en el triángulo dado se encuentra c 2 = a 2 + b 2 , por tanto:
(cos α)2 + (sen α)2 =
b2 a2 b2 + a2
+
=
=1
c2 c2
c2
o más brevemente:
cos2 α + sen2 α = 1,
más adelante estudiaremos este tipo de relaciones.
7.2
La definición de función trigonométrica en un sistema de ejes coordenados
q
¡
¢
Sea x, y cualquier punto del plano. Sea r = x 2 + y 2 . Las seis funciones anteriores se definen como:
sen α
=
csc α
=
x
y
, tan α =
r
x
r
x
sec α = , cot α =
x
y
y
,
r
r
,
y
cos α =
y
α
x
(x, y)
Ejemplo 7.1 Determinar las funciones trigonométricas del punto (a) A = (3, 4) , (b) B = (−3, 4) y (c) C = (−3, −4) .
55
La definición de función trigonométrica
Solución.
y
4
y
4
3
3
3
2
2
2
y
4
(−3, 4)
(3, 4)
1
1
α
0
−4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
0
4 x
3
1
α
−4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
3
4 x
0
−4 −3 −2 −1 0
−1
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
(a)
−4
(b)
p
Solución. (a) r = 32 + 42 = 5
3
4
4
cos α =
tan α = =
sen α =
5
3
q5
(−3)2 + 42 = 5
4
−3
sen α =
cos α =
5
q5
cot α =
3
4
sec
5
3
(−3, −4)
csc α =
α
1
2
3
4 x
−4
(c)
5
4
(b) r =
(−3)2 + (−4)2 = 5
−4
−3
sen α =
cos α =
5
5
tan α =
4
−3
cot α =
−3
4
sec
5
−3
csc α =
5
4
(c) r =
tan α =
−4
−3
cot α =
−3
−4
sec
5
−3
csc α =
5
−4
7.2.1. Signos de las funciones trigonométricas en el plano
¡
¢
Dependiendo del cuadrante donde se encuentra x, y y el hecho de que r es siempre positivo se tienen los siguientes signos
para las funciones trigonométricas.
y
y
y
x
x
x
seno
cosecante
coseno
secante
7.2.2. Valor de las funciones trigonométricas sobre los ejes coordenados
Aplicaremos la definición dada antes
sen α
=
csc α
=
y
,
r
r
,
y
x
y
, tan α =
r
x
r
x
sec α = , cot α =
x
y
cos α =
tangente
cotangente
56
La definición de función trigonométrica
7.2.2.1. Eje X positivo (α = 00 o α = 3600 )
Un punto de este eje es de la forma (x, 0) donde x > 0, entonces: r =
p
x 2 + 02 = x.
sen 00 =
0
=0
r
cos 00 =
x
=1
r
tan 00 =
0
=0
x
csc 00 =
r
= ∞ no existe
0
sec 00 =
r
=1
x
cot 00 =
x
= ∞ no existe
0
7.2.2.2. Eje X negativo (α = 1800 )
Un punto de este eje es (−x, 0) donde x > 0, entonces: r =
q
(−x)2 + 02 = x.
sen 1800 =
0
=0
r
cos 1800 =
−x
= −1
r
tan 1800 =
0
=0
−x
csc 1800 =
r
= ∞ no existe
0
sec 1800 =
r
= −1
−x
cot 1800 =
−x
= ∞ no existe
0
7.2.2.3. Eje Y positivo (α = 900 )
¡
¢
Un punto de este eje es 0, y donde y > 0, entonces: r =
q
¡ ¢2
02 + y = y.
sen 900 =
y
=1
r
cos 900 =
0
=0
r
tan 900 =
y
= ∞ no existe
0
csc 900 =
r
=1
y
sec 900 =
r
= ∞ no existe
0
cot 900 =
0
=0
y
7.2.2.4. Eje Y negativo (α = 2700 )
¡
¢
Un punto de este eje es 0, −y donde y > 0, entonces: r =
q
¡ ¢2
02 + −y = y.
sen 2700 =
−y
= −1
r
cos 2700 =
0
=0
r
tan 2700 =
−y
= ∞ no existe
0
csc 2700 =
r
= −1
−y
sec 2700 =
r
= ∞ no existe
0
cot 2700 =
0
=0
−y
7.2.3. Resumen de los valores de las funciones trigonométricas para los ejes coordenados
sen
cos
tan
cot
sec
csc
00
900
0
1
0
No existe
1
No existe
1
0
No existe
0
No existe
1
1800
0
−1
0
No existe
−1
No existe
2700
−1
0
No existe
0
No existe
−1
3600
0
1
0
No existe
1
No existe
57
La definición de función trigonométrica
7.3
Ángulos notables
7.3.1. Ángulo de 300 y 600
Consideremos un triángulo equilátero de lado 1. Como sabemos, cada angulo interior es 600 y cualquier altura en este triángulo es también bisectriz. Trazando una altura encontramos el triángulo rectángulo que se muestra en la figura.
30◦
p
3
2
1
60◦
60◦
1
2
de este gráfico se encuentran los siguientes resultados:
p
p
3/2
3
sen 60 =
=
1
2
1/2 1
cos 60 =
=
1
2
p
3/2 p
tan 60 =
= 3
1/2
2
csc 600 = p
3
sec 600 = 2
1
cot 600 = p
3
0
0
0
1/2 1
sen 30 =
=
1
2
p
p
3/2
3
cos 30 =
=
1
2
1/2
1
tan 300 = p
=p
3/2
3
csc 300 = 2
2
sec 300 = p
3
cot 300 =
0
0
p
3
7.3.2. Ángulo de 450
Consideremos un triángulo rectángulo de catetos ambos iguales a 1, claramente los ángulos agudos miden 450 , tal como se
muestra en la figura:
45◦
p
2
1
45◦
1
58
La definición de función trigonométrica
p
1
2
sen 45 = p =
2
2
p
1
2
cos 45 = p =
2
2
0
csc 450 =
7.4
0
p
2
sec 450 =
p
2
tan 450 =
1
=1
1
cot 450 = 1
Ángulos multiplicados por el signo menos
sen (−α) = − sen (α)
cos (−α) = cos (α)
tan (−α) = − tan (α)
cot (−α) = − cot (α)
sec (−α) = sec (α)
csc (−α) = − csc (α)
7.5
Fórmulas de reducción
¡
¢
7.5.1. Reducción en los casos α + k 3600
¡
¡
¢¢
función α + k 3600 = función (α)
para todo ángulo α y todo entero k. Aquí f unci ón es cualquiera de las seis funciones trigonométricas.
Observación. En radianes, la propiedad sería:
función (α + 2kπ) = función (α)
¿Cómo calcular el número k y α?. Para el caso del sistema sexagesimal, si x es un ángulo k = entera
α = x − k (360) , es decir, x = α + k (360) . Aquí entera (x/360) es la parte entera de x/360.
Ejemplo 7.2 Si x = 835, entonces
=
¶
835
entera
360
entera (2. 3194)
=
2
µ
k
=
por tanto α = 835 − 2 (360) = 115, luego:
¡
¢
cot 8350
=
=
¡
¡
¢¢
cot 1150 + 2 3600
¢
¡
cot 1150
Ejemplo 7.3
¡
¢
cos 35760
=
=
¡
¡
¢¢
cos 3360 + 9 3600
¡
¢
cos 3360
³ x ´
y entonces
360
59
La definición de función trigonométrica
Ejemplo 7.4
sec (2343π)
sec (π + 1171 (2π))
=
= sec (π)
³ x ´
Observación. En el caso de radianes el valor k es entera
2π
Ejercicios propuestos
Reducir los siguientes ángulos
¡
¢
¡
¢
1. cos 18450 , Sol. cos 450
2. tan (2345) , Sol. tan (185)
¡
¢
¡
¢
3. cot 16480 , Sol. cot 2080
¡
¢
¡
¢
4. sen 17984,540 , Sol. sen 344,540
¡
¢
¡
¢
5. sec 12456750 , Sol. sec 750
¡
¢
6. cot 2345670 , Sol. cot (207)
7.5.2. Fórmula general de reducción
Definición 7.1
(Cofunciones) Son cofunciones las siguientes funciones trigonométricas
seno
tangente
secante
¡ ¡
¢
¢
función n 900 ± α =
y
y
y
coseno
cotangente
cosecante
( ¡
¢
signo función (α)
¡
¢
signo función (α)
si n es par
si n es impar
¡
¢
donde signo es el signo de función de acuerdo al cuadrante donde pertenece n 900 ± α.
Observación. En radianes, la propiedad sería:
( ¡
¢
´
³ ³π´
signo función (α)
si n es par
¢
±α = ¡
función n
signo función (α) si n es impar
2
Observación. Antes de aplicar las anteriores fórmulas conviene antes, reducir el ángulo de modo que el ángulo se encuentre
entre 00 y 3600 .
Ejemplo 7.5
¡
¢
tan 2650
=
¡
¢
tan 2 × 900 + 850
=
+ tan (85)
Nótese que 2650 se encuentra en el tercer cuadrante y en este cuadrante la función tangente tiene signo “ + ".
60
La definición de función trigonométrica
Ejemplo 7.6
¡
¢
tan 2800
=
=
¡
¢
tan 3 × 900 + 100
¡
¢
− cot 100
Nótese que 2800 se encuentra en el cuarto cuadrante y en este cuadrante la función tangente tiene signo “ − ".
Ejemplo 7.7
¡
¢
cot 8350
=
=
=
=
Ejercicios propuestos
Reducir los siguientes ángulos
¡
¢
¡ ¢
1. sen 4570 = cos 70
¡
¢
¡
¢
2. sen 3910 . Sol. sen 310
¡
¢
¡
¢
3. tan 12500 . Sol. − tan 100
¡
¢
¡
¢
4. cos 76170 . Sol. sen 330
¡
¢
5. sec 37970 . Sol. − sec (17)
¡
¡
¢¢
cot 1150 + 2 3600
¢
¡
cot 1150
¡
¢
cot 1 × 900 + 250
¢
¡
− tan 250
8
8.1
Identidades trigonométricas
Dos identidades fundamentales
Llamamos identidad trigonométrica a una igualdad en la que aparecen funciones trigonométricas que es válida para cualquier valor de la o las variables involucradas. En esta sección se enuncian (y demuestran por su importancia) dos identidades
fundamentales. A partir de estas se deducen varias otras.
Teorema 8.1
Para todo par de ángulos α y β se cumple:
¡
¢
sin α + β = sin α cos β + cos α sin β
Demostración. Para la prueba emplearemos la siguiente figura:
y
Q
α
H
M
α
β
α
O
P
N
x
Se construyen los siguientes segmentos:
QM ⊥OM ,
QP ⊥ON ,
M N ⊥ON ,
H M kON
62
Identidades trigonométricas
¡
¢
sin α + β
=
QP
OQ
QH + HP
OQ
QH + MN
OQ
QH MN
+
OQ
OQ
Q H QM M N OM
+
QM OQ OM OQ
cos α sin β + sin α cos β
=
sin α cos β + cos α sin β
=
=
=
=
=
Teorema 8.2
Para todo par de ángulos α y β se cumple:
¡
¢
cos α + β = cos α cos β − sin α sin β
Demostración. Emplearemos la siguiente figura:
y
Q
α
H
M
α
β
α
O
¡
¢
cos α + β
P
=
=
=
=
=
=
N
OP
OQ
ON − P N
OQ
ON − H M
OQ
ON H M
−
OQ
OQ
ON OM H M QM
−
OM OQ QM OQ
cos α cos β − sin α sin β
x
63
Identidades trigonométricas
8.2
Consecuencias
Los resultados anteriores (Teorema 8.1 y teorema 8.1) junto a los del anterior capítulo, permiten probar identidades más
empleadas en ingeniería. (Se prueban algunas, se deben justificar las otras):
Si reemplazamos β por −β en el teorema 8.1:
¡
¢
sin α − β
∴
=
sin α cos β − cos α sin β
¡
¢
sin α − β = sin α cos β − cos α sin β
Si reemplazamos β por −β en el teorema 8.1
¡
¢
cos α − β
∴
=
¡
¡ ¢¢
sin α + −β
¡ ¢
¡ ¢
sin α cos −β + cos α sin −β
=
=
¡ ¢
¡ ¢
cos α cos −β − sin α sin −β
=
cos α cos β + sin α sin β
(1)
¡
¢
cos α − β = cos α cos β + sin α sin β
(2)
sin (2α) = 2 sin α cos α
(3)
cos (2α) = cos2 α − sin2 α
(4)
Si β = α en el teorema 8.1:
Si β = α en el teorema 8.1:
Si β = α en (2) y tomando en cuenta que cos 00 = 1:
cos2 α + sin2 α = 1
(5)
A partir de (4) y (5) se obtienen:
1
(1 − cos (2α))
2
1
cos2 α = (1 + cos (2α))
2
sin2 α =
(6)
(7)
Dividiendo sucesivamente por cos2 α y sin2 α en (5) se obtienen:
1 + tan2 α = sec2 α
(8)
cot2 α + 1 = csc2 α
(9)
A partir de las identidades:
¡
¢
sin α + β
¡
¢
sin α − β
=
sin α cos β + cos α sin β
=
sin α cos β − cos α sin β
sumando miembro a miembro se obtiene:
sin α cos β =
¢
¡
¢¤
1£ ¡
sin α + β + sin α − β
2
(10)
64
Identidades trigonométricas
A partir de las identidades:
¡
¢
cos α + β
¡
¢
cos α − β
=
cos α cos β − sin α sin β
=
cos α cos β + sin α sin β
sumando miembro a miembro se obtiene:
¡
¢
¡
¢¤
1£
cos α + β + cos α − β
2
(11)
¡
¢
¡
¢¤
1£
cos α − β − cos α + β
2
(12)
cos α cos β =
y restando miembro a miembro se obtiene:
sin α sin β =
Si
α+β
=
x
α−β
=
y
se obtienen
α
=
β
=
¢
1¡
x+y
2
¢
1¡
x−y
2
con lo que: de (10) obtenemos:
¢
¢
1¡
1¡
x + y cos x − y
2
2
(13)
cos x + cos y = 2 cos
¢
¢
1¡
1¡
x + y cos x − y
2
2
(14)
cos y − cos x = 2 sin
¢
¢
1¡
1¡
x + y sin x − y
2
2
(15)
sin x + sin y = 2 sin
de (11) obtenemos
finalmente de (12)
8.3
Resumen de las identidades fundamentales
A continuación se muestra un resumen de las identidades más empleadas en ingeniería
65
Identidades trigonométricas
¡
¢
sin α + β = sin α cos β + cos α sin β
¡
¢
cos α + β = cos α cos β − sin α sin β
¡
¢
sin α − β = sin α cos β − cos α sin β
¡
¢
cos α − β = cos α cos β + sin α sin β
sin (2α) = 2 sin α cos α
cos (2α) = cos2 α − sin2 α
cos2 α + sin2 α = 1
1
sin2 α = (1 − cos (2α))
2
1
2
cos α = (1 + cos (2α))
2
1 + tan2 α = sec2 α
cot2 α + 1 = csc2 α
¢
¡
¢¤
1£ ¡
sin α cos β = sin α + β + sin α − β
2
¡
¢
¡
¢¤
1£
cos α cos β = cos α + β + cos α − β
2
¡
¢
¡
¢¤
1£
sin α sin β = cos α − β − cos α + β
2
¢
¢
1¡
1¡
sin x + sin y = 2 sin x + y cos x − y
2
2
¢
¢
1¡
1¡
cos x + cos y = 2 cos x + y cos x − y
2
2
¢
¢
1¡
1¡
cos y − cos x = 2 sin x + y sin x − y
2
2
Teorema fundamental
Teorema fundamental
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Ejemplo 8.1 Probar la validez de la siguiente identidad.
1 − sec α cos α − 1
=
1 + sec α cos α + 1
Solución.
1 − sec α
1 + sec α
=
=
=
1 − cos1 α
1 + cos1 α
cos α−1
cos α
cos α+1
cos α
cos α − 1
cos α + 1
Ejemplo 8.2 Probar:
2 sin2 α − 1 = sin4 α − cos4 α
Solución.
sin4 α − cos4 α
=
¢¡
¢
sin2 α + cos2 α sin2 α − cos2 α
¡
¢
1 · sin2 α − cos2 α
¡
¢
sin2 α − 1 − sin2 α
=
2 sin2 α − 1
=
=
¡
Ejemplo 8.3 Probar:
cot α =
1 + sec 2α
tan 2α
66
Identidades trigonométricas
Solución. Partimos de lado izquierdo:
1 + sec 2α
tan 2α
=
=
=
=
=
=
1 + cos12α
sin 2α
cos 2α
cos 2α+1
cos 2α
sin 2α
cos 2α
½
¾
cos 2α + 1
1
, cos2 α = (1 + cos 2α)
sin 2α
2
2 cos2 α
2 sin α cos α
cos α
sin α
cot α
Ejemplo 8.4 Probar:
cos6 x − sin6 x =
15
1
cos 2x +
cos 6x
16
16
Solución.
cos6 x − sin6 x
=
=
=
=
=
=
½
¾
1
1
1
3
3
2
+
cos
2x)
−
−
cos
2x)
cos
α
=
+
cos
2α)
(1
(1
(1
23
23
2
3
1
3
cos 2x + cos 2x
4
4
µ ¶
1
1
3
cos 2x + (cos 2x)
(1 + cos 4x)
4
4
2
¶
µ
1
3 1
+ cos 2x + cos 2x cos 4x
4 8
8
½
¾
¡
¢
¡
¢¢
7
1
1¡
cos 2x +
cos α cos β = cos α + β + cos α − β
(cos 6x + cos 2x)
8
16
2
15
1
cos 2x +
cos 6x
16
16
Ejercicios propuestos
Probar las siguientes identidades
1.
sec x
= sin x
tan x + cot x
2. cos4 x − sin2 x =
3.
1
1
cos 4x + cos 2x −
8
8
sin 2x cos 2x
−
= sec x
sin x
cos x
4. sec2 x + csc2 x = sec2 x csc2 x
5. tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x
6. (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x
7.
tan x − sin x
3
sin x
=
sec x
1 + cos x
67
Identidades trigonométricas
8. 1 − 2 sin2 x =
1 − tan2 x
1 + tan2 x
9. sec x + tan x =
cos x
1 − sin x
10. tan2 x − sin2 x =
sin2 x sec2 x
csc2 x
11. sin4 a − sin2 a = cos4 a − cos2 a
12.
tan (a + b) + tan (a − b)
2 tan a
=
1 + tan2 b
1 − tan2 a tan2 b
13. cos (a + b) cos (a − b) = cos2 a − sin2 b
sin (a + b) + cos (a − b) sin a + cos a
=
sin (a − b) − cos (a + b) sin a − cos a
µ
µ ¶¶
40
9
=
15. Pruebe que cos arctan
40
41
14.
8.4
Ecuaciones
Ejemplo 8.5 Resolver:
4 sin2 x tan x − 4 sin2 x − 3 tan x + 3 = 0
Solución. Sucesivamente encontramos:
4 sin2 x (tan x − 1) − 3 (tan x − 1) = 0
¡
¢
(tan x − 1) 4 sin2 x − 3 = 0
por tanto se encuentran los siguientes casos:
π 5
(a) tan x − 1 = 0, en este caso x = y π son soluciones, por tanto serán soluciones:
4 4
x
=
x
=
π
+ 2kπ, k = 0, ±1, . . .
4
5π
+ 2kπ, k = 0, ±1, . . .
4
p
3
1
1
(b) 4 sin x − 3 = 0, de esta ecuación se obtiene sin x =
, de donde x = π y x = − π, por tanto las soluciones son:
2
3
3
2
x
=
x
=
1
π + 2kπ, k = 0, ±1, . . .
3
1
− π + 2kπ, k = 0, ±1, . . .
3
Ejemplo 8.6 Resolver:
4 cos 2x + 3 cos x = 1
68
Identidades trigonométricas
Solución. Sucesivamente se tiene:
¡
¢
4 2 cos2 x − 1 + 3 cos x = 1
8 cos2 x + 3 cos x − 5 = 0
aplicando la forma cuadrática se encuentra:
cos x
=
=
p
32 − 4 × 8 × (−5)
2×8
−3 ± 13
16
−3 ±
así se tienen dos casos:
10 5
(a) cos x =
= , en este caso x = arc cos (5/8) = 0. 89566
16 8
(b) cos x = −1, en este caso x = π.
Ejercicios propuestos
Resolver las siguientes ecuaciones para −2π ≤ x ≤ 2π.
µ
¶ µ
¶
1
1
1. 2 sin (2x) = − sin x. Sol. x = 0, ±π, ±2π, ± π − arc cos , ± π + arc cos
4
4
7
1
2. 2 sin x + cos2 x = . Sol. x = π.
4
6
1 1
1
3. 4 tan x sin2 x − 3 tan x − 4 sin2 x + 3 = 0. Sol. x = π, π, − π
4 3
3
1 1 2
2
4. 3 cos2 x = sin2 x. Sol. x = − π, π, π, − π
3 3 3
3
1
11 5
5. 2 sec x = tan x + cot x. Sol. x = π, − π, π
6
6
6
1
1
π
6. sin (4x) − cos (2x) = 0, Sol. x = π,
4 12
7. cos (2x) sin (2x) − sin (2x) = 0, Sol. x = −2π, −π 0, π, 2π
1 1
1
8. tan3 x + tan2 x − 3 tan x − 3 = 0, Sol. x = − π, π, − π
4 3
3
9
9.1
Resolución de triángulos
Introducción
Como se sabe, un triángulo tiene 3 ángulos interiores y 3 lados. Resolver un triángulo significa determinar todos los valores
de los tres ángulos interiores y de los tres lados, para este fin se requieren tres datos uno de los cuales debe ser un lado.
Definición 9.1
(Línea visual visual horizontal) Si un observador situado en el punto P divisa un objeto que se encuentra en la posición Q, la recta PQ se llama linea visual. La línea P R se llamará línea visual horizontal.
ea
al
su
Vi
Q
Lín
P
Línea horizontal
R
Definición 9.2
(Ángulo de depresión y ángulo de elevación) Son los ángulos que se forman con la línea horizontal. Si la visual se
dirige hacia abajo, el ángulo se llamará ángulo de depresión. Si la visual se dirige hacia arriba el ángulo se llamará
ángulo de elevación.
ángulo de elevación
ángulo de depresión
70
Resolución de triángulos
9.2
Resolución de triángulos rectángulos
En este caso ya tenemos un dato, el ángulo recto, asi que sólo requerimos dos datos, de los cuales uno debe ser un lado. Para
este propósito recordamos las siguientes relaciones.
B
sen α =
β
α + β = 90◦
a
a
c
b
c
a
tan α =
b
cos α =
c
a2 + b2 = c 2
α
C
A
b
9.2.1. Conocidos los dos lados
B
c=
p
a2 + b2
tan α =
β
a
a
b
α = arctan
c
³a´
β = 90◦ − α
α
C
A
b
Otra manera es:
c=
p
a2 + b2
³a´
α
=
arcsin
β
=
900 − α
c
b
csc α =
c
a
sec α =
c
b
cot α =
b
a
71
Resolución de triángulos
9.2.2. Conocidos un lado y un ángulo
B
tan α =
β
a
b
a = b tan α
a
c
Se conocen dos lados. Lo que falta se
encuentra con el anterior resultado
α
C
A
b
B
tan α =
β
b=
a
c
a
b
b
tan α
Se conocen dos lados. Lo que falta se
encuentra con el anterior resultado
α
C
A
b
Ejemplo 9.1 Para conocer la altura de una edificio hemos medido el ángulo que forma la visual al punto mas alto con la
horizontal, obteniendo un resultado de α. Al acercarnos d metros hacia el edificio, obtenemos un nuevo ángulo de β.¿Cuál
es la altura del edificio?
Solución. Observamos que se tienen dos triángulos rectángulos, de estos triángulos obtenemos:
De 4ABC
:
De 4E BC
:
x
d+y
x
tan β =
y
tan α =
(1)
(2)
72
Resolución de triángulos
de las ecuaciones (1) y (2) se encuentra:
por tanto:
y
=
y
=
x
−d
tan α
x
tan β
x
x
−d =
tan α
tan β
de donde:
x
x
−
=d
tan α tan β
luego, despejando x se encuentra:
x
=
=
d
1
tan α
d
− tan1 β
tan α tan β
tan β − tan α
Ejercicios propuestos
1. Calcular la base menor de un trapecio rectángulo de base mayor 10 m y de lados no paralelos 5 y 3 m. Sol. 6
2. Considérese el problema de calcular el ancho de un río. Para esto se situa a la orilla del río al frente de un poste situado
en el otro lado del río. Se mide el ángulo de elevación con la parte superior del poste dando un ángulo β. Se retrocede
perpendicularmente a la orilla d metros y se vuelve a medir el ángulo de elevación con la parte superior del poste
d tan α
dando un ángulo α. Con estos datos calcular el ancho del río. Sol.
tan β − tan α
3. Estando situado a 100 m de una antena, veo su parte superior bajo un ángulo de 25o . Mi amigo, que se encuentra en el
mismo lado de la antena y en la misma línea recta, ve lo mismo que yo bajo un ángulo de 35o . (a) ¿ A que distancia está
mi amigo de la antena?, (b) ¿cuánto mide la antena?. 66. 596m, 46. 631m
4. Una antena de radio esta sujeta al suelo mediante dos cables que forman con la antena ángulos de α y β. Si los puntos
de sujeción de los cables al suelo y el pie de la antena se encuentran alineados y a una distancia total de d m, calcular
d tan β tan α
d tan β
la altura de la antena en función de α, β, d . Sol. h =
,x=
tan β + tan α
tan β + tan α
73
Resolución de triángulos
9.3
Resolución de triángulos oblicuángulos
En general, si en un problema de triángulos se dan como datos dos ángulos y un lado se usa la ley de los senos.
Si se dan dos lados y el ángulo comprendido entre estos dos lados se usa la ley de cosenos. Estas leyes las enunciamos y
demostramos a continuación.
9.3.1. Ley de senos
Teorema 9.1
En un triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. En la figura se cumple.
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Demostración. En la figura:
En el 4 rectángulo 4AQC
:
En el 4 rectángulo 4BQC
:
En el 4 rectángulo 4C P A
:
En el 4 rectángulo 4B P A
:
h2
b
h2
sin β =
a
¡
¢ h1
sin 1800 − γ =
b
h1
sin β =
c
sin α =
(1)
(2)
(3)
(4)
74
Resolución de triángulos
De (1) y (2) se encuentra
h 2 = b sin α = a sin β
de donde:
b
a
=
(5)
sin β sin α
¡
¢
De (3) y (4), tomando en cuenta que sin 1800 − γ = sin γ se encuentra:
h 1 = b sin γ = c sin β
de donde:
b
c
=
sin β sin γ
(6)
finalmente de (5) y (6) obtenemos:
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
9.3.2. Ley de cosenos
Teorema 9.2
En un triángulo un lado cualquiera al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el
doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
Por ejemplo, en el gráfico:
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Demostración. Del gráfico:
En el 4 rectángulo 4BQC
:
En el 4 rectángulo 4BQC
:
En el 4 rectángulo 4AQC
:
x
a
a2 = h2 + x2
cos β =
2
2
b = h + (c − x)
(1)
(2)
2
(3)
A partir de (3) se encuentra:
b 2 = h 2 + c 2 − 2c x + x 2
(4)
De (2) y (4) restando obtenemos:
a 2 − b 2 = −c 2 + 2c x
de donde:
b 2 = a 2 + c 2 − 2c x
(5)
finalmente de (1) se encuentra x = a cos β, reemplazando esto en (5) tenemos el resultado pedido
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
75
Resolución de triángulos
Ejemplo 9.2 Dos aviones de reconocimiento avanzan en un mismo plano. En cierto punto se separan formando un ángulo
de 300 . luego de cierto tiempo uno de los aviones recorre 5 km y el otro 3 km. ¿Cuál es la distancia que hay entre los aviones?
Aplicando la ley de cosenos, se encuentra:
BC =
p
52 + 32 − 2 (5) (3) cos (π/6) =
r³
p ´
34 − 15 3 = 2. 8318 K m
Ejemplo 9.3 La estátua del Cristo de la concordia está localizado en el tope del cerro San Pedro. El ángulo de elevación
desde la base del cerro al tope de la estátua es α. El ángulo de elevación desde un punto a d metros de la base del cerro al
tope de la estátua es de β. El cerro sube a un ángulo de γ con la horizontal. Halle la altura de la estátua.
b es ángulo exterior del 4AB D, por tanto
Solución. Nótese que el ángulo α
b +β = α
A DB
de donde:
b = α − β.
A DB
Aplicando la ley de senos en el 4AB D :
BD
d
¡
¢
=
sin β sin α − β
por tanto:
BD =
d sin β
¡
¢
sin α − β
b = 900 − α y D BC
b = α − γ, por tanto:
Por otra parte: B DC
B CbD
=
¡¡
¢ ¡
¢¢
1800 − α − γ + 900 − α
=
900 + γ
76
Resolución de triángulos
Aplicando la ley de senos en el 4BC D :
de donde:
DB
DC
¡
¢=
¡
¢
sin α − γ
sin 900 + γ
¡
¢
¡
¢
DB sin α − γ
d sin β sin α − γ
¡
¢
¡
¢
¡
¢.
DC =
=
sin 900 + γ
sin 900 + γ sin α − β
Ejercicios propuestos
1. Se desea construir un túnel a travéz de una montaña que va desde el punto A hasta el punto B. Un punto C se visualiza
desde A y B. Si BC es 20 K m, AC es 15 K m y el ángulo que forman es 600 ¿cual es la longitud del túnel?.
2. Desde la azotea de un edificio de h metros de alto se divisa el punto más alto de un rascacielos se mide el ángulo de
elevación y da α. Si se observa el mismo punto desde el nivel de la calle el ángulo de elevación es β. (a) Calcular la
distancia de la azotea al punto más alto del rascacielos. (b) Calcular también la altura del rascacielos. (Ver figura)
3. Un helicóptero vuela a una altura de n metros sobre una montaña de m metros de altura. Desde el pico de esta montaña
se divisa el pico de una segunda montaña que es más alta que la primera. Desde el helicóptero el ángulo de depresión
al segundo pico es α y desde el primer pico el ángulo de elevación al segundo pico es β. (a) Calcular la distancia entre
cimas. (b) Calcular la altura de la segunda montaña. (Ver figura)
q
Sol. (a)
¡
¢2
¡
¢
x 2 + n − y , (b) m + n − y , donde x =
n
n tan α
,y=
tan β + tan α
tan β + tan α
Resolución de triángulos
77
4. Desde dos puntos A y B que se encuentran en una misma recta L se divisa un punto C . Los ángulos que se forman con
la recta L son respectivamente α y β. Determinar la distancia desde C hasta A y B.
5. Se quiere instalar un cable entre los picos de dos colinas, se desea calcular la longitud del cable si se tienen los siguientes datos:
6. El ángulo de depresion de un filón1 es de 300 a lo largo de 500 metros y luego continua con un ángulo de depresión de
150 . Se plantea el problema de abrir un pozo a una distancia de 800 metros medido horizontalmente a partir de donde
empieza el filón de modo que el pozo llegue al filón. Calcular la longitud del pozo.
7. Se toman dos puntos A y B en el piso, que se supone es plano. A partir de estos puntos, se miden los ángulos de
elevación a un punto C de una nube, estos ángulos son respectivamente α y β. Suponiendo que los puntos A, B y
C están en un mismo plano vertical al piso y la distancia entre A y B es de d m, calcular la altura de la nube. Sol.
d tan α tan β
.
tan α + tan β
1
Filón: Yacimiento formado por la acumulación de minerales en antiguas grietas o fisuras de las rocas que les rodean.
78
Resolución de triángulos
10
10.1
Introducción a la Geometría Analítica
Sobre los puntos en el plano
10.1.1. Distancia entre dos puntos
Definición 10.1
¡
¢
¡
¢
(Distancia) La distancia entre dos puntos A = x 0 , y 0 y B = x 1 , y 1 está dado por el número no negativo:
d (A, B ) =
q
¡
¢2
(x 1 − x 0 )2 + y 1 − y 0
y
¡
d=
x1 , y 1
¢
q
¡
¢2
(x 1 − x 0 )2 + y 1 − y 0
x
¡
x0 , y 0
¢
Por comodidad, en lugar de escribir d (A, B ) , a menudo escribiremos simplemente d .
Ejemplo 10.1 Considere los siguientes puntos del plano:
A = (3, −2) , B = (−2, 3) y C = (0, 4)
(a) Calcular el perímetro del triángulo de vértices A, B y C .
(b) Demostrar que los puntos dados forman un triángulo rectángulo.
80
Introducción a la Geometría Analítica
Solución.
y
d1
(0, 4)
(−2, 3)
d2
x
d3
(3, −2)
(a)
P
=
=
=
=
d1 + d2 + d3
q
q
q
(0 + 2)2 + (4 − 3)2 + (0 − 3)2 + (4 + 2)2 + (−2 − 3)2 + (3 + 2)2
p
p
p
5+3 5+5 2
p
p
4 5+5 2
(b) Claramente d 32 = d 12 + d 22 , cumpliéndose el teorema de pitágoras en un triángulo rectángulo. Por tanto los puntos dados
forman un triángulo rectángulo.
10.1.2. Punto medio entre dos puntos
¡
¢
¡
¢
El punto medio entre dos puntos A = x 0 , y 0 y B = x 1 , y 1 está dado por
M=
³x +x y +y ´
0
1
0
1
,
,
2
2
en efecto:
s
d (A, M )
=
=
d (B, M )
=
=
de donde se deduce que d (A, M ) = d (B, M ) .
10.2
Pendiente de una recta
³x +x
´2 ³ y + y
´2
0
1
0
1
− x0 +
− y0
2
2
r³
´
³
´
x1 − x0 2
y1 − y0 2
+
2
2
s
³x +x
´2 ³ y + y
´2
0
1
0
1
− x1 +
− y1
2
2
r³
´
³
´
x0 − x1 2
y0 − y1 2
+
2
2
81
Introducción a la Geometría Analítica
Definición 10.2
(Recta dirigida) Se dice que una recta es dirigida si tiene una dirección. La dirección se indica con una flecha.
Definición 10.3
(Ángulo de dos rectas dirigidas) Es el formado por los lados que se alejan del vértice.
y
L1
α
x
L2
Definición 10.4
(Ángulo de inclinación de una recta) Es el ángulo formado por la parte positiva del eje x y la recta cuando se considera
dirigida hacia arriba. Nótese que el ángulo de inclinación de una recta debe estar entre 00 y 1800 .
y
L1
Ángulo de
inclinación
α
x
Definición 10.5
(Pendiente) Se llama pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.
Si α es el ángulo de inclinación, su pendiente debe ser m = tan α.
82
Introducción a la Geometría Analítica
Definición 10.6
¡
¢
¡
¢
Si A = x 0 , y 0 y B = x 1 , y 1 son puntos diferentes de una recta, la pendiente de la recta es:
m=
y1 − y0
,
x1 − x0
x 0 6= x 1
Ejemplo 10.2 Determinar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A = (2, 1) y B = (−3, 6) .
Solución.
m=
6−1
= −1
−3 − 2
por tanto el ángulo de inclinación es: α = arctan (−1) = 1350 .
y
6
5
4
3
2
α = 135◦
1
0
−3 −2 −1 0
−1
1
2
3
4
5
6
x
(a)
10.3
Ángulo entre dos rectas
Definición 10.7
(Ángulo entre dos rectas) Sean dadas dos rectas que se cortan. Arbitrariamente designemos a una de ellas como recta
inicial y a la otra como recta final, el ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj que va de la recta inicial
a la final se llamará ángulo entre las dos rectas. Las pendientes de estas rectas se llamarán respectivamente pendiente
inicial y pendiente final.
En la siguiente figura θ es el ángulo entre las rectas L 1 y L 2 . Si la recta inicial fuera L 2 y la final L 1 en ángulo entre estas rectas
83
Introducción a la Geometría Analítica
seria 1800 − θ. m 1 = tan α1 y m 2 = tan α2 son la pendiente inicial y pendiente final respectivamente.
y
L2
L1
Recta final
θ
θ
Recta inicial
P
α2
α1
A
B
x
En el triángulo 4AB P el ángulo α2 es exterior, por tanto α2 = α1 + θ de donde
θ = α2 − α1
aplicando tangente se encuentra:
tan θ
=
=
tan α2 − tan α1
1 + tan α2 tan α1
m2 − m1
1 + m2 m1
Así se puede enunciar el siguiente teorema:
Teorema 10.1
El ángulo θ formado por dos rectas está dado por la fórmula:
tan θ =
m2 − m1
1 + m2 m1
donde m 1 es la pendiente inicial y m 2 la pendiente final.
10.4
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas si el ángulo formado por ellas es 00 o 1800 . Por el teorema 10.3 se encuentra:
m2 − m1
= tan 00 = tan 1800 = 0
1 + m2 m1
de donde m 1 = m 2 . Recíprocamente si m 1 = m 2 entonces tan θ = 0 de donde θ = 00 o θ = 1800 . Por tanto se tiene el:
Teorema 10.2
Dos rectas son paralelas si y solamente si sus pendientes son iguales.
Por otra parte dos rectas son perpendiculares si el ángulo que forman es 900 pero entonces cot 900 = 0, del teorema 10.3 se
encuentra
1 + m2 m1
= cot 900 = 0
m2 − m1
de donde m 1 m 2 = −1, recíprocamente si m 1 m 2 = −1, se tiene cot θ = 0 de donde θ = 90, así se tiene el:
84
Introducción a la Geometría Analítica
Teorema 10.3
Dos rectas son perpendiculares si y solamente el producto de sus pendientes es −1.
Ejercicios propuestos
1. Determinar si los puntos A, B,C son o no los vértices de un triángulo isosceles.
¶
µ
¶
µ
¶
µ
13
1
6 6
y C = 6,
. Sol.: Si
a) A = − , 6 , B = ,
5
5 5
5
b) A = (1, 2) , B = (5, 5) , C = (6, −1) . Sol.: No
c) A = (2, 2) , B = (1, −3) , C = (−6, 1) . Sol.: Si
µ
¶
12 73
d) A = (1, 1) , B = − ,
, C = (5, 4)
13 13
e) (Distancias
AMARU
SOFT) Determinar
si ¶los siguientes puntos son o no los vértices de un triángulo isósceles:
¶
µ
µ
17
23
. Sol.: Si, los puntos dados corresponden a un triángulo isósceles.
A = − , −7 , B = (−6, −8), C = −7, −
3
3
f ) (Distancias AMARU
SOFT)
Determinar
si los siguientes puntos son o no los vértices de un triángulo isósceles:
µ
¶
¶
µ
11
25
A = (2, 8), B =
. Sol.: No, los puntos dados no corresponden a un triángulo isósceles.
, 19 , C = 10,
2
2
2. Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran en una recta. Mediante el cálculo de distancias, determinar si
los siguientes puntos son o no colineales: A = (1, 4) , B = (−2, 7) , C = (3, 2) . Sol.: Son colineales
3. Determinar el ángulo que forman dos rectas de pendientes 2 y −1. Sol.: 71. 5620
4. El ángulo entre dos rectas es 450 . La recta de menor pendiente forma con el eje x un ángulo de 300 , determinar la
p
pendiente de la otra recta. Sol.: 2 + 3.
5. Mediante el cálculo de pendientes determinar si los siguientes puntos son o no los vértices de un triángulo rectángulo.
a) (2, 4) , (6, 1) , (−1, −1) . Sol.: No
µ
¶
4
b) (2, 4) , (6, 1) , −2, − . Sol.: Si
3
c) (2, 4) , (6, 1) , (5, 8) . Sol.: Si
d) (Pendientes AMARU SOFT) Determinar si los siguientes puntos son o no los vértices de un triángulo rectángulo: A = (11, 4), B = (8, −9), C = (−2, 7). Sol.: Si, los puntos dados corresponden a un triángulo rectángulo.
e) (Pendientes) AMARU SOFTDeterminar si los siguientes puntos son o no los vértices de un triángulo rectángulo: A = (−3, −8), B = (4, −6), C = (6, −5). Sol.: No, los puntos dados no corresponden a un triángulo rectángulo.
11
11.1
La ecuación de la recta
La definición de recta como lugar geométrico
Definición 11.1
¡
¢
Llamamos línea recta al lugar geométrico de puntos x, y del plano x y, tales que tomando dos cualesquiera puntos
de ella, la pendiente m es constante.
11.1.1. La ecuación de la recta punto-pendiente
Teorema 11.1
¡
¢
La recta que pasa por x 0 , y 0 y tiene pendiente dada m es
y = m (x − x 0 ) + y 0
¡
¢
Demostración. Si x, y es un punto arbitrario de la recta, entonces
m=
y − y0
x − x0
despejando y se encuentra:
y = m (x − x 0 ) + y 0
Se llama la ecuación de la recta punto pendiente.
La recta se describe como el conjunto:
©¡
¢
ª
L = x, y : y = m (x − x 0 ) + y 0 , x ∈ R
o también como:
L : y = m (x − x 0 ) + y 0
86
La ecuación de la recta
y
¡
x0 , y 0
¢
m = tan (θ)
θ
x
11.1.2. La ecuación de la recta punto-punto
Teorema 11.2
¡
¢ ¡
¢
La ecuación de la recta que pasa por los puntos x 0 , y 0 y x 1 , y 1 es
y=
y1 − y0
(x − x 0 ) + y 0
x1 − x0
Demostración. La pendiente de esta recta debe ser
m=
y1 − y0
,
x1 − x0
Aplicando la ecuación punto pendiente, su ecuación debe ser:
y=
y1 − y0
(x − x 0 ) + y 0 .
x1 − x0
Se llama la ecuación de la recta punto-punto.
y
¡
¡
x1 , y 1
¢
θ
¢
x0 , y 0
m = tan (θ) =
y1 − y0
x1 − x0
x
11.1.3. La ecuación simétrica de la recta
Sea a, b números no nulos. La ecuación de la recta que pasa por (a, 0) y (0, b) se escribir como:
y=
de donde se obtiene:
b −0
(x − a) + 0
0−a
b
y = − x +b
a
87
La ecuación de la recta
dividiendo entre b y ordenando se encuentra:
x y
+ = 1.
a b
se llama la ecuación simétrica de la recta.
y
b
a
x
11.1.4. La ecuación general de la recta
Toda recta L se puede escribir como:
©¡
¢
ª
L = x, y : ax + b y + c = 0, x ∈ R, y ∈ R
donde a, b, c son números reales conocidos.
Ejemplo 11.1 Determinar la recta que pasa por P = (2, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A = (−1, 2) y
B = (2, −4) .
Solución. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es m AB =
1
pedida debe ser m = , así la ecuación de la recta pedida es:
2
y=
1
(x − 2) + 1.
2
L:
1
y= x
2
L:
−4 − 2
= −2, por tanto la pendiente de la recta
2 − (−1)
simplificando:
Observación. Nótese que la ecuación de la recta que pasa por A y B es:
L:
y = −2 (x + 1) + 2
simplificando:
L:
y = −2x
Ejemplo 11.2 Considérese la recta que pasa por (−5, −6) y (1, 2) . Determinar un punto de esta recta situado a 5 unidades
de (1, 2) .
¡
¢
Solución. Sea x, y el punto buscado. De la fórmula de la distancia entre dos puntos, se debe tener:
¡
¢2
(x − 1)2 + y − 2 = 52
(1)
por otra parte, la recta que pasa por los puntos dados es:
y −2 =
4
(x − 1)
3
(3)
88
La ecuación de la recta
reemplazando en (1) se tiene:
(x − 1)2 +
16
(x − 1)2 = 25
9
de donde:
(x − 1)2 = 9,
las soluciones de esta ecuación son x = 4 y x = −2. Aplicando la ecuación (3) se encuentra:
x = 4, y = 6
x = −2, y = −2
11.1.5. Distancia de un punto a una recta
¡
¢
La distancia de un punto x 0 , y 0 a la recta de ecuación ax + b y + c = 0 está dada por:
¯
¯
¯ax 0 + b y 0 + c ¯
d=
p
a2 + b2
Ejemplo 11.3 Hallar la recta bisectriz a las rectas de ecuaciones:
5x + 12y − 60
=
0
−24x + 7y − 35
=
0
¡
¢
Solución. Como se sabe, los puntos de la bisectriz equidistan de las rectas dadas, por tanto si x, y es un punto de la bisectriz,
se debe tener:
¯
¯
¯ ¯
¯5x + 12y − 60¯ ¯−24x + 7y − 35¯
=
p
p
52 + 122
242 + 72
de donde se encuentran dos soluciones, una solución es:
5x + 12y − 60 −24x + 7y − 35
= p
p
52 + 122
242 + 72
simplificando se tiene: 23x + 11y − 55 = 0.
−24x + 7y − 35 = 0
y
8
6
4
5x + 12y − 60 = 0
2
−4
−2
0
2
4 x
23x + 11y − 55 = 0
89
La ecuación de la recta
11.2
Intersección de rectas, la regla de Cramer
Por lo anteriormente visto, toda recta puede representarse por una ecuación de la forma
y = mx + c
o de manera más general con una ecuación de la forma
ax + b y + c = 0.
Por ejemplo la recta L que pasa por los puntos (2, 3) y (5, 5) tiene por ecuación:
y
=
=
2
(x − 2) + 3
3
5
2
x+
3
3
de donde se obtiene que la ecuación de la recta L es:
L:
2x − 3y + 5 = 0
Problema. Dadas dos rectas L 1 , L 2 de ecuaciones:
L1
:
ax + b y + c = 0
L2
:
dx +ey + f = 0
determinar L 1 ∩ L 2 .
¡
¢
Solución. Si x, y ∈ L 1 ∩ L 2 deben cumplir simultáneamente las ecuaciones:
ax + b y + c
=
0
dx +ey + f
=
0
¡
¢
es decir, el punto x, y debe encontrarse resolviendo el anterior sistema de ecuaciones. Mediante la regla de Cramer se
encuentra que las soluciones son:
¯
¯
¯ −c b ¯
¯
¯
¯
¯
¯ − f e ¯ −ce + b f
¯
¯ =
x =
¯ a b ¯
ae − d b
¯
¯
¯
¯
¯ d e ¯
¯
¯
¯ a −c ¯
¯
¯
¯
¯
¯ d − f ¯ −a f + d c
¯
¯ =
y =
¯ a b ¯
ae − d b
¯
¯
¯
¯
¯ d e ¯
por tanto las soluciones son
x=
b f − ce
,
ae − d b
y=
dc − f a
ea − d b
claramente las soluciones existirán dependiendo de los valores de a, b, c, d , e, f , en particular de ae − d b.
90
La ecuación de la recta
Caso (1) ae − d b 6= 0. En este caso, la solución existe y es única.
Caso (2) ae − d b = 0. Por transposición de términos se encuentra:
−
a
d
=− .
b
e
Por otra parte, escribiendo las ecuaciones dadas en su forma punto-pendiente se encuentra:
L1
:
L2
:
c
a
y =− x−
b
b
d
f
y =− x− ,
e
e
por tanto en este caso las recta tienen las mismas pendientes y por tanto son paralelas, por tanto en este caso tendremos:
1. L 1 ∩ L 2 = ; {conjunto vacío} si
c
f
6= .
b e
2. L 1 ∩ L 2 = L {las recta son iguales} si
y
f
c
= .
b e
y
L2
y
L1
L1
L1
L1 = L2
qe − bd 6= 0
x
qe − bd = 0
L 1 ∩ L 2 = {P }
L1 ∩ L2 = ;
x
qe − bd = 0
x
L1 ∩ L2 = L
Ejemplo 11.4 Considere las rectas L 1 y L 2 de ecuaciones
L1
:
L2
:
1
1
y = x+
2
2
y = 3x − 2
y el punto B = (3, 7) sobre L 2 . Sea A el punto común de ambas rectas. Determinar un punto C en L 1 tal que el 4AC B sea un
triángulo rectángulo.
91
La ecuación de la recta
Solución.
y = 3x − 2
y
6
4
y=
90◦
x +1
, es la recta buscada
2
2
y = −2x + 13
0
−0
2
4
x
6
−2
Sea L la recta buscada, entonces por condición del problema la pendiente de L debe ser m = −2, además ésta recta debe
pasar por B = (3, 7) , por tanto su ecuación es y = −2 (x − 3) + 7, es decir:
L : y = −2x + 13.
Por otra parte el punto buscado debe ser C = L 1 ∩ L, es decir, debemos resolver el sistema:

 y = −2x + 13
1
1
 y = x+
2
2
o lo que es lo mismo:
(
2x + y = 13
−x + 2y = 1
Empleando la regla de Cramer se encuentra:
x
=
y
=
¯
¯ 13
¯
¯
¯ 1
¯
¯ 2
¯
¯
¯ −1
¯
¯ 2
¯
¯
¯ −1
¯
¯ 2
¯
¯
¯ −1
¯
¯
¯
¯
¯ 25
¯=
=5
5
1 ¯¯
¯
2 ¯
¯
13 ¯¯
¯
1 ¯ 15
¯ =
=3
5
1 ¯¯
¯
2 ¯
1
2
por tanto C = (5, 3).
Ejemplo 11.5 Sea L la recta que pasa por A = (2, 1) y B = (−1, −3) . Determinar un punto sobre esta recta que se encuentre a
5 unidades de distancia de A.
Solución.
¡
¢
−4
4
La pendiente de la recta L es m =
= . Sea X = x, y el punto buscado, entonces por las condiciones del problema
−3
3
debemos tener:
y −1 4
=
(1) {Para que X esté sobre L}
x −2 3¡
¢2
2
(2) {Para que la distancia sea 5}
(x − 2) + y − 1 = 5
92
La ecuación de la recta
De la ecuación (1) se obtiene:
y −1 =
4
(x − 2) ,
3
(3)
reemplazando en la euación (2) se encuentra:
16
(x − 2)2 = 52
9
(x − 2)2 +
de donde sucesivamente se tiene:
µ
¶
16
= 52
(x − 2) 1 +
9
2
(x − 2)2
25
= 25
9
(x − 2)2 = 9
de donde se encuentra: x = 5 y x = −1 Finalmente empleando la ecuación (3) se encuentran los puntos buscados:
x
=
5,
x
=
−1,
4
(5 − 2) = 5
3
4
y = 1 + (−1 − 2) = −3
3
y = 1+
por tanto los puntos a una distancia de cinco unidades de distancia de A son:
X1
=
(5, 5)
X2
=
(−1, −3)
Ejercicios propuestos
1. Hallar la ecuación de la recta que:
a) Pasa por A = (3, 2) y B = (−4, 1)
b) Pasa por A = (−1, 1) y B = (3, 1)
c) Pasa por A = (−4, 2) y tiene pendiente m = −3
Sol.: (a) x − 7y + 11 = 0, (b) y − 1 = 0, (c) 3x + y + 10 = 0.
¡
¢
2. Hallar la recta que pasa por x 0 , y 0 cuyas coordenadas en el origen suman k. (Sug. Emplee la ecuación simétrica)
¡
¢
a) x 0 , y 0 = (2, 3) , k = 10. Sol.: 3x + 2y = 12, x + y = 5.
¡
¢
b) x 0 , y 0 = (2, 4) , k = 5. Sol.: No existe
¡
¢
c) x 0 , y 0 = (2, 14) , k = 5. Sol.: 2x − y + 10 = 0, 7x − 2y + 14 = 0
3. La recta de ecuación 4x + 3y − 24 = 0 determina en el primer cuadrante un triángulo al intersectar a los ejes coordenados. Hallar el área de dicho triángulo. Sol.: 24.
4. Determinar la recta, que pasa por el punto medio del segmento que une (2, 4) y (6, 2) , que además sea perpendicular
a., este segmento. Graficar. Sol.: y = 2x − 5.
5. (Recta-Mediatriz AMARU SOFT) Determinar la recta mediatriz del segmento que forma la recta −3x + 5y + 15 = 0 con
los ejes coordenados. Graficar. Sol.: 5x + 3y − 8 = 0.
93
La ecuación de la recta
y
x
6. (Baricentro AMARU SOFT) Los puntos: P 1 = (−4, −4), P 2 = (−4, 8), P 3 = (0, −1), son los vértices de un triángulo. Hallar el baricentroµ (también
llamado centroide) del triángulo. (Sug.: Es el punto de intersección de las medianas). Sol.:
¶
8
Baricentro: B = − , 1
3
7. Considere los puntos A = (2, 1) , B = (4, 0) , C = (3, 9) . Hallar y graficar la ecuación de:
a) la altura trazada desde el vértice C . Sol.: y = 2x + 3.
b) la mediana trazada desde el vértice C . Sol.: x = 3 .
c) la mediatriz trazada desde e lado AB. Sol.: y = 2x −
11
.
2
8. Los puntos medios de los lados de un triángulo son A = (2, 1) , B = (6, 2) , C = (3, 3) . Hallar los vértices del triángulo. Sol.:
(−1, 2) , (5, 0) , (7, 4) .
9. Sean A = (−1, 1) , B = (2, 5) , si estos puntos son los vértices consecutivos de un cuadrado, determinar los otros dos
vértices. Sol.: (3, −2) y (6, 2) otra solución es (−5, 4) y (−2, 8)
10. Sean A = (−1, 1) , B = (2, 5) , si estos puntos son los µvértices¶ deµ un cuadrado
de modo que se encuentran en una de las
¶
5 3
3 9
y , .
diagonales, determinar los otros dos vértices. Sol.: − ,
2 2
2 2
¡
¢
¡
¢
11. Considere una recta L que pasa por x 0 , y 0 de pendiente
m. Calcular un punto
¶ a k unidades de distancia de x 0 , y 0
µ
km
k
, y0 + p
.
sobre la recta L. Sol.: Dos puntos, uno de ellos es x 0 + p
2
1+m
1 + m2
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12
Ecuación de la circunferencia
Definición 12.1
(Circunferencia) Es el lugar geométrico de puntos del plano tales que la distancia a un punto fijo es siempre constante.
El punto fijo se llama centro y la distancia constante se llama radio.
Teorema 12.1
La ecuación de la circunferencia de centro (h, k) y radio r es:
¡
¢2
(x − h)2 + y − k = r 2
Demostración. Es consecuencia inmediata de la definición de distancia.
y
¡
x, y
¢
(h, k)
centro
r=
q
¡
¢2
(x − h)2 + y − k
x
Ejemplo 12.1 Determinar la recta que biseca el ángulo agudo formado por las rectas
L1
:
L2
:
12
x
5
3
y= x
4
y=
96
Ecuación de la circunferencia
Solución. Resolviendo el sistema se encuentra que las rectas se intersectan en el punto A = (0, 0) . (Ver figura)
y
1
y=
9x
7
0,5
−1
0
−,5
0
0,5
1 x
−,5
−1
Encontraremos un punto situado en las rectas dadas, situadas a una unidad de distancia del punto A, esto se logra intersectando la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 1 con cada una de las rectas:
Intersección de la recta L 1 con la circunferencia. Resolviendo el siguiente sistema:
x2 + y 2
=
y
=
1
12
x
5
se encuentran los siguientes puntos:
µ
B=
¶
µ
¶
5 12
5
12
,
y B0 = − ,−
13 13
13 13
Intersección de la recta L 2 con la circunferencia. Resolviendo el siguiente sistema:
x2 + y 2
=
y
=
1
3
x
4
se encuentran los siguientes puntos:
µ
C=
¶
µ
¶
4 3
4 3
y C0 = − ,−
,
5 5
5 5
µ
¶
µ
¶
5 12
4 3
,
yC = ,
para construir la bisectriz.
13 13
5 5
Notemos que el triángulo ABC es isósceles con lados iguales AB y AC . Así la altura correspondiente al lado BC es mediatriz
y bisectriz, así la bisectriz buscada pasa por A y por el punto medio M del segmento BC . Las coordenadas de M son:
Tomemos los puntos B =
M
=
=
¶ µ
¶¶
5 12
4 3
,
+ ,
13 13
5 5
¶
77 99
,
130 130
1
2
µ
µµ
por tanto la recta pedida es:
L:
y=
99/130
(x − 0) + 0
77/130
de donde:
L:
9
y = x.
7
Ecuación de la circunferencia
97
Ejercicios propuestos
1. Determinar el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
µ
¶ µ
¶
1 2
1 2
a) 36x 2 − 36x + 36y 2 + 24y = 1283. Sol.: x −
+ y+
= 62 .
2
3
µ
¶ µ
¶
3 2
1 2
b) 16x 2 − 24x − 243 + 16y 2 − 16y. Sol.: x −
+ y−
= 16.
4
2
¡
¢2
2
2
2
2. Graficar
y determinar
la intersección
¶ µ
¶ de las siguientes circunferencias: (x − 1) + y + 1 = 9, (x + 1) + y = 4. Sol.:
µ
2p
4p
2p 4p
5,
5 , −1 −
5, −
5 .
−1 +
5
5
5
5
3. (Circunferencia-Recta
AMARU SOFT) Hallar la circunferencia de centro (3, 4) y es tangente a la recta 2x + y + 1 = 0.
r
1
, 25x 2 − 30x + 25y 2 − 40y + 4 = 0
Sol.: Radio=11
5
¡
¢2
4. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son (9, 1) y (1, −5) , hallar su ecuación. Sol.: (x − 5)2 + y + 2 = 25.
5. Determinar una circunferencia de radio 1 tangente a los ejes coordenados y en el primer cuadrante. Sol.: (x − 1)2 +
¡
¢2
y −1 = 1
6. Determinar una circunferencia de radio 1 tangente a la recta y = x y al eje coordenado y. Sol.: Cuatro circunferencias,
³
³
p ´´2
una es: (x − 1)2 + y − 1 + 2 = 1.
7. (Circunferencia-Tangente AMARU SOFT) Determinar una circunferencia de radio 5 tangente a la recta−3x + 4y − 3 =
µ
µ
¶
¶
43 2
7 2
0 y al eje coordenado y. Sol.: Primera solución: (x − 5)2 + x −
= 25, segunda solución: (x − 5)2 + x +
= 25,
4
4
µ
µ
¶2
¶2
13
37
tercera solución: (x + 5)2 + x −
= 25, cuarta solución: (x + 5)2 + x +
= 25.
4
4
8. Determinar una circunferencia en el primer cuadrante, tangente a la recta x + y = 1 y a los ejes coordenados. Sol.: Dos
µ
µ
¶¶ µ
µ
¶¶
µµ
¶¶
1p 2
1p 2
1p 2
circunferencias, una es: x − 1 −
2 + y − 1−
2
= 1−
2
2
2
2
¶
µ
5
9. Hallar la recta que pasa por el punto − , 0 que es tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = 4. Sol.: Dos soluciones una
2
µ
¶
4
5
es y =
x+
3
2
10. Determinar una circunferencia en el primer cuadrante tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = 1 y a los ejes coordenados.
³
³
³
p ´´2 ³
p ´´2 ³³
p ´´2
Sol.: Una solución es: x − 1 + 2 + y − 1 + 2 = 1 + 2 .
11. (Circunferencia-Tangente AMARU SOFT) En el gráfico el radio de la circunferencia es r = 5 y la pendiente del seg-
98
Ecuación de la circunferencia
mento AB es m =
20
. Se pide determinar la ecuación de dicho segmento.
21
y
B
x
A
Sol.: 20x − 21y + 350 = 0, (OBS) una segunda solución es: 20x − 21y + 60 = 0.
y
B
17,5
14
10,5
7
3,5
0
x
0
−3,5
−7
−10,5
−14
−17,5
A
2
2
12. (Tangente AMARU SOFT) Hallar las rectas tangentes
µ
¶de pendiente m = 2 a la circunferencia de ecuación: xµ + y −
¶
5 7
1 5
3x + 6y + 10 = 0. Sol.: Primera solución: Centro: , − , ecuación 4x − 2y − 17 = 0; segunda solución; Centro: , − ,
2 2
2 2
ecuación 4x − 2y − 7 = 0.
13
13.1
La parábola
La definición de parábola
Definición 13.1
(Parábola) La Parábola es el conjunto de los puntos P del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de
una recta fija llamada, directriz.
13.2
Ecuaciones de la parábola
13.2.1. Vértice en el origen y foco sobre un eje de coordenadas
100
La parábola
13.2.1.1. Foco sobre el eje y
¡
¢
Si el foco tiene coordenadas F = 0, p la recta directriz debe ser
d:
¡
y = −p.
¢
Entonces si x, y es un punto cualquiera de la parábola, se debe cumplir:
q
q
¡
¢2
¡
¢2
x 2 + y − p = (x − x)2 + y + p
simplificando:
x 2 + y 2 − 2p y + p 2 = y 2 + 2p y + p 2
luego:
x 2 = 4p y
13.2.1.2. Foco sobre el eje x
¡
¢
Si el foco tiene coordenadas F = p, 0 la recta directriz debe ser
d:
¡
x = −p.
¢
Entonces si x, y es un punto cualquiera de la parábola, se debe cumplir:
q
q
¡
¢2 ¡
¢2
¡
¢2
x +p + y −y =
x − p + y2
simplificando:
x 2 + 2px + p 2 = x 2 − 2px + p 2 + y 2
luego:
y 2 = 4px
101
La parábola
13.2.2. Vértice (h, k) y foco en una recta paralela al eje de coordenadas
13.2.2.1. Foco en x = h
¡
¢
Supongamos que el vértice es V = (h, k) y el foco es F = h, k + p , entonces la ecuación de la directriz debe ser:
d : y =k −p
¡
¢
Sea x, y un punto de la parábola, entonces:
q
¡
¡
¢¢2
(x − h)2 + y − k + p =
q
¡
¡
¢¢2
(x − x)2 + y − k − p
simplificando se tendrá sucesivamente:
³¡
¢2 ¡
¢2 ´
=0
(x − h)2 + y − k − p − y − k + p
¡
¢¡
¢
(x − h)2 + y − k − p − y + k − p y − k − p + y − k + p = 0
¡
¢¡
¢
(x − h)2 + −2p 2y − 2k = 0
de donde:
¡
¢
(x − h)2 = 4p y − k
13.2.2.2. Foco en y = k
¡
¢
Supongamos que el vértice es V = (h, k) y el foco es F = h + p, k , entonces la ecuación de la directriz debe ser:
d : x =h−p
Análogamente al caso anterior se puede deducir que la ecuación es
¡
13.3
y −k
¢2
= 4p (x − h) .
Tangente a una parábola
¡
¢
¡
¢
Considérese la parábola (x − h)2 = 4p y − k y el punto x 0 , y 0 sobre esta parábola. Sea y = m (x − x 0 ) + y 0 la recta tangente a
¡
¢
la parábola en x 0 , y 0 , entonces el sistema
(x − h)2
=
¡
¢
4p y − k
y
=
m (x − x 0 ) + y 0
debe tener solución única. Resolviendo el sistema encontramos:
¡
¢
(x − h)2 = 4p m (x − x 0 ) + y 0 − k
ordenando:
¡
¢
¡
¢
x 2 + −2h − 4pm x − 4p −mx 0 + y 0 − k + h 2 = 0
¡
¢
¡
¢
recordemos que x 0 , y 0 está en la parábola, es decir, (x 0 − h)2 = 4p y 0 − k de donde se encuentra:
y0 = k +
1
(x 0 − h)2
4p
102
La parábola
de donde la ecuación en x queda:
µ
¶
¡
¢
1
2
x + −2h − 4pm x − 4p −mx 0 +
(x 0 − h) + h 2 = 0
4p
2
como esta ecuación debe tener solución única debemos tener:
¶
¶
µ
µ
¡
¢2
1
−2h − 4pm − 4 −4p −mx 0 +
(x 0 − h)2 + h 2 = 0
4p
resolviendo:
m=
1
(x 0 − h)
2p
¡
¢
por tanto la recta tangente a la parábola dada en x 0 , y 0 es :
L:
y=
1
(x 0 − h) (x − x 0 ) + y 0
2p
Observación importante. Nótese que no vale la pena aprenderse de memoria la anterior fórmula, en su lugar conviene
aprenderse la técnica que usamos para deducir este resultado.
Ejemplo 13.1 Un rayo paralelo al eje y corta una parábola en el punto A = (4, 3) ; en este punto la pendiente de la recta
tangente es m = 2. Si la distancia del vértice al foco es 1,5 unidades, determinar la ecuación de la parábola.
¡
¢
Solución. Una posibilidad para la ecuación de la parábola es (x − h)2 = 4p y − k . Puesto que la pendiente es m = 2 y el
punto de tangencia es (4, 3) se tendrá:
4−h
2=
2p
además si la distancia del vértice al foco es 1,5, se debe tener p = 1,5, por tanto de la anterior ecuación se encuentra 2 =
de donde:
h = −2,
por otra parte, a partir de la ecuación de la parábola se encuentra: (4 + 2)2 = (4) (1,5) (3 − k), de donde:
k = −3
luego la ecuación de la parábola es:
¡
¢
(x + 2)2 = 6 y + 3 ,
y la recta tangente en (4, 3) es:
L:
y
6
y = 2 (x − 4) + 3.
Parábola
Recta tangente
4
Punto de tangencia
2
0
−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6 x
−2
−4
4−h
,
3
103
La parábola
Ejemplo 13.2 Determinar la ecuación de la parábola de foco sobre la recta y = 2x + 1, directriz y = −2 y lado recto igual a 4.
Solución. Se tiene:
¡
¢
(x − h)2 = 4p y − k
Como el lado recto es 4 se debe tener: 4p = 4, entonces p = 1
El foco es
F = (h, k + 1)
La ecuación de la directriz es:
y = k −1
pero entonces k − 1 = −2 de donde k = −1.
Finalmente puesto que el foco está en la recta y = 2x + 1 se debe tener
k + 1 = 2h + 1
1
es decir: −1 + 1 = 2h + 1 de donde h = − . Por tanto la ecuación de la parábola es:
2
¶
µ
¡
¢
1 2
= 4 y +1
x+
2
Ejercicios propuestos
1. En cada caso se da la ecuación de la parábola. Encuentre las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y las
coordenadas de sus extremos, encuentre también la ecuación de la directriz. Grafique.
a) y 2 = −8x. Sol.: (−2, 0) , 8, (−2, 4) , (−2, −4) , x = 2
¶ µ
¶
µ
¶
µ
5
5 5
5
5 5
b) y 2 = 5x. Sol.: , 0 , 5, , , , − , x = −
4
4 2
4 2
4
µ
¶
µ
¶ µ
¶
1
2
1
1
1
1
1
c) 3x 2 + 2y = 0. Sol.: 0, − , , − , − , , − , y =
6 3
3 6
3 6
6
2. Escriba la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisface la condición dada.
µ
¶
1
a) Foco en − , 0 . Sol.: y 2 + 2x = 0
2
b) Directriz y = 4. Sol.: x 2 = −16y
c) Longitud del lado recto 10 y la parábola se abre a la izquierda. Sol.: y 2 = −10x
3. Hallar la ecuación de la parábola de foco F = (4, 3) y directriz x = 2. Sol.: y 2 − 6y − 4x + 21 = 0
4. Una parábola de eje vertical tiene vértice en (2, −1) . Un rayo paralelo al eje corta la parábola en un punto de modo que
¢
2¡
la pendiente en tal punto sea tres veces la longitud del punto al eje de la parábola. Sol.:
y + 1 = (x − 2)2 .
3
µ
¶
13
5. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por 0,
de directriz horizontal cuyo vértice y foco estan en las rectas de
2
ecuaciones 2x + 3y = 0 y 5x + 6y = 0 respectivamente. Sol.: x 2 + 6x − 2y + 13 = 0.
104
La parábola
y
x 2 + 6x − 2y + 13 = 0
6
4
2
−6 −5 −4 −3 −2 −1
0
2x + 3y = 0
5x + 6y = 0
x
6. (Parábola AMARU SOFT) Hallar la ecuación de la parábola de directriz horizontal, que pasa por el punto (−5, 5) cuyo
vértice y foco estan respectivamente en las rectas de ecuaciones y = 7x − 32 y en y = 6x − 28. Sol.: Primera solución:
¡
¢
¡
¢
(x − 7)2 = −12 y − 17 , segunda solución: (x − 3)2 = 4 y + 11 .
7. Hallar la ecuación de la parábola de foco F = (−2, 3) , de directriz vertical y vértice en la recta:
¡
¢2
a) x + y = −2. Sol.: y − 3 = 12 (x + 5)
¡
¢2
b) x − y = 2. Sol.: y − 3 = −28 (x − 5)
8. Hallar la ecuación de la parábola de lado recto 4, directriz y = −3 y foco en la recta x + y = 2. Sol.: x 2 − 6x + 1 − 4y = 0.
9. Hallar la ecuación de una parábola con eje vertical que tiene vértice en V = (2, 3) . Se sabe que el triángulo de vértices los
¡
¢
extremos del lado recto y el vértice de la parábola tiene un área igual a 50 unidades cuadradas. Sol.: (x − 2)2 = 20 y − 3 .
10. Considere la familia de rectas 3x + y + a = 0, y la parábola y − 3 − x 2 − 2x = 0. Determinar a tal que las rectas:
a) Cortan a la parábola en un solo punto pero no tangentes. Sol.: Nunca
13
b) Cortan a la parábola en dos solo puntos. Sol.: a <
4
13
c) Son tangentes a la parábola. Sol.: a =
4
13
d) Son exteriores. Sol.: a >
4
11. Resolver el anterior problema si la familia de rectas está dada por 3x + a y + 1 = 0
1 1p
1 1p
1 1p
1 1p
1 1p
1 1p
22 < a < +
22, (c) a = −
22 o a = +
22, (d) a < −
22 o a > +
22.
Sol.: (a) a = 0, (b) −
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
12. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (−2, 0) a la parábola de ecuación y −3−x 2 −2x = 0.
p
p
Sol.: Rectas con pendientes m = −2 + 2 3 y m = −2 − 2 3.
13. (Tangente AMARU SOFT) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto(−4, 1) a la parabola de
ecuacion y = x 2 − 3x − 2. Sol.: Primera recta: y = −x − 3, segunda recta: y = −21x − 83.
14. Hallar los valores de k tales que las parábolas y − 3 − x 2 − 2x = 0 y y + x 2 − 2x + k = 0 sean tangentes. Sol.: k = −3 .
15. Una parábola de vértice (h, k) es tangente a la recta y = −2x − 3 en el punto (−2, 1) . Si la longitud del foco al vértice es
1, hallar la ecuación de la parábola. Sol.: x 2 − 4x − 4y − 8 = 0.
14
14.1
La elipse
Definición de elipse
Definición 14.1
(Elipse) Es el lugar geométrico de puntos de un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos es una
constante. Los puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Definición 14.2
(Excentricidad) La excentricidad de una elipse de define cono el número ² ∈ (0, 1) dado por:
s
²=
14.2
Ecuaciones de la elipse
1−
µ
eje menor
eje mayor
¶2
106
La elipse
14.2.1. Centro el origen y eje mayor en el eje x
¡
¢
Supóngase que los focos son F 0 = (−c, 0) y F = (c, 0) . Si x, y está en la elipse se debe tener:
q
q
¡
¢2
¡
¢2
(x + c)2 + y − 0 + (x − c)2 + y − 0 = 2a
donde 2a es la longitud del eje mayor. Haciendo operaciones y simplificando se encuentra sucesivamente:
q
q
(x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2
(x + c)2 + y 2 = 4a 2 − 4a
q
(x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
q
4c x = 4a 2 − 4a (x − c)2 + y 2
q
cx − a 2 = −a (x − c)2 + y 2
¡¡
¢
¢
c 2 x 2 − 2c a 2 x + a 4 = a 2 x 2 − 2c x + c 2 + y 2
¡ 2
¢
¡
¢
c − a2 x2 − a2 y 2 + a2 a2 − c 2 = 0
¡ 2
¢
¡
¢
a − c 2 x2 + a2 y 2 = a2 a2 − c 2
Haciendo b 2 = a 2 − c 2 se obtiene:
b2 x2 + a2 y 2 = a2b2
o equivalentemente:
x2 y 2
+
=1
a2 b2
Observaciones:
1. Para encontrar el eje menor hacemos x = 0, de donde obtenemos y = ±b. Así los extremos del eje menor son (0, −b) y
(0, b) , siendo la longitud del eje menor igual a 2b.
2
2
2
2. Nótese que la ecuación
pb = a − c permite obtener un dato teniendo conocidos los otros dos, en particular, si a, b se
conocen, se tiene: c = a 2 − b 2 .
3. Se puede probar que la longitud del lado recto es
2b 2
.
6
107
La elipse
14.2.2. Centro el origen y eje focal en el eje y
Supóngase que los focos son F 0 = (0, −c) y F = (0, c) . En este caso se tendrá:
q
q
¡
¢2
¡
¢2
(x − 0)2 + y + c + (x − 0)2 + y − c = 2a
donde 2a es la longitud del eje mayor. Haciendo operaciones y simplificando se encuentra:
x2 y 2
+
=1
b2 a2
donde nuevamente: b 2 = a 2 − c 2 .
14.2.3. Centro (h, k) y eje focal paralelo al eje x
¡
¢
Supóngase que los focos son F 0 = (h − c, k) y F = (h + c, k) . Si x, y está en la elipse se debe tener:
q
q
¡
¢2
¡
¢2
(x − (h − c))2 + y − k + (x − (h + c))2 + y − k = 2a
donde 2a es la longitud del eje mayor.
q
q
¡
¢2
¡
¢2
(x − (h − c))2 + y − k = 2a − (x − (h + c))2 + y − k
Agrupando x con h se encuentra:
q
¡
¢2
((x − h) + c)2 + y − k = 2a −
q
¡
¢2
((x − h) − c)2 + y − k
108
La elipse
de donde haciendo operaciones se encuentra:
¡
¢2
y −k
(x − h)2
+
=1
a2
b2
donde c 2 = a 2 − b 2 .
14.2.4. Centro (h, k) y eje focal paralelo al eje y
Con cálculos análogos al caso anterior se encuentra:
¡
¢2
y −k
(x − h)2
+
=1
b2
a2
donde c 2 = a 2 − b 2 .
Definición 14.3
(excentricidad de la elipse) La excentricidad de una elipse está dada por el cociente
e=
14.3
c
.
a
La propiedad de reflexión de una elipse.
Las elipses tienen propiedades de reflexión análogas a las de las parábolas. Sea l la tangente a una elipse en un punto P
sobre ella. Esta recta forma ángulos iguales con las líneas que unen al punto P con los focos de la elipse. Debido a esta
propiedad, si un rayo de luz o una onda de sonido parte de uno de los focos, ésta es reflejada por la elipse y llega al otro
foco. Por esta razón los elipsoides (superficie que se obtiene al hacer girar una elipse) se utilizan en el diseño de bóvedas
que reflejan el sonido y en aparatos como el litotriptor que utilizan los médicos para desintegrar cálculos renales. (fuente:
http://www.quimica.izt.uam.mx/CursosComp/conicas2.pps )
109
La elipse
Ejemplo 14.1 Determinar condiciones para que una elipse de semiejes a y b pueda enscribirse en una semicircunferencia
de radio r = 1. La elipse debe ser tangente al diámetro de la circunferencia y tangente a la semicircunferencia en posiciones
simétricas.
Solución. Por conveniencia hagamos que el centro de la circunferencia sea el origen de coordenadas. Por la condición de
tangencia al diámetro, la ecuación de la elipse debe ser:
¡
¢2
y −b
x2
+
= 1,
a2
b2
(1)
por otra parte la ecuación de la circunferencia es:
x 2 + y 2 = 1,
(2)
para cumplir con las otras dos condiciones de tangencia, el sistema formado por (1) y (2) debe tener solución única en y.
Despejando x 2 de la ecuación (2) y reeemplazando en (1) se encuentra:
¡
¢2
y −b
1 − y2
+
= 1,
a2
b2
(3)
realizando operaciones se encuentra:
¡ 2
¢
−b + a 2 y 2 − 2a 2 b y + b 2 = 0
de donde
y=
2a 2 b ±
q
¡
¢
4a 4 b 2 − 4 −b 2 + a 2 b 2
¡
¢
2 −b 2 + a 2
(4)
para que el valor de y sea única se debe tener:
¡
¢
4a 4 b 2 − 4 −b 2 + a 2 b 2 = 0
de donde simplificando se tiene:
a 4 + b 2 − a 2 = 0,
de donde:
b=a
p
1 − a2
(5)
Por otra parte, tomando en cuenta (4) y el hecho de que 0 < y < 1, debemos tener adicionalmente
2a 2 b
¢ <1
0< ¡ 2
2 −b + a 2
110
La elipse
o
0<
a2b
<1
a2 − b2
(6)
reemplazando b de (5) en (6) se tiene:
q ¡
¢
a2 a2 1 − a2
0<
<1
³q ¡
¢´2
a2 −
a2 1 − a2
de donde, luego de una simplificación se encuentra:
0 < 1 − a2 < a2
de donde:
q
1
2
<a <1
o equivalentemente:
0. 70711... < a < 1
A continuación presentamos algunos ejemplos:
a
b
4
5
12
25
9
10
9 p
19
100
1
3
2p
2
9
Elipse
2
y − 12
x
25
¡ 4 ¢2 + ¡ 12 ¢2 = 1
5
¡ 25 9 p ¢2
y − 100 19
x2
¡ 9 ¢2 + ¡ 9 p ¢2
19
10
p ¢2
¡ 100
2
2
y−9 2
x
¡ 1 ¢2 + ¡ 2 p ¢2 = 1
3
9 2
2
¡
¢
=1
Puntos de tangencia
µ
¶
1p 3
±
7,
≈ (±0. 66, 0. 75)
4
4
¶
µ
1p
1p
62,
19 ≈ (±0. 87, 0. 48)
±
9
9
³ p p ´ ³ p p ´
i 7, 2 2 , −i 7, 2 2 No existe intersección
Ejercicios propuestos
2
2
1. Hallar la coordenadas de los vértices, los focos, la excentricidad y lados
p rectos de la elipse: x + 6y = 36. Sol.: Vértices:
³
´
³
´
³
´
p
p
p
30
, lado recto 2
(−6, 0) , (6, 0) ; 0, − 6 , 0, 6 ; Focos ± 30, 0 ; excentricidad e =
6
111
La elipse
2. Hallar la coordenadas de los vértices de la elipse de focos (±3, 4) y lado recto igual a 9, escriba también la ecuación de
¡
¢2
³
p ´ ³
p ´ x2
y −4
la elipse. Sol.: (−6, 4) , (6, 4) , 0, 4 + 27 , 0, 4 − 27 ,
+
= 1.
36
27
3
(x − 3)2
+
3. Determinar la ecuación de la elipse con centro en (3, −2), eje mayor horizontal 10 y excentricidad e = . Sol.:
5
52
¡
¢2
y +2
=1
42
4. Hallar todos los elementos de la elipse:
4x 2 + 16x − 11 + 9y 2 − 18y
p
5
Sol.: Centro: (−2, 1) , Vértices (−5, 1) , (1, 1) , Semiejes: Mayor 6, Menor 4, exentricidad e =
.
3
5. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos se encuentran en el eje x en posición simétrica respecto del origen, se sabe
x2 y 2
3
+
= 1.
además que su eje mayor es 10 y su excentricidad es e = . Sol.:
5
25 16
6. El extremo del semieje de una elipse se mira bajo un ángulo de 450 . Determinar la excentricidad de dicha elipse. Sol.:
1p
e=
2.
2
y
b
45◦
c
a
x
µ
¶
p
¡
¢2
1
7. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por por puntos (2, −2) , (0, −1) , (4, −1) , 2 + 3, − . Sol.: (x − 2)2 +4 y + 1 = 4.
2
p
8. Hallar y graficar las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente m = 1 a la elipse x 2 + 9y 2 = 9. Sol.: y = x ± 10.
¡
¢2
9. Considere la elipse de ecuación 4 (x + 2)2 + y − 2 = 4, hallar los valores de k tales que la recta 2x + 3y + k = 0:
p
p
a) corta a la elipse en dos puntos distintos. Sol.: −2 − 2 10 < k < −2 + 2 10
p
p
b) es tangente a la elipse. Sol.:−2 − 2 10, −2 + 2 10.
p
p
c) no corta la elipse. Sol.: k < −2 − 2 10 y k > −2 + 2 10.
¡
¢
10. Probar que la recta tangente a la elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 en un punto x 0 , y 0 es
b 2 x0 x + a 2 y 0 y = a 2 b 2 .
11. Probar que las rectas tangentes a la elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 de pendiente m son:
p
y = mx ± a 2 m 2 + b 2 .
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15
15.1
La hipérbola
La definición de hipérbola
Definición 15.1
(Hipérbola) Es el lugar geométrico de puntos de un plano tales que el valor absoluto de la resta de las distancias a dos
puntos fijos es una constante. Los puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
15.2
Ecuaciones de la hipérbola
114
La hipérbola
15.2.1. Centro el origen y eje transverso en el eje x
Si los focos son: F = (−c, 0) , F = (c, 0)
q
q
(x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = 2a
donde 2a es la longitud entre los vértices. Realizando operaciones se tiene sucesivamente:
q
q
(x + c)2 + y 2 = 2a + (x − c)2 + y 2
(x + c)2 + y 2 = 4a 2 + 4a
q
(x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
2c x = 4a 2 + 4a
q
(x − c)2 + y 2 − 2c x
c x − a2 = a
q
(x − c)2 + y 2
¡
¢
c 2 x 2 − 2a 2 c x + a 4 = a 2 x 2 − 2c x + c 2 + y 2
c 2 x2 + a4 = a2 x2 + a2c 2 + a2 y 2
¢
¡ 2
¢
¡
c − a2 x2 − a2 y 2 = a2 c 2 − a2
haciendo b 2 = c 2 − a 2 se encuentra:
b2 x2 − a2 y 2 = a2b2
de donde:
x2 y 2
−
=1
a2 b2
115
La hipérbola
15.2.2. Asíntotas de la hipérbola
Son las rectas y =
b
b
a y y =−
a
a
15.2.3. Centro el origen y eje transverso en el eje y
Si los focos son: F 0 = (0, −c) , F = (0, c)
q
¡
¢2
x2 + y + c −
q
¡
¢2
x 2 + y − c = 2a
donde 2a es la longitud entre los vértices. Realizando operaciones encuentra:
y 2 x2
−
= 1.
a2 b2
donde nuevamente: b 2 = c 2 − a 2 .
15.2.4. Centro (h, k) y eje transverso paralelo al eje x
Tiene la siguiente forma:
¡
¢2
y −k
(x − h)2
−
=1
a2
b2
15.2.5. Centro (h, k) y eje transverso paralelo al eje y
Tiene la siguiente forma:
¡
y −h
a2
Ejercicios propuestos
¢2
−
(x − k)2
=1
b2
116
La hipérbola
1. Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos (−1, 2) y (−1, −4) sea igual a 5.
¡
¢2
Sol.: 44 y + 1 − 100 (x + 1)2 = 275.
2. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los focos de la elipse de ecuación
los vértices de la elipse.
x2 y 2
+
= 1 y cuyos focos son
9
4
3. Calcular la tangente a las siguientes hipérbolas con las condiciones que se indican:
a) 9x 2 − 16y 2 = 144 en P = (4, 0). Sol.: x = 4
b) 5x 2 − y 2 = 20 en P = (3, −5).
c) 9x 2 − 4y 2 = 36 en los puntos de intersección con la bisectriz del primer cuadrante.
d) x 2 − y 2 = 16 la tangente perpendicular a la recta x + 5y − 7 = 0.
¡
¢
4. Determinar el lugar geométrico de puntos x, y tales que la distancia al punto (1, 1) es siempre el triple de la distancia
¶
µ
27
7 2
=−
a la recta y + 2 = 0. Sol.: (x − 1)2 − 2 y +
2
2
5. Hallar las intersecciones
de las recta x − 2y + 1 = 0 con las asíntotas de la hipérbola: 4x 2 + 24x − 9y 2 + 36y = 36. Sol.:
µ
¶
3 2
(−21, −10) , − , .
7 7
6. Considere la hipérbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 . Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de esta
hipérbola a las asíntotas es una constante.
117
La hipérbola
Bibliografía
1. Baldor, Aurelio, Algebra, Editorial Pátria, 2007
2. Fuller G. y Tarwater D. Geometría Analítica, 7a Ed. Addison Wesley 1995
3. Lehmann, Charles H. Geometría analítica, UTEHA, , 1968
4. Relos Santiago, Cálculo I 7a Ed, 2012
5. Sullivan, Precálculo 4ta Ed, Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A., 1977
6. Swokowski & Cole, Algebra y Trigonometrìa, 9a Ed, Thomson, 1998
7. Thomas George B. Jr, Cálculo a una variable 11a Ed, Pearson, 2005
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16
Amaru - Soft
A continuacón, se presentan exámenes generados por AMARU SOFT
16.1
Primer examen
1
Curso preuniversitario: Primera prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
2.
5
(Polinomios)
2
x −2
Dividir: xx2 −− 3x
−2
3.
(Logaritmos)
4.
(Fracciones parciales)
Resolver: log
√
2
4x
√
3
−2x + 7
p
!
− log
√
6
16x + 112 = 0
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
5.
6.
−5
−6
+
.
x2 + 2x − 24 x + 6
(x2
−3x + 1
− 4x + 5) (x − 2)
√
Resolver: 4x2 − 7x + 4 = −2x + x + 4
(Area) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (4, 5) y (−4, 5). Con un punto (x, y) del
segmento que une el origen con (4, 5) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de tal
triángulo son (0, 5) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x.
Elegido entre aproximadamente:3.63e+22exámenes diferentes 1
(Radicales)
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:48, Tiempo:1.2 Segundos
2
Soluciones 2
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
x2
−6
−5
+
.
+ 2x − 24 x + 6
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −6, 3.1667, 4, ∞}.
−
+
−∞
2.
−6
3.1667 4
5
(Logaritmos)
Sol.:
4.
x=
Resolver: log
7
3
(Fracciones parciales)
5.
∞
2
√
2
4x
√
3
−2x + 7
!
− log
√
6
16x + 112 = 0
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
−3x + 1
(x2 − 4x + 5) (x − 2)
5x − 13
−5
+
− 4x + 5 x − 2
p
√
(Radicales) Resolver: 4x2 − 7x + 4 = −2x + x + 4
Sol.: f (x) =
−
x −2
Dividir: xx2 −− 3x
−2
(Polinomios)
+ 74
Sol.: x3 + 3x2 + 11x + 38 + x136x
2 − 3x − 2
3.
+
x2
, x2 = 0
6. (Area) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (4, 5) y (−4, 5). Con un punto (x, y) del
segmento que une el origen con (4, 5) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de tal
triángulo son (0, 5) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x.
Sol.: x1 = 0
Sol.: A(x) =
5x(4 − x)
4
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:48, Tiempo:1.2 Segundos
1
Curso preuniversitario: Primera prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
5
2.
(Polinomios)
3.
(Logaritmos)
4.
(Fracciones parciales)
−1x
−6
+
.
x2 − 8x + 15 x − 5
2
Dividir: 2x x+2 −x 1+ 2
Resolver: log2 (65x + 86) − 2 log
√
(4x+7)2
2
= log2 (4x + 11)
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
5.
6.
1
√
2x4 + x3 + 4x2 − 2
x3 − x2
√
Resolver: 13x + 15 + −22x + 15 = −9x + 30
(Funciones) Considérese el triángulo de vértices A = (0, 0), B = (19, 0) y C = (16, 9). Sobre
el segmento AC se toma un punto (a, b) y se construye un rectángulo inscrito en el triángulo,
con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Determinar el área del rectángulo en términos
de a.
Elegido entre aproximadamente:6.65e+25exámenes diferentes 1
(Radicales)
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:47, Tiempo:0.48 Segundos
2
Soluciones 2
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
x2
−6
−1x
+
.
− 8x + 15 x − 5
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, 2.5714, 3, 5, ∞}.
−
+
−∞ 2.5714
2.
3.
5
(Logaritmos)
x1 =
∞
2
Dividir: 2x x+2 −x 1+ 2
+3
Sol.: 2x3 + 2x + 1 + 2x
2
x −1
Sol.:
4.
3
5
(Polinomios)
−
+
Resolver: log2 (65x + 86) − 2 log
1
(4x+7)2
2
= log2 (4x + 11)
9
= 0.5625, x2 = −1
16
(Fracciones parciales)
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
2x4 + x3 + 4x2 − 2
x3 − x2
5
2
2
+
+
(x) (x)2
(x − 1)
√
√
√
(Radicales) Resolver: 13x + 15 + −22x + 15 = −9x + 30
15
15
Sol.:x1 = −
= −1.1538. x2 = +
= 0.68182.
13
22
Sol.: f (x) = 2x + 3 +
5.
6.
Considérese el triángulo de vértices A = (0, 0), B = (19, 0) y C = (16, 9). Sobre
el segmento AC se toma un punto (a, b) y se construye un rectángulo inscrito en el triángulo,
con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Determinar el área del rectángulo en términos
de a.
(Funciones)
Sol.: A (a) =
171
256
a (16 − a)
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:47, Tiempo:0.48 Segundos
1
Curso preuniversitario: Primera prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Signos) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
2. (Polinomios) Dividir:
x2 + 4x + 4
−16
+
.
x+2
−2x + 8
−3x5 − 3x2 + 1
−3x2 − 3
3. (Logaritmos) Resuelve log8 (−96x2 + 19x + 15) log(4x2 +10x+11) 8 = 1
4. (Fracciones parciales) Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
5. (Radicales) Resolver:
p
2x4 + x3 + 4x2 − 2
x3 − x2
x2 + 13x − 12 = x +
√
7x − 12
6. (Funciones) Una caja tiene base cuadrada de lado igual a x y altura h. Si el volumen de dicha
caja es 50 cm3 . (a) Determinar la supercie total de la caja en términos de x, (b) Determinar
la supercie total de la caja en términos de h.
Elegido entre aproximadamente:4.34e+24exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:46, Tiempo:1.2 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Signos) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
x2 + 4x + 4
−16
+
.
x+2
−2x + 8
f (x) =
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −2, 0, 2, 4, ∞}.
−
−∞
−
−2
−
+
0
2
+
4
∞
−3x5 − 3x2 + 1
−3x2 − 3
−3x + 4
Sol.: x3 − x + 1 +
−3x2 − 3
2. (Polinomios) Dividir:
3. (Logaritmos) Resuelve log8 (−96x2 + 19x + 15) log(4x2 +10x+11) 8 = 1
Sol.: x1 = −
1
4
, ,x2 = .
25
4
4. (Fracciones parciales) Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
2x4 + x3 + 4x2 − 2
x3 − x2
2
5
2
+
+
2
(x) (x)
(x − 1)
p
√
5. (Radicales) Resolver: x2 + 13x − 12 = x + 7x − 12
Sol.: f (x) = 2x + 3 +
Sol.: x1 = 3.
6. (Funciones) Una caja tiene base cuadrada de lado igual a x y altura h. Si el volumen de dicha
caja es 50 cm3 . (a) Determinar la supercie total de la caja en términos de x, (b) Determinar
la supercie total de la caja en términos de h.
Sol.:
(a)
√
100
200
+ 2x2 , (b) 4 50h +
x
h
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:46, Tiempo:1.2 Segundos
1
Curso preuniversitario: Primera prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
2.
3
(Polinomios)
2
Dividir: −4x2x+2 −2x2x−+x1− 4
3.
(Logaritmos)
4.
(Fracciones parciales)
Resolver:
√
2
√
−4x − 6
√
log
− log 6 −64x + 480 = 0
3
x+6
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
5.
6.
2
2
+
.
x2 + 7x + 10 x + 2
p
−2x + 4
(x2 + 2x + 2) (x + 1)
√
Resolver: 9x2 − 14x = −3x + −2x
(Area) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (20, 12) y (−20, 12). Con un punto (x, y)
del segmento que une el origen con (20, 12) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de
tal triángulo son (0, 12) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x.
Elegido entre aproximadamente:1.6e+24exámenes diferentes 1
(Radicales)
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:45, Tiempo:1.5 Segundos
2
Soluciones 2
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
x2
2
2
+
.
+ 7x + 10 x + 2
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −6, −5, −2, ∞}.
−
−∞
2.
−
+
−6
−5
3
(Polinomios)
+
−2
∞
2
Dividir: −4x2x+2 −2x2x−+x1− 4
−3
Sol.: −2x − 1 + 2x2−x
− 2x + 1
3.
(Logaritmos)
Sol.:
4.
x=−
Resolver:
9
2
(Fracciones parciales)
√
2
√
−4x − 6
√
log
− log 6 −64x + 480 = 0
3
x+6
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
−2x + 4
(x2 + 2x + 2) (x + 1)
6
−6x − 8
+
x2 + 2x + 2 x + 1
p
√
(Radicales) Resolver: 9x2 − 14x = −3x + −2x
Sol.: f (x) =
5.
, x2 = 0
6. (Area) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (20, 12) y (−20, 12). Con un punto (x, y)
del segmento que une el origen con (20, 12) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de
tal triángulo son (0, 12) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x.
Sol.: x1 = −2
Sol.: A(x) =
12x(20 − x)
20
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:45, Tiempo:1.5 Segundos
1
Curso preuniversitario: Primera prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
3
2.
(Polinomios)
3.
(Logaritmos)
4.
(Fracciones parciales)
Dividir: −4x−x−2 +2x3+ 3
Resolver: log2x+1
x3 − 4x2 + 9x + 2 −
p
1
− 1 = 0.
log5x+2 (2x + 1)
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
5.
6.
5
−3
+
.
x2 + 2x x + 2
−4x + 4
(x2 − 12x + 37) (x − 6)
√
Resolver: 36x2 − 13x − 4 = −6x + −x − 4
(Area) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (19, 10) y (−19, 10). Con un punto (x, y)
del segmento que une el origen con (19, 10) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de
tal triángulo son (0, 10) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x.
Elegido entre aproximadamente:1.29e+25exámenes diferentes 1
(Radicales)
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:43, Tiempo:1.8 Segundos
2
Soluciones 2
1.
(Signos)
Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa.
f (x) =
x2
−3
5
+
.
+ 2x x + 2
Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −2, 0, 1.6667, ∞}.
−
+
−∞
2.
3.
−2
3
+3
Sol.: 4x + −14x
2
−x + 3
(Logaritmos)
Resolver: log2x+1
(Fracciones parciales)
x3 − 4x2 + 9x + 2 −
1
− 1 = 0.
log5x+2 (2x + 1)
Emplee fracciones parciales para expandir:
f (x) =
−4x + 4
(x2 − 12x + 37) (x − 6)
20x − 124
−20
+
− 12x + 37 x − 6
p
√
(Radicales) Resolver: 36x2 − 13x − 4 = −6x + −x − 4
Sol.: f (x) =
5.
1.6667 ∞
0
Dividir: −4x−x−2 +2x3+ 3
(Polinomios)
Sol.: x = 14
4.
−
+
x2
.
6. (Area) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (19, 10) y (−19, 10). Con un punto (x, y)
del segmento que une el origen con (19, 10) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de
tal triángulo son (0, 10) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x.
Sol.: x1 = −5
Sol.: A(x) =
10x(19 − x)
19
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:43, Tiempo:1.8 Segundos
130
16.2
Amaru - Soft
Segundo examen
1
Curso preuniversitario. Segunda prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir:
cot(2141).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
a) (Identidad) Probar:
b) (Identidad) Probar:
c) (Identidad) Probar:
cos (A − B) − cos (A + B)
2
sin x + cos x
sec x + csc x
=
sin x − cos x
sec x − csc x
sen2 x sec2 x
tan2 x − sen2 x =
csc2 x
sen A sen B =
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo
[0◦ , 360◦ ],
2 cos(8x)−16 sin(4x)+18 =
resolver:
0.
b) (Ec. Trigonométrica) En
[00 , 3600 ]
resolver
−20 sin2 (3x) + 29 cos (3x) sin (3x) − 5 cos2 (3x) = 0
4. (Resolución de triángulos) Los lados de un paralelogramo son
ángulos interiores es
8o ,
45
y
77
cm., uno de sus
(a) determinar la longitud de las diagonales, (b) calcular el área del
paralelogramo.
5. (Resolución de triángulos) Los lados de un paralelogramo son
ángulos interiores es
8o ,
45
y
77
cm., uno de sus
(a) determinar la longitud de las diagonales, (b) calcular el área del
paralelogramo.
Elegido entre aproximadamente:2.05e+23exámenes diferentes
1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:59, Tiempo:0.49 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir:
cot(2141).
Sol.: − tan(71).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
a) (Identidad) Probar:
b) (Identidad) Probar:
c) (Identidad) Probar:
cos (A − B) − cos (A + B)
2
sin x + cos x
sec x + csc x
=
sin x − cos x
sec x − csc x
sen A sen B =
sen2 x sec2 x
csc2 x
tan2 x − sen2 x =
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo
[0◦ , 360◦ ],
resolver:
2 cos(8x)−16 sin(4x)+18 =
0.
Soluciones:
22.5◦ , 112.5◦ , 202.5◦ , 292.5◦ ,
b) (Ec. Trigonométrica) En
[00 , 3600 ]
resolver
−20 sin2 (3x) + 29 cos (3x) sin (3x) − 5 cos2 (3x) = 0
(−5 tan(3x) + 1) (4 tan(3x) − 5) = 0,
3.77◦ , 17.1134◦ , 63.77◦ , 77.1134◦ , 123.77◦ , 137.1134◦ ,
183.77◦ , 197.1134◦ , 243.77◦ , 257.1134◦ , 303.77◦ , 317.1134◦ ,
Sol.: Aplicando identidades se encuentra
cuyas solu-
ciones son:
4. (Resolución de triángulos) Los lados de un paralelogramo son
ángulos interiores es
8o ,
45
y
77
cm., uno de sus
(a) determinar la longitud de las diagonales, (b) calcular el área del
paralelogramo.
(a)
D1 = 33.037,
cm.
D2 = 121.7233,
cm.
(b) Area=
482.2348
2
cm. .
5. (Area de un triángulo) En un triángulo isósceles los lados iguales miden
1
.
12
Sol.: Primera solución: Altura=
lado=
2
3
1
1
, Tercer lado=
3
2
5
12
y su área es
cm. Segunda solución: Altura=
cm.
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:59, Tiempo:0.49 Segundos
1
, Tercer
4
1
Curso preuniversitario. Segunda prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir: csc(6605).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
a) (Identidad) Probar: cos (a + b) cos (a − b) = cos2 a − sen2 b
b) (Identidad) Probar:
c) (Identidad) Probar:
1
1
2 cos2 x
+
=
cos x cot x
2 cos x − sin (2x)
tan (a + b) + tan (a − b)
2 tan a
=
1 + tan2 b
1 − tan2 a tan2 b
3. a) (Ec. Trigonométrica)
En el intervalo [0◦ , 360◦ ], resolver: −13 sen(4x) − 13 sin(3x) =
−11 sen
7
x .
2
b) (Ec. Trigonométrica) Resolver: 12 tan2 (2x) − 7 sec2 (2x) + 2 tan (2x) = 0
4. (Resolución de triángulos) Un edicio se encuentra al nalizar una avenida, (asuma que
el edicio es perpendicular a la avenida). Desde dos puntos A y B situados en la avenida y
en línea recta se miden los ángulos de elevación a la parte má alta del edicio, éstas medidas
dan 24 y 64 grados respectivamente. Si la distancia entre A y B es 67 metros. (a) calcular la
altura del edicio, (b) calcular la distancia del punto B al edicio.
5. (Resolución de triángulos) Un edicio se encuentra al nalizar una avenida, (asuma que
el edicio es perpendicular a la avenida). Desde dos puntos A y B situados en la avenida y
en línea recta se miden los ángulos de elevación a la parte má alta del edicio, éstas medidas
dan 24 y 64 grados respectivamente. Si la distancia entre A y B es 67 metros. (a) calcular la
altura del edicio, (b) calcular la distancia del punto B al edicio.
Elegido entre aproximadamente:1.01e+20exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:59, Tiempo:0.5 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir: csc(6605).
Sol.: sec(35).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
a) (Identidad) Probar: cos (a + b) cos (a − b) = cos2 a − sen2 b
b) (Identidad) Probar:
c) (Identidad) Probar:
1
1
2 cos2 x
+
=
cos x cot x
2 cos x − sin (2x)
2 tan a
tan (a + b) + tan (a − b)
=
1 + tan2 b
1 − tan2 a tan2 b
3. a) (Ec. Trigonométrica)
En el intervalo [0◦ , 360◦ ], resolver: −13 sen(4x) − 13 sin(3x) =
7
x .
2
Soluciones: 0◦ , 51.4286◦ , 102.8571◦ , 129.942◦ , 154.2857◦ , 205.7143◦ ,
257.1429◦ , 308.5714◦ , 360◦ ,
−11 sen
b) (Ec. Trigonométrica) Resolver: 12 tan2 (2x) − 7 sec2 (2x) + 2 tan (2x) = 0
Sol.: Aplicando identidades se encuentra 5 tan2 (2x) + 2 tan (2x) − 7 = 0, cuyas soluciones
son: 22.5◦ , 62.7688◦ , 112.5◦ , 152.7688◦ , 202.5◦ , 242.7688◦ ,
292.5◦ , 332.7688◦ ,
4. (Resolución de triángulos) Un edicio se encuentra al nalizar una avenida, (asuma que
el edicio es perpendicular a la avenida). Desde dos puntos A y B situados en la avenida y
en línea recta se miden los ángulos de elevación a la parte má alta del edicio, éstas medidas
dan 24 y 64 grados respectivamente. Si la distancia entre A y B es 67 metros. (a) calcular la
altura del edicio, (b) calcular la distancia del punto B al edicio.
Sol.: (a) 38.1049 metros (b) 18.585 metros.
5. (Area de un triángulo) En un triángulo isósceles los lados iguales miden
3
.
10
Sol.:
3
4
Primera solución: Altura= , Tercer lado=
lado=
3
cm.
2
17
y su área es
20
4
2
cm. Segunda solución: Altura= , Tercer
5
5
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:59, Tiempo:0.5 Segundos
1
Curso preuniversitario. Segunda prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir:
csc(1628).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
a) (Identidad) Probar:
b) (Identidad) Probar:
c) (Identidad) Probar:
cos (A + B) + cos (A − B)
2
1
4
1
+
=
1 − sin a 1 + sin a
1 + cos (2x)
cos A cos B =
tan (a + b) + tan (a − b)
2 tan a
=
1 + tan2 b
1 − tan2 a tan2 b
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo
[0◦ , 360◦ ],
−8 cos(6x)−9 sin(3x)−17 =
resolver:
0.
b) (Ec. Trigonométrica) En
[00 , 3600 ]
resolver
−12 sin2 (2x) + 15 cos (2x) sin (2x) − 3 cos2 (2x) = 0
4. (Resolución de triángulos) Se quiere determinar la distancia entre dos casas
A
y
B,
la
misma no puede hacerse directamente por motivos de accesibilidad. Del punto de observación
P,
el ángulo entre las dos casas y éste es de
∠AP B = 141o .
La distancia del punto de
observación a la casa A es 63 m y a la casa B es 50 m. ¾Qué distancia hay entre las dos
casas?
5. (Resolución de triángulos) Se quiere determinar la distancia entre dos casas
A
y
B,
la
misma no puede hacerse directamente por motivos de accesibilidad. Del punto de observación
P,
el ángulo entre las dos casas y éste es de
∠AP B = 141o .
La distancia del punto de
observación a la casa A es 63 m y a la casa B es 50 m. ¾Qué distancia hay entre las dos
casas?
Elegido entre aproximadamente:3.96e+27exámenes diferentes
1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:57, Tiempo:0.079 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir:
csc(1628).
Sol.: − csc(8).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
a) (Identidad) Probar:
b) (Identidad) Probar:
c) (Identidad) Probar:
cos (A + B) + cos (A − B)
2
1
1
4
+
=
1 − sin a 1 + sin a
1 + cos (2x)
cos A cos B =
tan (a + b) + tan (a − b)
2 tan a
=
1 + tan2 b
1 − tan2 a tan2 b
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo
[0◦ , 360◦ ],
resolver:
0.
Soluciones:
−8 cos(6x)−9 sin(3x)−17 =
90◦ , 210◦ , 330◦ ,
b) (Ec. Trigonométrica) En
[00 , 3600 ]
resolver
−12 sin2 (2x) + 15 cos (2x) sin (2x) − 3 cos2 (2x) = 0
(−4 tan(2x) + 1) (3 tan(2x) − 3) = 0,
7.0181◦ , 22.5◦ , 97.0181◦ , 112.5◦ , 187.0181◦ , 202.5◦ ,
277.0181◦ , 292.5◦ ,
Sol.: Aplicando identidades se encuentra
cuyas solu-
ciones son:
4. (Resolución de triángulos) Se quiere determinar la distancia entre dos casas
A
y
B,
la
misma no puede hacerse directamente por motivos de accesibilidad. Del punto de observación
P,
el ángulo entre las dos casas y éste es de
∠AP B = 141o .
La distancia del punto de
observación a la casa A es 63 m y a la casa B es 50 m. ¾Qué distancia hay entre las dos
casas?
Sol.: La distancia que separa las casas es: 106.6068 m.
5. (Area de un triángulo) Determinar el área del triángulo sabiendo que dos ángulos miden
370
y
100
y el lado opuesto al ángulo de
370
mide
87cm.
2
Sol.: Area = 798.6255 cm .
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:57, Tiempo:0.079 Segundos
1
Curso preuniversitario. Segunda prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir:
cot(2043).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
a) (Identidad) Probar:
b) (Identidad) Probar:
c) (Identidad) Probar:
2
(cot x + tan x) = csc2 x + sec2 x
sin x + cos x
sec x + csc x
=
sin x − cos x
sec x − csc x
tan x + cot x
sec2 x
=
tan x − cot x
tan2 x − 1
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo
b) (Ec. Trigonométrica) En
0
0
[0 , 360 ]
[0◦ , 360◦ ],
resolver:
resolver
0 cos(4x) = −6 sin(4x) − 6.
−5 sin2 (2x) + 7 cos (2x) sin (2x) − 2 cos2 (2x) = 0
4. (Resolución de triángulos) Considere una línea horizontal
L, en esta línea se encuentran
A, B y C . A partir de C se traza una vertical a L, en esta vertical se toman
o
o
los puntos D y E , se tienen además los siguientes datos: ∠EAB = 29 , ∠EBC = 65 ,
o
∠DBC = 19 la distancia entre A y B es 56 metros. Calcular la distancia entre D y E .
los puntos
5. (Resolución de triángulos) Considere una línea horizontal
L, en esta línea se encuentran
A, B y C . A partir de C se traza una vertical a L, en esta vertical se toman
o
o
los puntos D y E , se tienen además los siguientes datos: ∠EAB = 29 , ∠EBC = 65 ,
o
∠DBC = 19 la distancia entre A y B es 56 metros. Calcular la distancia entre D y E .
los puntos
Elegido entre aproximadamente:7.07e+25exámenes diferentes
1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:56, Tiempo:0.06 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir:
cot(2043).
Sol.: cot(63).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
2
a) (Identidad) Probar:
(cot x + tan x) = csc2 x + sec2 x
b) (Identidad) Probar:
sin x + cos x
sec x + csc x
=
sin x − cos x
sec x − csc x
c) (Identidad) Probar:
tan x + cot x
sec2 x
=
tan x − cot x
tan2 x − 1
[0◦ , 360◦ ],
67.5 , 157.5 , 247.5 , 337.5 ,
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo
Soluciones:
◦
◦
b) (Ec. Trigonométrica) En
◦
[00 , 3600 ]
resolver:
◦
0 cos(4x) = −6 sin(4x) − 6.
resolver
−5 sin2 (2x) + 7 cos (2x) sin (2x) − 2 cos2 (2x) = 0
(5 tan(2x) − 2) (− tan(2x) + 1) = 0,
10.9007◦ , 22.5◦ , 100.9007◦ , 112.5◦ , 190.9007◦ , 202.5◦ ,
280.9007◦ , 292.5◦ ,
Sol.: Aplicando identidades se encuentra
cuyas solu-
ciones son:
4. (Resolución de triángulos) Considere una línea horizontal
L, en esta línea se encuentran
A, B y C . A partir de C se traza una vertical a L, en esta vertical se toman
o
o
los puntos D y E , se tienen además los siguientes datos: ∠EAB = 29 , ∠EBC = 65 ,
o
∠DBC = 19 la distancia entre A y B es 56 metros. Calcular la distancia entre D y E .
los puntos
Sol.: 35.1402
5. (Area de un triángulo) Determinar el área del triángulo sabiendo que dos lados miden
cm y
81
cm y el ángulo comprendido entre estos lados mide
1280 .
Sol.: Area = 2361.6682 cm2
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:56, Tiempo:0.06 Segundos
74
1
Curso preuniversitario. Segunda prueba
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir: tan(4006).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
sen (A + B) + sen (A − B)
2
1 + sec 2α
b) (Identidad) Probar: cot α =
tan 2α
sen2 x sec2 x
c) (Identidad) Probar: tan2 x − sen2 x =
csc2 x
a) (Identidad) Probar: sen A cos B =
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo [0◦ , 360◦ ], resolver: − cos(4x) = −8 sin(4x) − 1.
b) (Ec. Trigonométrica) Resolver: −3 tan2 (2x) − sec2 (2x) + 5 tan (2x) = 0
4. (Resolución de triángulos) Un edicio se encuentra al nalizar una avenida, (asuma que
el edicio es perpendicular a la avenida). Desde dos puntos A y B situados en la avenida y
en línea recta se miden los ángulos de elevación a la parte má alta del edicio, éstas medidas
dan 17 y 33 grados respectivamente. Si la distancia entre A y B es 112 metros. (a) calcular
la altura del edicio, (b) calcular la distancia del punto B al edicio.
5. (Resolución de triángulos) Un edicio se encuentra al nalizar una avenida, (asuma que
el edicio es perpendicular a la avenida). Desde dos puntos A y B situados en la avenida y
en línea recta se miden los ángulos de elevación a la parte má alta del edicio, éstas medidas
dan 17 y 33 grados respectivamente. Si la distancia entre A y B es 112 metros. (a) calcular
la altura del edicio, (b) calcular la distancia del punto B al edicio.
Elegido entre aproximadamente:7.16e+23exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:55, Tiempo:0.56 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Reducción) Aplicando la fórmula general de reducción, reducir: tan(4006).
Sol.: tan(46).
2. Resolver dos de los siguientes problemas:
sen (A + B) + sen (A − B)
2
1 + sec 2α
b) (Identidad) Probar: cot α =
tan 2α
sen2 x sec2 x
c) (Identidad) Probar: tan2 x − sen2 x =
csc2 x
a) (Identidad) Probar: sen A cos B =
3. a) (Ec. Trigonométrica) En el intervalo [0◦ , 360◦ ], resolver: − cos(4x) = −8 sin(4x) − 1.
Soluciones: 0◦ , 48.5625◦ , 90◦ , 138.5625◦ , 180◦ , 228.5625◦ ,
270◦ , 318.5625◦ , 360◦ ,
b) (Ec. Trigonométrica) Resolver: −3 tan2 (2x) − sec2 (2x) + 5 tan (2x) = 0
Sol.: Aplicando identidades se encuentra −4 tan2 (2x) + 5 tan (2x) − 1 = 0, cuyas soluciones
son: 7.0181◦ , 22.5◦ , 97.0181◦ , 112.5◦ , 187.0181◦ , 202.5◦ ,
277.0181◦ , 292.5◦ ,
4. (Resolución de triángulos) Un edicio se encuentra al nalizar una avenida, (asuma que
el edicio es perpendicular a la avenida). Desde dos puntos A y B situados en la avenida y
en línea recta se miden los ángulos de elevación a la parte má alta del edicio, éstas medidas
dan 17 y 33 grados respectivamente. Si la distancia entre A y B es 112 metros. (a) calcular
la altura del edicio, (b) calcular la distancia del punto B al edicio.
Sol.: (a) 64.7029 metros (b) 99.6338 metros.
5. (Area de un triángulo) Determinar el área del triángulo sabiendo que dos ángulos miden
410 y 240 y el lado opuesto al ángulo de 410 mide 65cm.
Sol.: Area = 1186.9784 cm2 .
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:44:55, Tiempo:0.56 Segundos
141
Amaru - Soft
16.3
Examen final
1
Curso preuniversitario: Prueba nal
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Ortocentro) Los puntos: P1 = (1, 2), P2 = (5, 1), P3 = (−4, 5), son los vértices de un
triángulo, hallar la intersección de las alturas.
2. (Tangente) Hallar las rectas tangentes de pendiente m = 8 a la circunferencia de ecuación:
x2 + y 2 − 2x + 7y − 3 = 0.
3. (Parábola) Considere la parábola de ecuación: −20y = x2 + 6x + 69 Determinar: (a) el
vértice, (b) el foco, (c) la directriz. (d) Gracar
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 9x2 − 144x + 81y 2 − 324y + 171 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Elegido entre aproximadamente:5.4e+16exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:06, Tiempo:0.4 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Ortocentro) Los puntos: P1 = (1, 2), P2 = (5, 1), P3 = (−4, 5), son los vértices de un
triángulo, hallar la intersección de las alturas.
Sol.: C =
85 193
.
− ,−
7
7
2. (Tangente) Hallar las rectas tangentes de pendiente m = 8 a la circunferencia de ecuación:
x2 + y 2 − 2x + 7y − 3 = 0.
Sol.: Primera solución: Centro: (5, −4), ecuación 8x − y − 44 = 0; segunda solución; Centro:
(−3, −3), ecuación 8x − y + 21 = 0.
3. (Parábola) Considere la parábola de ecuación: −20y = x2 + 6x + 69 Determinar: (a) el
vértice, (b) el foco, (c) la directriz. (d) Gracar
Sol.: (a) (−3, −3), (b) (−3, −8), (c) y = 2
Recta x = −3
Recta y = −3
7
2
−4
−3
−8
−13
−3
−5
−6
−7
−8
Lado recto: y = −8
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 9x2 − 144x + 81y 2 − 324y + 171 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Sol.: (a) Un vértice es: (8, 2) (b) Un foco es: (8 +
√
72, 2).
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:06, Tiempo:0.4 Segundos
1
Curso preuniversitario: Prueba nal
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Baricentro) Los puntos: P1 = (−10, −7), P2 = (6, −10), P3 = (4, −4), son los vértices
de un triángulo. Hallar el baricentro (también llamado centroide) del triángulo. (Sug.: Es el
punto de intersección de las medianas).
2. (Recta-Mediatriz) Determinar la recta mediatriz del segmento que forma la recta −x −
y − 1 = 0 con los ejes coordenados. Gracar.
3. (Parábola) Considere la parábola de ecuación: 8y = x2 − 6x − 39 Determinar: (a) el vértice,
(b) el foco, (c) la directriz. (d) Gracar
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 36x2 − 360x + 81y 2 − 648y − 720 = 0 Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Elegido entre aproximadamente:5.07e+15exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:05, Tiempo:0.076 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Baricentro) Los puntos: P1 = (−10, −7), P2 = (6, −10), P3 = (4, −4), son los vértices
de un triángulo. Hallar el baricentro (también llamado centroide) del triángulo. (Sug.: Es el
punto de intersección de las medianas).
Sol.: Baricentro: B = (0, −7)
2. (Recta-Mediatriz) Determinar la recta mediatriz del segmento que forma la recta −x −
y − 1 = 0 con los ejes coordenados. Gracar.
Sol.: −x + y = 0.
y
x
3. (Parábola) Considere la parábola de ecuación: 8y = x2 − 6x − 39 Determinar: (a) el vértice,
(b) el foco, (c) la directriz. (d) Gracar
Sol.: (a) (3, −6), (b) (3, −4), (c) y = −8
Recta x = 3
Lado recto: y = −4
−4.00003
−4.40002
−4.80002
−5.20001
−5.6
Recta y = −6
7
5
3
1
−1
−6
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 36x2 − 360x + 81y 2 − 648y − 720 = 0 Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Sol.: (a) Un vértice es: (5, 4) (b) Un foco es: (5 +
√
45, 4).
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:05, Tiempo:0.076 Segundos
1
Curso preuniversitario: Prueba nal
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Baricentro) Los puntos: P1 = (8, 2), P2 = (10, −7), P3 = (6, 2), son los vértices de un
triángulo. Hallar el baricentro (también llamado centroide) del triángulo. (Sug.: Es el punto
de intersección de las medianas).
2. (Tangente) Hallar las rectas tangentes de pendiente m = 3 a la circunferencia de ecuación:
x2 + y 2 − 7x + y − 10 = 0.
3. (Parábola) Considere la parábola de ecuación: 8y = x2 + 6x − 15 Determinar: (a) el vértice,
(b) el foco, (c) la directriz. (d) Gracar
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 64x2 +896x+81y 2 −1134y +1921 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Elegido entre aproximadamente:2.49e+16exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:04, Tiempo:0.39 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Baricentro) Los puntos: P1 = (8, 2), P2 = (10, −7), P3 = (6, 2), son los vértices de un
triángulo. Hallar el baricentro (también llamado centroide) del triángulo. (Sug.: Es el punto
de intersección de las medianas).
Sol.: Baricentro: B = (8, −1)
2. (Tangente) Hallar las rectas tangentes de pendiente m = 3 a la circunferencia de ecuación:
x2 + y 2 − 7x + y − 10 = 0.
Sol.: Primera solución: Centro: (8, −2), ecuación 3x − y − 26 = 0; segunda solución; Centro:
(−1, 1), ecuación 3x − y + 4 = 0.
3. (Parábola) Considere la parábola de ecuación: 8y = x2 + 6x − 15 Determinar: (a) el vértice,
(b) el foco, (c) la directriz. (d) Gracar
Sol.: (a) (−3, −3), (b) (−3, −1), (c) y = −5
Recta x = −3
Lado recto: y = −1
−1.00003
−1.40002
−1.80002
−2.20001
−2.6
Recta y = −3
1
−1
−3
−5
−7
−3
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 64x2 +896x+81y 2 −1134y +1921 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Sol.: (a) Un vértice es: (−7, 7) (b) Un foco es: (−7 +
√
17, 7).
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:04, Tiempo:0.39 Segundos
1
Curso preuniversitario: Prueba nal
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Ortocentro) Los puntos: P1 = (−4, −4), P2 = (4, −5), P3 = (3, −5), son los vértices de
un triángulo, hallar la intersección de las alturas.
2. (Recta-Mediatriz) Determinar la recta mediatriz del segmento que forma la recta 3x −
2y + 6 = 0 con los ejes coordenados. Gracar.
3. (Parábola) Hallar la ecuación de la parábola de directriz horizontal, que pasa por el punto
(8, −5) cuyo vértice y foco estan respectivamente en las rectas de ecuaciones y = x − 13 y en
y = 2x − 16.
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 9x2 + 90x + 81y 2 + 972y + 2412 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Elegido entre aproximadamente:1.48e+16exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:03, Tiempo:0.14 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Ortocentro) Los puntos: P1 = (−4, −4), P2 = (4, −5), P3 = (3, −5), son los vértices de
un triángulo, hallar la intersección de las alturas.
Sol.: C = (−4, −61).
2. (Recta-Mediatriz) Determinar la recta mediatriz del segmento que forma la recta 3x −
2y + 6 = 0 con los ejes coordenados. Gracar.
Sol.: −4x − 6y + 5 = 0.
y
x
3. (Parábola) Hallar la ecuación de la parábola de directriz horizontal, que pasa por el punto
(8, −5) cuyo vértice y foco estan respectivamente en las rectas de ecuaciones y = x − 13 y en
y = 2x − 16.
Sol.:.: Primera solución: (x − 4)2 = 4 (y + 9) , segunda solución: (x − 8)2 = 20 (y + 5) .
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 9x2 + 90x + 81y 2 + 972y + 2412 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Sol.: (a) Un vértice es: (−5, −6) (b) Un foco es: (−5 +
√
72, −6).
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:03, Tiempo:0.14 Segundos
1
Curso preuniversitario: Prueba nal
Aprendizaje virtual
DOCENTE: ................................. Fecha:...........................
CI.: ....................... Apellidos:.........................................Nombres:.......................
Tiempo: 80 minutos
1. (Circuncentro) Los puntos: P1 = (3, 4), P2 = (−3, 3), P3 = (4, 3), son los vértices de un
triángulo. Hallar el centro y del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Sug.: El
centro es la intersección de mediatrices.
2. (Circunferencia-Recta) Hallar la circunferencia de centro (−1, −1) y es tangente a la
recta −4x − 5y − 2 = 0.
3. (Parábola) Hallar la ecuación de la parábola de directriz horizontal, que pasa por el punto
(2, 9) cuyo vértice y foco estan respectivamente en las rectas de ecuaciones y = 7x + 40 y en
y = 6x + 33.
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 4x2 − 16x + 25y 2 + 200y + 316 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Elegido entre aproximadamente:1.33e+18exámenes diferentes 1
1 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:03, Tiempo:0.11 Segundos
2
Soluciones 2
1. (Circuncentro) Los puntos: P1 = (3, 4), P2 = (−3, 3), P3 = (4, 3), son los vértices de un
triángulo. Hallar el centro y del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Sug.: El
centro es la intersección
de
mediatrices.
Sol.: Centro: C =
37
1 1
,
, r2 =
2 2
2
2. (Circunferencia-Recta) Hallar la circunferencia de centro (−1, −1) y es tangente a la
recta −4x − 5y − 2 = 0.
r
Sol.: Radio=7
1
, 1681x2 + 82x + 1681y 2 + 82y + 33 = 0
41
3. (Parábola) Hallar la ecuación de la parábola de directriz horizontal, que pasa por el punto
(2, 9) cuyo vértice y foco estan respectivamente en las rectas de ecuaciones y = 7x + 40 y en
y = 6x + 33.
Sol.:.: Primera solución: (x + 4)2 = −12 (y − 12) , segunda solución: (x + 8)2 = 4 (y + 16) .
4. (Elipse) Considere la elipse de ecuación: 4x2 − 16x + 25y 2 + 200y + 316 = 0: Determinar:
(a) Los vértices, (b) Los focos, (c) Gracar
Sol.: (a) Un vértice es: (2, −4) (b) Un foco es: (2 +
√
21, −4).
2 Por S.Relos AMARU-SOFT (fase alpha),31-Dec-2015 14:45:03, Tiempo:0.11 Segundos