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ACT-11302 Cálculo Actuarial III
ITAM
Lista de Ejercicios (Parte 1)
Prof.: Juan Carlos Martínez-Ovando
September 28, 2016
P1 - Fecuencia de Siniestros
1. Desarrolla los valores de α y β que corresponden a las distribuciones Poisson, binomial negativa,
binomial y geométrica vistas como caso particular de la clase (α, β , 0) de distribuciones.
R: En clase vimos el caso de la distribución Poisson. Los otros casos son análogos.
2. Demuestra que la distribución modificada en 0 de una variable aleatoria para el número de reclamos
puede ser derivada usando una distribución tipo mezcla con dos componentes.
R: Sea N una variable aleatoria discreta con soporte en N = {0, 1, 2, . . . , J} (la derivación
considera el caso donde J es infinito).
Una distribución modificada en 0 es tal que asigna una probabilidad específica p0 = Pr(N =
0). Segmentemos el soporte N en dos partes, N0 = {0} y N−0 = {1, 2, . . . , J}. Así, podemos
definir la masa de probabilidad para N como la mezcla de dos componentes
Pr(N = n) = p0 δN0 (n) + (1 − p0 )qn IN−0 (n),
(1.1)
donde δA (n) denota la delta de Dirac, la cual asigna probabilidad 1 al evento n ∈ A, y qn =
Q(N = n) es una probabilidad dada, tal que ∑k∈N−0 qn = 1. Las qn se pueden interpretar como
la probabilidad condicional de N = n, dado que N > 0, respecto a una probabilidad base.
Cabe mencionar que la expresión (1.1) corresponde a una distribución compuesta de una
variable aleatoria Bernoulli para dos eventos, N ∈ N0 o N ∈ N−0 , siendo estos dos eventos
excluyentes. Así, p0 sería la probabilidad condicional de N dado el primer evento. De manera
análoga, con probabiliad (1 − p0 ) se cumpliría el segundo evento, y las qn corresponderían
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entonces a las probabiliades condicinales de N dado que N ∈ N−0 .
3. Emplea el método de momentos para derivar la distribución de la mezcla de una distribución Po(N|λ )
con λ parámetro latente que sigue una distribución Ga(λ |a, b). Identifica qué resultado se obtendría
de reemplazar la distribución gamma por la gaussiana inversa.
R: Si la distribución de una variable aleatoria N puede expresarse como la mezcla,
Z
P(N = n) =
L
P(N = n|λ ) f (λ )dλ ,
(1.2)
donde L es el soporte de λ y f (λ ) es su función de densidad, entonces la función generadora
de probabilidades Q(z) asociada con P(N = n) cumple con la siguiente identidad
QN (z) = Mλ (QN|λ (z)),
(1.3)
donde Mλ (z) es la función generadora de momentos de F(λ ) (la distribución de mezcla), y
QN|λ (z) es la función generadora de probabilidades de N dado λ . (Este es un resultado de
probabilidad que puede consultarse en Feller (1968) An Introduction to Probability Theory and
Its Applicatons).
Así, sustituyendo las expresiones de la función generadora de momentos de la distribución
gamma para λ y la función generadora de probabilidades de la distribuci’on Poisson para
N dado λ , se llega a que QN (z) corresponde a la función generadora de probabilidades de la
distribución binomial negativa.
4. Demuestra que las distribuciones Poisson, binomial y binomial negativa, forman parte de la Familia
Exponencial Aditiva de distribuciones.
R: Ver respuestas de la pregunta preliminar, o consultar el libro Hoff (2009) A First Course
in Bayesian Statistical Methods, Springer, capítulo 3. Este libro se encuentra disponible en el
repositorio del curso en Piazza.
5. Demuestra que el valor esperado de la frecuencia de siniestros, N, es igual a
(α, β , 1).
α+β
1−α ,
si N se distribuye
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6. Demuestra que cualquier distribución modificada en cero para la frecuencia de siniestros es una distribución compuesta.
R: Ver respuestas de la pregunta 2, de la parte P1 - Frecuencia de Siniestros.