Download Propiedades de cubrimiento, índice de Kuratowski y renormamiento

UNIVERSIDAD DE MURCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Propiedades de cubrimiento, índice
de Kuratowski y renormamiento
en espacios de Banach.
Tesis defendida el 28 de Mayo de 2004 ante el tribunal:
D. Jose Pedro Moreno (Univ. Aut. de Madrid)
D. Antonio S. Granero (Univ. Comp. de Madrid)
D. Vicente Montesinos (Univ. Polit. de Valencia)
D. Bernardo Cascales (Univ. de Murcia)
D. Stanimir Troyanski (Univ. de Murcia)
Autor: D. Fernando García Castaño
Directores: D. Luis Oncina Deltell (Univ. de Murcia)
D. José Orihuela Calatayud (Univ. de Murcia)
Código AMS: 54D20, 54D30, 46B20, 46B50, 46B03
A Noelia y a la
pequeña Marina.
iv
Índice general
Agradecimientos
vii
Introducción
ix
Capítulo 1. Clases de espacios compactos que surgen del Análisis Funcional
1.1 Compactos dispersos y compactos metrizables . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Topología descriptiva y espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Inmersión en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Caracterizaciones internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Propiedades geométricas y topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Propiedades de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Propiedades topológicas y de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . .
..
.
.
.
.
.
.
.
1
1
7
16
18
24
28
33
Capítulo 2. Networks para distintas clases de espacios compactos. . . . . . . . . . . .
2.1 Compactos metrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Compactos de Eberlein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Compactos de Eberlein uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Compactos de Gul’ko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Compactos de Talagrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
47
58
60
79
Capítulo 3. Índice de no compacidad de Kuratowski y renormamiento LUR. . 89
3.1 Índice de Kuratowski, σ -fragmentabilidad y propiedad SLD. . . . . . . . 90
3.2 Índice de Kuratowski y dentabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3 Índice de dentabilidad de puntos quasi-denting. . . . . . . . . . . . . . . 100
vi
3.4
3.5
Algunas aplicaciones y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Teorema de renormamiento LUR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Bibliografía
135
Índice terminológico
144
Agradecimientos
A continuación deseo expresar mi agradecimiento a todas aquellas personas que han
contribuido de alguna manera a la realización de esta memoria.
A mis padres Fernando y Ma Dolores y a mi abuelo Fernando, porque siempre han
confiado en mi y han estado a mi lado.
A mi hermano José y a Aleimis porque siempre se han interesado por mí y me han
apoyado en todo momento. Como no tener un recuerdo para Leidy y Josele.
A Candy, Emilio, Esther y Candy porque siempre me han dado ánimos para seguir,
aún cuando las cosas parecían no avanzar.
A Noelia, de manera muy especial, por la paciencia y el apoyo que me sigue dando.
Su comprensión y ánimos han sido fundamentales para la culminación de esta memoria.
A la pequeña Marina que me ha hecho sonreír incluso en los momentos complicados.
A la Institución Marista donde trabajo en la que siempre he recibido la atención y
facilidades, de mano de los Directores, del Jefe de Estudios y de los compañeros, para
poder realizar mis proyectos personales. En particular al Hno. Pencho y a M. David por
su comprensión, cercanía y cariño.
A mis directores D. José Orihuela Calatayud y D. Luis Oncina Deltell por todo el tiempo que me han dedicado y la ayuda que me han brindado. También quiero agradecerles el
trato personal que han tenido conmigo y que me ha hecho sentir muy cómodo trabajando
con ellos. También a todos los miembros del departamento de matemáticas que siempre
que les he pedido ayuda no han dudado en dármela. No obstante quiero particularizar en
D. Bernardo Cascales Salinas, D. Antonio Avilés y Da Ma Ángeles Hernández.
viii
Por último deseo tener recuerdo para los que ya no están aquí. Mi abuela M a Dolores,
mi abuela Carmen y mi tíos Pascual y Tomás.
Muchas gracias a todos.
Introducción
En esta memoria estudiamos propiedades topológicas para distintas clases de espacios
compactos, y propiedades geométricas (y también topológicas) para espacios normados.
Las propiedades geométricas se refieren (fundamentalmente) a resultados sobre renormamiento LUR y dentabilidad. Las propiedades topológicas se expresan en función de
networks que caracterizan a los distintos espacios topológicos 1 que aparecen y que proporcionan, de manera natural, propiedades de cubrimientos.
En el capítulo 1 describimos el contexto en el que hemos abordado los problemas
y damos una visión global del mismo, conectando las distintas nociones que aparecen y
ubicando en éste nuestros resultados originales y algunos problemas abiertos que quedan
aún por resolver. Acompañamos el desarrollo de este primer capítulo con esquemas en los
que aparecen las distintas conexiones de manera gráfica para facilitar la visión global que
pretendemos. A groso modo se dan dos líneas de abstracción; una geométrica basada en
propiedades de interacción entre topologías débiles y de la norma en espacios de Banach
y la otra basada en propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas. Las conexiones entre ambas líneas, cuando se producen, proporcionan resultados de interés y las
propiedades de tipo descriptivo, como suelen ser la existencia de cierto tipo de network
que describa la topología de estos espacios, serán las que estudiemos en esta memoria.
En el capítulo 2 presentamos resultados para las clases de compactos metrizables
(sección 2.1), compactos de Eberlein (sección 2.2), compactos de Eberlein uniformes
(sección 2.3), compactos de Gul’ko (sección 2.4) y compactos de Talagrand (sección 2.5)
caracterizándolos (salvo en el caso de los compactos de Eberlein uniforme) en función
de la existencia de un tipo de network particular en cada caso. En las secciones 2.1 y 2.2
estudiamos resultados obtenidos por otros autores (extraídos de [Gr] y [D-J-P2]) y que
nos sirven como motivación y punto de partida en nuestro estudio, siendo en el resto de
secciones donde situamos nuestros resultados originales.
Si (X, τ ) es un espacio topológico, denotaremos por C(X) al conjunto formado por las
funciones f : (X, τ ) −→ R continuas. Denotaremos por τ p a la topología sobre C(X) de
1 Los
espacios topológicos que consideramos son completamente regulares, a no ser que se indique lo
contrario.
x
convergencia puntual sobre elementos de X, y escribiremos C p (X) cuando consideremos
C(X) dotado de la topología τ p . En el caso de ser X compacto dotamos a C(X) de su
estructura de espacio de Banach con la norma del supremo.
Sean (X, τX ), (Y, τY ) dos espacios topológicos y ϕ : X −→ 2Y una aplicación multivaluada, se dice que ϕ es superiormente semicontinua si para cualquier x ∈ X y cualquier
abierto W ⊂ Y , con ϕ (x) ⊂ W , existe un entorno U de x tal que ϕ (U) ⊂ W . Si además de
ser superiormente semicontinua, ϕ (x) es un compacto no vacío para todo x ∈ X, diremos
que ϕ es usco. Trabajaremos con NN como producto numerable de copias del espacio
discreto de los números naturales N. Un espacio topológico (X, τ ) se dice K −analítico
(resp. numerablemente K −determinado) si existe una aplicación ϕ multivaluada usco
ϕ : NN −→ 2X sobreyectiva (resp. ϕ : Σ −→ 2X con Σ ⊂ NN ). Un espacio topológico
compacto (K, τ ) se dice que es un compacto de Talagrand (resp. de Gul’ko) cuando es homeomorfo a un subconjunto compacto de un espacio C p (X) para X un espacio
topológico K -analítico (resp. numerablemente K -determinado). Cuando X es compacto
también K se dice que es un compacto de Eberlein y esto es así si, y sólo si, C(K) es
un espacio de Banach débilmente compactamente generado [A-L] y si, y sólo si, K
es homeomorfo a un subconjunto débil compacto de un espacio de Banach, [A-L].
Los compactos de Eberlein son así mismo homeomorfos a subconjuntos débilmente
compactos de espacios de Banach reflexivos, [Da-Fi-Jh-Pc]. A raíz del artículo de Amir
y Lindenstrauss ([A-L]), donde probaron la interrelación entre propiedades topológicas
y geométricas de los llamadas espacios de Banach de generación débil compacta, se
han realizado muchas investigaciones sobre estas clases de espacios de Banach y otros
relacionados con éstos, tales como espacios de Banach K -analíticos, débilmente numerablemente K −determinados y débilmente Lindelöf determinados ([Ta], [Vas], [Gul],
[Arg-Me], [O2], [V], [O-S-V], [C-Na-O], [F-Go-M-Z], [On3], [On4]).
Cuando un espacio topológico compacto (K, τ ) es homeomorfo a subconjunto débilmente compacto de un espacio de Hilbert; e. d. de un espacio l 2 (Γ) para algún conjunto
Γ, K se llama compacto de Eberlein uniforme. Para un conjunto A denotamos por |A| (o
#A) su número cardinal.
Un Σ-producto es un conjunto
Σ(Γ) = { f ∈ RΓ : |{γ ∈ Γ : f (γ ) 6= 0}| ≤ ℵ0 } ⊂ RΓ
para algún conjunto de índices Γ. Un espacio topológico compacto K es un compacto de
Corson si es homeomorfo a un subconjunto de un Σ-producto. Un importante resultado de
I NTRODUCCIÓN
xi
Gul’ko (ver por ejemplo [Ne]) asegura que cualquier compacto de Gul’ko es de Corson.
Un compacto K es un compacto de Valdivia si K ⊂ RΓ para algún Γ 6= φ y D = K ∩ Σ(Γ)
es denso en K.
Compacto metrizable
⇐⇒
C(K) es separable
?
Compacto de Eberlein uniforme
?
Compacto de Eberlein
?
Compacto de Talagrand
?
Compacto de Gul’ko
⇐⇒
C(K) es de generación
débilmente compacta
⇐⇒
C(K) es débilmente
K-analı́tico
⇐⇒
C(K) es débilmente
numerablemente
K-determinado
?
Compacto de Corson
?
Compacto de Valdivia
Diagrama Int.I
En el diagrama anterior hemos representado la cadena de implicaciones (todas estrictas,
sección 1.2) entre este tipo de compactos y que "propiedades descriptivas" de los espacios
de funciones continuas C(K) les corresponden en cada caso.
Para una puesta al día sobre estas clases de espacios compactos recomendamos los
libros [Ar2], [F], [H-Hj-Z] y [F-H-Ha-Mon-P-Z], junto con los trabajos [Ne], [Me-Ne],
[Go2], además de los trabajos recientes [D-J-P2], [Arg-Arv], [F-Go-M-Z] y [Arg-Me2].
Pasamos a presentar los resultados principales del capítulo 2:
xii
Recordemos que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico (X, τ ) se
dice discreta si para cada x ∈ X existe V ∈ τ conteniendo a x y que corta como mucho
a un elemento de A . Diremos que A es σ −discreta si se puede expresar como unión
numerable de subfamilias discretas.
Una familia N de subconjuntos de un espacio topológico (X, τ ) es una network, si
cada τ −abierto se puede expresar como unión de elementos de dicha familia N , la noción
de network fue introducida por A. Arakangel’skii en [Ar] y será un hilo conductor en esta
memoria.
Dado un conjunto X, se define su diagonal como ∆ = {(x, x) ∈ X 2 ; x ∈ X}. Como
principal resultado de la sección 2.1 tenemos:
Teorema 1 (Gruenhage, ver corolario 2.1.12). Para un espacio topológico compacto K,
son equivalentes:
(i) K es metrizable.
(ii) K 2 \ ∆ es paracompacto.
(iii) K 2 es hereditariamente paracompacto.
(iv) K tiene una network σ −discreta.
Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es puntualmente finita,
si cada x ∈ X está en una cantidad finita de conjuntos de A . Si A puede expresarse como
unión numerable de subfamilias puntualmente finitas, se dice que A es σ −puntualmente
finita. Se dice que A es puntualmente numerable, si cada punto de X está en una cantidad
numerable de elementos de A .
Recordemos que un espacio topológico (X, τ ) se dice que es metaLindelöf (resp.
σ -metacompacto) si cada cubrimiento abierto de X tiene un refinamiento abierto puntualmente numerable (resp. σ -puntualmente finito).
A. Dow, H. Junnila y J. Pelant vienen estudiando propiedades de cubrimiento para
topologías débiles que sean satisfechas por clases amplias de espacios de Banach ([D-J-P],
1997 y[D-J-P2], 2004). Para ello introducen tipos de networks que caracterizan propiedades de espacios topológicos ligadas a la interrelación entre topologías débiles y fuertes. En
particular caracterizan a los compactos de Eberlein introduciendo la siguiente definición,
(comenzamos a ver resultados de la sección 2.2).
Definición 1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico es:
(i) Puntualmente finitamente extendible si A tiene un extensión abierta puntualmente
finita, es decir, existe una familia {UA ; A ∈ A } de conjuntos abiertos tales que se
I NTRODUCCIÓN
xiii
cumple A ⊂ UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia {A ∈ A ; x ∈ UA }
es finita.
(ii) σ −Puntualmente finitamente extendible si podemos escribir:
A =
[
An
n∈N
donde cada subfamilia An tiene una extensión abierta puntualmente finita.
Como principal resultado de la sección 2.2 tenemos:
Teorema 2 (Gruenhage-Dow, Junnila y Pelant; ver corolario 2.2.13). Para un espacio
topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es compacto de Eberlein.
(ii) K 2 \ ∆ es σ −metacompacto.
(iii) K 2 es hereditariamente σ −metacompacto.
(iv) K tiene un network σ −puntualmente finitamente extendible.
El teorema 2.2 de Gruenhage en [Gr2], caracteriza así mismo los compactos de Corson como aquellos espacios compactos K tal que K 2 es hereditariamente metaLindelöf,
o equivalentemente, tal que K 2 \ ∆ es metaLindelöf. Utilizando dicho resultado, DowJunnila-Pelant ponen de manifiesto que si un compacto tiene una network puntualmente numerablemente extendible, entonces es compacto de Corson, dejando como
problema abierto el recíproco, problema 4.14 [D-J-P2].
Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es uniformemente puntualmente finita , si existe N ∈ N, tal que para cada x ∈ X se cumple |{A ∈ A ; x ∈ A}| ≤ N.
Si A puede expresar como unión numerable de subfamilias uniformemente puntualmente
finitas se dice que es σ −uniformemente puntualmente finita.
En la sección 2.3 precisamos las siguientes definiciones:
Definición 2. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es:
(i) Uniformemente puntualmente finitamente extendible si existe una familia de abiertos U = {UA ; A ∈ A } cumpliendo que A ⊂ UA y existe un N ∈ N tal que
|{A ∈ A ; x ∈ UA }| < N para todo x ∈ X
A la constante N la llamaremos constante de uniformidad para la extensión U .
xiv
(ii) σ −Uniformemente puntualmente finitamente extendible si se puede expresar como:
A =
[
An
n∈N
donde cada subfamilia An es uniformemente puntualmente finitamente extendible.
Definición 3. Un espacio topológico X es σ −uniformemente metacompacto si cada cubrimiento abierto del espacio tiene un refinamiento abierto σ −uniformemente puntualmente finito.
Como principal resultado en esta sección 2.3 podemos presentar el siguiente.
Teorema 3 (Ver teoremas 2.3.2 y 2.3.4). Si un compacto K es compacto de Eberlein
uniforme, entonces tiene una network N σ −uniformemente puntualmente finitamente
extendible y es hereditariamente σ -uniformemente metacompacto.
No sabemos si el resultado anterior es una caracterización, por lo que resulta natural
plantear los siguientes problemas en sintonía con los resultados que aquí presentamos:
Problema 1. Si un compacto K tiene una network σ -uniformemente puntualmente finitamente extendible, ¿es un compacto de Eberlein uniforme?
Problema 2. Si K es compacto de Eberlein uniforme, entonces K 2 \ ∆ es σ −uniformemente metacompacto. ¿Es cierto el recíproco?.
En la sección 2.4 estudiamos la versión para compactos de Gul’ko del teorema 2
anterior. Trabajaremos con familias descompuestas en el retículo de compactos K (M) de
algún conjunto métrico y separable M, es decir, K (M) = {K ⊂ M; K es compacto en M}
(sección 1.4), en lugar de en N. La estructura reticular de K (M) fue utilizada previamente
en [C-O] para el estudio de multifunciones usco y espacios débilmente numerablemente
determinados. Así introducimos las siguientes definiciones.
Definición 4. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es Σ−puntualmente finita cuando existe un espacio métrico separable M tal que A se puede escribir
como
A = ∪{AK ; K ∈ K (M)}
de forma que
I NTRODUCCIÓN
xv
(i) AK1 ⊂ AK2 si K1 ⊂ K2 .
(ii) AK es puntualmente finita para cada K ∈ K (M).
El tipo de network que caracteriza los compactos de Gul’ko tiene una extensión Σpuntualmente finita, pero una extensión es una familia indexada. Necesitamos pues adaptar la definición de familia Σ-puntualmente finitas a las familias indexadas, comenzamos
con la siguiente:
Observación 1 (Familias indexadas). Dada una familia indexada de subconjuntos de
un conjunto dado X, A = {Ai ; i ∈ I}, y x ∈ X, consideraremos el orden del punto en la
familia pero respecto al conjunto de índices, e. d. |{i ∈ I, x ∈ A i }| en lugar de |{A ∈ A; x ∈
A}|. Además, dadas dos familias indexadas A = {Ai ; i ∈ I} y B = {B j : j ∈ J} diremos
que A es una subfamilia indexada de B si existe una aplicación inyectiva Ψ : I 7→ J tal
que Ai = Bψ (i) , para cada i ∈ I.
Definición 5. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X
es Σ-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que A =
{Ai ; i ∈ I}, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que la
familia indexada G = {Gi ; i ∈ I} es indexada Σ-puntualmente finita, e. d. existe un espacio
métrico separable M de manera que para cada K ∈ K (M) tenemos un subconjunto IK ⊂ I
tal que si denotamos por GK := {Gi ; i ∈ IK } se cumple:
S
(i) I = {IK ; K ∈ K (M)},
(ii) GK1 es una subfamilia indexada de GK2 , cuando K1 ⊂ K2 en K (M),
(iii) Para cada x ∈ X y K ∈ K (M), se cumple
|{i ∈ IK ; x ∈ Gi }| < +∞
Definición 6. Un espacio topológico (X, τ ) se dice que es Σ−metacompacto cuando todo
cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea Σ−puntualmente finito.
Uno de los resultados principales de esta sección 2.4 es el siguiente:
Teorema 4 (Ver teorema 2.4.24). Sea X un compacto, son equivalentes:
(i) X es compacto de Gul’ko.
(ii) X 2 \ ∆ es Σ−metacompacto.
(iii) X 2 es hereditariamente Σ−metacompacto.
(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
xvi
Para un familia de subconjuntos A de un conjunto X, dado x ∈ X denotaremos por
ord(x, A ) = |{A ∈ A ; x ∈ A}|.
Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es débilmente σ −puntualmente finita si podemos descomponer A = ∪n An de manera que si x ∈ X y A ∈ A ,
existe m ∈ N tal que A ∈ Am y ord(x, Am ) < ω0 .
Un cubrimiento U de X es un θ -cubrimiento débil si U = ∪{Un ; n ∈ N} de manera
que si x ∈ X, entonces 0 < ord(x, Un ) < ω0 para algún n ∈ N. X es débilmente submetacompacto si cada cubrimiento abierto de X tiene un refinamiento abierto que es un
θ -cubrimiento débil (también llamados espacios débilmente θ -refinables [Bu] y relativamente σ -metacompactos [D-J-P]).
Existen compactos de Corson que no son hereditariamente débilmente submetacompactos [Gr4]. Sin embargo cada compacto de Gul’ko es hereditariamente débilmente submetacompacto, éstos son incluso hereditariamente débilmente σ -metacompactos como
prueba Gruenhage en [Gr3] (1987), donde se introduce la siguiente definición.
Definición 7. Un espacio topológico (X, τ ) es débilmente σ -metacompacto si cada cubrimiento abierto U de X tiene un refinamiento abierto V tal que V = ∪{V n ; n ∈ N} y
para cada x ∈ X se tiene que V = ∪{Vn ; ord(x, Vn ) < ω0 }. (V se dice que es débilmente
σ -puntualmente finito).
El trabajo de G. Gruenhage [Gr3] tuvo una fuerte influencia en Análisis Funcional y
fue la inspiración para probar propiedades de fragmentabilidad de compactos de Gul’ko
y consecuentemente que los espacios de Banach débilmente numerablemente K -determinados son espacios débil Asplund, [F].
En vista de los resultados mencionados anteriormente resulta natural la conjetura
propuesta por G. Gruenhage [Gr3] de que la condición de K compacto y K 2 hereditariamente débilmente σ -metacompacto debería caracterizar a los compactos de
Gul’ko (ver [Gr3], remark 2). Los resultados obtenidos en la sección 2.4 proporcionan
una prueba completa y positiva para esta conjetura ya que se verifica el siguiente:
Teorema 5 (Ver teorema 2.4.17). Sea A una familia de subconjuntos de un conjunto X.
Son equivalentes:
(i) A es Σ-puntualmente finita.
(ii) A es débilmente σ -puntualmente finita; i.e. A = ∪{A n : n ∈ N} y para cada x ∈ X
se tiene que A = ∪{An : ord(x, An ) < ω0 }.
Y como consecuencia tenemos:
I NTRODUCCIÓN
xvii
Teorema 6 (Teorema 2.4.26). Sea X un compacto, son equivalentes:
(i) X es compacto de Gul’ko.
(ii) X 2 \ ∆ es débilmente σ −metacompacto.
(iii) X 2 es hereditariamente débilmente σ −metacompacto.
(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
Gruenhage también preguntó si la condición más débil K compacto de Corson
y K 2 hereditariamente débilmente submetacompacto caracteriza a los compactos
de Gul’ko dentro de la clase de los compactos de Corson. En este caso la respuesta es
negativa. La solución la proponemos con un ejemplo de Argyros y Mercourakis [Arg-Me]
de un compacto de Corson que no es de Gul’ko y que hemos analizado en el capítulo 1
(ejemplo 1.2.7) para culminar en la sección 2.4 (ejemplo 2.4.34) probando que es un
contraejemplo a esta conjetura de Gruenhage.
Nuestra caracterización de los compactos de Gul’ko en términos de networks proporciona así mismo más información sobre la relación entre compactos de Gul’ko y espacios
compactos con la LSP (ver teorema 2.4.32 y observación 2.4.33), lo que completa la información obtenida por A. Dow, H. Junnila y J. Pelant, [D-J-P2], sobre esta propiedad
introducida y estudiada por L. Oncina en [On3].
En la sección 2.5 estudiaremos los compactos de Talagrand en relación con el teorema
4 anterior. Trabajaremos con familias descompuestas en NN en lugar de familias descompuestas en K (M), aclarando que para dos elementos σ = (an )n y σ 0 = (bn )n de NN , el
símbolo ≤ significa
σ 0 ≤ σ ⇔ bn ≤ an , n = 1, 2, . . .
Introducimos las siguientes definiciones para el análisis de los compactos de Talagrand:
Definición 8. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es N N −puntualmente finita cuando podemos descomponer
A = ∪{Aσ ; σ ∈ NN }
de forma que
(i) Aσ1 ⊂ Aσ2 si σ1 ≤ σ2 .
(ii) Aσ es una familia puntualmente finita ∀σ ∈ NN .
Definición 9. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es
NN -puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que A =
xviii
{Ai ; i ∈ I}, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que la
familia indexada G = {Gi ; i ∈ I} es indexada NN -puntualmente finita, e. d., para cada
σ ∈ NN existe un subconjunto Iσ ⊂ I de manera que si denotamos por Aσ := {Ai ; i ∈ Iσ },
para cada σ ∈ NN , se verifica:
(i) I = ∪{Iσ ; σ ∈ NN };
(ii) Aσ1 es una subfamilia indexada de Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN ;
(iii) para cada x ∈ X y σ ∈ NN se tiene que |{i ∈ Iσ ; x ∈ Ai }| < +∞.
La propiedad de cubrimiento correspondiente será:
Definición 10. Un espacio topológico (X, τ ) es NN −metacompacto si de cada cubrimiento abierto se puede extraer un refinamiento abierto NN −puntualmente finito.
Y como resultado principal en la sección 2.5 tenemos el siguiente teorema para
compactos de Talagrand que sigue la linea marcada por los teoremas 1 y 2 anteriores.
Teorema 7 (Ver teorema 2.5.13). Sea K un compacto, son equivalentes:
(i) K es compacto de Talagrand.
(ii) K 2 \ ∆ es NN −metacompacto.
(iii) K 2 es hereditariamente NN −metacompacto.
(iv) K tiene una network NN −puntualmente finitamente extendible.
En esta sección estudiamos también una caracterización para las familias N N -puntualmente finitas, de manera análoga al caso de familias Σ-puntualmente finitas de la sección
anterior. En particular, tenemos el siguiente:
Teorema 8 (Ver teorema 2.5.9). Para una familia A de subconjuntos de un conjunto
dado X, las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) A es NN -puntualmente finita;
(ii) A es Σ-puntualmente finita de manera que las subfamilias A K de A se indexan a
través de elementos de K (M) siendo M un espacio Polaco;
S
(iii) A = ∞
n=1 An y para n1 , n2 , . . . , nk , k ∈ N,
An1 ,...,nk =
∞
[
An1 ,n2 ,...,nk ,m
m=1
tal que para cada α = (an ) ∈ NN y para cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α , x)
tal que ord(x, Aα |n0 ) < +∞.
Vamos a representar las relaciones obtenidas entre clases de compactos y tipos de
networks que los caracterizan, en el diagrama de la página siguiente:
I NTRODUCCIÓN
xix
Tipos de compactos
Tipos de network
Metrizable - σ-discreta
?
-
Eberlein uniforme ?
?
σ−uniformemente puntualmente
finitamente extendible
?
?
Eberlein -
?
?
Talagrand -
?
NN −puntualmente
finitamente extendible
?
Gul’ko ?
σ−puntualmente
finitamente extendible
-
Σ−puntualmente
finitamente extendible
?
Corson
?
puntualmente numerablemente
extendible
Diagrama Int. II.
En el capítulo 3 estudiamos cómo el índice de no compacidad de Kuratowski se liga
con la teoría de renormamiento LUR y nos permite obtener nuevas caracterizaciones del
tipo network para dicha propiedad de renormamiento.
Sea X un espacio métrico, para un subconjunto acotado A ⊂ X recordemos que su
índice de no compacidad de Kuratowski está definido como:
α (A) := ı́nf{ε > 0; A ⊂ ∪ni=1 Bi con diam(Bi ) < ε y n ∈ N}
xx
El índice de Kuratowski caracteriza los conjuntos totalmente acotados, ya que α (A) =
0 si y sólo si A es totalmente acotado. En el contexto de espacios métricos completos, caracteriza a los conjuntos relativamente compactos.
Para un espacio de Banach X y A ⊂ X un subconjunto, se dice que un punto x ∈ A ⊂ X
es denting (resp. quasi-denting), si para todo ε > 0, existe un semiespacio H, es decir
H = {x ∈ X; f (x) > δ } con f ∈ X ∗ y δ ∈ R, conteniendo a x y cumpliendo
diam(A ∩ H) < ε (resp. α (A ∩ H) < ε )
Se observa que todo punto denting es quasi-denting. La noción de punto quasi-denting
fue introducido en [Gi-Mr], bajo el nombre de punto α -denting, en conexión con investigaciones de propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas en los espacios de
Banach; la noción de punto denting nos lleva a los primeros estudios de conjuntos con la
propiedad de Radon Nikodým [Bou] y fue usada en [T] para probar el siguiente resultado
(que se obtiene allí como consecuencia del manejo de técnicas probabilísticas).
Teorema 9 (Troyanski, 1985, [T]). Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de que
cada punto de la esfera unidad SX es un punto denting para la bola unidad cerrada BX ,
entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.
Para una prueba geométrica desprovista de argumentos probabilísticos ver [R]. Recordamos que una norma k · k de un espacio normado X se dice localmente uniformemente
rotunda (LUR), si para toda sucesión (xn )n ⊂ SX y x ∈ SX se cumple
lı́m k
n
x + xn
k= 1 ⇒ lı́m k x − xn k= 0
n
2
Para una puesta al día sobre renormamientos ver [De-Go-Z], [Go], [Hay] y [Z]. No
se sabe si X admite una norma equivalente LUR si cada subconjunto acotado en X tiene
un slice de diámetro arbitrariamente pequeño (e. d. la propiedad de Radon Nikodým). G.
Lancien probó que X admite un norma equivalente LUR siempre que, para cada ε > 0, B X
es una unión de complementos de un familia decreciente transfinita pero numerable Cαε de
conjuntos cerrados y convexos tal que Cαε \Cαε +1 es una unión de slices de Cαε de diámetro
menor que ε , [La], [La2], ver también [Go]. A lo largo de este capítulo 3 denotaremos por
X un espacio normado, y diremos que el subespacio F ⊂ X ∗ es normante si, al definir
|||x||| := sup{| f (x)|; f ∈ F ∩ BX ∗ }, para cada x ∈ X
I NTRODUCCIÓN
xxi
obtenemos una norma equivalente para X. Cuando la norma original coincida con |||·|||, se
dice que F es 1−normante. Denotaremos por σ (X, F) a la topología en X de convergencia
puntual sobre elementos de F. Recordamos que fijados f ∈ X ∗ y δ ∈ R el conjunto H =
{x ∈ X; f (x) > δ } se denomina semiespacio abierto del espacio normado X, si f ∈ F
(siendo F ⊂ X ∗ ) lo denominaremos σ (X, F)−semiespacio abierto de X. Denotaremos por
H(F) la familia de todos los σ (X, F)−semiespacios abiertos de X. Por tanto para un punto
x ∈ A ⊂ X, diremos que es un punto σ (X, F)-denting (resp. σ (X, F)-quasi-denting) para
A cuando el semiespacio abierto en la definición de denting (resp. quasi-denting) puede
ser elegido de H(F).
La siguiente modificación de "el proceso de derivación de Cantor" es la principal
herramienta utilizada por Lancien para obtener su resultado:
Fijado un espacio normado X, un subespacio normante F ⊂ X ∗ y B ⊂ X un subconjunto convexo, σ (X, F)-cerrado y acotado. Fijamos algún ε > 0 y definimos:
Dε ,F (B) := {x ∈ B; k · k − diam(H ∩ B) > ε , ∀H ∈ H(F), x ∈ H}
De nuevo, Dε ,F (B) es un conjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado; de hecho, si B
es absolutamente convexo, Dε ,F (B) también lo es. Iterando este proceso definimos:
+1
Dαε ,F
(B) := Dε ,F (Dεα,F (B)) donde D0ε ,F (B) := B
y
Dεα,F (B) :=
\
β <α
β
Dε ,F (B), si α es un ordinal límite.
En este contexto denotaremos por:

ı́nf{α ; Dα (B) = φ }
ε ,F
δF (B, ε ) :=
∞
si existe
en cualquier otro caso
Con esto podemos definir el índice de dentabilidad.
Definición 11. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ subespacio normante y B ⊂ X un
subconjunto σ (X, F)−cerrado, acotado y convexo. Se define el índice de dentabilidad de
B como
δF (B) := sup{δF (B, ε ); ε > 0}
xxii
De hecho, Lancien probó que δX ∗ (BX ) < ω1 (resp. δX (BX ∗ ) < ω1 ) implica que X
(resp. X ∗ ) admite una norma equivalente LUR (resp. una norma dual LUR). Para puntos
quasi-denting, refinando sus métodos probabilísticos, S. Troyanski obtiene el siguiente
resultado:
Teorema 10 (Troyanski, 1994, [T2]). Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de
que cada punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad
cerrada BX , entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.
Los argumentos de M. Raja ([R]) no funcionan esta vez para obtener una prueba geométrica del teorema 10 y la construcción seguía siendo totalmente probabilística no
conociéndose otra prueba hasta hoy. De hecho en la sección 3.3 de esta memoria, por
nuestra parte, proporcionamos una prueba totalmente geométrica de este teorema de
Troyanski, libre de argumentos probabilísticos (corolario 3.3.16). Para un subconjunto
dado S de un subconjunto B convexo, σ (X, F)-cerrado y acotado de un espacio normado
X definimos su índice de dentabilidad (con respecto a un subespacio normante F ⊂ X ∗ )
en B como sigue:

ı́nf{α ; Dα (B) ∩ S = φ } si existe
ε ,F
δF (S, B, ε ) :=
∞
en cualquier otro caso
Y así introducimos:
Definición 12. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, B ⊂ X un
subconjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado y S ⊂ B un subconjunto arbitrario. Se
define el índice de dentabilidad de S respecto a B como:
δF (S, B) := sup{δF (S, B, ε ); ε > 0}
En otras palabras queremos medir cuantos pasos en el proceso de derivación de Lancien para B son necesarios para "comerse" totalmente al subconjunto S. Cuando todos
los puntos de la esfera unidad son puntos denting para la bola unidad de X, se tiene que
δX ∗ (SX , BX ) = 1 y la construcción de Raja nos da el siguiente:
Teorema 11 (Ver teorema 3.3.8). Si δF (SX , BX ) < ω1 el espacio normado X admite una
norma equivalente σ (X, F)-inferiormente semicontinua y LUR.
I NTRODUCCIÓN
xxiii
Nuestra prueba geométrica del teorema 10 se basa en el teorema 11 junto con el siguiente resultado fundamental en nuestro estudio que presentamos en la sección 3.3:
Teorema 12 (Ver teorema 3.3.10 y corolario 3.3.15). Si F ⊂ X ∗ es un subespacio normante, para cualquier subconjunto B ⊂ X que sea σ (X, F)-cerrado, acotado y convexo,
si Q es el conjunto de todos los puntos que sean σ (X, F)−quasi-denting de B, se tiene
que
δF (Q, B) < ω1
En consecuencia obtenemos no sólo la prueba geométrica del resultado de Troyanski
sino que además su validez para normas inferiormente semicontinuas como ya ocurría en
el teorema 11:
Corolario 1 (Ver corolario 3.3.16). Si X es un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio
normante tal que cada punto de la esfera unidad SX es σ (X, F)−quasi-denting para la
bola unidad cerrada BX , entonces δF (SX , BX ) < ω1 y, como consecuencia, X admite una
norma equivalente σ (X, F)−inferiormente semicontinua y LUR.
Sea (X, τ ) un espacio topológico y d un métrica definida sobre él. Se dice que X tiene
cubrimiento numerable por conjuntos de diámetro localmente pequeño si para cada ε > 0,
X puede ser expresado como una unión:
ε
X = ∪+∞
n=1 Xn
donde cada conjunto Xnε tiene la propiedad de que para cada x ∈ Xnε existe un τ -abierto
U que contiene a x, y que cumple diam(U ∩ Xnε ) ≤ ε . En esta situación se dice que (X, τ )
tiene la propiedad d−SLD. En la situación de la definición anterior, si (X, k · k) es un
espacio normado y A ⊂ X cumple que (A, w) tiene la k · k-SLD, entonces se dice que
A tiene la propiedad JNR. Si en la definición anterior cambiamos los conjuntos débilabiertos por semiespacios abiertos, es decir, conjuntos del tipo H = {x ∈ X; f (x) > λ }
con f ∈ X ∗ y λ ∈ R, entonces diremos que el espacio de Banach tiene la propiedad sJNR.
En la sección 3.1 vemos como en la definición de la propiedad k · k-SLD podemos
reemplazar diámetro por índice de Kuratowski (teorema 3.1.6 y observación 3.1.9) ya
que las bolas cerradas son conjuntos débil(σ (X, F))-cerrados. También obtenemos resultados análogos para la propiedad de σ -fragmentabilidad, (teorema 3.1.5).
Que la σ -fragmentabilidad y la propiedad JNR estaban muy cerca de caracterizar los
espacios de Banach admitiendo norma equivalente LUR fue un problema definitivamente
xxiv
resuelto por Moltó, Orihuela y Troyanski en [M-O-T], a lo que M. Raja [R] adaptó su
prueba geométrica del teorema 9 para dar así mismo una versión libre de argumentos
probabilísticos en el siguiente
Teorema 13 (Moltó-Orihuela-Troyanski [M-O-T] y M. Raja [R]). Sea X un espacio
de Banach y F ⊂ X ∗ un subespacio normante, entonces X admite una norma equivalente LUR y σ (X, F)inferiormente semicontinua si, y sólo si, X (o S X ) tiene la propiedad
sJNR mediante slices formados a partir de elementos de F.
Este resultado ha tenido gran cantidad de aplicaciones en los últimos años, [M-O-T-V],
[M-O-T-V3], [M-O-T-V2], [On-R], [R], [R3] y [R4], y es nuestro cometido extenderlo
propiamente en el capítulo 3 de esta memoria, una vez que hemos obtenido el corolario 1
anterior.
Recordemos que un espacio de Banach X (o la norma de X) se dice que tiene la
propiedad de Kadec si las topologías relativas de la norma y la débil coinciden sobre la
esfera unidad de X; se cumple que cualquier norma LUR tiene la propiedad de Kadec,
ya que todos los puntos de la esfera unidad son puntos denting para la bola unidad cerrada.
Usando que un punto que sea extremal y de continuidad es denting ([L-L-T]) podemos
reformular el teorema mencionado antes: un espacio de Banach con una norma rotunda
y con la propiedad Kadec admite una norma equivalente LUR. Es bien conocido que
l∞ tiene normas rotundas pero no tiene una norma equivalente con la propiedad de Kadec.
R. Haydon [Hay] probó que c0 (ϒ), con ϒ un árbol diádico, admite una norma con la
propiedad de Kadec pero no admite una norma equivalente rotunda si la altura del árbol
es mayor o igual que ω1 . Sin embargo, las propiedades de Kadec y la rotundidad en
diferentes combinaciones pueden ser reemplazadas por alguna condición más débil. En
[M-O-T] se prueba que si X tiene la propiedad k · k-SLD y todos los puntos de S X son
extremales en BX ∗∗ , entonces X admite una norma equivalente LUR. En [M-O-T-V2]
se prueba que si X tiene la propiedad de Kadec y todas las caras de la esfera unidad
tienen la propiedad de Krein-Milman entonces admite una norma equivalente LUR.
Nuestros principales resultados en las secciones 3.4 y 3.5 proporcionan una extensión
para el proceso de derivación de Lancien (teorema 3.4.4), así como una extensión del
teorema 13 analizando la validez de dicho teorema cuando cambiamos el diámetro por el
índice de no compacidad de Kuratowski. De hecho probamos el siguiente:
Teorema 14 (Ver teorema 3.5.3). Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio
normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:
I NTRODUCCIÓN
xxv
(i) X admite una norma equivalente LUR y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
(ii) Para cada ε > 0, podemos descomponer X = ∪n Xn,ε tal que para cada n ∈ N y x ∈ Xn,ε
existe H ∈ H(F) conteniendo a x y α (H ∩ Xn,ε ) < ε .
(iii) Existe un conjunto radial A ⊂ X, es decir si x ∈ X \ {0} existe ρ > 0 tal que ρ x ∈ A,
tal que para cada ε > 0, podemos descomponer A = ∪n An,ε tal que para cada n ∈ N y
x ∈ An,ε existe H ∈ H(F) conteniendo a x y α (H ∩ An,ε ) < ε .
Desde el punto de vista topológico obtenemos el siguiente resultado en términos de
networks:
Teorema 15 (Ver corolario 3.5.8). Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio
normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:
S
(i) La topología dada por la norma admite una network N = ∞
n=1 Nn tal que para
cada n ∈ N y cada x ∈ ∪{N; N ∈ Nn } existe un semiespacio σ (X, F)-abierto H tal
que x ∈ H y
|{N ∈ Nn ; N ∩ H 6= φ }| < +∞
(ii) X admite una norma equivalente σ (X, F)−inferiormente semicontinua y LUR.
Este resultado es una generalización del teorema 1.7.3, cambiando la palabra "aislada" por "localmente finita" [M-O-T-V3], en la linea del paso del teorema de Bing al
teorema de Nagata-Smirnov en los teoremas de metrización [E]. En esta linea va también
el corolario 3.1.8, pero para la propiedad JNR.
Nuestras referencias standard serán, para cuestiones de espacios de Banach [H-Hj-Z],
[F], [De-Go-Z], [F-H-Ha-Mon-P-Z], [Go], [Go2] y [Z]. En cuestiones de topología [Ke],
[E], [Gr], [Gr5], [Gr6] y [Ar2].
xxvi
1
Clases de espacios compactos que
surgen del Análisis Funcional
En este capítulo introductorio describimos el contexto en el que se abordan las distintas cuestiones que hemos tratado en esta memoria, los problemas que hemos resuelto, así
como otras preguntas resueltas recientemente por otros autores y, enunciaremos problemas y cuestiones que quedan aún por resolver. Además describiremos diversos conceptos
y resultados del análisis funcional y la topología, que nos serán de utilidad a lo largo de
la tesis y sirven para delimitar el alcance e interés de las cuestiones que desarrollamos en
la memoria.
1.1 Compactos dispersos y compactos metrizables
Un espacio topológico compacto (K, τ ) se dice disperso si cada subconjunto L cerrado tiene un punto aislado en L. Un punto p es aislado en K si existe un entorno U de
p en K tal que U ∩ K = {p}. Se observa que un espacio compacto K es disperso si, y
sólo si, cada subconjunto de K tiene un punto relativamente aislado. Un punto x en un
espacio topológico X es un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ X si x ∈ A \ {x}; al
conjunto de todos los puntos de acumulación de A se le llama conjunto derivado de A y lo
denotaremos por A0 , se observa que A = A ∪ A0 . Vamos a definir el proceso de derivación
2
1.1 C OMPACTOS DISPERSOS Y COMPACTOS METRIZABLES
de Cantor; si K es un compacto denotaremos por K (1) = K 0 . Por inducción transfinita, se
define
K (α +1) = (K (α ) )0 para un ordinal α , y
K (α ) =
{K (β ) ; β < α } si α es un ordinal límite.
\
Por convenio se escribe K (0) = K. Se observa que K es disperso si, y sólo si, K (α ) es vacío
para algún ordinal α .
Los compactos numerables, que se podría decir que son los compactos más "sencillos", son dispersos. De hecho comencemos recordando el siguiente resultado:
Proposición 1.1.1 (Lema 293 de [H-Hj-Z]). Un espacio topológico compacto K es numerable si, y sólo si, es metrizable y disperso.
D EMOSTRACIÓN : Supongamos que K es numerable. A lo largo de todo el trabajo denotaremos por C(K) al espacio de Banach formado por las funciones continuas definidas
sobre K con la norma del supremo, es decir, k f k∞ = sup{| f (x)|; x ∈ K}. Para cada
(x, y) ∈ K × K con x 6= y, consideramos el conjunto
Hx,y = { f ∈ C(K); f (x) = f (y)}
que es un hiperplano cerrado en C(K). Recordemos que el teorema de la categoría de
Baire asegura que, en un espacio métrico completo la intersección de cualquier sucesión
de abiertos densos es un conjunto denso, [Ke]. Aplicando este teorema, el espacio de
Banach C(K) no puede expresarse como unión numerable de cerrados de interior vacío.
Ahora, como los hiperplanos cerrados tienen interior vacío, entonces existirá f ∈ C(K)
que no pertenece a ningún Hx,y , por lo tanto f es una función inyectiva de K en R. Como
consecuencia K es metrizable, ya que es homeomorfo a un subconjunto de R (de hecho es
métrico completo). Para acabar la prueba de esta implicación, observemos que cualquier
subconjunto cerrado L de K es numerable y tiene puntos aislados en L, por el teorema de
la categoría de Baire. Por lo tanto K es disperso.
A la inversa, supongamos que K es metrizable y disperso. Ya que la topología de K
tiene una base numerable, se sigue que existe un ordinal numerable α 0 tal que K (α0 ) = φ .
Cada subconjunto de K es separable y así K (α ) \ K (α +1) es numerable para cualquier α .
Por tanto K es numerable.
Visto el resultado anterior, resulta natural preguntarse qué tipo de propiedades tienen,
por separado, los compactos metrizables y los compactos dispersos. Por un lado tenemos
el siguiente resultado.
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
3
Teorema 1.1.2. Un compacto K es metrizable si, y sólo si C(K) es separable.
D EMOSTRACIÓN : Si C(K) es separable, entonces BC(K)∗ con la topología débil estrella
es metrizable. Para construir la métrica consideramos { f n }n la sucesión densa en la esfera
unidad de C(K), y la métrica se define para cada x, y ∈ BC(K)∗ , de la siguiente manera:
∞
ρ (x, y) := ∑ 2−i |(x − y)( fi )|
i=1
Ahora, dado k ∈ K, definimos k̂ ∈ C(K)∗ por k̂( f ) = f (k) para cada f ∈ C(K). Entonces la
aplicación k k̂ es un homeomorfismo de K en su imagen bajo la topología débil estrella
en C(K)∗ . La imagen es un conjunto metrizable y débil estrella compacto.
Supongamos ahora que K es un espacio métrico compacto. Fijamos una sucesión
{xn }n densa en K. Definimos

 1 − dist(x, x ) si dist(x, x ) ≤ 1
n
n
m
fn,m (x) = m
0
si dist(x, xn ) > 1
m
Entonces la familia { f n,m } junto con una función constante genera una álgebra separable
que distingue puntos de K y, por lo tanto, su clausura es C(K) por el teorema de StoneWeierstrass, teorema 3.2.21 de [E].
El hecho de que un compacto K sea disperso también queda caracterizado por una
propiedad estructural del correspondiente espacio C(K) pero, en este caso, respecto a
propiedades de diferenciabilidad. Una función f definida sobre un espacio de Banach X
se dice que es diferenciable Fréchet en x ∈ X si existe l ∈ X ∗ tal que
lı́m
t→0
f (x + th) − f (x)
= l(h)
t
para cada h ∈ X y, de manera uniforme para h ∈ SX . En este caso se dice que l es la derivada de Fréchet de f en x y lo denotaremos por l = f 0 (x). Un subconjunto A de un espacio
topológico se dice que es un Gδ , si se puede expresar como intersección numerable de
conjuntos abiertos. Un espacio de Banach X se dice que es un espacio de Asplund si toda función continua y convexa definida en él es diferenciable Fréchet en un subconjunto
Gδ denso. Que los espacios de Banach con dual separable son de Asplund es precisamente el resultado de E. Asplund, [As]. Para espacios de Banach cualesquiera Ch. Stegall
demostró que ser de Asplund es equivalente a que todo subespacio separable tenga
dual separable, [St].
4
1.1 C OMPACTOS DISPERSOS Y COMPACTOS METRIZABLES
Veamos ahora tres resultados sobre compactos dispersos, que necesitaremos en la
prueba de la caracterización que queremos recordar (teorema 1.1.6):
Proposición 1.1.3 (Lema 291 de [H-Hj-Z]). La imagen continua de un compacto disperso es un compacto disperso.
D EMOSTRACIÓN : Sea K un compacto disperso y f una aplicación continua de K sobre
un espacio compacto L. Supongamos que P es un subconjunto perfecto de L, es decir,
un conjunto cerrado en el cual todos los puntos son puntos límite en P. Consideramos
la familia A de todos los subconjuntos compactos A de K tal que f (A) = P ordenados
por inclusión. Si {Aα }α es una cadena en A entonces por compacidad, ∩α Aα 6= φ y
f (∩α Aα ) = P. Sea B un conjunto minimal en A . Ya que K es disperso y B es compacto,
B contiene un punto q que es aislado en B. Denotamos B0 = B \ {q}. Entonces B0 es
compacto y la minimalidad de B nos proporciona que f (B0 ) es un subconjunto propio de
P. Se observa que f (q) 6∈ f (B0 ) ya que, en otro caso, f (B0 ) = f (B) = P. Como f (B0 ) es
compacto, f (q) no es un punto límite de f (B0 ). Como P \ f (B0 ) = f (q), se tiene que f (q)
no es un punto límite de P tampoco. Por lo tanto el conjunto P contiene un punto f (q) que
es aislado en P. Esto prueba que P no es perfecto, lo que nos lleva a una contradicción. Siguiendo el capítulo 7 de [Co], se tiene que una medida µ de Borel sobre K, es
una medida definida sobre la σ −álgebra de Borel en K, B(K), es decir, la σ −álgebra
generada por los subconjuntos abiertos de K. Además, el hecho de que µ sea una medida
de Borel sobre K, finita y regular hace que se verifiquen las dos siguientes igualdades:
µ (A) = ı́nf{µ (U); A ⊂ U,U abierto} = sup{µ (H); H ⊂ A, H compacto},
para A ∈ B(K), proposición 7.2.6 de [Co].
Lema 1.1.4 (Rudin, lema 294 de [H-Hj-Z]). Sea µ una medida de Borel no-negativa
regular y finita sobre un compacto disperso K tal que µ ({p}) = 0 para cada p ∈ K.
Entonces µ se anula sobre K.
D EMOSTRACIÓN : Supongamos que µ (K) > 0. Sea λ el mayor ordinal tal que K (λ ) 6= φ .
Veamos que existe tal ordinal; si β el primer ordinal tal que K (β ) = φ , veremos que β no
es un ordinal límite. De hecho, la compacidad de K nos lo asegura ya que para todos los
T
ordinales límite K (α ) = δ <α K (δ ) . Por lo tanto β = λ + 1 y λ es el último ordinal tal
que K (λ ) 6= φ . De la compacidad de K (λ ) se tiene que debe ser un conjunto finito. Por lo
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
5
tanto µ (K (λ ) ) = 0 por la hipótesis sobre µ . Sea α el primer ordinal tal que µ (K (α ) ) <
µ (K). Si α = β + 1 para algún β , entonces µ (K (β ) ) = µ (K (α ) ) + µ (K (β ) \ K (α ) ). El
conjunto K (β ) \ K (α ) no contiene subconjuntos compactos e infinitos, por la definición de
derivación de Cantor. Por lo tanto, por la regularidad de µ y la propiedad de que µ es nula
sobre todos los conjuntos de cardinalidad uno, obtenemos que µ (K (β ) \ K (α ) ) = 0. Por lo
tanto µ (K (β ) ) = µ (K (α ) ), contradiciendo nuestra elección de α . Entonces α debe ser un
ordinal límite. Para cada conjunto abierto G que contiene a K (α ) existe, por argumentos
de compacidad, corolario 3.1.5 de [E], un ordinal β < α tal que K (β ) ⊂ G. Ya que β < α ,
tenemos que µ (K (β ) ) = µ (K). Por tanto µ (G) = µ (K) para cada conjunto abierto G
conteniendo a K (α ) . De la regularidad de µ obtenemos que µ (K (α ) ) = µ (K), lo que nos
lleva a una contradicción.
Recordemos que se define el espacio vectorial l1 como el formado por todas las sucesiones de escalares {xi }i que satisfacen ∑i |xi | < ∞. Entonces l1 con la norma k x k1 =
∑i |xi | es un espacio de Banach. Si Γ es un conjunto arbitrario, se define el espacio vectorial l1 (Γ) como el formado por todas las funciones f : Γ 7→ R tal que ∑γ ∈Γ | f (γ )| < ∞. De
manera análoga al caso anterior, l1 (Γ) con la norma k f k1 = ∑γ ∈Γ | f (γ )| es un espacio de
Banach. Donde las sumas están definidas por
∑ | f (γ )| = sup{ ∑ | f (γ )|; F es un subconjunto finito de Γ}
γ ∈Γ
γ ∈F
Este tipo de espacios también tienen relación, mediante el siguiente resultado, con los
compactos dispersos:
Teorema 1.1.5 (Rudin, teorema 295 de [H-Hj-Z]). Si K es un compacto disperso, entonces C(K)∗ es isométrico a l1 (Γ), para algún conjunto Γ.
D EMOSTRACIÓN : Sea µ una medida de Borel regular, finita y no-negativa sobre un espacio disperso K. Sea S la colección de todos los puntos de K satisfaciendo que µ ({p}) > 0.
Se tiene que {p ∈ K; µ ({p}) > ε } es finito para cada ε ya que µ es una medida finita. Por tanto S es numerable. Definimos una medida ν sobre subconjuntos de Borel A
de K dada por ν (A) = µ (A ∩ S). Por el lema 1.1.4, la medida µ − ν se anula sobre
K y, por tanto, µ = ν . Como S = {qn }n es numerable, por teoría general de la medida
R
R
∞
K f d µ = K f d ν = ∑i=1 cn f (qn ) para cada f ∈ C(K), donde ∑ |cn | < ∞.
A la inversa, dada {cn }n con ∑ |cn | < ∞ y {qn } ⊂ K, el funcional F definido para
f ∈ C(K) por F( f ) = ∑ cn f (qn ) es un funcional lineal y continuo sobre C(K). Se observa
6
1.1 C OMPACTOS DISPERSOS Y COMPACTOS METRIZABLES
que la norma de F es ∑ |cn |. De hecho, la norma es menor o igual a ∑ |cn |. Para obtener la
desigualdad contraria, para un conjunto finito {q1 , . . . , qn } consideramos un f ∈ BC(K) tal
que f (qn ) = sign(cn ). De esta manera se concluye la prueba.
Podemos enunciar y probar ya la caracterización de los compactos dispersos que queremos recordar:
Teorema 1.1.6 (Teorema 296 de [H-Hj-Z]). Para un espacio topológico compacto K,
se cumple que K es compacto disperso si, y sólo si, C(K) es un espacio de Asplund.
D EMOSTRACIÓN : Utilizaremos el resultado de Stegall asegurando que un espacio de
Banach es Asplund si, y sólo si, cada subespacio separable tiene dual separable, ver por
ejemplo [Ph]. Supongamos que K es un compacto disperso y X un subespacio separable
de C(K), elegimos una sucesión densa {gn }n en X ∩ BC(K) y definimos una aplicación
continua G : K 7→ [−1, 1]N dada por G(k) = {gn (k)}n . El compacto L = G(K) es disperso
por la proposición 1.1.3 y metrizable, será L numerable, por la proposición 1.1.1. Como
consecuencia C(L)∗ es isométrico a l1 por el teorema 1.1.5. Con esto C(L)∗ es separable y,
en consecuencia, X que es isométrico a un subespacio de C(L), tendrá dual X ∗ separable
y el espacio C(K) es de Asplund.
Para probar la implicación contraria, supongamos que K no es compacto disperso y
que C(K) es un espacio de Asplund. Sea P un subconjunto perfecto de K. La restricción
de funciones continuas sobre K a P es un operador Λ lineal y acotado de C(K) a C(P), el
cual es sobreyectivo debido al teorema de extensión de Tietze, teorema 2.1.8 de [E]. Como
consecuencia C(P) es un espacio de Asplund también. En efecto, si Z es un subespacio
separable de C(P), entonces existe un subespacio separable W de C(K) que es llevado
sobre Z por la aplicación restricción. Para ver esto consideramos {z n } una sucesión densa
en BZ y tomamos xn ∈ C(K) tal que Λ(xn ) = zn y k xn k≤ M (para algún M > 0). Entonces
BZ ⊂ Λ(MBspan{xn } ), por lo tanto Z ⊂ Λ(span{xn }) = Λ(W ). Como consecuencia Z ∗ es
isométrico a un subespacio de W ∗ , basta tomar el operador adjunto Λ∗ : Z ∗ 7→ W ∗ dado
por Λ∗ (z∗ ) = z∗ ◦ Λ que es lineal, acotado e inyectivo. Ya que W ∗ es separable, se tiene
que Z ∗ es separable. Por lo tanto C(P) es un espacio de Asplund. Como P es perfecto,
veremos que la norma del supremo de C(P) no tiene puntos de diferenciabilidad Fréchet.
Para ello comenzamos observando que la distancia entre dos medidas diferentes de Dirac
en C(P)∗ es dos. Dado x ∈ BC(P) , asumimos sin pérdida de generalidad que existe p0 ∈ P
tal que x(p0 ) = 1. Como p0 no es aislado, elegimos pn 6= p0 tal que x(pn ) → 1. Por el
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
7
criterio de Smulyan de diferenciabilidad (lema 102 de [H-Hj-Z]), x no puede ser un punto
de diferenciabilidad Fréchet de la norma del supremo sobre C(P), y resulta entonces que
la norma del supremo no tiene puntos de diferenciabilidad Fréchet en C(P) que no podrá
ser un espacio de Asplund, lo que contradice nuestra hipótesis.
A continuación el diagrama 1.1.1, donde se representa la situación obtenida en los
últimos resultados.
Compacto numerable
m
⇐⇒ C(K) admite norma
equivalente analı́tica
Compacto metrizable y disperso
Compacto metrizable
m
C(K) separable
j
Compacto disperso
m
C(K) Asplund
Diagrama 1.1.1
Remarquemos para terminar esta sección que una función real f definida sobre un espacio de Banach X se dice real analítica en X si para cada x ∈ X hay un entorno U de x en
X tal que el desarrollo de Taylor de f en x (construido con formas multilineales) converge
uniformemente sobre U a f . Para un compacto K el ser numerable es equivalente a
que el espacio de Banach C(K) admita una norma equivalente que sea real analítica
en X \ {0}, [De-Fo-Hj] y [Hj].
1.2 Topología descriptiva y espacios compactos
Vamos a continuar estudiando los espacios compactos que se pueden ir añadiendo a
la rama de la izquierda del diagrama 1.1.1, es decir, clases de espacios compactos más
generales que los compactos metrizables descritas a través de "propiedades descriptivas"
de los espacios de funciones continuas C(K) correspondientes. Estos espacios compactos
han sido definidos en la introducción y su relación descrita en el diagrama Int. I (Introducción).
8
1.2 T OPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS
Al estudiar distintos tipos de espacios topológicos conviene hacer una clasificación
de éstos, ver las inclusiones que existen y si éstas son estrictas. En las clases de espacios compactos representados en el diagrama Int.1, las implicaciones son estrictas. Para
ver esto propondremos algunos ejemplos, haciendo las demostraciones, al menos con las
ideas generales, y dando la referencia para consultar los detalles.
Ejemplo 1.2.1. Compacto de Eberlein uniforme que no es metrizable.
Para un conjunto Γ 6= φ no numerable, el espacio de Hilbert l2 (Γ) no separable nos
proporciona la bola unidad cerrada Bl2 (Γ) que es un conjunto débil compacto, por lo tanto
(Bl2 (Γ) , w) es un compacto de Eberlein uniforme, además no es metrizable.
D EMOSTRACIÓN : Si (Bl2 (Γ) , w) fuese metrizable, entonces (Bl2 (Γ) , w) sería un compacto
separable, luego existiría un conjunto D ⊂ Bl2 (Γ) numerable y ω −denso. Entonces convw (D) =
convk·k (D) = Bl2 (Γ) , luego Bl2 (Γ) sería separable. Lo que no es cierto, por nuestra asunción
de ser Γ no numerable.
Ejemplo 1.2.2. Compacto de Eberlein que no es compacto de Eberlein uniforme.
D. Kutzarova y S. Troyanski construyeron un ejemplo de un espacio de Banach reflexivo y no separable X que no admite ninguna norma equivalente uniformemente Gâteaux
diferenciable (ver [K-T]). El espacio (BX ∗ , w) es un compacto de Eberlein que no es
compacto de Eberlein uniforme.
D EMOSTRACIÓN : Un reciente resultado de M. Fabian, G. Godefroy y V. Zizler, [F-Go-Z],
asegura que un espacio de Banach X admite una norma equivalente uniformemente Gâteaux diferenciable si, y sólo si, (BX ∗ , w∗ ) es un compacto de Eberlein uniforme. De hecho
para un espacio compacto K son equivalentes el ser de Eberlein uniforme y que el espacio
C(K) admita una norma equivalente uniformemente Gâteaux diferenciable.
Antes del siguiente ejemplo veamos una definición:
Definición 1.2.3. Si T es un conjunto no vacío, una familia A de subconjuntos de T se
dice adecuada si:
(i) Si A ∈ A y B ⊂ A, entonces B ∈ A ;
(ii) {t} ∈ A para cualquier t ∈ T ; y
(iii) Si A ⊂ T , y cada subconjunto finito de A está en A , entonces A ∈ A .
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
9
Observación 1.2.4. Dada una familia adecuada A en T , el conjunto
K = KA = {χA ; A ∈ A } ⊂ {0, 1}T
donde χA es la función característica de A, es cerrado en el producto {0, 1} T y así resulta
ser K compacto.
Esto da una forma sencilla de construir compactos totalmente desconectados y con
familias A particulares en conjuntos T concretos se construyen ejemplos de interés.
Ejemplo 1.2.5. Compacto de Talagrand que no es compacto de Eberlein.
Definimos las siguientes familias de subconjuntos de NN :
A0 = {{σ } : σ ∈ NN } ∪ {φ }
An = {A ⊂ NN : σ , δ ∈ A y σ 6= δ ⇒ σ |n = δ |n y σ |n+1 6= δ |n+1 }
donde σ |n = (σ (1), ..., σ (n)) ⊂ Nn , para cada n ∈ N. Definimos la familia A = ∪n An y
consideramos el compacto
K = {χA : A ∈ A } ⊂ {0, 1}N
N
donde χA es la función característica de A ∈ A . Se cumple que K es compacto de Talagrand pero no es compacto de Eberlein.
D EMOSTRACIÓN : Como la familia A es una familia adecuada de conjuntos, el conjunto
N
K es un subespacio cerrado en {0, 1}N y, por consiguiente, compacto. El hecho de ser
compacto de Talagrand viene de la usco ϕ : NN −→ (2C(K) , τ p ) dada por ϕ (σ ) = {πσ , 0},
donde πσ : K −→ {0, 1} es la coordenada definida por πσ (k) = k(σ ) = χA (σ ), para cada
k ∈ K y σ ∈ NN . Veamos que ϕ es superiormente semicontinua, para ello considero U ⊂
C(K) τ p −abierto con {πσ , 0} ⊂ U, hay que encontrar un abierto V ⊂ NN conteniendo a σ
tal que ϕ (V ) ⊂ U. Como 0 ∈ U, existen A1 , . . . , Am ∈ A tal que si f ∈ C(K) y | f (χAi )| =
|0(χAi ) − f (χAi )| < ε para i ∈ {1, . . . , m} se cumple que f ∈ U. Para cada i ∈ {1, . . . , m}
podemos tomar ni ∈ N tal que si δ ∈ NN , δ 6= σ y δ |ni = σ |ni entonces δ 6∈ Ai ya que los
A ∈ A son subconjuntos cerrados de NN , sea ahora n = máx{n1 , . . . , nm } y consideramos
δ ∈ NN distinto a σ con δ |n = σ |n , entonces δ 6∈ A1 ∪ · · · ∪ Am por lo que πδ ∈ U y
se tiene que {σ (1)} × · · · × {σ (n)} × N × N × · · · = V ⊂ NN es abierto y ϕ (V ) ⊂ U.
Hemos probado que el subespacio Y = {πσ : σ ∈ NN } ∪ {0} ⊂ C(K) es K −analítico y,
10
1.2 T OPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS
utilizando (el análogo del) teorema 7.1.8 de [F] para K -analíticos, se concluye esta parte
de la prueba.
Para ver la idea del por qué no es compacto de Eberlein seguimos [Far], ejemplo 2.14.
Supongamos que K es compacto de Eberlein, entonces como todo elemento de K tiene
soporte numerable en NN , el corolario 2.12 de [Far], nos asegura que debiera existir una
descomposición {Σm ; m ∈ N} de NN tal que
|A ∩ Σm | < ∞ para cada A ∈ A y m ∈ N
Como consecuencia del teorema de Baire existirá un m0 ∈ N tal que la clausura de Σm0
tiene interior no vacío. Si x está en el interior de Σm0 podemos encontrar un conjunto
abierto Vx = {y ∈ NN ; y|n0 = x|n0 } tal que Vx ⊂ Σm0 . Por lo tanto para cada k ∈ N existirá
yk ∈ Vxk ∩ Σm0 donde
Vxk = {y ∈ NN ; y|n0 = x|n0 e y(n0 + 1) = k}
De esta forma generamos el conjunto A = {yk ; k ∈ N}, que pertenece a la familia A y es
un subconjunto de Σm0 . Pero por otra parte |A ∩ Σm0 | es infinito, lo que nos lleva a una
contradicción. Por lo tanto K no puede ser un compacto de Eberlein.
Ejemplo 1.2.6. Compacto de Gul’ko que no es compacto de Talagrand.
Denotamos por N<ω el conjunto formado por las sucesiones finitas de numeros natuS
n
rales, N<ω = ∞
n=0 N . Denotamos por I el conjunto de todas las sucesiones finitas estrictamente crecientes de números naturales:
I = {(s1 , . . . , sn ) ∈ N<ω : s1 < · · · < sn }
mientras que In es el conjunto de los elementos de I formados por enteros menores o
iguales que n:
In = {(s1 , . . . , sm ) ∈ I : sm ≤ n}
Dados dos elementos de N<ω , s = (s1 , . . . , sn ) y u = (u1 , . . . , um ), decimos que s ≤ u
si ocurre que n ≤ m y además si = ui para todo i ≤ n. Dados dos elementos de N<ω ,
s = (s1 , . . . , sn ) y u = (u1 , . . . , um ), definimos s_ u = (s1 , . . . , sn , u1 , . . . , um ). Se observa
que si s, u ∈ I y sn < u1 entonces s_ u ∈ I.
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
11
Un subconjunto X ⊆ I diremos que es un árbol si se verifica la siguiente condición:
Para todo u ∈ X y para todo s ∈ I, si s ≤ u entonces s ∈ X. Llamamos T0 al conjunto de
todos los árboles, T0 = {X ⊆ I : X es un árbol}.
Sea (sn )∞
n=1 una sucesión creciente infinita de números naturales y sea X un árbol.
Diremos que (sn )n es una rama infinita de X si (s1 , . . . , sn ) ∈ X para todo n ∈ N. Llamaremos T1 al conjunto de todos los árboles que tienen alguna rama infinita, mientras que T
será el conjunto de aquellos árboles que no tienen ninguna rama infinita. De esta manera
tenemos descompuesto T0 como unión disjunta de T1 y T , T0 = T1 ∪ T.
Puesto que los subconjuntos de I se identifican de manera natural con los puntos de
{0, 1}I , podemos ver T0 como un subconjunto de {0, 1}I . En {0, 1}I tenemos la topología
producto, que induce en T0 una topología que denotaremos por τ . Se observa que T0 es
un subespacio cerrado de {0, 1}I , y por tanto compacto en la topología τ , y metrizable ya
que I es numerable. Para cada árbol X y cada natural n, se define:
Vn (X) = {Y ∈ T0 : Y ∩ In = X ∩ In } ⊂ T0
De este modo, la familia {Vn (X) : n ∈ N} es una base de entornos de X en la topología τ .
Consideramos ahora la familia A0 formada por aquellos subconjuntos finitos de T de
la forma B = {Y1 , . . . ,Yn } donde para algún X ∈ T0 y (s1 , . . . , sn ) ∈ X se tiene que Yi ∈
Vsi (X) para todo i ≤ n. La familia A se define como la familia de aquellos subconjuntos
de T tales que todos sus subconjuntos finitos pertenecen a A0 .
Por fin definimos el compacto
K = KA := {χA ; A ∈ A } ⊂ {0, 1}T
que es compacto de Gul’ko pero no es compacto de Talagrand.
D EMOSTRACIÓN : Comenzaremos la prueba viendo que KA es, efectivamente, un compacto de Gul’ko. Para ello hay que notar que la familia A es adecuada y además cada
A ∈ A es cerrado en T , lema 1 de [Ta2].
Ahora, para cada elemento t ∈ T se define una función πt ∈ C(K) definida por πt (χA ) =
χA (t), para cada χA ∈ K. La familia de funciones Y = {πt : t ∈ T } ∪ {0} ⊂ C(K) separa los
puntos de K, así que para probar que K es Gul’ko, basta probar que Y es numerablemente
K −determinando en la topología τ p de convergencia puntal sobre K, teorema 7.1.8 de
[F]. Para ello, consideramos la usco Φ : T −→ 2(Y,τ p ) dada por Φ(t) = {0, πt }, teniendo
en cuenta que T es un métrico separable. Para verificar que Φ es usco, basta ver que para
12
1.2 T OPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS
cada abierto básico U de (Y, τ p ), el conjunto {t ∈ T : Φ(t) ⊂ U} es abierto en T . De hecho, como 0 ∈ Φ(t) para todo t, basta verlo para U un entorno básico de 0 en (Y, τ p ). Tal
entorno básico es de la forma
U = UA1 ,...,An = {0} ∪ {πt ∈ Y : πt (χAi ) = 0, i = 1, . . . , n}
= {0} ∪ {πt ∈ Y : t 6∈ Ai , i = 1, . . . , n}
siendo Ai ∈ A . En este caso, Φ(t) ⊂ U sii πt ∈ U sii t 6∈
{t ∈ T : Φ(t) ⊂ U} = T \
S
n
[
Ai , así que
Ai
1
que efectivamente, es abierto en T .
Para probar que K no es compacto de Talagrand, se razona por reducción al absurdo.
Suponiendo que sí lo es, por el teorema 10 (c) de [F-Go-M-Z], se puede asegurar que
existe un esquema de Lusin sobre T , es decir, una descomposición de T , {Ts : s ∈ N<ω },
tal que:
(i) T0/ = T .
S
(ii) Para cada s ∈ N<ω , Ts = n∈N Ts_ (n) siendo esta unión es disjunta.
y además, con la propiedad añadida:
∀ε > 0 ∀k ∈ K ∀σ ∈ NN ∃ j tal que |{t ∈ T(σ1 ,...,σ j ) ; |k(t)| > ε }| < ω
Identificaremos esta condición como la propiedad (*). Ahora se construye, de manera
recursiva, lo siguiente [Ta2]:
Dos sucesiones de naturales, una que denotaremos por (tn )n y otra que será estrictamente creciente (sn )n . Además una sucesión X1 , X2 , . . . de árboles verificando:
(i) (s1 , . . . , sn ) ∈ Xn .
(ii) Vs p (X p ) = Vs p (Xn ) para cada p ≤ n.
(iii) sup{o ((s1 , . . . , sn )|X) : X ∈ Vsn (Xn ) ∩ T(t1 ,...,tn ) } = ω1 .
Para entender la última condición hay que dar, evidentemente, las definiciones pertinentes.
Dado un árbol X y un elemento s ∈ X, diremos s es maximal en X si no existe ningún
t ∈ X tal que s < t. Dado un árbol X, definimos el árbol derivado X 0 como el árbol que se
obtiene al eliminar los elementos maximales de X, X 0 = {s ∈ X : s no es maximal en X}.
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
13
Inductivamente, para cada ordinal α , definimos:
X (α ) = (X (β ) )0
X (α ) =
\
X (β )
si
α = β + 1.
si
α es ordinal límite.
β <α
/ < ω1 , y para X ∈ T1 se define o(X) = ω1 .
Para X ∈ T se define o(X) = mı́n{α : X (α ) = 0}
Dado X un árbol, y s ∈ I, se define el árbol s|X como
s|X = {t ∈ I : s_t ∈ X}
Si s 6∈ X entonces s|X = 0.
/
Con esto se llega a demostrar que σ = (t1 ,t2 , . . .), construida a partir de la primera
sucesión anterior, y ε = 12 no verifican la propiedad (*), es decir, que
∃χB ∈ K ∀ j ∈ N ⇒ |{X ∈ Tt1 ,...,t j : χB (X) > ε }| ≥ ω
o lo que es lo mismo
∃B ∈ A ∀ j ∈ N ⇒ |Tt1 ,...,t j ∩ B| ≥ ω
Para construir a familia B se razona de la siguiente manera: Para cada n se elige Yn ∈
Vsn (Xn ) ∩ T(t1 ,...,tn ) , Yn 6∈ {Y1 , . . . ,Yn−1 } (por la propiedad (iii)), y entonces B := {Yn }n∈N .
Comprobemos que B ∈ A : De la propiedad (ii) de la construcción se sigue que Y =
S
n∈N Xn ∩ Isn es un árbol. Por lo tanto {Y1 , . . . ,Yn } pertenece a A0 , ya que Y j ∈ Vs j (Y ) y
(s1 , . . . , sn ) ∈ Xn ∩ Isn ⊂ Y .
Finalmente como Tt1 ,...,t j ∩ B ⊃ {Yi : i ≥ j} se tiene que
|Tt1 ,...,t j ∩ B| ≥ ω
y se concluye la prueba.
Ejemplo 1.2.7. Compacto de Corson que no es compacto de Gul’ko.
Denotaremos por ω y ω1 al primer ordinal infinito y al primer ordinal no numerable, respectivamente. Consideramos ahora una familia {Nξ ; 1 ≤ ξ < ω1 } de subconjuntos
infinitos de N mutuamente casi disjuntos, es decir, Nξ ∩ Nη es un conjunto finito para
1 ≤ ξ < η < ω1 . Para construirla razonamos de la siguiente manera, elegimos conjuntos
14
1.2 T OPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS
infinitos Ni ⊂ N, i ∈ N, tales que Ni ∩ N j = φ para 1 ≤ i < j < ω . Ahora fijado ω ≤
ξ < ω1 , suponemos ya construidos conjuntos infinitos y mutuamente casi disjuntos Nζ ,
ξ
ξ
ζ < ξ . Denotaremos por {ζ1 , ζ2 , . . . } una enumeración del intervalo numerable [1, ξ )
y fijamos F1 cualquier subconjunto de Nζ ξ , con |F1 | = 1. Para n = 2, 3, . . . encontramos
1
subconjuntos Fn ⊂ Nζ ξ \ (Nζ ξ ∪ · · · ∪ Nζ ξ ), con |Fn | = n. Si definimos ahora Nξ = F1 ∪
n
1
n−1
F2 ∪ . . . se tiene que Fn ⊂ Nξ ∩ Nζ ξ ⊂ F1 ∪ · · · ∪ Fn , que es un conjunto finito. Teniendo
n
construidos todos los conjuntos Nξ , definimos
Φ(η , ξ ) = |Nη ∩ Nξ | si 1 ≤ η < ξ < ω1
Consideramos ahora una aplicación inyectiva ψ : [0, ω1 ) → [0, 1]; ésta existe ya que [0, 1]
es un conjunto no numerable. Definimos A0 como la familia de todos los subconjuntos de
[1, ω1 ) formados por un único elemento y por todos los conjuntos finitos {ξ 1 , . . . , ξn } ⊂
[1, ω1 ) tal que ξ1 < . . . < ξn y
Φ(ξi , ξ j ) ≥ j y |ψ (ξi ) − ψ (ξ j )| ≤
1
cuando 1 ≤ i < j ≤ n
i
Se observa que cualquier subconjunto de un elemento de A0 estará también en A0 . Por
fin definimos el compacto
K = {χA ; A ∈ A0 } ⊂ {0, 1}[1,ω1 )
(donde por χA denotaremos a la función característica de A), que resulta ser un compacto
de Corson que no es compacto de Gul’ko.
D EMOSTRACIÓN : Para comprobar que es compacto de Corson definimos
A = {A ⊂ [1, ω1 ); χA ∈ K}
Ahora fijamos A ∈ A y comprobaremos que es numerable. Supongamos que A es infinito,
entonces podemos encontrar ξ1 < ξ2 < . . . < ω1 tal que ξi ∈ A y |A ∩ [0, ξi ]| = i, i ∈ N.
Sea ξ = lı́mi ξi ; entonces ξ < ω1 . Entonces supongamos que existe η ∈ A ∩ [ξ , ω1 ), entonces como χA = lı́mι χFι , donde {Fι } es una red en A0 , para cada i ∈ N, el conjunto
{ξ1 , . . . , ξi , η } pertenece a A0 . Pero en este caso Φ(ξ1 , η ) ≥ i + 1 para todo i ∈ N, lo que
es imposible. Por lo tanto A será de la forma {ξ1 , ξ2 , . . . } y K es un compacto de Corson.
La prueba de que no es compacto de Gul’ko requiere más esfuerzo, y como éste es un
capítulo introductorio sólo daremos un esbozo de ésta; para los detalles véase sección 7.3
de [F]. Tomamos un punto ∞ fuera de [1, ω1 ), y definimos el conjunto Γ := [1, ω1 ) ∪ {∞}
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
15
dotándole de la siguiente topología: Cada elemento ξ ∈ [1, ω 1 ) es aislado y una subbase
de entornos de ∞ es {Γ \ A; A ∈ A }. Consideramos la aplicación δ : Γ → (C(K), τ p )
definida por δ (ξ )(k) = k(ξ ) si ξ ∈ [1, ω1 ) y δ (∞)(k) = 0 para todo k ∈ K. Se observa
que δ es un homeomorfismo de Γ en su imagen y que δ (Γ) es cerrado en (C(K), τ p ). Por
lo tanto si suponemos que K es compacto de Gul’ko, no sólo (C(K), τ p ) será numerablemente K −determinado, sino también δ (Γ) y, por tanto, Γ será también numerablemente
K −determinado. En este caso existirá un espacio compacto L y subconjuntos cerrados
Bs ⊂ L, s ∈ S (denotamos por éste último conjunto al de las sucesiones finitas de naturales), y Σ0 ⊂ NN tal que Γ es un subespacio de L y
Γ=
∞
[ \
σ ∈Σ0 n=1
Bσ |n
donde para cada σ ∈ Σ denotaremos por σ |n a los primeros n elementos de la sucesión,
es decir, (σ (1), . . . , σ (n)). Además para cada s ∈ S, definimos Cs = Bs|1 ∩ · · · ∩ Bs|n ∩ Γ,
donde n = |s| (es decir, la cantidad de elementos que tiene la sucesión finita s). Diremos
que un subconjunto de [1, ω1 ) es estacionario si interseca a cada subconjunto cerrado
y no acotado (es decir, no numerable) de [1, ω1 ). Entonces considerando los conjuntos
Cs anteriores que sean estacionarios y definiendo aplicaciones f s : Cs → [1, ω1 ), como
consecuencia del teorema de Fodor [Fo], que viene a decir que las aplicaciones acotadas
y definidas sobre conjuntos estacionarios son "constantes" sobre un subconjunto también
estacionario, por la descomposición de Γ anterior y por la construcción de A 0 , existe
una sucesión estrictamente creciente {ξi }i tal que {ξi ; i ∈ N} es un elemento de A y
además ξi ∈ Bσ |1 ∩ · · · ∩ Bσ |i ∩ Γ ⊂ L, para todo i ∈ N y para algún σ ∈ Σ0 . Sea entonces
γ ∈ L un punto de aglomeración de la sucesión {ξi }i . Entonces γ ∈ ∩∞
i=1 Bσ |i ⊂ Γ y, como
consecuencia, γ debe ser ∞. Sin embargo esto no es posible porque Γ \ {ξ 1 , ξ2 , . . . } es
entorno de ∞, lo cual nos lleva a que K no es compacto de Gul’ko.
Ejemplo 1.2.8. Compacto de Valdivia que no es compacto de Corson.
Consideramos el compacto K = [0, 1]Γ con |Γ| ≥ ℵ1 , que es compacto de Valdivia
que no es compacto de Corson.
D EMOSTRACIÓN : Consideramos el subconjunto de K
D = K ∩ Σ(Γ)
16
1.3 I NMERSIÓN EN CUBOS
que es denso por la topología de convergencia puntual que estamos considerando en K, ya
que los entornos básicos sólo fijan una cantidad finita de coordenadas. Por lo tanto K es
compacto de Valdivia. Sin embargo K no es compacto de Corson, para ver esto estudiemos
algunas definiciones. Para un espacio topológico (X, τ ) se dice que un subconjunto A es
numerablemente (resp. sucesionalmente) compacto si cada sucesión en A tiene un punto
de aglomeración en (resp. una subsucesión convergente a un punto de) A.
Definición 1.2.9. Un espacio topológico X se dice que es angélico si para cada subconjunto A ⊂ X que sea relativamente numerablemente compacto, se cumple:
(i) A es relativamente compacto.
(ii) Para cada punto x ∈ A existe una sucesión (an ) ⊂ A tal que lı́mn an = x.
Si K fuera compacto de Corson, entonces sería angélico [Ar2]. Ahora, se observa que
en un espacio angélico coinciden las nociones de conjunto compacto, numerablemente
compacto y sucesionalmente compacto. Esto nos dice que K no puede ser angélico ya que
el conjunto D definido anteriormente es sucesionalmente compacto pero no es compacto.
El hecho de que no es compacto es por ser denso en K, veamos que es sucesionalmente
compacto.
Considero (dn )n∈N ⊂ D, entonces existe un conjunto N ⊂ Γ numerable conteniendo el
soporte de cada dn tal que:
(dn0 )n∈N ⊂ [0, 1]N que es métrico y compacto
donde (dn0 )n∈N es la restricción de (dn )n∈N a N, por lo que existe una subsucesión de
(dn0 )n∈N que converge puntualmente a d ∈ [0, 1]N . Entonces d = (dn )n∈N y consideramos
d 0 = (dr0 )r∈ω1 donde:
dr0 = dn si r = n ∈ N
dr0 = 0 en otro caso
Entonces existe una subsucesión de (dn )n que converge hacia d 0 ∈ D.
1.3 Inmersión en cubos
Como consecuencia del lema de Uryshon, cualquier espacio topológico compacto
se puede sumergir en un cubo. Es decir, puede verse como subespacio de un espacio
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
17
topológico del tipo [0, 1]Γ , con Γ 6= φ , dotado de la topología producto. En el caso de ser
un compacto metrizable se puede sumergir en un cubo del tipo [0, 1]N , esto es con un
conjunto numerable de coordenadas Γ. Para los tipos de compactos del diagrama Int. I
(de la introducción), hay inmersiones en cubos de otros espacios más específicos, unas
veces por la propia definición de las clases y otras por resultados que pasamos a recordar.
Vamos a definir para cada uno de estos, el espacio donde puede sumergirse.
Para un conjunto Γ 6= φ definimos el espacio vectorial c0 (Γ) como el conjunto formado por elementos (xγ )γ ∈Γ ∈ RΓ con la propiedad de que para todo ε > 0, el conjunto
{γ ∈ Γ; |x(γ )| > ε }
es finito. Este conjunto con la norma k · k∞ es un espacio de Banach. Amir y Lindestrauss
probaron, en [A-L], que para cualquier espacio de Banach de generación débilmente compacta X existe un operador lineal, continuo e inyectivo T : X 7→ c 0 (Γ), para algún conjunto
Γ. En consecuencia, un compacto es de Eberlein si, y sólo si, es homeomorfo a un subconjunto débil compacto de c0 (Γ), para algún conjunto Γ 6= φ .
Benyamini y Stardbird, [B-St] ver también [H-Hj-Z], probaron que un compacto es
de Eberlein uniforme si, y sólo si, es homeomorfo a un subconjunto K débil compacto
de c0 (Γ) con la propiedad de que para todo ε > 0, exista N(ε ) ∈ N con la condición
|{γ ∈ Γ; |x(γ )| > ε }| < N(ε ) para cualquier x ∈ K
Dado un conjunto Γ 6= φ , denotaremos por l ∞ (Γ) al conjunto formado por (xγ )γ ∈Γ ∈
RΓ tal que
sup{|xγ |; γ ∈ Γ} < +∞
Para un espacio topológico (X, τ ) tenemos la siguiente definición, [Me]:
c1 (X) := { f ∈ l ∞ (X) : ∀ε > 0 el conjunto {t ∈ X : | f (t)| ≥ ε } es cerrado
y discreto en X}
Se observa que c1 (X) es un espacio de Banach con k · k∞ . Además para cada f ∈ c1 (X)
y cada compacto K ⊂ X se tiene que f |K ∈ c0 (K), y cuando X es compacto se cumple
c1 (X) = c0 (X). S. Mercourakis prueba en [Me] que un compacto es de Talagrand si,
y sólo si, es homeomorfo a un subconjunto de (c1 (X), τ p ) siendo X algún espacio
topológico K −analítico. También prueba que todo compacto es de Gul’ko si, y sólo
18
1.4 C ARACTERIZACIONES INTERNAS
si, es homeomorfo a un subconjunto de (c1 (X), τ p ) para X un espacio topológico
numerablemente K −determinado. P. Cízek y M. Fabian responden positivamente (en
[Ci-F]) a una pregunta propuesta por S. Argyros: Dado cualquier subconjunto Σ 0 de los
irracionales que sea coanalítico y no analítico, construyen, en el espacio de Mercourakis
c1 (Σ0 ), un compacto adecuado que es compacto de Gul’ko y no es de Talagrand.
Además, dada cualquier subconjunto Σ0 de los irracionales que no es Fσ y sí es de Borel,
construyen en c1 (Σ0 ), un compacto adecuado que es compacto de Talagrand y no es
Eberlein.
Ahora, para Σ ⊂ NN y Γ 6= φ se define, [F] y [De-Go-Z]:
c1 (Σ × Γ) := { f ∈ l ∞ (Σ) : f |K×Γ ∈ c0 (K × Γ) si K ⊂ Σ es compacto}
donde esta definición está justificada por el lema 4.10 de [Me]. En [F] se encuentra una
prueba de que todo compacto de Gul’ko es homeomorfo a un subconjunto de c 1 (Σ × Γ).
Además se puede añadir un punto ∞ al conjunto Σ×Γ y dar una topología a Σ×Γ∪{∞} de
manera que éste sea un espacio topológico numerablemente K −determinado y c 1 (Σ × Γ)
esté contenido en c1 (Σ × Γ ∪ {∞}), definición 1.3 de [Me].
1.4 Caracterizaciones internas
Rosenthal probó en 1974 una caracterización interna para los compactos de Eberlein
en función de una familia particular de abiertos, entre otras propiedades es σ −puntualmente finita y T0 −separadora X. El resto de compactos de la sección anterior tienen también su correspondiente caracterización con familias de naturaleza similar. A este tipo de
teoremas se les denomina teoremas tipo Rosenthal. Estudiaremos en esta sección el teorema tipo Rosenthal para los compactos Eberlein uniformes, Eberlein, Talagrand, Gul’ko
y Corson.
Una familia A de subconjuntos de un conjunto X se dice que es T0 -separadora de
X si para cada x, y ∈ X con x 6= y, existe un elemento de la familia A ∈ A que contiene
sólo a alguno de los dos elementos x o y. Se dice que A es T1 -separadora de X si, en la
situación anterior, existe un elemento de la familia A ∈ A tal que x ∈ A y además y 6∈ A.
En el estudio que presentamos en esta memoria sobre los compactos de Gul’ko (sección 2.5) utilizamos el retículo de compactos de un espacio métrico y separable. Veamos
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
19
la definición de estos retículos. Fijado un espacio métrico separable (M, d), se define el
retículo de los compactos de M, K (M), como la familia formada por los subconjuntos
compactos de M. Sobre este conjunto se define la métrica de Hausdorff, d H , definida por
dH (A, B) := sup{d(a, B), d(A, b) : a ∈ A, b ∈ B}
proporcionándonos el espacio métrico y separable (K (M), dH ). Esto último es consecuencia del siguiente resultado (proposición 1.4.1) del que se concluye que (K (M), d H )
tiene una base numerable (al ser M métrico y separable), antes un poco más de notación.
Dada una familia finita de abiertos O = {O1 , O2 , . . . , On } en M, definimos
(
)
hOi =
K ∈ K (M) : K ⊂
n
[
Oi y K ∩ Oi 6= 0/ para cada i = 1, . . . , n .
(1.1)
i=1
Proposición 1.4.1. Sea (M, d) un espacio métrico. Se tienen las siguientes propiedades:
(i) si O = {O1 , O2 , . . . , On } es una familia finita de subconjuntos abiertos de (M, d),
entonces hOi es abierto en (K (M), dH );
(ii) la colección
B = {hOi : O familia finita de abiertos en M}
(1.2)
es una base de la topología de (K (M), dH ).
D EMOSTRACIÓN : (i) Sea O = {O1 , O2 , . . . , On } una familia finita de subconjuntos abiertos de (M, d) y sea K ∈ hOi. Para cada i = 1, . . . , n, existe xi ∈ Oi ∩ K. Existe r0 > 0
S
tal que Bd (K, r0 ) ⊂ ni=1 Oi . Por otra parte, para cada i = 1, . . . , n existe ri > 0 tal que
Bd (xi , ri ) ⊂ Oi . Tomamos r = mı́n r j : j = 0, 1, . . . , n > 0. Así,
Bd (xi , r) ⊂ Oi , para i = 1, . . . , n,
y
Bd (K, r) ⊂
n
[
Oi .
(1.3)
(1.4)
i=1
K0
(K, K 0 )
Sea
∈ K (M) tal que dH
< r. Como K 0 ⊂ Bd (K, r), la inclusión (1.4) nos da
S
K 0 ⊂ ni=1 Oi . Por otro lado, fijemos un elemento arbitrario Oi ∈ O. Como K ⊂ Bd (K 0 , r),
existe x ∈ K 0 tal que d(x, xi ) < r. Por (1.3), x ∈ Oi , es decir, K 0 ∩ Oi 6= 0,
/ y así BdH (K, r) ⊂
hOi.
(ii) Para cada K ∈ K (M) y ε > 0, existe una familia finita O = {O1 , . . . , On } de
subconjuntos abiertos de (M, d) tal que
20
1.4 C ARACTERIZACIONES INTERNAS
a) K ⊂ ni=1 Oi ⊂ Bd (K, ε ),
T
b) para cada i = 1, . . . , n, Oi K 6= 0,
/
c) para cada i = 1, . . . , n, diam(Oi ) ≤ ε .
Así, K ∈ hOi. Afirmamos que hOi está contenido en BdH (K, ε ). Para demostrar la afirmación anterior tomamos un elemento arbitrario K 0 ∈ hOi. Por la condición a), tan sólo
tenemos que demostrar que K ⊂ Bd (K 0 , ε ). Sea x ∈ K. Por a), existe i0 tal que x ∈ Oi0 .
Como K 0 ∈ hOi tenemos que K 0 ∩ Oi0 6= 0,
/ lo cual implica por c) que existe x0 ∈ K 0 tal que
d(x, x0 ) < ε , y así x ∈ Bd (K 0 , ε ).
Para probar que B es base de la topología vemos por último que dados dos elemen
tos de B, hO1 i = O11 , . . . , O1n y hO2 i = O21 , . . . , O2m , entonces hO1 i ∩ hO2 i ∈ B. Si
S
S
2
denotamos O1 = ni=1 O1i y O2 = m
i=1 Oi , entonces
S
hO1 i ∩ hO2 i = h O1 ∩ O21 , O1 ∩ O22 , . . . , O1 ∩ O2m , O11 ∩ O2 , O12 ∩ O2 , . . . , O1n ∩ O2 i,
y así acaba la prueba.
Hay que observar también que si K es un subconjunto compacto de (K (M), d H ),
entonces el conjunto K 0 := ∪{Ω; Ω ∈ K} es un subconjunto compacto de M.
El retículo de compactos se relaciona con los espacios numerablemente K −determinados de la siguiente manera. Si X es numerablemente K −determinado entonces existirá
Σ ⊂ NN y una usco sobreyectiva ϕ : Σ −→ 2X , podemos describir Σ = ∪{K; K ∈ K (Σ)}.
Entonces definiendo XK = ϕ (K) para cada K ∈ K (Σ), tenemos una descomposición en
compactos de X = ∪{XK ; K ∈ K (Σ)} tal que XK1 ⊂ XK2 cuando K1 ⊂ K2 en K (Σ).
En el caso de los espacios topológicos K −analíticos, tenemos una familia fundamental de compactos de NN dada por
Kσ := {σ 0 ∈ NN ; σ 0 ≤ σ }, σ ∈ NN
donde para dos sucesiones σ = (an )n y σ 0 = (bn )n , el símbolo ≤ significa
σ 0 ≤ σ ⇔ bn ≤ an , n = 1, 2, . . .
Entonces como NN = ∪{Kσ ; σ ∈ NN } y, de manera similar al caso numerablemente
K −determinado, si X es K −analítico tenemos una descomposición en compactos de
X = ∪{Xσ ; σ ∈ NN }, donde Xσ ⊂ Xσ 0 si σ ≤ σ 0 en NN .
Un subconjunto de un espacio topológico se dice que es un F σ si se puede expresar
como unión numerable de cerrados.
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
21
Enunciamos a continuación el teorema tipo Rosenthal para cada uno de los compactos antes definidos:
Teorema 1.4.2 (Teoremas tipo Rosenthal).
(i) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Eberlein uniforme si y sólo
si existe una familia U σ -uniformemente puntualmente finita, formada por abiertos
Fσ y T0 -separadora de K (Benyamini, Rudin y Wage, ver [B-Ru-W]).
(ii) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Eberlein si y sólo si existe
una familia U σ -puntualmente finita, formada por abiertos F σ y T0 -separadora
en K (Rosenthal, [Ro], ver también [H-Hj-Z] y [F-H-Ha-Mon-P-Z]).
(iii) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Talagrand si y sólo si existe
una familia U puntualmente numerable, formada por abiertos F σ , T0 -separadora
en K y que se puede descomponer
U = ∪{Uσ ; σ ∈ NN }
de manera que Uσ1 ⊆ Uσ2 cuando σ1 ≤ σ2 y la subfamilia Uσ es puntualmente
finita para cada σ ∈ NN (Mercourakis, ver [Me]).
(iv) Un espacio topológico compacto K es compacto de Gul’ko si, y sólo si, existe una
familia U débilmente σ −puntualmente finita, formada por conjuntos abiertos F σ
y T0 -separadora en K (Sokolov, [So] y ver también [F]).
(iv*) Un espacio topológico compacto K es compacto de Gul’ko si, y sólo si, existe un
subconjunto no vacío Σ ⊂ NN una familia U puntualmente numerable formada por
abiertos Fσ , T0 -separadora en K, que se puede descomponer como
U = ∪{UH ; H ∈ K (Σ)}
de manera que UH1 ⊂ UH2 cuando H1 ⊂ H2 y la subfamilia UH es puntualmente
finita para cada H ∈ K (Σ) (Mercourakis [Me]).
(v) Un espacio topológico compacto K es un compacto de Corson si y sólo si existe una
familia U puntualmente numerable, formada por abiertos F σ y T0 -separadora K
(Rosenthal, ver [Ar2]).
Observación 1.4.3. Después de nuestra observación 2.4.5, la hipótesis de puntualmente
numerable en (iii) y (iv*) anteriores no será necesaria. Además después de nuestro teorema 2.4.17 se tendrá que (iv) y (iv*) son el mismo teorema.
22
1.4 C ARACTERIZACIONES INTERNAS
D EMOSTRACIÓN : Detallamos la prueba de los casos que utilizaremos en la memoria.
(ii) Compacto de Eberlein:
⇒Sea K un compacto de Eberlein, por la sección 1.3 podemos suponer que K ⊂ c 0 (Γ)
es débil compacto. Sea (In )n∈N la sucesión de intervalos cerrados de la forma [r, s] con
r, s ∈ Q y r < 0 < s.
Para cada γ ∈ Γ y n ∈ N definimos Un,γ = {k ∈ K : k(γ ) 6∈ In }, utilizando las proyecciones en cada coordenada γ se observa que cada Un,γ es un Fσ abierto en K. Si definimos Un = {Un,γ : γ ∈ Γ}, podemos considerar U = ∪n∈N Un hay que probar que U es
σ -puntualmente finita y T0 -separadora en K. Pero cada Un es puntualmente finita, porque
si I = [r, s], entonces para cada k ∈ Un,γ se tiene que |k(γ )| > mı́n [|s|, |t|] > 0 y, por tanto,
el conjunto {γ : k ∈ Un,γ } es finito, ya que k ∈ c0 (Γ). Veamos que U T0 -separadora de
K, sean k, k0 ∈ K con k 6= k0 , entonces existe alguna coordenada γ tal que k(γ ) 6= k 0 (γ ),
entonces para algún n el conjunto {k(γ ), k 0 (γ )} ∩ In tiene un único elemento, con lo cual
el conjunto {k, k0 } ∩Un,γ tiene un único elemento.
⇐Supongamos ahora que tenemos la familia U que es σ -puntualmente finita, formada por abiertos Fσ y que distingue los puntos de K, sea pues U = ∪n∈N Un , donde cada
subfamilia Un es puntualmente finita. Utilizando el lema de Urysohn [E], fijado U ∈ U n ,
existe una función continua fU : K −→ [0, n1 ] tal que:
fU (k) = 0 ⇔ k 6∈ U
Esto es cierto porque fijado U ∈ Un que es abierto, podemos escribir U = ∪+∞
i=1 Fi donde
1
Fi = Fi , entonces para cada i ∈ N existe una función f i : K −→ [0, n ] tal que f i (k) = 0 si
fi (k)
k ∈ K \U y f i (k) = 1n si k ∈ Fi , y definiendo la función fU (k) := ∑+∞
i=1 2i aseguramos lo
dicho.
Consideramos la aplicación Φ : K −→ l∞ (U ) dada por Φ(k)(U) = fU (k), que es continua si consideramos la topología de convergencia puntual en l ∞ (U ), también se cumple
que Φ(K) ⊂ c0 (U ) ya que U es σ −puntualmente finita. Veamos que también es inyectiva, para eso supongamos que k 6= k 0 son dos puntos de K, entonces existe un conjunto U ∈ U tal que {k, k0 } ∩ U es un único punto, con esto fU (k) 6= fU (k0 ), con lo cual
Φ(k) 6= Φ(k0 ). Como conclusión K es homeomorfo a un subconjunto puntualmente compacto de la bola unidad de c0 (U ), se concluye que K es homeomorfo a un subconjunto
débil compacto de c0 (U ). De manera similar se prueban (i) y (v).
(iv) Compacto de Gul’ko:
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
23
⇒ Sea K un compacto de Gul’ko, por la sección 1.3 podemos suponer que K ⊂
(c1 (Σ × Γ), τ p ) para algún Σ ⊂ NN y Γ 6= φ . Igual que en (ii) denotaremos por (In )n∈N
a la sucesión de intervalos cerrados de la forma [r, s] con r, s ∈ Q y r < 0 < s.
Para cada σ ∈ Σ, γ ∈ Γ y n ∈ N definimos Uσn ,γ = {k ∈ K : k(σ , γ ) 6∈ In }, igual que en
el caso (ii) este tipo de conjuntos son Fσ y abiertos en K. Sea ahora B = {Bn ; n ∈ N} una
base numerable para la topología de Σ (que es un espacio métrico y separable). Entonces
definimos Umn = {Uσn ,γ : σ ∈ Bm γ ∈ Γ} y U = ∪{Umn ; n, m ∈ N} que, igual que en el caso
(ii), T0 -separadora de K. Comprobemos la última condición. Fijamos U ∈ U y un punto
x ∈ K; entonces U = Uσn ,γ para algunos n, σ y γ . Entonces existe m ∈ N tal que σ ∈ Bm y
k(σ 0 , γ 0 ) ∈ In para cualesquiera σ 6= σ 0 ∈ Bm y γ 0 ∈ Γ. De hecho, si este no fuera el caso,
existirían σ 6= σm ∈ Σ, σm → σ , y γm ∈ Γ tal que k(σm , γm ) 6∈ In . Sin embargo, esto nos
llevaría a una contradicción con la definición de espacio c1 (Σ × Γ) (sección 1.3), ya que
{σ , σ1 , σ2 , . . . } es un compacto en Σ. Se concluye pues que ord(k, Umn ) es finito y que
U ∈ Umn . Sólo queda enumerar los pares (n, m) mediante números naturales.
⇐ Supongamos que tenemos una familia U que es débilmente σ −puntualmente finita, formada por abiertos Fσ y T0 -separadora, siendo U = ∪{Un ; n ∈ N} la descomposición para U . Por comodidad denotaremos Γ := U y Γn := Un para cada n ∈ N. Ahora,
para cada γ ∈ Γ consideramos la función continua πγ : K → [0, 1] que es no nula exclusivamente en γ . Entonces definimos la aplicación Φ : K → [0, 1]Γ dada por Φ(k)(γ ) = πγ (k).
Recordemos que para cada elemento (xγ )γ ∈Γ ∈ RΓ se define su soporte como
supp(x) = {γ ∈ Γ; xγ 6= 0}
Se observa que dados γ ∈ Γ y k ∈ K encontramos m ∈ N tal que γ ∈ Γm y además:
supp(Φ(k)) ∩ Γm = {U ∈ Um ; k ∈ U}
donde la cardinalidad de este último conjunto es finita, llamaremos a esta condición la
propiedad (*). En realidad estamos situándonos en las hipótesis del teorema 7.2.5 (vi) de
[F]. Ahora para probar que K es compacto de Gul’ko hay que comprobar que (C(K), τ p ) es
numerablemente K −determinado. Para ello definimos Y = {πγ ; γ ∈ Γ} ⊂ C(K), entonces
Y es T0 -separadora en K ya que Γ lo hace. Para ver que K es compacto de Gul’ko, veremos
que Y es numerablemente K −determinado, teorema 7.1.8 de [F]. Observando que (Y, τ p )
es subespacio del compacto ([0, 1]K , τ p ), para n = 1, 2, . . . definimos:
τp
An = {πγ ; γ ∈ Γn } ⊂ ([0, 1]K , τ p )
24
1.5 P ROPIEDADES GEOMÉTRICAS Y TOPOLÓGICAS
Para finalizar probaremos que para cada y ∈ Y y para cada f ∈ [0, 1]K \ Y , existe n ∈ N
tal que y ∈ An y f 6∈ An , proposición 7.1.1 (i) de [F]. Para esto fijamos y y f . Entonces
para f 6≡ 0, existirá k ∈ K tal que f (k) > 0 y encontraremos γ ∈ Γ tal que y = π γ . Por la
propiedad (*) encontraremos n ∈ N tal que γ ∈ Γn y el conjunto supp(Φ(k)) ∩ Γn es finito.
Entonces y ∈ An y, observando que
An = {πγ ; γ ∈ supp(Φ(k)) ∩ Γn } ∪ {πγ ; γ ∈ Γn \ suppΦ(k)}
τp
se concluye que f 6∈ An . De manera similar a la prueba de (iv*), se prueba (iii).
1.5 Propiedades geométricas y topológicas
Diremos que un espacio topológico (X, τ ) está σ −fragmentado por la métrica d
sobre X cuando, para cada ε > 0, podemos escribir
X=
∞
[
Xiε
i=1
donde cada conjunto Xiε , i ≥ 1, tiene la propiedad que para cada subconjunto no vacío
A ⊂ Xiε existe un conjunto abierto U ∈ τ tal que A ∩ U 6= φ y diam(U ∩ A) < ε . Se dice
que (X, τ ) es σ −fragmentable si está σ −fragmentado por alguna métrica.
El estudio de espacios fragmentables es anterior y fueron estudiados inicialmente por
J. E. Jayne y C. A. Rogers en 1985 [J-R]. Se dice que un espacio topológico (X, τ ) está
fragmentado por una métrica d cuando, para cada ε > 0, y para cada A ⊂ X existe un
conjunto abierto U ∈ τ tal que A ∩ U 6= φ y diam(U ∩ A) < ε . Se dice que un espacio
topológico es fragmentable si está fragmentado por alguna métrica.
Los compactos fragmentables tienen un teorema de caracterización interna en función
de un tipo de particiones relativamente abiertas, que estudiaremos a continuación. Esta
caracterización se debe a N. K. Ribarska, [Ri3] en 1987.
Una familia bien ordenada U = {Uξ ; ξ ∈ [0, ξ0 )} de subconjuntos de un espacio
topológico es una partición de X relativamente abierta si se cumplen las siguientes condiciones:
(i) Uξ está contenido y es relativamente abierto en X \ (∪η <ξ Uη ) para cada ξ ∈ [0, ξ0 );
(ii) X = ∪{Uξ ; ξ < ξ0 }.
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
25
La familia U se dice una partición σ −relativamente abierta de X si existen particiones relativamente abiertas Un de X, n = 1, 2, . . . , tal que U = ∪n Un .
Teorema 1.5.1 (Teorema 5.1.9 de [F]). Un espacio topológico X es fragmentable si, y
sólo si, admite una partición σ −relativamente abierta y T0 -separadora.
D EMOSTRACIÓN : Supongamos que el espacio topológico X admite una partición σ −relativamente abierta y T0 -separadora, U = ∪n Un con
Un = {Uξn ; ξ ∈ [0, ξ )}
Debido a la proposición 5.1.8 de [F], podemos asumir que cada U n+1 es un refinamiento
de Un para cada n ∈ N. Definimos una aplicación ρ : X × X −→ [0, +∞) definida por

0
si x = y,
ρ (x, y) =
(mı́n{n ∈ N; |U ∩ {x, y}| = 1 para algún U ∈ Un })−1 si x 6= y.
Se observa que ρ es una métrica sobre X. De hecho, la desigualdad triangular se puede
reemplazar por la siguiente condición, que es más fuerte:
ρ (x, y) ≤ máx{ρ (x, z), ρ (z, y)},
x, y, z ∈ X
De hecho, si x, y, z ∈ X, x 6= y, y denotamos n = ρ (x, y)−1 . Sea U ∈ Un tal que {x, y} ∩U
tiene cardinalidad uno y por tanto ρ (z, y) ≥ 1/n(= ρ (x, y)). Si z 6∈ U, entonces {x, z} ∩U
tiene cardinalidad uno y, por tanto, ρ (x, z) ≥ 1/n(= ρ (x, y)).
Además, el ρ −diámetro de Uξn es menor que 1/n para cada n ∈ N y cada ξ ∈ [0, ξn )
ya que Ui+1 es un refinamiento de Ui . Probaremos que X está fragmentado por ρ , fijamos
pues ε > 0 y un conjunto arbitrario φ 6= Y ⊂ X. Tomamos n > 1/ε y ponemos
ζ = mı́n{η ∈ [0, ξn );Y ∩Uηn 6= φ }.
S
Entonces el conjunto no vacío Y ∩Uζn es igual a Y ∩ ( η ≤ζ Uηn ) y, por tanto, es abierto en
Y . Además,
diam(Y ∩Uζn ) ≤ diam(Uζn ) < 1/n < ε
Supongamos ahora que X está fragmentado por una métrica ρ . Para cada n ∈ N construiremos una partición relativamente abierta Un de X como sigue. Fijamos n ∈ N, y
procederemos por inducción transfinita. Sea U0 = φ , y fijamos un ordinal ξ > 0 de manera
26
1.5 P ROPIEDADES GEOMÉTRICAS Y TOPOLÓGICAS
que para cada ζ ∈ [0, ξ ) tenemos un conjunto Uζ ⊂ X que está contenido en X \ η <ζ Uη
y es relativamente abierto allí y con diam(Uζ ) < 1/n. Si X = ∪η <ξ Uη , entonces finalizamos el proceso y ponemos Un = {Uη , η ∈ [0, ξ )}. En lo que sigue, asumiremos que
este no es el caso, entonces, por la hipótesis, un subconjunto Uξ relativamente abierto en
S
X \ η <ξ Uη con diámetro menor que 1/n. Este proceso debe parar en algún momento.
Claramente, Un es entonces una partición relativamente abierta de X. Queda por probar
que ∪n Un T0 -separadora de X. Fijamos dos elementos distintos x, y ∈ X, existe n ∈ N
tal que ρ (x, y) ≥ 1/n. Por lo tanto existe U ∈ Un tal que x ∈ U y, como sabemos que
diam(U) < 1/n, el elemento y no puede estar en U.
S
P. S. Kenderov y W. B. Moors probaron en 1999 [Ke-Mr] que un espacio de Banach
X con la topología débil es fragmentable por una métrica cuya topología es más fina
que la topología débil (o que la topología dada por la norma) si, y sólo si, (X, w) es
σ −fragmentable por la norma. Kenderov y Moors obtienen este resultado como consecuencia de la caracterización de la fragmentabilidad a partir de un juego, en particular,
de encontrar una estrategia ganadora para un cierto jugador (llamado Ω).
Los conceptos de norma LUR y espacio σ −fragmentable se relacionan, de manera
natural, con el concepto de propiedad Kadec (que ya definimos en la introducción). En
el caso más general, si X es un espacio de Banach y τ es una topología vectorial más
débil que la topología de la norma. Una norma se dice que es τ −Kadec si las topologías
relativas de la norma y τ coinciden sobre la esfera unidad de X. De la coincidencia en la
esfera unidad de las topologías débil y de la norma se sigue que el espacio de Banach X
tendrá la propiedad JNR.
Para acabar la cadena de implicaciones de espacios compactos en el diagrama Int.
I, vamos a recordar la clase de compactos conocidos como compactos de Namioka. Se
dice que el compacto K es un compacto de Namioka si toda función f : X −→ C p (K)
continua, siendo X un espacio de Baire, es continua en norma en un G δ denso de X.
El hecho de que K sea un compacto de Namioka es equivalente a la propiedad de que
cualquier función f : X × K 7→ R separadamente continua, siendo X un espacio de Baire,
es conjuntamente continua en un conjunto U × K siendo U un subconjunto G δ −denso
de X. Este tipo de propiedades proporciona interacciones entre la topología débil y la
topología de la norma en un espacio de Banach. Por ejemplo, como consecuencia del
teorema de continuidad conjunta de Namioka [Na] se tiene que la norma de un espacio
de Banach X fragmenta a cualquier subconjunto débil compacto K del espacio de
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
27
Banach. Además, si K es un compacto tal que C p (K) es σ -fragmentable, entonces el
compacto K es de Namioka, [J-N-R2].
El diagrama Int. I se completa entonces de la siguiente manera, donde la primera
implicación se debe a M. Valdivia [V] y las siguientes al trabajo de J. Jayne, I. Namioka
y C. A. Rogers [J-N-R] y [J-N-R2]. Un análisis previo de estas implicaciones con la
noción de espacio descriptivo se debe a R. Hansell [Ha] y [Ha2]. Para nuestro contexto, las
aportaciones de Hansell, que fueron elaboradas en términos de network, van a resultar hoy
de un mayor rango de aplicabilidad como veremos en el desarrollo de esta memoria. El
trabajo [Ha] puede considerarse pionero en la introducción sistemática de las networks en
el estudio de las propiedades descritas en el diagrama siguiente (ver [On3] y [M-O-T-V].
K es compacto de Valdivia
?
C(K) admite norma equivalente
τp inferiormente semicontinua
y LUR
?
1
C(K) admite norma
equivalente τp Kadec
?2
Cp (K) tiene la propiedad
k · k∞ -SLD
3
?
Cp (K) es σ−fragmentable
?
K es compacto de Namioka
Diagrama 1.5.1.
Señalemos que no se conocen caracterizaciones internas sobre K, para cuando se
cumple alguna de las propiedades para C(K) del diagrama 1.5.1., siendo cualquiera
de estos problemas de gran interés en la teoría de renormamiento. Además las implicaciones 1, 2 y 3 se siguen manteniendo cuando consideramos un espacio de Banach
28
1.6 P ROPIEDADES DE DIFERENCIABILIDAD
con su topología débil. No se conoce ningún ejemplo que separe la renormabilidad de
Kadec de la σ -fragmentabilidad. Los primeros ejemplos de espacios C(K) con norma
equivalente de Kadec y sin norma equivalente LUR se deben a R. Haydon [Hay]. Otros
ejemplos se han construido en [Hay-J-N-R] y han servido para análisis muy recientes en
[Bu-K-To]. De hecho en [Hay-J-N-R] se prueba que para cualquier compacto totalmente
ordenado K el espacio C(K) admite una norma equivalente que es τ p -Kadec y sin embargo cubos lexicográficos no numerables no tendrán norma equivalente LUR. Por otro lado,
I. Namioka y R. Pol han construido un compacto disperso K que es de Namioka y tal que
C p (K) no es σ -fragmentable bajo el siguiente postulado independiente de los axiomas de
ZFC:
Existe un conjunto co-analítico en [0, 1] de cardinalidad el continuo y sin subconjuntos perfectos, [Na-Po].
1.6 Propiedades de diferenciabilidad
Volviendo al diagrama 1.1.1, vamos a completar la rama de la derecha, es decir, vamos
a ver clases de espacios compactos que contienen a los compactos dispersos y que estarán
relacionados con propiedades de diferenciabilidad sobre los correspondientes espacios
C(K).
Se dice que un espacio compacto es un compacto de Radon-Nikodým si existe un
espacio de Asplund X de manera que K es homeomorfo a un subconjunto de X ∗ con
la topología débil estrella. Se cumple que un compacto es de Radon-Nikodým si está
fragmentado por alguna métrica inferiormente semicontinua, [Na3].
Un compacto K se dice que es un compacto "quasi" Radon-Nikodým, [Arv], si está fragmentado por un función f : K × K −→ [0, 1] inferiormente semicontinua tal que
f (x, y) = 0 si y sólo si x = y y tal que f (x, y) = f (y, x). No se sabe si las clases de compactos de Radon Nikodým y "quasi" Radon Nikodým son distintas, y se desconoce
una caracterización interna de los mismos. La imagen continua de un compacto quasi
Radon Nikodým sigue siendo quasi Radon Nikodým, pero no sabemos si lo mismo
sucede para imágenes continuas de los compactos de Radon Nikodým, siendo este un
problema abierto de la máxima actualidad, A. Avilés (2004) [Av].
El siguiente resultado se debe a A. D. Arvanitakis, [Arv].
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
29
Teorema 1.6.1 (A. D. Arvanitakis, 2002). Un espacio compacto K es compacto de Eberlein si, y sólo, si es compacto de Corson y "quasi" Randon Nikodým.
Para dos espacios topológicos X,Y y una aplicación usco F : X −→ 2Y , decimos que
F es usco minimal cuando F = G para cualquier G : X −→ 2Y que sea usco tal que G ⊂ F.
Se sigue del lema de Zorn que cada aplicación usco contiene al menos una usco minimal
Un espacio topológico compacto K es un espacio de Stegall si para cada espacio de
Baire X y cada usco minimal Φ : X −→ 2K existe un subconjunto Gδ denso Ω de X tal
que Φ(x) contiene un solo punto para cada x ∈ Ω. Los compactos K en la clase de Stegall contienen un Gδ denso que es completamente metrizable y son sucesionalmente
compactos, [F].
Los compactos fragmentables están en la clase de Stegall y cuando la bola unidad
del dual de un espacio de Banach X está en la clase de Stegall el espacio X será débil
Asplund, [F]. O. Kalenda ha encontrado, utilizando axiomática adicional de conjuntos,
ejemplos de espacios compactos K en la clase de Stegall que no son fragmentables,
(1999) [Ka]. Para espacios de Banach y bolas duales el problema permanece abierto.
P. Kenderov, W. Moors y S. Sciffer prueban en [Ke-Mr-Sc] (2001), utilizando axiomática
adicional de conjuntos, que existe un espacio de Banach que está en la clase de Stegall
pero cuyo dual no es débil∗ fragmentable. Posteriormente O. Kalenda prueba en [Ka2]
(2002), utilizando axiomática adicional de conjuntos, que existe un espacio de Banach
X que es débil Asplund pero no está en la clase de Stegall.
Al estudiar los compactos dispersos nos han aparecido, de manera natural, propiedades
de diferenciabilidad de funciones convexas. Acabaremos esta rama con más propiedades
de diferenciabilidad, antes recordemos el concepto de diferenciabilidad Gâteaux y diferenciabilidad Gâteaux uniforme.
Una función f definida sobre un espacio de Banach X se dice que es diferenciable
Gâteaux en x ∈ X si existe l ∈ X ∗ tal que
lı́m
t→0
f (x + th) − f (x)
= l(h)
t
para cada h ∈ X. En este caso se dice que l es la derivada de Gâteaux de f en x y lo denotaremos por l = f 0 (x). En los casos en que el límite anterior es uniforme sobre elementos
x de SX para cada h ∈ X fijo, se dice que f es uniformemente diferenciable Gâteaux. Un
espacio de Banach X se dice que es un espacio débil Asplund si toda función continua y
convexa definida en X, es diferenciable Gâteaux en un conjunto G δ denso en X.
30
1.6 P ROPIEDADES DE DIFERENCIABILIDAD
El libro [F] trata en profundidad los espacios débil Asplund y su fuerte relación con la
topología conjuntista. Al final del texto encontramos una lista de problemas y cuestiones
abiertas sobre éstos, de los que destacamos el encontrar alguna caracterización para
los espacios débil Asplund, o para los espacios diferenciables Gâteaux. Un espacio
de Banach es diferenciable Gâteaux si cada función convexa y continua es diferenciable
Gâteaux en un subconjunto denso. Cuando C(K) es débil Asplund el compacto K debe
ser sucesionalmente compacto y contener un Gδ denso y completamente metrizable,
[F].
Compacto disperso
⇐⇒
C(K) es de Asplund
?
Compacto de Radon Nikodýn
?
Compacto quasi Radon Nikodýn
?
Compacto fragmentable
z Compacto de Stegall
(BC(K)∗ , w∗ ) de Stegall
?
C(K) débil Asplund
9
Diagrama 1.6.1.
En el diagrama 1.6.1 completamos la rama de la derecha del diagrama 1.1.1.
En lo que queda de este sección, veremos algunos contraejemplos que diferencien
clases de espacios aquí presentados. El primero de ellos diferencia las dos ramas del
diagrama 1.1.1 en sus niveles más extremos y se debe a R. Haydon, [Hay].
Ejemplo 1.6.2. Compacto disperso que no es compacto de Namioka.
En el ejemplo 1.2.6 hemos introducido la noción de árbol, pero para este ejemplo
daremos una noción de árbol que generaliza a la anterior. Un árbol T es un conjunto
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
31
parcialmente ordenado (T, ≤) de manera que para cada t ∈ T , el conjunto {s ∈ T ; s ≤ t}
está bien ordenado por ≤ (capítulo VI sección 9 [De-Go-Z]). Para facilitar la notación,
introduciremos dos elementos 0 e ∞, que no están en T , de manera que 0 < t < ∞ para cada
t ∈ T . Usaremos también la noción de intervalo. Por lo tanto si s,t ∈ T , entonces (s,t] =
{u ∈ T ; s < u ≤ t}, mientras que (0, s] = {u ∈ T ; u ≤ s}. Para cada t ∈ T , denotaremos por
r(t) al único ordinal que tiene el mismo tipo de orden que (0,t). La altura h(T ) de T está
definida por h(T ) = sup{r(t) + 1;t ∈ T }. Identificaremos con frecuencia un ordinal con
el conjunto de sus predecesores.
Asumiremos siempre que el árbol T es Hausdorff, es decir, si (0,t) = (0,t 0 ) y r(t) =
r(t 0 ) es un ordinal límite, entonces t = t 0 . Dos elementos s,t de T son incomparables si no
se cumplen s ≤ t ni t ≤ s. Los subconjuntos totalmente ordenados de T se llaman cadenas,
y las cadenas maximales se llaman ramas. Los subconjuntos de T cuyos elementos son
mutuamente incomparables se llaman anticadenas.
Dotamos a T de la topología más débil τ para la cual todos los intervalos (0,t] son
abiertos y cerrados. El árbol (T, τ ) es un espacio localmente compacto y disperso cuando
le dotamos de esta topología, el cual es Hausdorff ya que T es un árbol Hausdorff. Además
identificaremos T̂ = T ∪ {∞} con la compactificación de Alexandrov de T , y denotaremos
por C0 (Λ) al espacio de funciones continuas f sobre T̂ tal que f (∞) = 0.
Sea Λ el conjunto formado por todas las aplicaciones t de ordinales α = dom(t) (necesariamente α < ω1 ) en ω0 , tal que ω0 \ Im(t) es infinito. El ordenamiento de Λ está dado
por:
t ≤ t 0 si dom(t 0 ) ≤ dom(t) y t|dom(t 0 ) = t 0
Se tiene que Λ es un árbol, y para cada t ∈ Λ, el conjunto t + es infinito numerable. Entonces se cumple que la compactificación de Alexandrov Λ̂ de Λ es un compacto disperso
que no es compacto de Namioka.
D EMOSTRACIÓN : Vamos a dotar al árbol Λ de una topología H de manera que (Λ, H )
sea un espacio topológico de Baire. Para t ∈ Λ, un sistema fundamental de H −entornos
de t consiste en los conjuntos
N(t, F) = {u ∈ Λ; u ≥ t y F ∩ Im(u) = φ }
donde F es cualquier subconjunto finito de N \ Im(t).
Sea {On }n una familia numerable de H −abiertos densos y sea N(t0 , F0 ) un conjunto
H −abierto básico. Como O1 es denso en Λ, existirá t1 ∈ N(t0 , F0 ) ∩ O1 , y un subconjunto
32
1.6 P ROPIEDADES DE DIFERENCIABILIDAD
finito F1 ⊂ N \ Im(t1 ) tal que N(t1 , F1 ) ⊂ N(t0 , F0 ) ∩ O1 . Como N \ Im(t1 ) es infinito,
podemos suponer que F1 contiene estrictamente a F0 .
Construimos por inducción una sucesión creciente {tn } en Λ, y un sucesión creciente
(Fn ) de subconjuntos finitos de N tal que para cada n ≥ 1,
N(tn , Fn ) ⊂ N(tn−1 , Fn−1 ) ∩ On
(1)
El conjunto I = ∪{Fn ; n ≥ 0} es infinito ya que la sucesión (Fn ) es estrictamente creciente
e Im(tn ) ∩ I = φ para cada n. Se sigue que t = sup(tn ) existe en Λ, y por (1)
t ∈ N(t0 , F0 ) ∩
\
{On ; n ≥ 1}
De donde (Λ, H ) es un espacio de Baire.
Para acabar la prueba consideramos la aplicación
ϕ : (Λ, H ) 7→ (C0 (Λ), τ p )
definida por ϕ (t) = 1(0,t] , que es continua. Y además, k ϕ (t) − ϕ (s) k∞ = 1 para todo s 6= t
por lo que Λ̂ no es compacto de Namioka.
Compactos sobre árboles han sido estudiados recientemente por R. Haydon, [Hay],
para suministrar contraejemplos a muchas de las implicaciones descritas aquí. Por ejemplo un espacio de la forma c0 (ϒ), donde ϒ es un árbol determinado, suministra el primer
ejemplo de compacto disperso K tal que C(K) no admite norma equivalente Fréchet
ni Gâteaux diferenciable, ni admite tampoco norma equivalente LUR. M. Jiménez y
J. P. Moreno ([Ji-M]) han considerado por su parte el s-espacio disperso y compacto que
bajo la hipótesis del continuo construye Kunen (ver [Ne], p. 1123) para ver también un
ejemplo con estas patologías.
Para ver un ejemplo de un compacto de Radon Nikodým que no sea disperso basta
considerar el compacto [0, 1]. Además para obtener un ejemplo de un compacto fragmentable que no sea "quasi" Radon Nikodým basta considerar el ejemplo 1.2.6, es
decir el compacto de Gul’ko que no es de Talagrand. El teorema 1.6.1 asegura que no
puede ser compacto de quasi Radon Nikodým, y como consecuencia de los trabajos de
G. Gruenhage ([Gr3]) y N. K. Ribarska (ver teoremas 1.7.1 y 1.5.1 [Ri3]) se observa que
todo compacto de Gul’ko es fragmentable (ver diagrama 1.7.1).
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
33
1.7 Interacción entre propiedades topológicas y de
diferenciabilidad
Hemos presentado en los diagramas anteriores dos líneas de abstracción; una
basada en propiedades estructurales y topológicas de interacción entre topologías
débiles y de la norma en espacios de Banach, que comienza por los compactos metrizables y los espacios de Banach separables y termina con los compactos con la propiedad
de Namioka y los espacios de Banach σ -fragmentables; y la otra basada en el estudio de propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas, que comienza con los
compactos dispersos y los espacios de Asplund para terminar en los espacios débil Asplund. Ambas líneas de abstracción están bien separadas desde el principio y hemos
descrito un ejemplo de R. Haydon (ejemplo 1.6.2) con un compacto disperso que no tiene
la propiedad de Namioka. Diversos resultados han ido estableciendo la interrelación entre
ambas cuestiones, y así por ejemplo el teorema de J. Orihuela, W. Schachermayer y M.
Valdivia [O-S-V] asegura que un compacto K es de Eberlein si, y sólo si, es de Corson
y de Radon Nikodým, resultado que ha mejorado A. Arvanitakis en 20002, [Arv] (ver
teorema 1.6.1).
Muy recientemente R. Deville, G. Godefroy y V. Zizler han demostrado que un compacto K es de Eberlein uniforme si, y solamente si, C(K) admite una norma equivalente uniformemente Gâteaux diferenciable, [F-Go-Z]. Para un compacto de Eberlein K que el espacio C(K) es débil Asplund está probado por E. Asplund en [As]. De
hecho, C(K) admite una norma equivalente Gâteaux diferenciable para K compacto
de Eberlein ([H-Hj-Z] y [F-H-Ha-Mon-P-Z]) y cualquier espacio de Banach con norma Gâteaux diferenciable es débil Asplund, como probaron D. Preiss, I. Namioka y B.
Phelps ([Pr-Na-Ph]), más tarde N. K. Ribarska observó cómo la bola dual es un compacto fragmentable en este caso también, [Ri2]. En un espacio C(K) débil Asplund,
K contiene un Gδ denso metrizable, propiedad que para un compacto de Eberlein se
sigue de su fragmentabilidad también, siendo así que M. Talagrand se preguntaba si
cualquier compacto de las clases que él había introducido, esto es Talagrand y Gul’ko,
tendría un subconjunto Gδ denso metrizable. En un trabajo con gran repercusión en
nuestro esquema, G. Gruenhage resolvió afirmativamente la cuestión en 1987 [Gr3],
probando que los compactos de Gul’ko tienen esta propiedad. La construcción de Gruenhage está basada en el estudio de un tipo de familias denominadas σ −distributivamente
puntualmente finitas. Esto dio lugar, a posteriori, a la definición de los espacios de Gruen-
34
1.7 P ROPIEDADES TOPOLÓGICAS Y DE DIFERENCIABILIDAD
hage. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto es σ −distributivamente
puntualmente finita si A = ∪{An ; n ∈ N}, de manera que, para cada par de puntos distintos x, y ∈ X, existe n ∈ N tal que existe A ∈ An que contiene exactamente a un de los
puntos x o y; y además, o bien ord(x, An ) = |{B ∈ An ; x ∈ B}|, o bien ord(y, An ) es finito.
Un espacio topológico compacto K es compacto de Gruenhage si admite un cubrimiento
abierto T0 -separador de K y que es σ −distributivamente puntualmente finito.
N. K. Ribarska obtiene una caracterización para los espacios topológicos de Gruenhage, que es análoga a la caracterización obtenida para los compactos fragmentables (teorema 1.5.1).
Una familia bien ordenada U = {Uξ ; 1 ≤ ξ ≤ ξ } de subconjuntos de un espacio
topológico es una partición de X G-relativamente abierta si se cumplen las siguientes
condiciones:
(i) U1 es abierto en X.
(ii) {Uξ ; 2 ≤ ξ < ξ } es una familia disjunta de subconjuntos abiertos relativos en X \U1 .
(iii) Uξ = X \ (∪{Uξ ; ξ < ξ }).
La familia U se dice una partición σ −G-relativamente abierta de X si existen particiones G-relativamente abiertas Un de X, n = 1, 2, . . . , tal que U = ∪n Un .
Podemos enunciar ya la caracterización de Ribarska [Ri];
Teorema 1.7.1. Un espacio topológico es de Gruenhage si, y sólo si, admite una partición σ −G-relativamente abierta y que T0 -separa puntos.
Vemos pues cómo los compactos de Gruenhage proporcionan un camino de conexión entre los compactos de Gul’ko y los compactos fragmentables. Todo compacto de
Gul’ko es de Gruenhage y estos son compactos fragmentables. En [Arg-Me], Argyros y
Mercourakis proporcionan un ejemplo de un compacto de Corson y de Gruenhage que
no es de Gul’ko y responde a una pregunta planteada por el propio Gruenhage. Las otras
dos preguntas planteadas por Gruenhage en [Gr3] se refieren a propiedades de cubrimiento relacionadas con los compactos de Gul’ko y como expresamos en la introducción las
resolvemos en la presente memoria.
Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que es aislada si
cada punto de ∪{A; A ∈ A } tiene un entorno que corta como mucho a un elemento de A ,
es decir, {A; A ∈ A } es discreto en su unión. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que es σ -aislada, si se puede expresar como unión numerable
de familias aisladas. Un espacio topológico compacto K es un compacto descriptivo si
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
35
tiene una network σ −aislada. Los compactos descriptivos fueron introducidos por R. W.
Hansell en su manuscrito de 1989 [Ha] y han sido estudiados en detalle en [On-R].
Que todo compacto descriptivo es de Gruenhage se sigue del estudio hecho en [On-R]
junto con las caracterizaciones de Ribarska [Ri3] donde se prueba que si un espacio
topológico (X, τ ) admite una métrica d con topología más fina que τ y tal que (X, τ )
tenga la propiedad d-SLD, entonces es de Gruenhage. Que los compactos descriptivos
admiten dicha métrica se sigue de [On-R].
L. Oncina [On2], ver también [M-O-T-V], establecen que un espacio de Banach es
descriptivo si, y sólo si, tiene la propiedad JNR. En particular prueban el siguiente
teorema:
Teorema 1.7.2. Un subconjunto A de un espacio normado tiene la propiedad JNR si, y
sólo si, A tiene una network para la norma que es σ −aislada para la topología débil.
D EMOSTRACIÓN : [Veamos la prueba de la implicación ⇒] Haremos la prueba para todo
el espacio, supongamos pues que un X tiene la propiedad JNR. Primero probaremos que
si A es una familia discreta en X, entonces podemos descomponer cada A ∈ A de manS
era numerable A = ∞p=1 A p de forma que las familias {A p ; A ∈ A } son aisladas para la
topología débil y cada p = 1, 2, . . . . Sea X (m) el conjunto de puntos de x ∈ X para los que
el cardinal del conjunto
{A ∈ A ; B(x; 1/m) ∩ A 6= φ }
es menor o igual a uno. Por la discretitud de A tenemos que X = ∪ m X (m) . Además,
por la hipótesis, se sigue que para cualquier m ≥ 1 podemos descomponer X = ∪ n Xm,n
donde para cualquier x ∈ Xm,n existe un débil abierto V que contiene a x y además el
diam(V ∩ Xm,n ) < 1/m. Entonces para cualquier A ∈ A definimos
Am,n := A ∩ Xm,n ∩ X (m)
y se tiene que A = ∪m,n Am,n . Además de la definición de estos conjuntos se tiene que la
familia {Am,n ; A ∈ A } es aislada para la topología débil.
Ahora como todo espacio métrico tiene una base σ −discreta, podemos fijar una base
B = ∪n Bn para la topología dada por la norma donde cada subfamilia B n es discreta en
X. Ahora, para cada B ∈ Bn podemos descomponer B = ∪ p B p donde {B p ; B ∈ Bn } es
aislada para la topología débil. Entonces la familia
[[
{B p , B ∈ Bn }
n
p
36
1.7 P ROPIEDADES TOPOLÓGICAS Y DE DIFERENCIABILIDAD
es una network para la topología dada por la norma y es σ −aislada para la topología débil.
El teorema 1.7.2 conecta la propiedad Kadec (ver diagrama 1.5.1) con la existencia
de este tipo de networks estudiadas por Hansell en [Ha2]. Así vemos que si un espacio de Banach X tiene una norma equivalente Kadec, entonces tiene una network
para la norma σ −aislada en la topología débil. El recíproco sigue siendo, actualmente, un problema abierto del máximo interés. Su verificación proporcionaría una
caracterización de la renormabilidad de Kadec con la que los métodos de transferencia
de [M-O-T-V3] serían aplicables y los problemas planteados por ejemplo en [Bu-K-To]
podrían resolverse.
Aunque no se dice explícitamente, en [M-O-T-V] también obtienen el siguiente resultado (ver [M-O-T-V3]):
Teorema 1.7.3 (Moltó-Orihuela-Troyanski-Valdivia, 2002, [M-O-T-V3]). Un espacio
normado tiene la propiedad sJNR si, y sólo si, tiene network para la topología dada por
la norma que es σ −aislada respecto a semiespacios.
Respecto a este último resultado diremos que en el corolario 3.5.8 (teorema 15 de la
introducción), obtenemos una generalización, en el sentido de pasar de familias "aisladas"
a "localmente finitas", como ya dijimos en la introducción.
Cualquier espacio con una network σ −aislada tiene propiedades de cubrimiento. En
particular es hereditariamente débilmente θ −refinable (o hereditariamente débilmente
submetacompacto), es decir, cada colección de conjuntos abiertos (no necesariamente un
cubrimiento) tiene un refinamiento σ −aislado.
Un espacio topológico compacto K es compacto de Namioka-Phelps si es homeomorfo a un subconjunto débil estrella compacto de un espacio de Banach dual que tiene
una norma dual LUR. Se cumple que un compacto es de Namioka-Phelps si, y sólo si,
es descriptivo es de Radon-Nikodým. Además un compacto es de Namioka-Phelps
si, y sólo si, es hereditariamente débilmente θ −refinable y es compacto de RadonNikodým. De hecho, ser hereditariamente débilmente θ -refinable y σ -fragmentable por
una métrica d equivalen a tener la propiedad d-SLD como R. Hansell puso de manifiesto
a través del concepto de espacio descriptivo ([M-O-T-V], [On2]).
En este último tipo de compactos aparece, de nuevo, la conexión con renormamientos.
Veamos en el siguiente diagrama la relación de estos nuevos compactos, entre ellos y
con los estudiados previamente. Cuando ponemos C(K) es τ p − < LUR > significa que,
1. C OMPACTOS QUE SURGEN DEL A NÁLISIS F UNCIONAL
37
C(K) admite una norma equivalente τ p −inferiormente semicontinua y LUR. El resultado
para compactos de Namioka-Phelps ha sido recientemente obtenido por R. Haydon y en
su prueba las propiedades de tipo network han sido determinantes. Para un espacio de
Banach este resultado significa que si X ∗ tiene una norma dual LUR, entonces X admite
una norma equivalente LUR.
Numerable ⇔ Disperso + Metrizable
quasi Radon Nikodým
+
?
Radon Nikodým
Corson
Namioka-Phelps ⇔
+
m
Descriptivo
Eberlein
?
Descriptivo
*
?
Gruenhage
^
Radon-Nikodým
Gul’ko
R^
Fragmentable
C(K) es τp − < LU R >
Diagrama 1.7.1.
La siguiente propiedad ha sido estudiada por L. Oncina [On3]: un espacio topológico
(X, τ ) se dice que tiene la propiedad LSP si existe una métrica d sobre X generando una
topología más fina que τ de manera que para cualquier x ∈ X existe un conjunto numerable
S(x) conteniendo a x tal que
d
τ
A ⊂ ∪{S(x); x ∈ A}
para cualquier subconjunto A ⊂ X. Un compacto K de Radon-Nikodým es de Eberlein
si, y sólo si, K tiene la propiedad LSP ([On3]); y para un espacio de Banach X para el
k·k
que existe un espacio de Asplund E y una aplicación T : E 7→ X con T (E) = X son
38
1.7 P ROPIEDADES TOPOLÓGICAS Y DE DIFERENCIABILIDAD
equivalentes ser de generación débilmente compacta y el que (BX ∗ , w∗ ) tenga la LSP.
Además un espacio de Banach X es Asplund y de generación débilmente compacta si,
y solamente si, BX ∗ tiene la LSP con la métrica asociada a la norma del dual [On4].
Vemos pues como esta LSP es una propiedad de conexión entre las propiedades descritas
para las dos ramas de nuestro diagrama (diagramas Int. I, 1.1.1 y 1.6.1). Más aún en
su reciente trabajo, Dow, Junnila y Pelant [D-J-P2] han caracterizado la LSP sobre un
espacio topológico (X, τ ) por tener network σ -disjunta y puntualmente numerablemente
extendible, lo que entre otras cosas permite demostrar que todo compacto de Gul’ko tiene
la propiedad LSP y que todo compacto con la LSP es de Corson, al mismo tiempo que nos
ha servido para obtener caracterizaciones con “networks extendibles” para los compactos
de Gul’ko que vamos a presentar en el siguiente capítulo.
Caso particularmente relevante de interrelación entre las dos ramas de nuestro diagrama es, por ejemplo, cuando el espacio de Banach X admite norma LUR y su dual norma
dual LUR, esto es, espacios de Asplund con bola dual descriptiva y renormables LUR,
[R4], [M-O-T-V], [On-R], en los que se verifica el teorema de H. Toru ńczyk, [Tor], de
aproximación uniforme de funciones continuas por funciones de clase C 1 , así como la
existencia de particiones de la unidad de clase C 1 subordinadas a cualquier cubrimiento
abierto del espacio de Banach X. Remarquemos que es un problema abierto de gran interés dilucidar si C(K) es renormable LUR para cualquier espacio compacto descriptivo
K.
2
Networks para distintas clases de
espacios compactos.
Los espacios "métricos generalizados" son clases de espacios topológicos definidos
por alguna propiedad que poseen todos los espacios métricos y que hace que sean, de
alguna forma, cercanos a los espacios métricos, ver [Gr]. Así, por ejemplo, el teorema
de Bing-Nagata-Smirnov, [E], nos dice que los espacios métricos se caracterizan por el
hecho de tener una base σ −discreta de su topología. Se definen los σ −espacios como
los espacios topológicos con una network σ −discreta, la clase de los σ −espacios son un
claro ejemplo de espacio métrico generalizado. Estudiaremos en este capítulo las distintas
clases de espacios compactos del diagrama Int. II (Introducción) a través de propiedades
de espacios métricos generalizados. Como consecuencia de nuestro análisis responderemos las cuestiones que quedaban pendientes en el trabajo de G. Gruenhage [Gr3] en la
sección 4 de este capítulo.
2.1 Compactos metrizables
Definición 2.1.1. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que
es:
40
2.1 C OMPACTOS METRIZABLES
(i) Discretamente extendible si tiene una extensión abierta discreta, es decir, existe una
familia de abiertos U = {UA ; A ∈ A } cumpliendo que A ⊂ UA para todo A ∈ A y,
para cada x ∈ X, existe un abierto V 3 x tal que
|{A ∈ A ;V ∩UA 6= φ }| ≤ 1
(ii) σ −Discretamente extendible si se puede escribir
A =
∞
[
An
n=1
tal que cada subfamilia An tiene una extensión abierta discreta.
El siguiente resultado caracteriza los compactos metrizables a través de tipos de network y recoge hechos bien conocidos [Gr]. Los incluimos aquí como motivación a nuestros resultados posteriores. Este resultado es, esencialmente, el teorema de Sneider (1945)
[Gr]. Damos la prueba para que el trabajo sea autocontenido.
Teorema 2.1.2. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es metrizable.
(ii) K tiene una network σ −discretamente extendible.
(iii) K tiene una network σ −discreta.
(iv) La diagonal de K, ∆ := {(x, x); x ∈ K}, es un Gδ en K 2 .
D EMOSTRACIÓN : (i) ⇒ (ii) Los compactos metrizables son compactos con base numerable para la topología, por el teorema de metrización de Urysohn [E], la base nos da la
network y la extensión.
(ii) ⇒ (iii) Se observa que una familia discretamente extendible es discreta y una
familia σ −discretamente extendible es σ −discreta.
(iii) ⇒ (iv) Como estamos trabajando en espacios topológicos regulares, no es restrictivo suponer que los elementos de la network N para K son cerrados, y la network sigue
siendo σ −discreta. Además, todo cerrado en K es un Gδ , veámoslo; Si H ⊂ K es cerrado,
definimos:
Un := K \ ∪{N ∈ Nn ; N ∩ H = φ }
donde N = ∪n Nn . Entonces cada conjunto Un es abierto ya que cada subfamilia Nn es
discreta, y la unión de conjuntos cerrados de una familia discreta es un conjunto cerrado.
Además H = ∩nUn ; ya que H ⊂ Un para todo n ∈ N, además si x ∈ ∩nUn , sea U 3 x abierto,
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
41
entonces ∃N ∈ Nn (para algún n) tal que x ∈ N ⊂ U. Como x ∈ Un y x ∈ N ⊂ Nn , se tiene
que N ∩ H 6= φ , por lo que U ∩ H 6= φ , es decir, x ∈ H = H. Entonces si K tiene una
network σ −discreta, K 2 tiene también una network σ −discreta y, aplicando el párrafo
anterior, la diagonal ∆ = {(x, x), x ∈ K} es un Gδ en K 2 .
(iv) ⇒ (i) Esta implicación es el teorema de Sneider (1945), teorema 2.13 de [Gr]. Por
hipótesis, podemos expresar ∆ = ∩nUn con Un ⊂ K 2 abierto para todo n ∈ N.
Ahora, para cada x ∈ K y n ∈ N, sea G(n, x) un entorno abierto en K conteniendo a x
y tal que
G(n, x) × G(n, x) ⊂ Un
Entonces Gn = {G(n, x); x ∈ K} es un cubrimiento abierto de K, por tanto tiene un subcubrimiento finito, que denotaremos también por Gn (y trabajaremos con él a partir de
ahora). Además podemos asumir que Gn+1 refina a Gn para cada n ∈ N, ya que si éste
no fuera el caso, podríamos reemplazar Gn por Gn0 = {∩i≤n Gi ; Gi ∈ Gi }. Por regularidad y
compacidad, podemos suponer que dado U ∈ Gn , existirá V ∈ Gn−1 tal que U ⊂ V .
Entonces si dado x ∈ K y n ∈ N definimos
St(x, Gn ) = ∪{G ∈ Gn ; x ∈ G}
se cumplirá que
{x} =
+∞
\
St(x, Gn ) =
n=1
Comprobemos la primera igualdad, si y ∈
mos elegir zn ∈ K tal que
+∞
\
St(x, Gn )
n=1
+∞
∩n=1 St(x, Gn )
(2.1)
entonces para cada n ∈ N pode-
(x, y) ∈ G(n, zn ) × G(n, zn ) ⊂ Un
por lo que x = y. Para la segunda igualdad basta observar que
St(x, Gn ) = ∪{G; x ∈ G ∈ Gn } ⊂ St(x, Gn−1 )
Supongamos ahora que x ∈ U, con U un abierto de K. Entonces
{U} ∪ {K \ St(x, Gn ); n ∈ N}
es un cubrimiento abierto de K (por la igualdad (2.1)), por lo que existe un subcubrimiento
finito. De esto se sigue que existe n ∈ N tal que St(x, Gn ) ⊂ U, veamoslo; por lo anterior
existen n1 , . . . , nl ∈ N (para algún l ∈ N) tales que la familia
{U}
[
∪{K \ St(x, Gni ); i ∈ {1, . . . , l}}
42
2.1 C OMPACTOS METRIZABLES
cubre K. Supongamos entonces que para todo n ∈ N St(x, Gn ) 6⊂ U, en ese caso para
cada n ∈ N existirá un punto yn ∈ St(x, Gn ) ∩ (K \U). Como K \U es compacto, podemos
suponer que existe y ∈ K \U tal que lı́mn→∞ yn = y. Entonces y ∈ K \ St(x, Gni0 ) para algún
i0 ∈ {1, . . . , l}, por lo que existirá nl ∈ N tal que ∀n ≥ nl se tiene que yn ∈ K \ St(x, Gni0 ),
pero esto es absurdo porque para todo n ≥ ni0 se cumple
yn ∈ St(x, Gn ) ⊂ St(x, Gni0 )
Por lo tanto G = ∪n Gn es una base numerable para K, de lo que se concluye que K es
metrizable.
El resultado anterior es cierto también si suponemos que K es sólo numerablemente
compacto, (teorema 2.14 de [Gr], teorema de Chaber (1976)).
Veremos ahora qué propiedad de cubrimiento hereditaria caracteriza la metrizabilidad de compactos. Estudiaremos el teorema 2.6 de [Gr2] que afirma que un compacto
es metrizable si, y sólo si, su cuadrado es hereditariamente paracompacto, con el mismo
fin que el teorema anterior: encauzarnos en nuestros resultados posteriores para clases de
espacios compactos de las definidas en la introducción (diagrama Int.I).
Antes hay que estudiar algunas nociones y resultados previos.
Definición 2.1.3. Dado un ordinal infinito k, si X es un conjunto arbitrario con |X| = |k|,
fijamos un punto p ∈ X y definimos la topología τ que consiste en conjuntos de X que no
contienen a p y conjuntos de X que tienen complementario finito. Llamaremos al espacio
A(k) = (X, τ ) la compactificación por un punto de un espacio discreto de cardinalidad
|k|.
El siguiente resultado es el lema 2.5 de [Gr2].
Lema 2.1.4. Si k es un ordinal no numerable, entonces A(k)2 \ ∆ no es normal.
D EMOSTRACIÓN : Sea p el punto no aislado de A(k). Definimos
H := {(x, p); x 6= p}, K := {(p, x); x 6= p}
Entonces H y K son subconjuntos disjuntos y cerrados de A(k)2 \ ∆. Para comprobar que
son cerrados basta observar que
H = (A(k) × {p}) ∩ A(k)2 \ ∆ y K = ({p} × A(k)) ∩ A(k)2 \ ∆
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
43
donde A(k) × {p} y {p} × A(k) son cerrados en A(k)2 .
Supongamos ahora que U es un conjunto abierto conteniendo a H. Para cada x 6=
p, U contiene todos los puntos de {x} × A(k) salvo una cantidad finita. Por lo tanto, si
{xn ; n ∈ N} es un subconjunto infinito numerable de A(k) \ {p}, existe y ∈ A(k) \ {p} tal
que (xn , y) ∈ U para cada n ∈ N. Probemos esto último, para cada n ∈ N consideramos el
conjunto Yn infinito no numerable, tal que Yn ⊂ A(k) \ {p}, {xn } × Yn ⊂ U y A(k) \ Yn es
finito. Ahora fijamos el conjunto Y = ∩∞
n=1Yn que ha de ser no vacío (por cardinalidad)
y tomamos y ∈ Y (que será distinto a p), así (xn , y) ∈ U ∀n ∈ N. Probemos ahora que
(p, y) ∈ U ∩ K, si V1 × V2 es un abierto que contiene a (p, y), entonces A(k) \ V1 ha de
ser finito, y por tanto, existe n ∈ N tal que xn ∈ V1 , es decir, (xn , y) ∈ (V1 × V2 ) ∩ U, así
U ∩ K 6= φ . Por lo que H y K no pueden ser separados.
Para la prueba del teorema 2.6 de [Gr2], necesitaremos probar un teorema (teorema
2.1.9) del tipo teorema de Miscenko (teorema 284 de [H-Hj-Z]). Para la prueba del teorema 2.1.9 son necesarios unos lemas previos y el estudio del concepto de ∆−sistema.
Definición 2.1.5. Una familia A de subconjuntos de un conjunto X se dice que es un
∆−sistema de raíz R ⊂ X, si para cada dos conjuntos distintos A, B ∈ A se cumple que
A ∩ B = R.
El siguiente resultado es un caso particular del resultado conocido como lema del
∆-sistema probado por Sanin (lema 2.4 de [Ho]).
Lema 2.1.6 (Lema del ∆-sistema). Sea A una familia no numerable de subconjuntos
finitos del conjunto X. Entonces existe una subfamilia no numerable B ⊂ A y un conjunto
finito R ⊂ X tal que B es un ∆−sistema de raíz R.
D EMOSTRACIÓN : No es restrictivo suponer que existe n > 0 un entero tal que cada elemento de A tiene n elementos. Haremos la prueba por inducción sobre n, si n = 1 basta
considerar R = φ . Supongamos que n > 1 y que el teorema es cierto para n − 1. Sea A 0
una subfamilia maximal de A formado por conjuntos que son, dos a dos, disjuntos. Si A 0
es no numerable, se acaba la prueba tomando de nuevo R = φ . Supongamos pues que A 0
es numerable, por la maximalidad de dicha familia, existirá algún elemento p ∈ ∪A 0 que
está en una cantidad no numerable de conjuntos de A . La prueba se completa aplicando
la hipótesis de inducción a la familia {A \ {p}; A ∈ A , p ∈ A}.
44
2.1 C OMPACTOS METRIZABLES
Observación 2.1.7. El lema del ∆−sistema también es cierto si A es una familia numerable formada por conjuntos de la misma cardinalidad. De hecho, la misma prueba
funciona con la siguiente adaptación: si A 0 , subfamilia maximal de A formada por conjuntos dos a dos disjuntos, es finita existirá algún p ∈ ∪A 0 que está en una cantidad
numerable de conjuntos de A y se completa la inducción como antes; en caso contrario
tomaremos B = A 0 y raíz R = φ .
En 1962, Miscenko probó que un espacio compacto con una base puntualmente numerable tiene una base numerable. En 1968, Filippov generalizó este resultado probando que
un espacio Hausdorff es metrizable si, y sólo si, es un "p-espacio paracompacto" con una
base puntualmente numerable. Para probar este teorema Filippov usó un resultado combinatorio, ahora llamado lema de Miscenko, el cual fue sacado de la prueba de Miscenko.
Enunciaremos y probaremos un caso particular del lema de Miscenko (que es el resultado
mencionado en la primera linea) que utilizaremos en la prueba del teorema 2.1.9.
Lema 2.1.8. Sea A una familia de subconjuntos de X puntualmente numerable. Entonces el número de cubrimientos finitos y minimales de X formado por elementos de
A es numerable.
D EMOSTRACIÓN : Supongamos que el resultado no es cierto, y sea {A α } una colección
no numerable de cubrimientos finitos minimales y distintos de X formados por elementos
de A . Por el lema del ∆−sistema (lema 2.1.6), podemos suponer que existe una subfamilia B ⊂ A tal que Aα ∩ Aβ = B cuando α 6= β . Además B no es un cubrimiento de X,
para ver esto basta elegir α tal que Aα 6= B y usar el hecho de que Aα es un cubrimiento
minimal de X. Fijemos p 6∈ ∪B. Para cada α elegimos Aα ∈ Aα tal que p ∈ Aα . Sean
α , β distintos, como p 6∈ ∪B y Aα ∩ Aβ = B, se sigue que Aα 6= Aβ . Como consecuencia p estará en una cantidad no numerable de elementos de A , lo cual nos lleva a una
contradicción, y se concluye la prueba.
Teorema 2.1.9. Un espacio topológico compacto K es metrizable si, y sólo si, tiene una
familia A puntualmente numerable formada por subconjuntos abiertos de K que es T1 separadora.
D EMOSTRACIÓN : Veamos que la condición necesaria. Sea (K, d) el espacio métrico compacto, denotamos por An una familia finita formada por las bolas abiertas de radio n1 que
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
45
cubren K. Si definimos A = ∪n∈N An hemos acabado porque cumple las condiciones del
enunciado.
Probamos ahora la condición suficiente. Para ello seguimos la prueba del teorema 7.6
de [Gr] (donde sólo se supone que K es numerablemente compacto). Vamos a comprobar
que K 2 tiene una Gδ diagonal (con lo cual obtendremos el resultado al aplicar el teorema
2.1.2). Primero notemos que K 2 tiene un cubrimiento abierto puntualmente numerable y
T1 -separador, que denotaremos por U . Siendo ∆ la diagonal de K 2 , consideramos:
V := {∪U 0 : U 0 ⊂ U es un cubrimiento finito y minimal de ∆}
Aplicando el lema 2.1.8, se tiene que V es numerable. Por lo tanto queda probar que
∆ = ∩V . Supongamos que p ∈ K 2 \ ∆. Para cada x ∈ ∆, elegimos Ux ∈ U con x ∈
Ux ⊂ K 2 \ {p}. Entonces {Ux ; x ∈ ∆} es un cubrimiento abierto de ∆, además como ∆
es homeomorfo a K (y por lo tanto compacto) podemos asegurar que {Ux ; x ∈ ∆} contiene un subcubrimiento finito y minimal que denotaremos por U 0 . Como consecuencia
∆ ⊂ ∪U 0 ⊂ K 2 \ {p} y, por lo tanto, p no puede estar en ∩V .
Precisamos el siguiente resultado (ver teorema 5.1.27 de [E]):
Proposición 2.1.10. Todo espacio topológico (X, τ ) que sea localmente compacto y paracompacto, tiene una partición {Sα }α ∈I tal que cada Sα es abierto y σ −compacto.
D EMOSTRACIÓN : Para cada x ∈ X elegimos un entorno Ux de x tal que su clausura es
compacta, y tomamos un refinamiento abierto y localmente finito V , del cubrimiento
{Ux }x∈X de X. Para cada V ∈ V y cualquier x ∈ V existe un entorno Wx de x que corta sólo
a una cantidad finita de miembros de V . Como V ⊂ V ⊂ ∪{Wx ; x ∈ V } y V es compacto, el
conjunto V está contenido en una unión finita de conjuntos de la familia {Wx }x∈X . Por lo
tanto cada V ∈ V corta sólo a una cantidad finita de miembros de V . Fijado un elemento
V0 ∈ V , consideramos la subfamilia Sk (V0 ) ⊂ V formada por aquellos conjuntos V ∈ V
para los cuales existe una sucesión V1 ,V2 , . . . ,Vk de miembros de V tal que Vk = V y
Vi ∩ Vi+1 6= φ para i = 0, 1, . . . , k − 1; además definimos S (V0 ) = ∪{Sk (V0 ); k ≥ 1} y
el conjunto abierto S(V0 ) = ∪{S; S ∈ S (V0 )} ⊂ X. Se observa que las familias Sk (V0 )
son todas finitas, lo que implica que S (V0 ) son familias numerables. Además para V0 y
V00 ∈ V , los conjuntos S(V0 ) y S(V00 ) o bien coinciden, o son disjuntos. De esto se deduce
que los conjuntos S(V0 ) son también cerrados, y de la igualdad S(V0 ) = S(V0 ) se tiene que
S(V0 ) = {V ;V ∈ S (V0 )}, por lo que es σ −compacto.
El siguiente resultado es el teorema 2.6 de [Gr2]:
46
2.1 C OMPACTOS METRIZABLES
Teorema 2.1.11. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es metrizable.
(ii) K 2 \ ∆ es paracompacto.
(iii) K 2 es hereditariamente paracompacto.
D EMOSTRACIÓN : (i) ⇒ (iii) Aplicamos el teorema de A. H. Stone, en el que se prueba
que todo espacio métrico es paracompacto, ( teorema 4.4.1 de [E]).
(iii) ⇒ (ii) No hay nada que probar.
(ii) ⇒ (i) Supongamos que K 2 \ ∆ es paracompacto, pero K no es metrizable. Por la
proposición 2.1.10 existirá una partición {Sα ; α ∈ I} de K 2 \ ∆, tal que cada Sα es abierto
y σ −compacto. Para cada α , existen abiertos disjuntos Uα ,n y Vα ,n , n ∈ N, de K tal que
Sα =
+∞
[
Uα ,n ×Vα ,n
n=1
Definimos la familia
W = {Uα ,n ; α ∈ I, n ∈ N} ∪ {Vα ,n ; α ∈ I, n ∈ N}
Entonces W distingue fuertemente puntos de K, esto es, es T1 -separadora ya que si x 6= y,
elegimos α , n tal que (x, y) ∈ Uα ,n × Vα ,n ; entonces x ∈ Uα ,n ⊂ K \ {y}. Ya que K no es
metrizable, la familia W no puede ser puntualmente numerable por el teorema 2.1.11. Por
lo tanto, sin pérdida de generalidad, existe un punto x ∈ K, un subconjunto no numerable
A ⊂ I, y n(α ) ∈ N para cada α ∈ A, tal que
x∈
\
α ∈A
Uα ,n(α )
Consideramos la colección V = {Vα ,n(α ) ; α ∈ A}. Ya que {Uα ,n(α ) ×Vα ,n(α ) ; α ∈ A}
es una colección discreta en K 2 \ ∆, entonces V es discreta en K \ {x}. Por lo tanto si
elegimos puntos y(V ) ∈ V para cada V ∈ V , entonces Y = {x} ∪ {y(V );V ∈ V } es homeomorfo a la compactificación por un punto de un espacio discreto no numerable, y por el
lema 2.1.4 Y 2 \ ∆ no es normal. Por otro lado Y 2 \ ∆ es un subconjunto cerrado de K 2 \ ∆,
por tanto paracompacto, entonces Y 2 \ ∆ es normal, [E], lo que es absurdo. Se concluye
pues que K debe ser metrizable.
Resumimos en el siguiente corolario el tipo de propiedades que trataremos de analizar
en el caso no metrizable para algunas de las clases de compactos introducidos en la introducción (diagrama Int. I), como los compactos de Eberlein, Eberlein uniforme, Talagrand
y Gul’ko.
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
47
Corolario 2.1.12. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es metrizable.
(ii) K 2 \ ∆ es paracompacto.
(iii) K 2 es hereditariamente paracompacto.
(iv) K tiene una network σ −discreta.
2.2 Compactos de Eberlein
A. Dow, H. Junnila y J. Pelant estudian en [D-J-P2] condiciones sobre networks para
que caractericen a la propiedad LSP introducida por L. Oncina en [On3, On4] y en su
análisis del caso compacto sitúan dicha propiedad entre los compactos de Gul’ko y los
compactos de Corson, extendiendo el resultado de L. Oncina [On3] y planteándose caracterizaciones intermedias. Es nuestro propósito en esta sección analizar sus aportaciones
para los compactos de Eberlein ya que sobre ellas están fundamentadas nuestros resultados posteriores. En particular se da la siguiente definición.
Definición 2.2.1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
es:
(i) Puntualmente finitamente extendible si A tiene un extensión abierta puntualmente
finita, es decir, existe una familia {UA ; A ∈ A } de conjuntos abiertos tales que se
cumple A ⊂ UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia {A ∈ A ; x ∈ UA }
es finita.
(ii) σ −Puntualmente finitamente extendible si podemos escribir:
A =
[
An
n∈N
donde cada subfamilia An tiene una extensión abierta puntualmente finita.
Este último concepto va a servir para caracterizar a los compactos de Eberlein, tal
y como se recoge en el reciente trabajo [D-J-P2]. El siguiente resultado es el lema 4.16
de [D-J-P2], aunque la prueba que presentamos aquí va más en la línea de la prueba del
teorema 7.5 de [Ha]. Esta prueba pone de manifiesto propiedades de esta network y de
su extensión que utilizaremos en las secciones siguientes donde presentamos nuestras
aportaciones originales.
48
2.2 C OMPACTOS DE E BERLEIN
Teorema 2.2.2. Para cualquier conjunto Γ 6= φ los espacios topológicos (c 0 (Γ), w) y
(c0 (Γ), τ p ) tienen una network σ −puntualmente finitamente extendible.
D EMOSTRACIÓN : Fijamos una base numerable I = {In ; n = 1, 2, . . . } para la topología de
R \ {0} formado por intervalos abiertos de manera que para cada n existe un ε > 0 tal
que, o bien In ⊂ (−∞, −ε ), o In ⊂ (ε , +∞). Fijamos un n ∈ N y los primeros n elementos
de I; i.e. In := {I1 , I2 , . . . , In }. Para cada Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n consideraremos aplicaciones ϕ :
Λ −→ In , es decir elegimos "puertas" de In para cada elemento γ ∈ Λ, y necesitamos sólo
conjuntos finitos, |Λ| < +∞, para describir la topología τ p . Por tanto consideramos, para
cada n ∈ N fijado,
Mn := {(Λ, ϕ ); Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In }
y definimos para (Λ, ϕ ) ∈ Mn el conjunto τ p −abierto

ϕ (γ )
R(Λ, ϕ ) := c0 (Γ) ∩ ∏ Rγ donde Rγ =
R
γ ∈Γ
si γ ∈ Λ,
en otro caso.
Más aún, para cada m ∈ N definimos

ϕ (γ )
Rm (Λ, ϕ ) := c0 (Γ) ∩ ∏ Rγ donde Rγ =
(−1/m, 1/m)
γ ∈Γ
si γ ∈ Λ,
en otro caso
y tenemos
· · · Rm+1 (Λ, ϕ ) ⊂ Rm (Λ, ϕ ) ⊂ · · · ⊂ R(Λ, ϕ )
y la familia
Rn := {R(Λ, ϕ ); (Λ, ϕ ) ∈ Mn }
está formada por subconjuntos τ p −abiertos de c0 (Γ) y es una familia puntualmente finita
en c0 (Γ) para cada n ∈ N. Esto es cierto debido a que las "puertas" que se pueden elegir
con los conjuntos abiertos de la familia Rn están sólo en el conjunto finito In = {I1 , · · · , In }
y cada I j ∈ In no contiene al 0. Definimos para m, n ∈ N
Rm,n := {Rm (Λ, ϕ ); (Λ, ϕ ) ∈ Mn }
y se tiene que ∪∞
m,n=1 Rm,n es una base para la topología de la norma k · k∞ en c0 (Γ) y
cada familia Rm,n tiene por extensión a la familia Rn que está formado por conjuntos
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
49
τ p −abiertos y es una familia puntualmente finita en c0 (Γ). De hecho, si f ∈ c0 (Γ) y
m ∈ N, si k f k∞ < m1 , tomamos Λ = 0,
/ en otro caso definimos
Λ = {γ1 , γ2 , . . . , γk } = {γ ∈ Γ : | f (γ )| ≥
1
}
m
y elegimos Ini ∈ I para i = 1, 2, . . . , k, tal que
f (γi ) ∈ Ini ⊂ ( f (γi ) −
1
1
, f (γi ) + ).
m
m
Sea n = máx{k, n1 , n2 , . . . , nk } y definimos ϕ : Λ → {I1 , I2 , . . . , In } tal que ϕ (γi ) = Ini para
i = 1, 2, . . . , k. Entonces (Λ, ϕ ) ∈ Mn y
f ∈ Rm (Λ, ϕ ) ⊂ Bk·k∞ ( f ,
1
).
m
Por lo tanto tenemos que N = ∪∞
m,n=1 Rm,n es una network σ -puntualmente finitamente
extendible en (c0 (Γ), τ p ).
Hagamos ahora la construcción para (c0 (Γ), w). Ya que en c0 (Γ) coinciden las topologías puntual y débil sobre los conjuntos acotados, para cada k ∈ N consideramos el conjunto Bk = { f ∈ c0 (Γ); k f k∞ ≤ 1k }. Entonces la familia
N ∗ := {N ∩ Bk ; k ∈ N, N ∈ N }
es una network para (c0 (Γ), w), ya que si f ∈ c0 (Γ) y V es un débil abierto conteniendo
a f , entonces existirá un k ∈ N tal que f ∈ V ∩ Bk . Como en Bk coinciden las topologías
débil y puntual, se tiene que existe N ∈ N tal que
f ∈ N ∩ B k ⊂ V ∩ Bk ⊂ V
Además esta familia N ∗ es σ −finitamente puntualmente extendible (incluso para la
topología puntual), ya que la misma extensión del caso anterior sirve ahora.
La propiedad de cubrimiento ligada de forma natural con este tipo de networks es la
σ −metacompacidad. Recordemos que un espacio topológico es metacompacto si de cada
cubrimiento abierto del espacio podemos obtener un refinamiento abierto puntualmente
finito. Un espacio topológico es σ −metacompacto si cada cubrimiento abierto del espacio
tiene un refinamiento abierto σ −puntualmente finito.
Notemos ahora que tenemos la siguiente relación entre network extendible y metacompacidad.
50
2.2 C OMPACTOS DE E BERLEIN
Teorema 2.2.3. Si un espacio topológico (X, τ ) tiene una network σ −puntualmente finitamente extendible, entonces es hereditariamente σ −metacompacto.
D EMOSTRACIÓN : Sea N = ∪{Nn : n ∈ N} la network para X σ -puntualmente finitamente extendible, y tenemos que para cada N ∈ N un abierto UN ⊃ N y para cada n ∈ N
la familia {UN ; N ∈ Nn } es puntualmente finita.
Fijamos una familia V de subconjuntos abiertos de X. Si Ω = ∪V y x ∈ Ω, podemos
encontrar N ∈ N tal que x ∈ N ⊂ V ∈ V ya que N es una network para X. Definimos la
familia
M = {N ∈ N : N ⊂ V para algún V ∈ V }
y se observa que M es un cubrimiento para Ω, entonces podemos elegir para cada N ∈ M
un abierto V (N) ∈ V con N ⊂ V (N). Definimos:
W = {UN ∩V (N); N ∈ M }
que es un refinamiento abierto de V y cumple que ∪W = Ω. Además, para cada n ∈ N
definimos
Wn := {UN ∩V (N); N ∈ M ∩ Nn }
y se tiene que cada Wn es una familia puntualmente finita ya que la familia {UN ; N ∈ Nn }
es puntualmente finita en X, UN ∩ V (N) ⊂ UN y para cada N ∈ Nn hemos elegido un
único conjunto V (N). Como consecuencia W = ∪n Wn es un refinamiento abierto de V
σ −puntualmente finito y se concluye la prueba.
Corolario 2.2.4. Para cualquier conjunto Γ 6= 0/ (c0 (Γ), τ p ) es hereditariamente σ -metacompacto y en consecuencia cualquier compacto de Eberlein es hereditariamente σ metacompacto.
D EMOSTRACIÓN : Se sigue de los teoremas 2.2.2 y 2.2.3.
Observación 2.2.5. La afirmación para compactos de Eberlein se debe a N. N. Yakolev
[Y].
Antes de enunciar y probar el teorema 2.2 de [Gr2] que nos resultará básico para
nuestras aportaciones posteriores, no sólo por sus conclusiones, sino también por las ideas
de su demostración; veremos algunas nociones y resultados previos que necesitaremos
para la prueba.
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
51
Definición 2.2.6.
(i) Se dice que un cubrimiento abierto V = {Vα ; α ∈ I} de un espacio topológico X puede ser contraído, si existe un cubrimiento cerrado de X,
A = {Aα ; α ∈ I}, tal que Aα ⊂ Vα para cada α ∈ I. A este cubrimiento cerrado A
se le denomina contracción de V .
(ii) Una colección U = {Uα ; α ∈ I} de subconjuntos de un espacio topológico X se
dice que es envolvente si
Uα ⊂
[
Uβ para todo α ∈ I
β ∈I
El siguiente teorema es un caso particular del teorema 1.1 de [Gr-Mch].
Teorema 2.2.7. Todo cubrimiento abierto V = {Vα ; α ∈ I} de un espacio topológico
regular X formado por conjuntos con clausuras compactas puede ser contraído.
Para hacer el trabajo lo más autocontenido posible haremos la prueba de este último
resultado. Para ello necesitaremos dos lemas previos, son los lemas 2.1 y 2.2 de [Gr-Mch].
Lema 2.2.8. Si V = {Vα ; α ∈ I} es un cubrimiento del espacio topológico X formado por
conjuntos con clausuras compactas, entonces para cada α ∈ I el conjunto Vα pertenece
a una colección numerable y envolvente U α ⊂ V .
D EMOSTRACIÓN : Por inducción seleccionamos subcolecciones finitas
U1α , U2α , . . . , Unα , . . . de V
tales que U1α = {Vα } y
U⊂
Definiendo
α
{V ;V ∈ Un+1
} para cada U ∈ Unα
[
U
α
=
∞
[
Unα
n=1
se concluye la prueba.
Lema 2.2.9. Si un cubrimiento V de un espacio topológico X se puede expresar como
V =
[
λ ∈Λ
Vλ
donde cada familia Vλ es envolvente y como cubrimiento de
Xλ =
[
{V ;V ∈ Vλ }
puede ser contraído, entonces V puede ser también contraído.
52
2.2 C OMPACTOS DE E BERLEIN
D EMOSTRACIÓN : Para cada λ , consideramos la contracción
{AV,λ ;V ∈ Vλ }
del cubrimiento Vλ de Xλ . Se observa que, ya que Vλ es envolvente, los conjunto AV,λ
son cerrados, no solo en Xλ , sino también en todo X.
Consideramos un buen orden para Λ. Fijado V ∈ V , definimos:
λ (V ) = ı́nf{λ ∈ Λ;V ∈ Vλ }
y definimos AV := AV,λ (V ) . Para probar que {AV ;V ∈ V } contrae V , será suficiente comprobar que dicha familia cubre X. Por lo tanto supongamos que x ∈ X y sea
γ := ı́nf{λ ∈ Λ; x ∈ Xλ }
entonces x ∈ AV,γ ⊂ V para algún V ∈ Vγ , y claramente λ (V ) = γ . Por lo tanto
x ∈ AV,λ (V ) = AV
lo que completa la prueba.
Podemos ahora culminar con la prueba del teorema 2.2.7.
D EMOSTRACIÓN : En vista de los dos lemas precedentes, es suficiente establecer este teorema para cubrimientos V numerables. Pero un espacio topológico que tenga un cubrimiento numerable con clausuras compactas es Lindelöf, por tanto es paracompacto (3.8.11
[E]). Utilizando esto último acabaremos la prueba. A continuación seguimos la idea de la
prueba del lema 5.1.6 de [E].
Sea pues V = {Vα ; α ∈ I} un cubrimiento abierto con clausuras compactas en X paracompacto. Por ser X regular, existe un cubrimiento abierto W tal que
{W ;W ∈ W }
es un refinamiento de V . Por la condición de paracompacidad podemos tomar un refinamiento localmente finito F = {Ft ;t ∈ J} del cubrimiento W . Para cada t ∈ J elegimos
α (t) ∈ I tal que Ft ⊂ Vα (t) , y definimos
Aα :=
[
α (t)=α
Ft
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
53
Se concluye que
A := {Aα ; α ∈ I}
es un contracción de V .
El siguiente resultado es el lema 2.1 de [Gr2] y es consecuencia de los lemas anteriores. De hecho, la prueba aparece en [Gr-Mch], corolario 4.1.
Lema 2.2.10. Sea B una base de un espacio topológico X, σ -metacompacto y localmente compacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B 0 tal que la familia
{B; B ∈ B 0 }
es σ −puntualmente finita.
D EMOSTRACIÓN : Sea U un cubrimiento de X formado por conjuntos abiertos con clausuras compactas, y V un refinamiento abierto de U σ −puntualmente finito. Entonces
V es compacto para cada V ∈ V , aplicando el teorema 2.2.7 se tiene que V puede ser
contraído a un cubrimiento cerrado
{AV ;V ∈ V }
Si V ∈ V , entonces AV es compacto, por lo que existe un cubrimiento finito BV ⊂ B de
AV tal que B ⊂ V para cada B ∈ BV . Entonces la familia
B0 =
[
{BV ;V ∈ V }
cumple las condiciones requeridas. Veámoslo, claramente B 0 cubre X ya que la contracción anterior lo cubre. Comprobemos que {B; B ∈ B 0 } es σ −puntualmente finita.
Como V es σ −puntualmente finita, entonces podemos expresar
V =
[
{Vn ; n ∈ N}
cumpliendo que cada familia Vn es puntualmente finita. Se observa que la familia
{AV ;V ∈ Vn }
es puntualmente finita, para cada n ∈ N.
Para cada n ∈ N, definimos la familia
Bn :=
[
{BV ;V ∈ Vn }
54
2.2 C OMPACTOS DE E BERLEIN
entonces
B 0 = ∪{Bn ; n ∈ N}
Como consecuencia, si definimos Wn := ∪{B; B ∈ Bn }, para cada n ∈ N, bastará probar
que la familia W = ∪n Wn es σ −puntualmente finita. Comprobemos que cada familia Wn
es puntualmente finita. Para ello fijamos x ∈ X, entonces si x ∈ B con B ∈ B n , se tiene
que B ∈ BV para algún V ∈ Vn . Como consecuencia x ∈ V ∈ Vn y como esta familia es
puntualmente finita y |BV | < +∞ se concluye que
|{B ∈ Wn ; x ∈ B}| < +∞.
Podemos probar ya el teorema 2.2 de [Gr2].
Teorema 2.2.11. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es compacto de Eberlein.
(ii) K 2 \ ∆ es σ −metacompacto.
(iii) K 2 es hereditariamente σ −metacompacto.
D EMOSTRACIÓN : (i) ⇒ (iii) Consecuencia del corolario 2.2.4 ya que el producto de dos
compactos de Eberlein sigue siendo de Eberlein.
(iii) ⇒ (ii) No hay nada que probar.
(ii) ⇒ (i) La idea es probar que K es compacto de Eberlein a través del teorema de
Rosenthal (teorema 1.4.2, (ii)). Si K 2 \ ∆ es σ −metacompacto entonces existe un cubrimiento P = {Uγ ×Vγ ; γ ∈ A} de K 2 \ ∆ cumpliendo:
(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ de K.
(b) Uγ ∩Vγ = φ .
(c) A = ∪n∈N An donde cada subfamilia {Uγ × Vγ ; γ ∈ An } es puntualmente finita para
cada n ∈ N.
(d) U ×V ∈ P implica V ×U ∈ P.
Para comprobar la existencia del cubrimiento anterior, consideramos una base B de
2
K \ ∆. No es restrictivo suponer que cada W ∈ B es de la forma
W = (U ×V )
\
(K 2 \ ∆) con U,V ⊂ K abiertos
Para cada (x, y) ∈ W (por regularidad), existirán U 0 ,V 0 ⊂ K abiertos tales que x ∈ U 0 ⊂ U,
y ∈ V0 ⊂ V,
U 0 ∩V 0 = φ y U 0 ×V 0 ⊂ W
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
55
Como U 0 es entorno de x en K compacto y por consiguiente normal, podemos asumir,
sin perder generalidad, que U 0 es un cocero de una función continua y, en definitiva, un
Fσ . Por lo tanto podemos suponer que B está formado por elementos U ×V ⊂ K 2 donde
U,V ⊂ K son abiertos Fσ y U ∩ V = φ . Con esto ya tenemos construido el cubrimiento
P satisfaciendo las propiedades (a) y (b). Por el lema 2.2.10, se puede suponer además
que {Uγ ×Vγ ; γ ∈ A} es σ −puntualmente finita (donde la clausura está tomada en K 2 \ ∆).
Pero como Uγ ∩Vγ = φ , se tiene que
Uγ ×Vγ = Uγ ×Vγ
Y ya tenemos la condición (c) comprobada.
Para obtener la condición (d), basta ampliar el cubrimiento P añadiendo, para cada
U × V , el permutado V × U y se siguen cumpliendo las condiciones anteriores. Nuestro
objetivo ahora es operar con la familia {Uγ : γ ∈ A} para reducirla y llegar a obtener una
familia σ -puntualmente finita de abiertos Fσ que sea T0 -separadora y probar así que K
es compacto de Eberlein. Sea µ el carácter de densidad de K, esto es, el menor cardinal
de un subconjunto denso de K, y escribamos, por ejemplo:
K = {pα ; α < µ }
Para cada α < µ , consideramos
Kα := {pβ ; β < α }
y definimos
Uα := {
\
γ ∈F
Uγ ; F ⊂ A y {Vγ ; γ ∈ F} es un cubrimiento finito y minimal de Kα }
Se observa que Uα cubre K \ Kα , ya que si k ∈ K \ Kα , como {k} × Kα es compacto y se
cubre por {Uγ ×Vγ ; γ ∈ A}, entonces existirá U ∈ Uα tal que k ∈ U.
La prueba concluirá al demostrar las dos siguientes afirmaciones si aplicamos el teorema de Rosenthal (teorema 1.4.2, (ii)):
Afirmación 1. ∪α <µ Uα distingue puntos de K.
Fijamos x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 . Sea αi el menor ordinal tal que xi ∈ Kαi . Si α1 6= α2
entonces, como Uαi cubre K \ Kαi , k1 y k2 serán distinguidos por algún miembro de Uα1
o Uα2 (el ordinal más pequeño). Por tanto supongamos que α1 = α2 = α . Sean
V1 = {Vγ ; x1 ∈ Uγ y x2 6∈ Uγ }
y
V2 = {Vγ ; x2 ∈ Uγ y x1 6∈ Uγ }
56
2.2 C OMPACTOS DE E BERLEIN
Hay que observar que x1 ∈ ∪V2 y x2 ∈ ∪V1 . Supongamos que
z ∈ Kα \
[
(V1 ∪ V2 )
Sea γ (z) ∈ A tal que x1 ∈ Uγ (z) y z ∈ Vγ (z) . Ya que Vγ (z) 6∈ V1 , se tiene que x2 ∈ Uγ (z) . Como
Kα \
[
(V1 ∪ V2 )
es compacto, va a existir un subconjunto finito F ⊂ A tal que {Vγ ; γ ∈ F} lo cubre y
{x1 , x2 } ⊂
\
γ ∈F
Uγ
Como
(
\
γ ∈F
Uγ ) ∩ {pβ ; β < α } 6= φ
debido a que
x1 , x2 ∈ {pβ ; β < α }
entonces {Vγ ; γ ∈ F} no cubre a todo el conjunto {pβ ; β < α }. Sea δ el menor de los
ordinales β < α tal que pβ 6∈ ∪{Vγ ; γ ∈ F}. Ahora, pβ ∈ Vη ∈ V1 ∪ V2 para algún η ∈ A.
Entonces
{Vη } ∪ {Vγ ; γ ∈ F}
cubre Kδ +1 , y algún subcubrimiento minimal contiene a Vη . Ya que Uη separa x1 y x2 ,
también lo hará el miembro de Uδ +1 correspondiente al cubrimiento minimal.
Afirmación 2. ∪α <µ Uα es σ −puntualmente finita.
Fijado n ∈ N denotaremos por Uα ,n a la familia formada por todos los miembros de
Uα cuyo conjunto índice correspondiente F tiene cardinalidad menor ó igual que n, y
está contenido en ∪i≤n Ai . Probaremos entonces que ∪α <µ Uα ,n es puntualmente finita
para cualquier n ∈ N. Antes hay que recordar que
{Uγ ×Vγ ; γ ∈ ∪i≤n Ai }
es puntualmente finita como unión finita de familias puntualmente finitas. Supongamos
ahora que ∪α <µ Uα ,n no es puntualmente finita, entonces existirá x que pertenece a una
infinidad de conjuntos de ∪α <µ Uα ,n , y así, para cada η < ω0 , existe F(η ) ⊂ ∪ni=1 Ai , y
un ordinal β (η ) < µ con
\
Uγ ∈ Uβ (η )
x∈
γ ∈F(η )
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
57
Sin pérdida de generalidad podemos asumir que los conjuntos F(η ) tienen todos la misma
cardinalidad y que los β (η ) forman una cadena no decreciente de ordinales. Aplicando
la observación 2.1.7 para el lema 2.1.6, podemos suponer así mismo que los conjuntos
{F(η ) : η < ω0 } forman un ∆−sistema con raíz R. Como R F(0), existirá algún
y ∈ Kβ (0) \ {Vδ ; δ ∈ R}.
Como Kβ (0) ⊂ Kβ (η ) para cada η < ω0 , existirá δ (η ) ∈ F(η ) \ R con y ∈ Vδ (η ) . Pero
entonces encontramos que
(x, y) ∈
\
η <ω0
Uδ (η ) ×Vδ (η )
lo que es absurdo ya que {δ (η ) : η < ω0 } forman un conjunto infinito en ∪ni=1 Ai .
Como consecuencia se obtiene el siguiente resultado, que se corresponde con el teorema 4.17 del reciente trabajo de A. Dow, H. Junilla y J. Pelant [D-J-P2].
Teorema 2.2.12. Un espacio topológico compacto (K, τ ) es compacto de Eberlein si, y
sólo si, tiene una network σ −puntualmente finitamente extendible.
D EMOSTRACIÓN : ⇒ Podemos suponer que K ⊂ c0 (Γ) es débil compacto para algún
conjunto Γ, sección 1.3. Aplicando ahora el teorema 2.2.2, se concluye la prueba.
⇐ Si K tiene una network σ −puntualmente finitamente extendible, entonces K × K
tiene también una network con esas características. Como consecuencia del teorema 2.2.3,
K × K es hereditariamente σ −metacompacto. Ahora, aplicando el teorema 2.2.11 se tiene
que K es compacto de Eberlein.
La versión del corolario 2.1.12 para compactos de Eberlein será ahora agrupar los
teoremas 2.2.11 y 2.2.12:
Corolario 2.2.13. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
K es compacto de Eberlein.
K 2 \ ∆ es σ −metacompacto.
K 2 es hereditariamente σ −metacompacto.
K tiene un network σ −puntualmente finitamente extendible.
58
2.3 C OMPACTOS DE E BERLEIN UNIFORMES
2.3 Compactos de Eberlein uniformes
Hemos colocado esta sección después de los compactos de Eberlein porque aprovecharemos algunas construcciones hechas para éstos.
Definición 2.3.1. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es:
(i) Uniformemente puntualmente finitamente extendible si existe una familia de abiertos U = {UA ; A ∈ A } cumpliendo que A ⊂ UA y existe un N ∈ N tal que
|{A ∈ A ; x ∈ UA }| < N para todo x ∈ X
A la constante N la llamaremos constante de uniformidad para la extensión U .
(ii) σ −Uniformemente puntualmente finitamente extendible si se puede expresar como:
A =
[
An
n∈N
donde cada subfamilia An es uniformemente puntualmente finitamente extendible.
A continuación tenemos una caracterización para los compactos de Eberlein uniformes que es el homólogo del teorema 2.2.12 para los compactos de Eberlein.
Teorema 2.3.2. Si un compacto K es compacto de Eberlein uniforme, entonces tiene una
network N σ −uniformemente puntualmente finitamente extendible.
D EMOSTRACIÓN : Sea K un compacto de Eberlein uniforme, debido al teorema de Benyamini-Stardbird (sección 1.3), podemos suponer que K ⊂ c 0 (Γ) y que dado ε > 0 existe un
número real N(ε ) tal que:
|{γ ∈ Γ; |x(γ )| > ε }| < N(ε ) para todo x ∈ K
S
Consideramos la network N = m,n Rm,n para c0 (Γ) dada en la prueba del teorema 2.2.2,
con la extensión U = ∪n Rn . Al restringir ambas familias a K siguen manteniendo sus
propiedades, es decir, U es σ −puntualmente finita. Veamos que, de hecho, en este caso
es σ −uniformemente puntualmente finita. No es restrictivo suponer que podemos deS
k
scomponer la familia I de la prueba del teorema 2.2.2 de la forma, I = ∞
k=1 I donde
cada subfamilia Ik es numerable y si I = (a, b) ∈ Ik , entonces mı́n{|a|, |b|} > 1k , y de manera que si r ∈ R \ {0} entonces estará, a lo más, en dos elementos de la familia I k , para
cada k ∈ N. Fijado n ∈ N y los primeros n elementos de Ik , es decir, Ikn := {I1 , . . . , In }
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
59
definimos, al igual que en la prueba del teorema 2.2.2, las aplicaciones ϕ : Λ 7→ I kn . Con
estas aplicaciones consideramos las familias
Mn,k := {(Λ, ϕ ); Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ Ikn }
y
Rn,k := {R(Λ, ϕ ); (Λ, ϕ ) ∈ Mn,k }
donde esta última familia está formada por subconjuntos abiertos de K y es una familia
puntualmente finita en K para cada n, k ∈ N. Definimos para m, n, k ∈ N la familia
Rm,n,k := {Rm (Λ, ϕ ); (Λ, ϕ ) ∈ Mn,k }
y se tiene que N = ∪∞
m,n,k=1 Rm,n,k es una network para K teniendo cada familia Rm,n,k
a la familia Rn,k como extensión abierta. Ahora, por la inmersión de K, para cada k ∈ N,
cualquier elemento x ∈ K tiene menos de N( 1k ) coordenadas γ para las cuales |x(γ )| >
1
1
k . Por lo tanto habrá menos de 2N( k ) coordenadas γ ∈ Γ para las cuales x(γ ) ∈ ϕ (γ )
1
donde (Λ, ϕ ) ∈ Mn,k , para algún Λ ⊂ Γ. Como consecuencia x estará en menos de 22N( k )
elementos de la familia Rn,k y se concluye la prueba.
Definición 2.3.3. Un espacio topológico X es σ −uniformemente metacompacto si cada
cubrimiento abierto del espacio tiene un refinamiento abierto σ −uniformemente puntualmente finito.
Teorema 2.3.4. Si un espacio topológico (X, τ ) tiene una network σ −uniformemente
puntualmente finitamente extendible, entonces es hereditariamente σ −uniformemente metacompacto.
D EMOSTRACIÓN : La prueba es análoga a la del teorema 2.2.3, y utilizando que si Nn es
la constante de uniformidad de
{UN ; N ∈ Nn }
entonces esta misma constante sirve para la familia
Wn := {UN ∩V (N); N ∈ M ∩ Nn }
para cada n ∈ N.
Los resultados obtenidos en la secciones precedentes para compactos metrizables y de
Eberlein y en las secciones que siguen para compactos de Talagrand y Gul’ko nos llevan
a considerar los siguientes problemas.
60
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
Problema 2.3.5. Si un compacto K tiene una network σ −uniformemente puntualmente
finitamente extendible, ¿es un compacto de Eberlein uniforme?
Problema 2.3.6. Del teorema 2.3.2 y 2.3.4 se tiene que si K es compacto de Eberlein
uniforme, entonces K 2 \ ∆ es σ −uniformemente metacompacto. ¿Es cierto el recíproco?.
Proposición 2.3.7. Para un espacio topológico (X, τ ) se tiene la siguiente cadena de
implicaciones
paracompacto ⇒ σ −uniformemente metacompacto ⇒ σ −metacompacto
donde la primera implicación es estricta.
D EMOSTRACIÓN : La primera implicación sigue del teorema 5.1.12 de [E] en el que se
afirma que un espacio topológico es paracompacto si, y sólo si de cada cubrimiento abierto
podemos obtener un refinamiento abierto σ −discreto. La segunda implicación es consecuencia de las propias definiciones.
Para ver que la primera implicación es estricta, consideramos el compacto K de la
sección 1.2 (ejemplo 1.2.1) que es compacto de Eberlein uniforme y no es metrizable.
Entonces por el teorema 2.1.11 se tiene que K 2 \ ∆ no es paracompacto. Sin embargo, por
los teoremas 2.3.2 y 2.3.4 se tiene que K 2 \ ∆ es σ −uniformemente metacompacto.
Observación 2.3.8. Una respuesta afirmativa al problema 2.3.6 probaría que la segunda
implicación en la proposición 2.3.7 es también estricta.
2.4 Compactos de Gul’ko
Recordemos que para un espacio métrico M, denotamos por K (M) el retículo de
subconjuntos compactos de M (sección 1.4). Introducimos la siguiente definición:
Definición 2.4.1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es Σ−puntualmente finita cuando existe un espacio métrico separable M tal que A se puede escribir como
A = ∪{AK ; K ∈ K (M)}
de forma que
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
61
(i) AK1 ⊂ AK2 si K1 ⊂ K2 .
(ii) AK es puntualmente finita para cada K ∈ K (M).
Observación 2.4.2. En las definición 2.4.1 es suficiente hacer la descomposición de la
familia A indexando solamente sobre un sistema fundamental de compactos de M. En
efecto, si tan solo tenemos estas familias definidas, para cualquier subconjunto compacto
K ∈ K (M) se puede definir AK como la intersección de todas las familias AS con S ⊃ K
y S es un elemento del sistema fundamental de compactos de M donde A S está definido
y obviamente se verifican las condiciones de la definición 2.4.1. Como consecuencia en
el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema 1.4.2, (iv*)), se puede
suponer que las subfamilias UK están indexadas respecto a un sistema fundamental de
compactos de M.
Recordemos que denotamos por dH la distancia de Hausdorff en K (M), (sección 1.4).
Lema 2.4.3. Sea A una familia Σ−puntualmente finita de subconjuntos del conjunto X,
K ∈ K (M) y x ∈ X. Entonces existe un entorno V de K en (K (M), dH ) tal que
|{A ∈ ∪{AS ; S ∈ V }; x ∈ A}| < +∞
D EMOSTRACIÓN : Supongamos que el resultado no es cierto; esto es fijemos una base de
entornos de K en (K (M), dH ); es decir,
{BdH (K; 21n ); n = 1, 2, . . . }
y supongamos que para cada n, si
A (n) := ∪{AS ; S ∈ BdH (K; 21n )}
tenemos que
{A ∈ A (n); x ∈ A} fuese infinito
Podemos entonces tomar, para cada n ∈ N, Kn ∈ BdH (K; 21n ) y elementos An ∈ AKn , tales
que x ∈ An , con An 6= Am si m ≤ n.
Si consideramos la sucesión {K1 , K2 , . . . , Kn , . . . } en K (M) se tiene que su límite es
K en dH y así tendremos que
F := ∪n Kn ∪ K ∈ K (M)
62
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
y por la propiedad (i) de la definición anterior
AF ⊃ ∪{AKn ; n ∈ N}
siendo de esta forma {A ∈ AF ; x ∈ A} infinito, lo que contradice la propiedad (ii) en la
definición anterior.
Damos la siguiente relación:
Proposición 2.4.4. Sea A una familia de subconjuntos de un conjunto X Σ−puntualmente
finita, entonces es puntualmente numerable.
D EMOSTRACIÓN : Fijamos un elemento x ∈ X, consideramos B = {Bn }n una base numerable de (K (M), dH ) que es métrico separable, proposición 1.4.1, y definimos
A (n) := ∪{AS ; S ∈ Bn }, para cada n ∈ N.
y tenemos que A = ∞
n=1 A (n).
Por el lema 2.4.3, para cada x ∈ X y cada K ∈ K (M) existirá un entero n(x, K) tal que
K ∈ Bn(x,K) y x está en un número finito de elementos de A (n(x, K)). Resulta entonces
claro que
[
A = {A (n(x, K)); K ∈ K (M)}
S
y que x está sólo en una cantidad numerable de conjuntos de la familia A .
Observación 2.4.5. En la definición 2.4.1 podemos suponer que el espacio métrico separable M que consideramos, es de la forma Σ ⊂ NN donde NN es el espacio de Baire.
Como consecuencia, en el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema
1.4.2, (iv*)) podemos reemplazar Σ por algún espacio métrico separable M también.
Además, como consecuencia del resultado anterior, en el teorema tipo Rosenthal para
los compactos de Gul’ko no es necesaria la hipótesis de puntualmente numerable para la
familia U .
D EMOSTRACIÓN : Consideramos el espacio métrico separable M de la definición 2.4.1,
donde V es una familia Σ−puntualmente finita indexada por elementos de K (M). Como
el espacio topológico (K (M), dH ) es métrico y separable, existirá una aplicación continua y sobreyectiva ϕ : Σ −→ (K (M), dH ) donde Σ ⊂ NN . Ahora, para K ∈ K (Σ), ϕ (K)
es un subconjunto compacto de (K (M), dH ). Por lo tanto
K 0 := ∪{H; H ∈ ϕ (K)} ∈ K (M),
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
63
y definimos AK := VK 0 . Entonces se cumple que V = ∪{AK ; K ∈ K (Σ)} y es así una
familia indexada ahora en el retículo K (Σ) como familia Σ-puntualmente finita.
Veamos pues, como queda el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko.
Teorema 2.4.6. Un espacio topológico compacto K es compacto de Gul’ko si, y sólo si,
tiene una familia U Σ-puntualmente finita formada por abiertos F σ y T0 -separadora en
K.
El tipo de network que caracteriza los compactos de Gul’ko tiene una extensión Σpuntualmente finita, pero una extensión es una familia indexada. Necesitamos pues adaptar la definición de familia Σ-puntualmente finitas a las familias indexadas, comenzamos
con la siguiente:
Observación 2.4.7 (Familias indexadas). Dada una familia indexada de subconjuntos
de un conjunto dado X, A = {Ai ; i ∈ I}, y x ∈ X, consideraremos el orden del punto en la
familia pero respecto al conjunto de índices, e. d. |{i ∈ I, x ∈ A i }| en lugar de |{A ∈ A; x ∈
A}|. Además, dadas dos familias indexadas A = {Ai ; i ∈ I} y B = {B j : j ∈ J} diremos
que A es una subfamilia indexada de B si existe una aplicación inyectiva Ψ : I 7→ J tal
que Ai = Bψ (i) , para cada i ∈ I.
Definición 2.4.8. Diremos que una familia indexada A = {A i ; i ∈ I} de subconjuntos de
un conjunto X es indexada Σ-puntualmente finita si existe un espacio métrico separable M
de manera que para cada K ∈ K (M) tenemos un subconjunto IK ⊂ I tal que si denotamos
por AK := {Ai ; i ∈ IK } se cumple:
S
(i) I = {IK ; K ∈ K (M)},
(ii) AK1 es una subfamilia indexada de AK2 , cuando K1 ⊂ K2 en K (M),
(iii) Para cada x ∈ X y K ∈ K (M), se cumple
|{i ∈ IK ; x ∈ Ai }| < +∞
Definición 2.4.9. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
X es Σ-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que
A = {Ai ; i ∈ I}, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que
la familia indexada G = {Gi ; i ∈ I} es indexada Σ-puntualmente finita.
El siguiente resultado es fundamental en nuestro estudio. Antes recordemos que para
un espacio topológico (X, τ ), se define c1 (X) (sección 1.3) como:
c1 (X) := { f ∈ l ∞ (X) : ∀ε > 0 el conjunto {t ∈ X : | f (t)| ≥ ε } es cerrado y discreto en X}
64
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
Teorema 2.4.10. Si (X, τ ) es un espacio topológico numerablemente K −determinado,
entonces (c1 (X), τ p ) tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
D EMOSTRACIÓN : Si X es numerablemente K −determinado existe una usco ϕ : M 7→ 2 X
donde M es métrico separable y ϕ (M) = X. Para cada K ∈ K (M) ponemos XK := ϕ (K)
y tenemos la descomposición X = ∪{XK ; K ∈ K (M)}, con XK compacto para cada K ∈
K (M) y XK1 ⊂ XK2 siempre que K1 ⊂ K2 en K (M).
Vamos a considerar el métrico separable M × N con la topología producto, donde N
tiene la topología discreta. Para describir la network indexaremos los conjuntos de índices
sobre K (M × N).
Si hacemos la construcción de la prueba del teorema 2.2.2 para cada K ∈ K (M); es
decir, sobre cada c0 (XK ), obtenemos una network Σ-puntualmente finitamente extendible
en (c1 (XK ), τ p ). Veámoslo, para cada n ∈ N y K ∈ K (M) fijos, consideramos, con las
mismas notaciones que en el teorema 2.2.2:
M (n, K) := {(Λ, ϕ ); Λ ⊂ XK ; |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In }
y escribimos:
y
y tenemos

ϕ (x)
R(Λ, ϕ ) := c1 (X) ∩ ∏ Rx donde Rx =
R
x∈X



ϕ (x)


Rm (Λ, ϕ , K) := c1 (X) ∩ ∏ Rx donde Rx = (− m1 , m1 )


x∈X

R
si x ∈ Λ,
en otro caso.
si x ∈ Λ,
si x ∈ XK \ Λ,
si x 6∈ XK .
· · · Rm+1 (Λ, ϕ , K) ⊂ Rm (Λ, ϕ , K) ⊂ · · · ⊂ R(Λ, ϕ )
y la familia
R(n, K) := {R(Λ, ϕ ); (Λ, ϕ ) ∈ M (n, K)}
está formada por conjuntos τ p −abiertos de c1 (X) y es puntualmente finita en c1 (X) para
cada n ∈ N y K fijados. De hecho, cada h ∈ c1 (X) verifica h|XK ∈ c0 (XK ) y entonces
|{(Λ, ϕ ) ∈ M (n, K); h ∈ R(Λ, ϕ )}| < +∞
como en la prueba del teorema 2.2.2.
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
65
Además, si consideramos para m, n ∈ N y K ∈ K (M), las familias:
R(m, n, K) := {Rm (Λ, ϕ , K); (Λ, ϕ ) ∈ M (n, K)}
tenemos que cada R(m, n, K) tiene como extensión abierta a la familia R(n, K) y
∪{R(m, n, K); m ∈ N, n ∈ N, K ∈ K (M)}
nos proporciona una network para la topología puntual de c 1 (X) que es además Σ-puntualmente finitamente extendible. De hecho, esto sigue, de que
R = ∪{R(m, n, K); m ∈ N, n ∈ N, K ∈ K (M)}
es una base para la topología de convergencia uniforme en c1 (X) sobre los conjuntos
XK para cada K ∈ K (M), y en particular una network para la topología, más débil, de
convergencia puntual en c1 (X).
Resta pues comprobar que R es una familia Σ-puntualmente finitamente extendible.
Para verlo fijamos el conjunto de índices:
I := {(m, n, K, Λ, ϕ ) : (Λ, ϕ ) ∈ M (n, K), m, n ∈ N, K ∈ K (M)}
y fijamos para cada i = (m, n, K, Λ, ϕ ) ∈ I el conjunto τ p -abierto
Gi := R(Λ, ϕ ) ⊃ Rm (Λ, ϕ , K) =: Ni
Consideramos el espacio métrico N × M donde N está dotado con la topología discreta.
Denotaremos por π1 : N × M → N y π2 : N × M → M las proyecciones canónicas. Para un
subconjunto compacto S de N × M definimos:
IS := {(m, n, K, Λ, ϕ ) : (Λ, ϕ ) ∈ M (n, K), m, n ∈ {1, 2, . . . , q}}
donde q = máx π1 (S) y K = π2 (S).
Se cumple
(i) I = ∪{IS : S ∈ K (N × M)}. Además se tiene que {Gi : i ∈ IS1 } es una subfamilia
indexada de {Gi : i ∈ IS2 } cuando S1 ⊂ S2 porque M (n, π2 (S1 )) ⊂ M (n, π2 (S2 )) para
cada n = 1, 2, . . ..
(ii) Si q = máx π1 (S) y K = π2 (S), tenemos
|{(m, n, K, Λ, ϕ ) = i ∈ IS(q,K) : f ∈ Gi = R(Λ, ϕ )}|
66
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
q
≤
∑ q · |{(Λ, ϕ ) ∈ M (n, K) : f ∈ R(Λ, ϕ )}|h + ∞
n=1
ya que la familia R(n, K) es puntualmente finita en c1 (X) y se concluye la prueba.
Del teorema de inmersión para los compactos de Gul’ko (sección 1.3) y el teorema
anterior se obtiene la siguiente consecuencia.
Corolario 2.4.11. Todo compacto de Gul’ko tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
La propiedad de cubrimiento correspondiente al concepto de Σ-finitud puntual será:
Definición 2.4.12. Un espacio topológico (X, τ ) se dice que es Σ−metacompacto cuando
todo cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea Σ−puntualmente finito.
Recordemos la siguiente definición, [Bu]
Definición 2.4.13. Un espacio topológico (X, τ ) se dice que es metaLindelöf cuando todo
cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea puntualmente numerable.
Notemos la siguiente:
Proposición 2.4.14. Todo espacio topológico Σ−metacompacto es metaLindelöf, y esta
implicación es estricta.
D EMOSTRACIÓN : La proposición 2.4.4 nos da la implicación. Para comprobar que la
implicación es estricta, consideramos el compacto K de la sección 1.2 que es compacto de
Corson pero no es compacto de Gul’ko (ejemplo 1.2.7). Entonces K 2 \ ∆ es metaLindelöf
(teorema 2.2 de [Gr2]), pero no es Σ−metacompacto (teorema 2.4.24).
A continuación estudiaremos una caracterización para las familias Σ-puntualmente finitas
que nos serán de utilidad en resultados posteriores. En [Gr3] encontramos las siguientes
definiciones.
Definición 2.4.15. Una colección A de subconjuntos de un conjunto X es débilmente
σ −puntualmente finita si A = ∪n An donde para cada x ∈ X y A ∈ A existe m ∈ N tal
que A ∈ Am y
ord(x, Am ) = |{B ∈ Am ; x ∈ B}| < ∞
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
67
La correspondiente propiedad de cubrimiento es; [Gr3].
Definición 2.4.16. Diremos que un espacio topológico X es débilmente σ −metacompacto si cada cubrimiento abierto tiene un refinamiento abierto débilmente σ −puntualmente
finito.
Nosotros probamos ahora el siguiente:
Teorema 2.4.17. Sea A una familia de subconjuntos de un espacio topológico (X, τ ).
Son equivalentes:
(i) A es Σ−puntualmente finita.
(ii) A es débilmente σ −puntualmente finita.
D EMOSTRACIÓN : (i) ⇒ (ii) Sea B es una base numerable en (K (M), dH ) y A una familia Σ−puntualmente finita de subconjuntos de X indexada en K (M) como tal (definición 2.4.9).
Definimos, para cada B ∈ B, A (B) := ∪{AK ; K ∈ B}. Así
A = ∪{A (B); B ∈ B}
Además fijado x ∈ X, para cada K ∈ K (M), el lema 2.4.3 proporciona B(K, x) ∈ B tal
que
ord(x, A (B(K, x))) < ∞
Con esto, si fijamos x ∈ X y A ∈ AK , existirá B ∈ B tal que K ∈ B y así A ∈ A (B) con
ord(x, A (B)) < ∞
Como la familia B es numerable, hemos probado que A será débilmente σ -puntualmente
finita también.
(ii) ⇒ (i) Si A es una familia débilmente σ −puntualmente finita, podemos descomponer A = ∪{An ; n ∈ N} con la propiedad de que para todo x ∈ X se cumple
A = ∪{As ; ord(x, As ) < ∞}
Para cada A ∈ A consideramos el elemento P(A) ∈ {0, 1}N definido por

0 si A 6∈ A ,
n
P(A)(n) :=
1 si A ∈ An .
68
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
y consideramos el métrico separable
M := {P ∈ {0, 1}N ; P ≡ P(A) para algún A ∈ A }
Para cada P ∈ M consideramos la familia AP := {A ∈ A ; P(A) ≡ P} que resulta ser puntualmente finita en X. De hecho, dado P ∈ M y x ∈ X supongamos que
|{A ∈ AP ; x ∈ A}| = ∞
Enumeramos esos conjuntos de la forma {An }n y sea {sm }m la sucesión de enteros positivos (puede que finita) tal que ord(x, Asi ) < ∞, para i = 1, 2, . . . y ord(x, A p ) = +∞
si p 6∈ {sm }m . Entonces para cada n ∈ N, se tiene que P(sm ) = P(An )(sm ) = 0 para todo
m = 1, . . . , ya que An 6∈ Asm para m = 1, . . . . Pero, como An ∈ A para todo n ∈ N y A =
∪{Asm ; m = 1, 2, . . . }, por la condición de ser A una familia débilmente σ -puntualmente
finita, llegamos a una contradicción.
De hecho este argumento puede ser extendido para probar que para cada compacto
K ⊂ M ⊂ {0, 1}N la familia
AK := {A ∈ A ; P(A) ∈ K}
es puntualmente finita en X. Veámoslo, fijamos x ∈ X y K ⊂ M un compacto, sea
{s1 , s2 , . . . , sn , . . . } = {s ∈ N; ord(x, As ) < ∞}
Si |{A ∈ AK ; x ∈ A}| fuera infinito, enumeramos esos conjuntos de la forma {A n }n . Como
K es compacto podemos asumir que P(An ) converge hacia algún P(A) ∈ K, con A ∈ A .
Ahora, para cada j ∈ N, sólo una cantidad finita de miembros de {A n }n puede estar en
As j , por lo que P(An )(s j ) = 0 para n suficientemente grande. Por lo tanto P(A)(s j ) = 0
para todo j ∈ N, y esto significa que A 6∈ A = ∪{As j ; j = 1, 2, . . . } lo que es absurdo. Como consecuencia del teorema anterior obtenemos.
Corolario 2.4.18. Un espacio topológico (X, τ ) es débilmente σ −metacompacto si, y
sólo si, es Σ−metacompacto.
Veámos como queda el teorema 2.4.17 en el caso de familias indexadas.
Definición 2.4.19. Diremos que una familia indexada A = {A i ; i ∈ I} de subconjuntos
S
de un conjunto X es indexada débilmente σ -puntualmente finita si I = {In ; n = 1, 2, . . . }
de tal manera que para cada x ∈ X se tiene
I=
[
{Is : |{i ∈ Is : x ∈ Ai }| < +∞}
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
69
Tenemos la equivalencia correspondiente para familias indexadas.
Teorema 2.4.20. Sea A = {Ai ; i ∈ I}, una familia indexada de subconjuntos de un conjunto dado X. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) A es una familia indexada Σ-puntualmente finita.
(ii) A es una familia indexada débilmente σ -puntualmente finita.
La prueba se obtiene con los mismos argumentos utilizados en la prueba del teorema
2.4.17 con un pequeño ajuste extra. Por ejemplo necesitamos el siguiente:
Lema 2.4.21. Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia de subconjuntos de un conjunto dado X
indexada Σ-puntualmente finita. Entonces para cada x ∈ X y K ∈ K (M) existe un entorno
V de K en (K (M), dH ) tal que
|{i ∈
[
{IS : S ∈ V } : x ∈ Ai }| < +∞
D EMOSTRACIÓN : Si este no es el caso, elegimos, para cada entero positivo n,
{in1 , . . . , inn } ⊂
[
{IS : dH (S, K) <
1
},
2n
con x ∈ Ainj para j = 1, 2, . . . , n y inj 6= ink para j 6= k. Si inj ∈ Snj con dH (Snj , K) <
1, 2, . . . , n consideraremos la sucesión
1
2n ,
j=
{S11 , S12 , S22 , . . . , S1n , S2n , . . . , Snn , . . .} in K (M)
que converge a K, por tanto
K∞ := S11 ∪ S12 ∪ S22 ∪ . . . ∪ S1n ∪ . . . ∪ Snn ∪ . . . ∪ K
es un subconjunto compacto de M con K∞ ⊃ Snj para n = 1, 2, . . ., j = 1, 2, . . . , n, y Asnj es
una subfamilia indexada de AK∞ para n = 1, 2, . . ., j = 1, . . . , n.
A {in1 , in2 , . . . , inn } ⊂ Snj le hacemos corresponder un conjunto de n puntos diferentes
∞,n
∞,n
∞,n
{i∞,n
1 , i2 , . . . , in } en el conjunto indexado IK∞ con x ∈ Ai j , j = 1, 2, . . . , n, para cada
n ∈ N, el cual es una contradicción con el hecho de que
|{i ∈ IK∞ : x ∈ Ai }| < +∞
70
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
D EMOSTRACIÓN : [Demostración del teorema 2.4.20] Una vez que tenemos el lema anterior, la prueba del teorema para familias indexadas sigue el mismo patrón que el teorema 2.4.17. Probemos, por ejemplo, que una familia indexada débilmente σ -puntualmente
finita A = {Ai : i ∈ I} es indexada Σ-puntualmente finita para un subconjunto Σ ⊂ {0, 1} N
S
apropiado. Por hipótesis tenemos que I = {In : n ∈ N} tal que, para cada x ∈ X, tenemos
S
I = {Is : #{i ∈ Is : x ∈ Ai } < ω }. Para cada i ∈ I consideramos P(i) ∈ {0, 1}N definido
por
(
0 si i ∈
/ In
P(i)(n) =
1 si i ∈ In
y Σ := {P ∈ {0, 1}N : P = P(i) para algún i ∈ I}. Entonces para un subconjunto compacto
K de Σ, fijamos IK := {i ∈ I : P(i) ∈ K} y tenemos:
S
(i) I = {IK : K ∈ K (Σ)} ya que, para cada i ∈ I, P(i) ∈ Σ.
(ii) IK1 ⊂ IK2 cuando K1 ⊂ K2 son subconjuntos compactos de Σ.
(iii) Para cada K ∈ K (Σ) y x ∈ X tenemos |{i ∈ IK : x ∈ Ai }| < +∞. En otro caso,
tendríamos una sucesión {in } con P(in ) ∈ K y x ∈ Ain para n = 1, 2, . . . Ya que K es
compacto podemos asumir que {P(in ) : n = 1, 2, . . .} converge a P(i) ∈ K para algún i ∈ I.
Ya que x ∈ Ain , n = 1, 2, . . . tenemos i ∈
/ Is para algún s tal que |{i ∈ Is : x ∈ Ai }| < +∞.
S
Pero esto contradice I = {Is : |{i ∈ Is : x ∈ Ai }| < +∞}. Y concluye la prueba.
Utilizando los teoremas 2.4.17 y 2.4.20 obtenemos el siguiente:
Teorema 2.4.22. Si un espacio topológico (X, τ ) tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible, entonces es hereditariamente Σ−metacompacto.
D EMOSTRACIÓN : La condición de hereditariamente Σ-metacompacto la obtendremos
(como consecuencia del teorema 2.4.17) si podemos encontrar, para cada familia arbitraria
V de subconjuntos abiertos de X, un refinamiento abierto débilmente σ -puntualmente
finito. Por lo tanto, fijamos V y Ω := ∪V . Sea N = {Ni : i ∈ I} la network Σ-puntualmente
finitamente extendible para (X, τ ); e.d. existe un espacio M métrico y separable y tenemos
subconjuntos IK ⊂ I para cada K ∈ K (M) y subconjuntos abiertos Gi ⊃ Ni para cada i ∈ I
tal que {Gi : i ∈ I} satisface las condiciones (i) a (iii) en la definición 2.4.8. Dado x ∈ Ω
podemos encontrar i ∈ I cumpliendo
x ∈ Ni ⊂ V ∈ V
por la definición de network.
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
71
Consideramos J := {i ∈ I : Ni ⊂ V para algún V ∈ V } y elegimos, para cada j ∈ J, un
conjunto abierto V ( j) ∈ V con N j ⊂ V ( j). El refinamiento abierto de V será la familia:
W := {G j ∩V ( j) : j ∈ J}
que cumple ∪W = Ω. Además, ya que {Gi : i ∈ I} es una familia indexada Σ-puntualmente
finita tenemos que I = ∪In y para cada x ∈ X se cumple también
I = ∪{Is : |{i ∈ Is : x ∈ Gi }| < +∞}, (véase teorema 2.4.20)
En estas condiciones, si denotamos por Jn := J ∩ In , se tiene que J = ∪{Jn : n = 1, 2, . . .}
y para cada x ∈ X
J = ∪{Js : |{ j ∈ Js : x ∈ G j ∩V ( j)}| < +∞}
ya que |{i ∈ Js : x ∈ G j ∩V ( j)}| < +∞ siempre que |{i ∈ Is : x ∈ Gi }| < +∞. Por lo tanto
W es una familia débilmente σ -puntualmente finita y un refinamiento abierto de V . El siguiente resultado está inspirado en el lema 2.2.10.
Lema 2.4.23. Sea B una base de un espacio topológico X, localmente compacto y Σmetacompacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B 0 tal que
{B; B ∈ B 0 }
es Σ−puntualmente finito.
D EMOSTRACIÓN : La prueba es igual que la del lema 2.2.10. Sólo cambia que, en este
caso V es Σ-puntualmente finita, entonces podemos expresar
V =
[
{VK ; K ∈ K (M)}
donde M es un espacio métrico separable y cumpliendose que VK1 ⊂ VK2 cuando K1 ⊂ K2
y siendo cada familia VK puntualmente finita. Entonces definiendo, para cada K ∈ K (M),
BK :=
[
{BV ;V ∈ VK }
entonces
B 0 = ∪{BK ; K ∈ K (M)}
72
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
Ahora, si
WK := {B; B ∈ BK }
se tiene que W = ∪{WK ; K ∈ K (M)} es Σ-puntualmente finita. Sólo hay que comprobar
que si K1 ⊂ K2 , entonces WK1 ⊂ WK2 . Veamoslo, si K1 ⊂ K2 entonces B ∈ WK1 , entonces
B ∈ BK1 por lo que B ∈ BV para algún V ∈ VK1 ⊂ VK2 . De donde B ∈ BK2 , por lo que B ∈
WK2 . El hecho de que cada familia WK sea puntualmente finita es el mismo razonamiento
que al final de la prueba del lema 2.2.10.
Estamos ahora en disposición de probar el siguiente resultado.
Teorema 2.4.24. Sea X un compacto, son equivalentes:
(i) X es compacto de Gul’ko.
(ii) X 2 \ ∆ es Σ−metacompacto.
(iii) X 2 es hereditariamente Σ−metacompacto.
(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
D EMOSTRACIÓN : (i) ⇒ (iv) Es el corolario 2.4.11.
(iv) ⇒ (iii) Si X es un compacto con una network Σ−puntualmente finitamente extendible, entonces X 2 tiene también una network con estas características. Por el teorema
2.4.22 X 2 es hereditariamente Σ−metacompacto.
(iii) ⇒ (ii) No hay nada que probar.
(ii) ⇒ (i) La prueba puede ahora seguir el esquema del teorema 2.2.11. En efecto,
aplicando ahora el lema 2.4.23, aseguramos la existencia de un cubrimiento
P = {Uγ ×Vγ ; γ ∈ A}
de K 2 \ ∆ tal que:
(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ en X.
(b) Uγ ∩Vγ = 0,
/ ∀γ ∈ A.
(c) {Uγ ×Vγ ; γ ∈ A} es una familia Σ−puntualmente finita.
(d) U ×V ∈ P implica V ×U ∈ P.
Ahora si µ es el carácter de densidad de X y X = {pα ; α < µ }, definimos para cada
α<µ
Xα := {pβ ; β < α }
y
Uα := {∩γ ∈F Uγ ; F ⊂ A y {Vγ ; γ ∈ F} es un cubrimiento finito y minimal de Xα }
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
73
que será un cubrimiento de X \ Xα . Entonces la familia ∪{Uβ ; β < µ } es T0 -separadora
como en la prueba del teorema 2.2.11. Y además ∪{Uβ ; β < µ } será ahora una familia
Σ-puntualmente finita en X. De hecho, por (c) sabemos que existe un espacio métrico
separable M tal que A = ∪{AK ; K ∈ K (M)} y AK1 ⊂ AK2 siempre que K1 ⊂ K2 en K (M),
siendo
{U α ×V α ; α ∈ AK }
una familia puntualmente finita para cada K ∈ K (M).
Ahora, para K ∈ K (M) y n ∈ N fijados, definimos la familia UαK,n como aquella que
está formada por todos los elementos de Uα cuyo correspondiente conjunto indexante
F tiene cardinalidad menor o igual que n y está contenida en AK . Entonces ∪{UαK,n :
α < µ } es una familia puntualmente finita en X. De hecho si existiese algún x ∈ X que
perteneciese a una cantidad infinita de miembros de ∪α <µ UαK,n , entonces existiría una
sucesión de ordinales β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βq ≤ . . . con
x ∈ ∩{Uγ : γ ∈ F(βq )} ∈ UβKq ,n , |F(βq )| ≤ n
y todos los F(βq ) ⊂ AK , q = 1, 2, . . . Como |F(βq )| ≤ n, q = 1, 2, . . . y todos ellos son
diferentes, aplicando el lema 2.1.6 y la observación 2.1.7, podemos asumir que {F(β q );
q = 1, 2, . . . } es un ∆−sistema de raíz R. En cualquier caso R F(β1 ) y existirá y ∈
Xβ1 \ ∪{V γ ; γ ∈ R}. Entonces para cada q existe δ (q) ∈ F(βq ) \ R con y ∈ V δ (q) ya que
Xβ1 ⊂ Xβ2 . Pero entonces tenemos
(x, y) ∈
∞
\
Uδ (q) ×Vδ (q)
q=1
y {δ (q); q = 1, 2, . . . } ⊂ AK lo que contradice el hecho de que {Uγ ×Vγ ; γ ∈ AK } es puntualmente finita ya que todos los {δ (q); q = 1, 2, . . . } son elementos distintos de A K . Por
lo tanto tenemos que ∪{Uα ; α < µ } puede expresarse como
∪{{UαK,n ; α < µ }; K ∈ K (M), n ∈ N}
y tenemos que es una familia Σ-puntualmente finita formada por conjuntos abiertos y
Fσ de K y que es también T0 -separadora. Para acabar la prueba es suficiente aplicar el
teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema 2.4.6) y la observación
2.4.2 para concluir que K es un compacto de Gul’ko.
74
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
Observación 2.4.25. Con este último teorema y el corolario 2.4.18, damos una respuesta
positiva a la conjetura de G. Gruenhage [Gr3] (introducción) y por tanto quedan los
caracterizados los compactos de Gul’ko como aquellos en los que K 2 \ ∆ es débilmente
σ −metacompacto.
Tenemos el siguiente:
Teorema 2.4.26. Sea X un compacto, son equivalentes:
(i) X es compacto de Gul’ko.
(ii) X 2 \ ∆ es débilmente σ −metacompacto.
(iii) X 2 es hereditariamente débilmente σ −metacompacto.
(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
Definición 2.4.27. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
es puntualmente numerablemente extendible si A tiene un extensión abierta puntualmente numerable, es decir, existe una familia {UA ; A ∈ A } de conjuntos abiertos tales
que se cumple A ⊂ UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia {A ∈ A ; x ∈ UA }
es numerable.
Como consecuencia del teorema 2.2 de [Gr3] y razonando como en (iv) ⇒ (iii) del
teorema 2.4.24, se tiene que un compacto con una network puntualmente numerablemente
extendible es un compacto de Corson. Parece natural hacerse la siguiente pregunta, problema 4.14.B de [D-J-P2].
Problema 2.4.28. ¿Los compactos de Corson se caracterizan por tener una network puntualmente numerablemente extendible?.
Otra manera de describir familias Σ−puntualmente finitas en un espacio topológico
X es con el concepto de web [O], que nos permite ver la estructura combinatoria de las
familias Σ−puntualmente finitas. Para Σ ⊂ NN y A una familia de subconjuntos de X
suponemos que podemos asignar a cada σ ∈ Σ una subfamilia Aσ ⊂ A tal que A =
∪{Aσ : σ ∈ Σ}. Para σ = (bs ) ∈ NN y n ∈ N denotamos por σ|n a la sucesión finita
(b1 , b2 , . . . , bn ). Si (a1 , a2 , . . . , an ) es una sucesión finita de naturales, definimos
Aa1 ,a2 ,...,an := ∪{Aσ : σ ∈ Σ, σ|n ≡ (a1 , a2 , . . . , an )}
(podría ser vacío cuando no hay σ en Σ con σ|n = (a1 , a2 , . . . , an )) y tenemos una web de
subfamilias:
∞
A = ∪∞
n=1 An ; . . . ; An1 ,n2 ,...,nk = ∪m=1 An1 ,n2 ,...,nk ,m
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
75
para cada n1 , n2 , . . . , nk ∈ N y k ∈ N.
Definición 2.4.29. Se dice que una familia W de subconjuntos de X es web-puntualmente
finita si existe Σ ⊂ NN y una web de subfamilias como en el párrafo anterior, tal que para
cada σ ∈ Σ y para cada x ∈ X existe un natural n0 := n(σ , x) tal que
ord(x, Wσ|n ) < ∞
0
Tenemos también el siguiente:
Teorema 2.4.30. Para una familiaA de subconjuntos de una conjuntos X, son equivalentes:
(i) A es Σ−puntualmente finita.
(ii) A es web-puntualmente finita.
D EMOSTRACIÓN : (i) ⇒ (ii) Sea A una familia Σ−puntualmente finita indexada en el
conjunto K (M) para algún espacio métrico separable. Como (K (M), d H ) es también un
espacio métrico y separable existirá un subconjunto Σ ⊂ NN y una aplicación continua y
sobreyectiva ϕ : Σ → (K (M), dH ). Definiendo Aσ := Aϕ (σ ) , para cada σ ∈ Σ, tenemos
la descomposición web-puntualmente finita de A por el lema 2.4.3 y la continuidad de
ϕ.
(ii) ⇒ (i) La web {An1 ,n2 ,...,nk : n1 , n2 , . . . , nk , k ∈ N} es una familia numerable de
subfamilias de A que verifica la definición de familia débilmente σ −puntualmente finita
ya que para cada x ∈ X y σ ∈ Σ existe n0 tal que ord(x, Aσ|n ) < +∞, ahora por el teorema
0
2.4.17 se concluye la prueba.
El siguiente concepto aparece en [M-O-T-V] y fue explícitamente definido en [On].
Ver también [On3, On4] y [D-J-P2].
Definición 2.4.31. Un espacio topológico (X, τ ) tiene la "linking separability property"
(LSP), si existe una topología metrizable π sobre X tal que τ ⊂ π y, para cada punto
x ∈ X, existe un conjunto numerable Zx ⊂ X de manera que cada subconjunto A ⊂ X,
cumple
τ
π
A ⊂ ∪x∈A Zx
Tenemos el siguiente:
Teorema 2.4.32. Si X es un espacio topológico con una network Σ−puntualmente finitamente extendible, entonces tiene LSP.
76
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
D EMOSTRACIÓN : Sea N la network para (X, τ ) que sea Σ−puntualmente finitamente
extendible, y denotemos por G = {Gi ; i ∈ I} su extensión. Por el teorema 2.4.20, tanto
N como G son familias indexadas débilmente σ -puntualmente finitas. Además por la
proposición 2.4.4 se tiene que G es puntualmente numerable. Sea N = ∪ n Nn la descomposición para N por ser débilmente σ −puntualmente finita. Podemos suponer que las
subfamilias Nn han sido elegidas de manera que
[
Nn ∈ {Nm ; m ∈ N}, para cada conjunto finito M ⊂ N.
n∈M
Fijamos n ∈ N y M una subfamilia finita de Nn , y definimos
En [M ] := {x ∈ X; (Nn )x = M }
donde (Nn )x = {N ∈ Nn ; x ∈ N}. Con esto definimos
En := {En [M ]; M ⊂ Nn finita}
que resulta ser una familia disjunta. Vamos a comprobar que la familia E = ∪ n En es una
network para X. Sea x ∈ X y U ∈ τ conteniendo a x. Entonces existe N ∈ N n (para algún
n ∈ N), tal que x ∈ N ⊂ U. Al ser N débilmente σ −puntualmente finita existirá n 0 ∈ N
tal que N ∈ Nn0 y cumpliendo
|{M ∈ Nn0 ; x ∈ M}| < ∞
Definimos pues M := {M ∈ Nn0 ; x ∈ M} y consideramos En0 [M ] ∈ En0 que contiene a
x y está contenido en N, por lo tanto x ∈ En0 [M ] ⊂ U. Ahora, por ser G puntualmente
numerable, se tiene que la extensión abierta
U := {Gn (M ); En [M ] ∈ E ; M ⊂ Nn , n ∈ N}
de E , donde
Gn (M ) := ∩{GN ; N ∈ M }
es puntualmente numerable. Por lo tanto hemos obtenido una network σ −disjunta y puntualmente numerablemente extendible para X, aplicando ahora el teorema 4.7 de [D-J-P2],
se concluye que X tiene LSP.
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
77
Observación 2.4.33. Así pues (c1 (X), τ p ) tendrá la LSP para cualquier espacio X numerablemente K -determinado y lo mismo ocurre con cualquier compacto de Gul’ko
[D-J-P2]. Cuando dicha LSP se pueda hacer con una métrica inferiormente semicontinua el compacto será de Eberlein [On3].
Para acabar el capítulo estudiaremos un ejemplo (ejemplo 4.5 de [On-R]) de un compacto de Corson descriptivo, que no es compacto de Gul’ko.
Ejemplo 2.4.34. El compacto K del ejemplo 1.2.7 es un compacto de Corson descriptivo
que no es compacto de Gul’ko.
D EMOSTRACIÓN : Este ejemplo fue construido por Argyros y Mercourakis en [Arg-Me]
(ver también [F], sección 7.3). Basta probar que este compacto es descriptivo y para ello
seguiremos [On-R]. En el capítulo 1 ya observamos que K está definido por familias casi
disjuntas de subconjuntos de N, por lo tanto satisface la hipótesis del siguiente lema (lema
4.6 de [On-R]):
Lema 2.4.35. Sea K ⊂ {0, 1}Γ un subconjunto puntualmente compacto (de funciones
características de subconjuntos de Γ). Supongamos que existe una función Φ : Γ × Γ 7→ N
tal que para cada χA ∈ K y cada n ∈ N el conjunto
{(a, b) ∈ A × A; a 6= b, Φ(a, b) ≤ n}
es finito. Entonces K es un compacto descriptivo, es decir, su topología tiene una network
σ -aislada.
D EMOSTRACIÓN : Sea Dn = {(a, b) ∈ Γ × Γ; a 6= b, Φ(a, b) = n} y sea D = ∞
n=1 Dn . Definimos la aplicación T : K 7→ c0 (D) como sigue: dado χA ∈ K y (a, b) ∈ Dn , entonces
S
T (χA )(a, b) = 1n χA (a)χA (b).
La aplicación T está bien definida ya que para cada χA ∈ K, el conjunto (A × A) ∩ Dn
es finito. También se tiene que T es continua cuando consideramos en K y en C0 (D) la
topología de convergencia puntual. Además el conjunto
L = {χA ∈ K; |A| ≤ 1}
es cerrado en K que puede ser vacío, finito o isomorfo a la compactificación por un punto
de un espacio discreto. En cualquier caso, L tiene una network σ -aislada.
La aplicación T verifica las siguientes condiciones:
78
2.4 C OMPACTOS DE G UL’ KO
(i) T (χA ) = 0 si, y sólo si, χA ∈ L;
(ii) T es inyectiva al restringirla a K \ L. Ambas condiciones son consecuencia de la
definición de T .
Sea H = T (K) que es un subconjunto débil compacto de c0 (D). Podemos afirmar que
T es un homeomorfismo de K \ L sobre H \ {0}, para ver esto hay que comprobar que T
es una aplicación abierta. Sea entonces U ⊂ K \ L un subconjunto relativamente abierto.
Ya que L es cerrado en K, tenemos que U es abierto en K. Consideramos la siguiente
partición de K con tres subconjuntos:
U,
(K \ L) \U
y
L.
Por las propiedades (i) y (ii) anteriores, las imágenes:
T (U),
T ((K \ L) \U)
y
T (L)
son una partición para H. Por tanto T (U) es el complemento en H de
T ((K \ L) \U) ∪ T (L) = T (K \U).
Como este último conjunto es compacto por la continuidad de T , se deduce que T (U) es
abierto en H. Esto completa la prueba de la afirmación.
Ahora, como K \ L es homeomorfo a un subconjunto abierto de un compacto de Eberlein, tendrá una network σ -aislada. Finalmente, K tiene una network σ -aislada porque L
y K \ L la tienen.
Observación 2.4.36. En el ejemplo anterior hemos obtenido un compacto de Corson
hereditariamente débilmente submetacompacto, pero que no es compacto de Gul’ko. Esto proporciona una respuesta negativa para la conjetura propuesta por G. Gruenhage
([Gr3]) en la cual se pregunta si K compacto de Corson y K 2 es hereditariamente débilmente submetacompacto, caracteriza a los compactos de Gul’ko dentro de la clase de los
compactos de Corson.
D EMOSTRACIÓN : Basta probar que un compacto descriptivo es hereditariamente débilmente submetacompacto. Ahora, como la propiedad de tener una network σ -aislada es
una propiedad hereditaria, probaremos que un espacio topológico X con una network
σ -aislada es débilmente submetacompacto (Bennett y Lutzer (1972), teorema 3.7 de
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
79
[Bu]), es decir, de cada cubrimiento abierto de X se puede extraer un refinamiento abierto
S
U = ∞
n=1 Un de manera que si x ∈ X, entonces 0 < ord(x, Un ) < ω0 para algún n ∈ N
(se dice que U es un θ -cubrimiento débil, introducción).
S
Sea entonces N = ∞
n=1 Nn la network σ -aislada para X. Fijado n ∈ N y dado N ∈
Nn , existe un abierto GN conteniendo a N, que no corta a ningún otro elemento de N n
(propiedad (*)). Ahora, si A es el cubrimiento abierto de X, para cada n ∈ N definimos:
Un := {GN ∩ AN ; N ∈ Nn con N ⊂ AN ∈ A }
donde hemos elegido para cada N ∈ N un único conjunto AN ∈ A que lo contiene.
S
Se observa que U = ∞
n=1 Un es un refinamiento abierto de A , además es un cubrimiento de X ya que N es una network. Además si x ∈ X, existirá N ∈ N n (para algún n)
y A ∈ A tal que x ∈ N ⊂ A, por lo que x ∈ GN ∩ A ∈ Un , y además x no puede estar en
cualquier otro elemento de Un (por la propiedad (*)) lo que concluye la prueba.
2.5 Compactos de Talagrand
En esta sección trabajaremos con familias indexadas en NN . Para dos elementos σ =
(an )n y σ 0 = (bn )n de NN , el símbolo ≤ significa
σ 0 ≤ σ ⇔ bn ≤ an , n = 1, 2, . . .
Definición 2.5.1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
X es NN −puntualmente finita cuando podemos descomponer
A = ∪{Aσ ; σ ∈ NN }
de forma que
(i) Aσ1 ⊂ Aσ2 si σ1 ≤ σ2 .
(ii) Aσ es una familia puntualmente finita ∀σ ∈ NN .
Proposición 2.5.2. Si A es una familia de subconjuntos de un espacio topológico X, se
cumplen las siguientes relaciones:
(i) Si A es σ −puntualmente finita, entonces es NN −puntualmente finita.
80
2.5 C OMPACTOS DE TALAGRAND
(ii) Si A es NN −puntualmente finita, entonces es Σ−puntualmente finita.
D EMOSTRACIÓN : (i) Podemos entonces descomponer A = ∪n An , con cada subfamilia
An puntualmente finita. Ahora definimos, para las sucesiones constantes σ = (n, n, . . . , n, . . . ),
con n ∈ N, la familia
Aσ :=
n
[
Ai
i=1
que es puntualmente finita al ser unión finita de familias puntualmente finitas. Y para
cualquier otro σ = (a1 , a2 , . . . ) definimos
Aσ := A(a1 ,a1 ,... )
Se concluye pues que
A = ∪{Aσ ; σ ∈ NN }
y que es NN −puntualmente finita.
(ii) Sea A = ∪{Aσ ; σ ∈ NN } una familia NN −puntualmente finita y así verificando
(i) y (ii) de la definición 2.5.1. Tomaremos como M el espacio de Baire N N , y para cada
K ∈ K (M), existe σK ∈ NN tal que para cada σ ∈ K se tiene σ (n) ≤ σK (n) n = 1, 2, . . .,
basta recordar que en cada factor N tenemos la topología discreta y la proyección de K
en cada factor, siendo compacta, será un conjunto finito y por lo tanto podemos definir
entonces
σK (n) := máx{σ (n); σ ∈ K}
Con esto definimos, para cada K ∈ K (M), la subfamilia AK := AσK . Entonces se cumple
que A = ∪{AK ; K ∈ K (M)}. Si K ⊂ K 0 , entonces σK ≤ σK 0 , por lo que AK ⊂ AK 0 . Por
último AK es puntualmente finita, para cada K ∈ K (M) ya que AσK lo era.
La versión para familias indexadas del concepto de familia NN -puntualmente finita es la
siguiente:
Definición 2.5.3. Una familia indexada A = {Ai ; i ∈ I} de subconjuntos de un conjunto
X se dice que es indexada NN -puntualmente finita si para cada σ ∈ NN existe un subconjunto Iσ ⊂ I de manera que si denotamos por Aσ := {Ai ; i ∈ Iσ }, para cada σ ∈ NN , se
verifica:
(i) I = ∪{Iσ ; σ ∈ NN };
(ii) Aσ1 es una subfamilia indexada de Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN ;
(iii) para cada x ∈ X y σ ∈ NN se tiene que |{i ∈ Iσ ; x ∈ Ai }| < +∞.
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
81
Definición 2.5.4. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
X es NN -puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que
A = {Ai ; i ∈ I}, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que
la familia indexada G = {Gi ; i ∈ I} es indexada NN -puntualmente finita.
El siguiente resultado es fundamental en nuestro estudio.
Teorema 2.5.5. Si (X, τ ) es un espacio topológico K −analítico, entonces el espacio
(c1 (X), τ p ) tiene una network NN −puntualmente finitamente extendible.
D EMOSTRACIÓN : Si X es K −analítico, utilizando la familia fundamental de subconjuntos compactos de NN definida por
Kσ := {β ∈ NN ; β (n) ≤ σ (n), para cada n ∈ N}
resulta obvio que Kσ1 ⊂ Kσ2 cuando σ1 ≤ σ2 , y la usco Φ : NN 7→ 2X sobreyectiva sobre
X, nos permite definir
X = ∪{Xσ ; σ ∈ NN }
donde cada Xσ := Φ(Kσ ) es compacto (por ser Φ superiormente semicontinua) y Xσ1 ⊂
Xσ2 siempre que σ1 ≤ σ2 . Ahora construyamos una network para (c1 (X), τ p ) con las
propiedades requeridas, para ello adaptaremos la prueba del teorema 2.4.10 al caso K analítico.
Si hacemos la construcción de la prueba del teorema 2.2.2 para cada σ ∈ N N ; e.d.
sobre cada c0 (Xσ ), llegaremos a una network NN -puntualmente finitamente extendible en
(c1 (X), τ p ). Precisando más, para cada n ∈ N y cada σ ∈ NN fijo, consideraremos, con las
mismas notaciones que en el teorema 2.2.2:
M (n, σ ) := {(Λ, ϕ ); Λ ⊂ Xσ ; |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In }
y definimos, análogamente a la prueba del teorema 2.2.2,

ϕ (x)
R(Λ, ϕ ) := c1 (X) ∩ ∏ Rx donde Rx =
R
x∈X
y



ϕ (x)


Rm (Λ, ϕ , σ ) := c1 (X) ∩ ∏ Rx donde Rx = (− m1 , m1 )


x∈X

R
si x ∈ Λ,
en otro caso.
si x ∈ Λ,
si x ∈ Xσ \ Λ,
si x 6∈ XK .
82
2.5 C OMPACTOS DE TALAGRAND
y tenemos
· · · Rm+1 (Λ, ϕ , σ ) ⊂ Rm (Λ, ϕ , σ ) ⊂ · · · ⊂ R(Λ, ϕ )
y la familia
R(n, σ ) := {R(Λ, ϕ ); (Λ, ϕ ) ∈ M (n, σ )}
está formada por subconjuntos τ p −abiertos de c1 (X) y es una familia puntualmente finita
en c1 (X) para cada n ∈ N y σ ∈ NN fijados. De hecho, cada h ∈ c1 (X) verifica h|Xσ ∈
c0 (Xσ ) y, como consecuencia,
|{(Λ, ϕ ) ∈ M (n, σ ); h ∈ R(Λ, ϕ )}| < +∞
como en la prueba del teorema 2.2.2.
Más aún, si consideramos para m, n ∈ N y σ ∈ NN , las familias:
R(m, n, σ ) := {Rm (Λ, ϕ , σ ); (Λ, ϕ ) ∈ M (n, σ )}
tenemos que cada familia R(m, n, σ ) tiene como extensión abierta a la familia R(n, σ ) y
∪{R(m, n, σ ); m ∈ N, n ∈ N, σ ∈ NN }
nos da una network para la topología puntual en c1 (X) que es NN -puntualmente finitamente extendible. De hecho se tiene, como en la prueba del teorema 2.2.2, que
R = ∪{R(m, n, σ ); m ∈ N, n ∈ N, σ ∈ NN }
es una base para la topología en c1 (X) de convergencia uniforme sobre los conjuntos Xσ
para cada σ ∈ NN , y en particular una network para la topología más débil de convergencia puntual en c1 (X). Resta pues comprobar que R es una familia NN -puntualmente
finitamente extendible, pero en este caso el conjunto de índices es:
I := {(m, n, σ , Λ, ϕ ) : (Λ, ϕ ) ∈ M (n, σ ), m, n ∈ N, σ ∈ NN }
y fijamos para cada i = (m, n, σ , Λ, ϕ ) ∈ I el conjunto τ p -abierto
Gi := R(Λ, ϕ ) ⊃ Rm (Λ, ϕ , σ ) =: Ni
Y para cada q ∈ N y σ ∈ NN definimos
I(q,σ ) = {(m, n, σ , Λ, ϕ ) ∈ I : (Λ, ϕ ) ∈ M (n, σ ), m, n ∈ {1, 2, . . . , q}}
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
83
donde (q, σ ) = γ es un nuevo elemento de NN definido por γ (1) = q y γ (i) = σ (i − 1)
para i > 1. El resto sigue como al final de la prueba del teorema 2.4.10.
Del teorema de inmersión (en cubos) para los compactos de Talagrand (sección 1.3) y
el teorema anterior se obtiene la siguiente consecuencia.
Corolario 2.5.6. Todo compacto de Talagrand tiene una network N N −puntualmente finitamente extendible.
La propiedad de cubrimiento correspondiente con el concepto de N N -finitud puntual
es la siguiente:
Definición 2.5.7. Un espacio topológico (X, τ ) es NN −metacompacto si de cada cubrimiento abierto se puede extraer un refinamiento abierto NN −puntualmente finito.
Proposición 2.5.8. Para cualquier espacio topológico (X, τ ) se cumple la siguiente cadena estricta de implicaciones:
σ − metacompacto ⇒ NN − metacompacto ⇒ Σ − metacompacto
D EMOSTRACIÓN : La implicaciones son consecuencia de la proposición 2.5.2.
Para ver que la primera implicación es estricta consideramos el compacto K de la sección 1.2 que es compacto de Talagrand y no es compacto de Eberlein (ejemplo 1.2.5).
Aplicando el teorema 2.2.11 se tiene que K 2 \ ∆ no es σ −metacompacto. Ahora, aplicando el teorema 2.5.13 se tiene que K 2 \ ∆ es NN −metacompacto.
Para comprobar que la segunda implicación es estricta también, consideramos el compacto K de la sección 1.2 que es compacto de Gul’ko pero no es compacto de Talagrand
(ejemplo 1.2.6). Entonces por el teorema 2.4.24 se tiene que K 2 \ ∆ es Σ−metacompacto,
pero como consecuencia del teorema 2.5.13 no puede ser NN −metacompacto.
A continuación estudiaremos una caracterización para familias N N -puntualmente finitas,
de manera análoga al estudio hecho en la sección anterior para familias Σ-puntualmente
finitas y con la misma finalidad.
Teorema 2.5.9. Para una familia A de subconjuntos de un conjunto dado X, las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) A es NN -puntualmente finita;
84
2.5 C OMPACTOS DE TALAGRAND
(ii) A es Σ-puntualmente finita de manera que las subfamilias A K de A se indexan a
través de elementos de K (M) siendo M un espacio Polaco;
S
(iii) A = ∞
n=1 An y para n1 , n2 , . . . , nk , k ∈ N,
An1 ,...,nk =
∞
[
An1 ,n2 ,...,nk ,m
m=1
tal que para cada α = (an ) ∈ NN y para cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α , x)
tal que ord(x, Aα |n0 ) < +∞.
D EMOSTRACIÓN : (ii) ⇒ (iii) Existe una aplicación continua y sobreyectiva ϕ : N N →
(K (M), dH ), debido a que (K (M), dH ) es también completo. Si definimos, para n1 , n2 , . . . , nk , k ∈
N
An1 ,...,nk := {A ∈ A : A ∈ Aϕ (α ) con α ∈ NN , α |k = (n1 , . . . , nk )}
entonces tenemos una web de subfamilias
A =
∞
[
An
y An1 ,...,nk =
n=1
∞
[
An1 ,...,nk ,m
m=1
que verifica (iii) al aplicar el lema 2.4.3.
(iii) ⇒ (i) Dado α = (an ) ∈ NN consideramos
Dα := {A ∈ A : A ∈ Aa1 ,a2 ,...,an , n = 1, 2, . . .},
y tenemos, por las condiciones de web en (iii), que A = {Dα : α ∈ NN }.
S
Tomemos Aα := {Dβ : β ≤ α } que cumple la igualdad y la condición (i) de la
definición 2.5.1. Además, para cada x ∈ X se tiene que ord(x, Aα ) < +∞. Si esto no fuera
cierto, tendriamos una sucesión de elementos {An } in Aα con An 6= Am para n 6= m y
x ∈ ∩∞
n=1 An . Para cada entero n existe βn ≤ α tal que An ∈ Dβn pudiendo asumir que (βn )
converge a algún β ≤ α en NN . Entonces, para cada p ∈ N, tenemos que βn |p = β |p
para n suficientemente grande, y por lo tanto An ∈ Aβ |p para n suficientemente grande, y
ord(x, Aβ |p ) = ∞ también. Esto nos lleva a una contradicción con la propiedad (iii) lo que
finaliza la prueba.
S
El resultado anterior también se cumple para familias indexadas (de manera análoga
al teorema 2.4.20). Précisemos esto en la siguiente:
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
85
Observación 2.5.10 (Teorema 2.5.9 para familias indexadas). En este caso, la versión
para familias indexadas de la condición (iii) del teorema anterior queda de la siguiente
manera:
Existe una web {In1 ,...,nk : (n1 , . . . , nk ) ∈ Nk , k = 1, 2, . . .} de subconjuntos de I; e.d.
I = ∪∞
n=1 In y para n1 , n2 , . . . , nk , k ∈ N tenemos
In1 ,...,nk = ∪∞
m=1 In1 ,n2 ,...,nk ,m
de manera que para cada α = (an ) ∈ NN y cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α , x) tal
que
|{i ∈ Ia1 ,a2 ,...,an0 : x ∈ Ai }| < ∞.
Para la prueba se utilizan los mismos argumentos que en el teorema 2.5.9, pero haciendo los razonamientos en este caso sobre el conjunto de índices, y utilizando el lema
2.4.21 en lugar del lema 2.4.3.
Teorema 2.5.11. Si un espacio topológico (X, τ ) tiene una network N N −puntualmente
finitamente extendible, entonces es hereditariamente NN −metacompacto.
D EMOSTRACIÓN : La prueba es análoga a la del teorema 2.4.22 de la sección anterior,
pero aplicando, en este caso, el teorema 2.5.9 y la observación 2.5.10.
El siguiente resultado es análogo al lema 2.5.12 de la sección anterior.
Lema 2.5.12. Sea B una base de un espacio topológico X, localmente compacto y N N metacompacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B 0 tal que
{B; B ∈ B 0 }
es NN −puntualmente finito.
D EMOSTRACIÓN : Basta reemplazar los índices K ∈ K (M) por índices σ ∈ N N en la
prueba del lema 2.4.23.
Estamos en disposición de probar el resultado principal de esta sección.
Teorema 2.5.13. Sea K un compacto, son equivalentes:
(i) K es compacto de Talagrand.
86
2.5 C OMPACTOS DE TALAGRAND
(ii) K 2 \ ∆ es NN −metacompacto.
(iii) K 2 es hereditariamente NN −metacompacto.
(iv) K tiene una network NN −puntualmente finitamente extendible.
D EMOSTRACIÓN : (i)⇒(iv) Se sigue del corolario 2.5.6.
(iv)⇒(iii) Es consecuencia de que la propiedad de tener una network N N -puntualmente
finitamente extendible es estable por productos finitos junto con el teorema 2.5.11.
(iii)⇒(ii) No hay nada que probar.
(ii)⇒(i) Sigue el mismo esquema que la prueba del teorema 2.4.24. De hecho si K 2 \ ∆
es hereditariamente NN −metacompacto, entonces por el lema 2.5.12 existe un cubrimiento
P = {Uγ ×Vγ ; γ ∈ A}
de K 2 \ ∆ tal que:
(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ en K.
(b) Uγ ∩Vγ = 0,
/ ∀γ ∈ A.
(c) {Uγ ×Vγ ; γ ∈ A} es una familia NN −puntualmente finita.
(d) U ×V ∈ P implica V ×U ∈ P.
Ahora, si µ es el carácter de densidad de K y expresamos K = {pα ; α < µ }, definimos
para cada α < µ
Kα := {pβ ; β < α }
y
Uα := {∩γ ∈F Uγ ; F ⊂ A y {Vγ ; γ ∈ F} es un cubrimiento finito y minimal sobre Kα }
que es también un cubrimiento de K \ Kα . Entonces la familia ∪{Uβ ; β < µ } es T0 separadora como en el teorema 2.2.11. Veamos que ∪{Uβ ; β < µ } es una familia NN puntualmente finita en K. De hecho, por (c) sabemos que {U α × V α ; α ∈ Aσ } es una
S
familia puntualmente finita para cada σ ∈ NN , donde A = σ ∈NN Aσ cumpliendo que
Aσ1 ⊂ Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN .
Para σ ∈ NN y n ∈ N fijados, consideramos la familia Uασ,n formada por todos los
elementos de Uα cuyo correspondiente conjunto indexante F tiene cardinalidad menor
o igual que n y está contenido en Aσ . Entonces ∪{Uασ,n : α < µ } es una familia puntualmente finita en K. Lo comprobamos por reducción al absurdo, si existe algún x ∈ X
perteneciendo a una cantidad infinita de elementos de ∪α <µ Uασ,n , entonces tendríamos
2. N ETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS
87
una sucesión de ordinales β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βq ≤ . . . con
x ∈ ∩{Uγ : γ ∈ F(βq )} ∈ Uβσq ,n , esto es |F(βq )| ≤ n
y todos F(βq ) ⊂ Aσ , q = 1, 2, . . . Ya que |F(βq )| ≤ n, q = 1, 2, . . . y todos ellos son
distintos es posible asumir que {F(βq ); q = 1, 2, . . . } es un ∆−sistema de raíz R, lema
2.1.6 y observación 2.1.7. En cualquier caso R F(β1 ) y existirá y ∈ Kβ1 \ ∪{V γ ; γ ∈ R}.
Entonces para cada q existe δ (q) ∈ F(βq ) \ R con y ∈ V δ (q) ya que Kβ1 ⊂ Kβ2 . Pero
entonces tenemos que
(x, y) ∈
∞
\
Uδ (q) ×Vδ (q)
q=1
y {δ (q); q = 1, 2, . . . } ⊂ Aσ lo que contradice el hecho de que {Uγ ×Vγ ; γ ∈ Aσ } es puntualmente finita ya que {δ (q); q = 1, 2, . . . } son elementos diferentes en A σ . Con esto
vemos que ∪{Uα ; α < µ } puede expresarse como
∪{{Uασ,n ; α < µ }; σ ∈ NN , n ∈ N}
y vemos que es una familia NN -puntualmente finita, formada por abiertos Fσ y que es
T0 -separadora. Estamos pues en condiciones de aplicar el teorema tipo Rosenthal para los
compactos de Talagrand, teorema 1.4.2 apartado (iii), y concluir que efectivamente K es
un compacto de Talagrand.
88
2.5 C OMPACTOS DE TALAGRAND
3
Índice de no compacidad de
Kuratowski y renormamiento LUR.
El concepto de índice de no compacidad de Kuratowski ha sido utilizado en conexión con propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas en espacios de Banach,
[Gi-Mr], y en teoría de renormamientos de espacios de Banach, [T2].
En la primera sección de este capítulo definimos el índice de no compacidad de Kuratowski, y relacionamos este concepto con la propiedad de σ −fragmentabilidad y la
propiedad JNR. En la segunda sección y, a través del superlema de Bourgain-Namioka,
caracterizamos a los conjuntos convexos dentables en un espacio normado como aquellos conjuntos que tienen slices de índice de Kuratowski arbitrariamente pequeño. En la
tercera sección introducimos el concepto de puntos denting y puntos quasi-denting de un
conjunto, y relacionamos índice de Kuratowski con índice de dentabilidad. En particular,
se prueba que el índice de dentabilidad del conjunto de los puntos quasi-denting de un
conjunto convexo, cerrado y acotado es numerable. Como consecuencia, se obtienen resultados de renormamiento LUR para espacios normados. En particular obtenemos una
prueba geométrica del teorema de Troyanski que afirma: Un espacio de Banach X en el
que cada punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad
cerrada BX , admite una norma equivalente LUR, [T2]. En la cuarta sección obtenemos
un nuevo resultado sobre renormamiento que es consecuencia del teorema de Troyanski mencionado anteriormente, además extendemos el proceso de derivación de Lancien
90
3.1 Í NDICE DE K URATOWSKI , σ - FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD.
("comiendo" ahora slices de índice de Kuratowski "pequeño") para el que seguirá siendo
válido el teorema de renormamiento obtenido al final de la sección precedente. Recordemos que hay resultados sobre renormamiento LUR en espacios normados, en los cuales
se involucra una descomposición numerable de todo el espacio en subconjuntos con slices
de diámetro arbitrariamente pequeño (teorema 13 de la introducción). El principal logro
de la quinta sección es conseguir generalizar esos resultados, en el sentido de que se pueda sustituir, a la hora de medir el tamaño de los conjuntos, el diámetro por el índice de
Kuratowski. Como aplicación obtenemos un resultado sobre renormamiento LUR enunciado desde un punto de vista topológico. De hecho probaremos que un espacio normado
admite una norma equivalente LUR si, y sólo si, la topología dada por la norma tiene una
network con una propiedad del tipo localmente finita respecto a slices, generalizando la
propiedad del tipo discreta respecto a slices aparecida en [M-O-T-V], (teorema 1.7.3).
3.1 Índice de Kuratowski, σ -fragmentabilidad y propiedad SLD.
En esta primera sección analizamos cómo el índice de no compacidad de Kuratowski puede reemplazar al diámetro en las nociones de σ -fragmentabilidad y cubrimiento
numerable por conjuntos de diámetro local pequeño. Comenzamos recordando algunas
definiciones que aparecieron en la introducción.
Definición 3.1.1. Sea X un espacio métrico, para un subconjunto acotado A ⊂ X definimos su índice de no compacidad de Kuratowski como:
α (A) := ı́nf{ε > 0; A ⊂
n
[
Bi con diam(Bi ) < ε y n ∈ N}
i=1
A
Bi
q
diamBi < 3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
91
Definición 3.1.2. Sea X un espacio normado, decimos que el subespacio F ⊂ X ∗ es normante si, al definir
|||x||| = sup{| f (x)|; f ∈ F ∩ BX ∗ }, para cada x ∈ X
obtenemos una norma equivalente para X. Cuando la norma original coincida con ||| · |||,
se dice que F es 1−normante.
A lo largo de este capítulo denotaremos por σ (X, F) la topología en X de convergencia
puntual sobre elementos de F, y todas las clausuras son respecto a esta topología si no se
especifica lo contrario.
Lema 3.1.3. Si X es un espacio normado, F ⊂ X ∗ es un subespacio 1-normante y A ⊂ X
un subconjunto acotado. Entonces:
diam(A) = diam(A)
D EMOSTRACIÓN : La norma ||| · ||| es inferiormente semicontinua para σ (X, F) y de aquí
la conclusión.
Recordamos que fijados f ∈ X ∗ , δ ∈ R el conjunto
H = {x ∈ X; f (x) > δ }
se denomina semiespacio abierto de X, si f ∈ F lo denominaremos σ (X, F)−semiespacio abierto de X. Denotaremos por H(F) la familia de todos los σ (X, F)−semiespacios
abiertos de X. Si fijamos un subconjunto A ⊂ X, el conjunto:
H ∩ A, con H ∈ H(X ∗ )
se denomina un slice de A, si H ∈ H(F) lo denominaremos σ (X, F)−slice. Veamos
qué relación hay entre el índice de Kuratowski de un σ (X, F)−slice de A y el de un
σ (X, F)−slice de A (dados por el mismo semiespacio).
Proposición 3.1.4. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio 1-normante, A ⊂ X
un subconjunto acotado y H ∈ H(F) con α (A ∩ H) < ε . Entonces α (A ∩ H) < ε
D EMOSTRACIÓN : Por hipótesis existen B1 , . . . , Bn conjuntos con diam(Bi ) < ε para i =
1, . . . , n, cumpliendo:
A∩H ⊂
n
[
i=1
Bi
92
3.1 Í NDICE DE K URATOWSKI , σ −FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD
Entonces podemos escribir:
A∩H ⊂ A∩H ⊂
n
[
Bi
i=1
donde
diam(Bi ) < ε para i = 1, . . . , n
Para acabar la demostración basta probar la primera inclusión anterior. Fijemos x ∈ A ∩ H
y U 3 x un σ (X, F)−abierto, entonces U ∩ H es también σ (X, F)−abierto que contiene a
x y corta a A. Por lo tanto
U ∩ H ∩ A 6= φ
como consecuencia x ∈ A ∩ H.
En el siguiente resultado relacionamos el concepto de σ −fragmentabilidad (sección
1.5) con el de índice de Kuratowski.
Teorema 3.1.5. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. El espacio
topológico (X, σ (X, F)) está σ −fragmentado por la norma de X si, y sólo si, para cada
ε > 0, podemos escribir
X=
∞
[
Xnε
n=1
Xnε ,
donde cada conjunto
n ≥ 1, tiene la propiedad que para cada φ 6= A ⊂ Xnε existe un
conjunto abierto U ∈ σ (X, F) tal que A ∩U 6= φ y
α (U ∩ A) < ε
D EMOSTRACIÓN : No perdemos generalidad asumiendo de entrada que trabajamos con
la norma ||| · |||, esto es, que F es 1-normante.
Supongamos que dado ε > 0 podemos descomponer
X=
[
Xnε
n
de tal manera que si φ 6= A ⊂ Xnε , existe un σ (X, F)−abierto U ∈ σ (X, F) tal que A ∩U 6=
φy
α (U ∩ A) < ε
Entonces existirán B1 , . . . , Bk subconjuntos de X σ (X, F)−cerrados, tales que
U ∩A ⊂
k
[
i=1
Bi y diam(Bi ) < ε
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
93
Reduciendo el número de elementos en el cubrimiento, si es necesario, podemos suponer
que
k
[
(B1 ∩U ∩ A) \ (
Bi ) 6= φ
i=2
Denotamos F :=
Sk
i=2 Bi
y consideramos el conjunto σ (X, F)−abierto
V := U ∩ (X \ F)
Se observa que V ∩ A 6= φ y de esta forma V ∩ A ⊂ U ∩ B1 , luego diam(V ∩ A) < ε .
Dado un espacio normado X y F ⊂ X ∗ un subespacio normante, relacionaremos la
propiedad k · k-SLD de (X, σ (X, F)) (ver introducción) con el concepto de índice de
Kuratowski.
Teorema 3.1.6. Para un espacio normado X y F ⊂ X ∗ un subespacio normante, un conjunto A ⊂ (X, σ (X, F)) tiene la propiedad k · k-SLD si, y sólo si, para cada ε > 0 podemos
descomponer
A=
∞
[
Aεn
n=1
tal que para cada x ∈ Aεn , existe un conjunto U que es σ (X, F)−abierto y contiene a x,
tal que
α (U ∩ Aεn ) < ε
D EMOSTRACIÓN : Haremos la prueba para todo el espacio X. De nuevo podemos asumir
que ||| · ||| es la norma original. Supongamos que dado ε > 0 podemos descomponer
X=
[
Xnε
n
de tal manera que si x ∈ Xnε , existe un σ (X, F)−abierto U 3 x tal que
α (U ∩ Xnε ) < ε
Entonces existirán B1 , . . . , Bk subconjuntos de X σ (X, F)−cerrados, tales que
U ∩ Xnε ⊂
k
[
i=1
Bi y diam(Bi ) < ε
94
3.1 Í NDICE DE K URATOWSKI , σ −FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD
Consideramos el σ (X, F)−abierto
V := X \
[
{Bi ; x 6∈ Bi }
Si ∪{Bi ; x 6∈ Bi } es vacío se tiene que diam(U ∩ Xnε ) < 2ε , en otro caso se observa que
x ∈ V y claramente diam(V ∩U ∩ Xnε ) < 2ε .
Para acabar esta sección veremos una aplicación del teorema anterior. Antes, es necesario que veamos algunas nociones previas.
Definición 3.1.7. Sea (X, τ ) un espacio topológico y A = {A α ; α ∈ I} una familia de
subconjuntos de X. Se dice que A es:
(i) Relativamente localmente finita respecto a τ si para todo elemento x ∈ ∪{A α ; α ∈
I}, existe un conjunto τ -abierto, U, que contiene a x y tal que
|{α ;U ∩ Aα 6= φ }| < +∞
(ii) σ -Relativamente localmente finita respecto a τ , si se puede expresar como unión
numerable de subfamilias relativamente localmente finitas respecto a τ .
Con esto obtenemos la siguiente consecuencia sobre la caracterización con network
de la propiedad de cubrimiento numerable por conjuntos de diámetro local pequeño:
Corolario 3.1.8. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) La topología en X dada por la norma admite una network que es σ -relativamente
localmente finita respecto a la topología σ (X, F).
(ii) (X, σ (X, F)) tiene la propiedad k · k-SLD.
D EMOSTRACIÓN : Teniendo en cuenta la proposición 2 de [M-O-T-V] y la proposición 1.9
de [On2] (ver también teoremas 1.7.2 y 1.7.3), basta probar (i) ⇒ (ii). Para esto supongamos que
N =
∞
[
Nn
n=1
es la network que satisface (i). No es restrictivo suponer que cada subfamilia N n está
formada por conjuntos disjuntos dos a dos. De hecho, si las familias N n no son disjuntas,
podemos expresar
Nnm := {N1 ∩ · · · ∩ Nm ; Ni ∈ Nn ; i = 1, . . . , m}
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
95
y
Snm := {x ∈ ∪Nnm ; |{N ∈ Nn ; x ∈ N}| = m}
Entonces la familia
Mnm = Nnm ∩ Snm := {N ∩ Snm ; N ∈ Nnm }
S
está formada por conjuntos disjuntos dos a dos; la familia M n := m Mnm es un refinamiento de Nn , y por lo tanto, para cada n, m ∈ N, la familia Mnm es σ (X, F)-relativamenS
te localmente finita. Además la familia M = n,m Mnm es una network para la norma.
Veamos ahora que (X, σ (X, F)) tiene la propiedad k · k-SLD. Para ello fijamos ε > 0
y definimos, para cada n ∈ N
Xnε = {x ∈ X; ∃N ∈ Nn con x ∈ N ⊂ B(x; ε )}
Ya que N es una network para la k · k −topología, se tiene que
X=
[
Xnε
n
Fijamos un elemento x ∈ Xnε , por ser N σ -relativamente localmente finita respecto a
σ (X, F), existirá U ∈ σ (X, F) conteniendo a x tal que
U
\
(∪{N; N ∈ Nn }) = U ∩ N1 ∪U ∩ N2 ∪ · · · ∪U ∩ N p
para un subconjunto finito {N1 , . . . , N p } de Nn . Más aún, si consideramos y ∈ U ∩ Xnε
entonces
y ∈ U ∩ N j para algún j ∈ {1, . . . , p}
por ser los N j disjuntos y por la definición de los conjuntos Xnε , y al ser cada Nn disjunta,
se tiene que
y ∈ N j ⊂ B(y; ε )
por lo que tal conjunto N j cumple que diam(N j ) < 2ε . Como consecuencia tenemos
{p1 , . . . p f } ⊂ {1, . . . , p} tal que
U ∩ Xnε ⊂ N p1 ∪ · · · ∪ N p f
donde
diam(N pi ) < 2ε para todo i = 1, . . . , p f
96
3.2 Í NDICE DE K URATOWSKI Y DENTABILIDAD .
Por lo tanto
α (U ∩ Xnε ) < 2ε
aplicando el teorema 3.1.6, se concluye la prueba.
Observación 3.1.9. Los teoremas 3.1.5, 3.1.6 y el corolario 3.1.8 son también ciertos si
consideramos un espacio topológico (X, τ ) y d una métrica inferiormente semicontinua.
De hecho las mismas pruebas sirven.
3.2 Índice de Kuratowski y dentabilidad.
De cara a los siguientes resultados fijemos un poco más de notación. Sea A un subconjunto acotado de un espacio métrico X y p ≥ 1 un entero. Escribiremos
p
α (A, p) := ı́nf{ε ; A ⊂ ∪i=1
Bi con diam(Bi ) < ε }
se cumple que
α (A) = ı́nf{α (A, p); p = 1, 2, . . . }
Lema 3.2.1. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante. Fijamos
C, C0 y C1 subconjuntos de X convexos, σ (X, F)−cerrados y acotados. Sea p un entero
positivo, ε > 0 y M = diam(C0 ∪C1 ). Asumimos que:
(i) C0 ⊂ C y α (C0 , p) < ε 0 < ε .
(ii) C 6⊂ C1 .
(iii) C ⊂ co(C0 ,C1 ).
Además si r es un número positivo tal que 2rM + ε 0 < ε y consideramos
Dr := {(1 − λ )x0 + λ x1 ; r ≤ λ ≤ 1, x0 ∈ C0 , x1 ∈ C1 }
entonces
C \ Dr 6= φ y α (C \ Dr , p) < ε .
Gráficamente, las hipótesis del lema las podemos representar de la siguiente manera.
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
97
C1
C
.
. ..
... ...
.. .
... ....
.. ..
.. .
.. ....
..
..
.
..
..
...
..
..
.
...
..
..
.
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
.. ........
................................. C
....... ........ ........ ........ 0
. . .
...........................................
... ... ..
.................. ....
..
El subconjunto C0 ⊂ C es "relativamente" pequeño.
Al aplicar el lema, la situación quedaría de esta manera.
C1
co(C0 , C1 )
C
Dr
C0
El conjunto C \ Dr sigue siendo "relativamente" pequeño.
Observación 3.2.2. Para p = 1 el lema no es más que el superlema de Bourgain-Namioka
(pág. 157, [D]). Siguiendo la prueba de este caso, no es difícil ver que también es cierto para cualquier p ∈ N. Pero ya que más adelante usaremos los detalles de la prueba,
daremos la demostración completa.
D EMOSTRACIÓN : Para 0 ≤ r ≤ 1 definimos:
Dr := {(1 − λ )x0 + λ x1 ; r ≤ λ ≤ 1, x0 ∈ C0 , x1 ∈ C1 }
Se observa que Dr es convexo, D0 ⊃ C, D1 = C1 . Para 0 < r < 1 probaremos que
C \ Dr 6= φ
Probaremos esta última afirmación. Como C 6⊂ C1 , existe f ∈ F cumpliendo
sup f (C1 ) < sup f (C)
Si existiera r > 0 con C ⊂ Dr , se tendría
sup f (C) ≤ sup f (Dr ) = sup f (Dr ) ≤
98
3.2 Í NDICE DE K URATOWSKI Y DENTABILIDAD
≤ (1 − r) sup f (C0 ) + r sup f (C1 ) ≤
≤ (1 − r) sup f (C) + r sup f (C1 )
Lo cual nos llevaría a la conclusión de que
sup f (C) ≤ sup f (C1 )
que es una contradicción.
Tomamos x ∈ D0 \ Dr , entonces existe x0 ∈ C0 tal que se cumple
k x − x0 k≤ rM
(∗)
Para ver ésto último expresamos
x = (1 − λ )x0 + λ x1 donde x0 ∈ C0 , x1 ∈ C1
Como x 6∈ Dr , se debe cumplir que 0 ≤ λ < r. Se sigue que
k x − x0 k= λ k x0 − x1 k< r sup{k y − z k; y ∈ C0 , z ∈ C1 } ≤ rM
Como α (C0 , p) < ε 0 < ε , podemos escribir
C0 ⊂
p
[
Bi
i=1
con diam(Bi ) < ε 0 . Además fijamos r > 0 tal que 2rM + ε 0 < ε . Observamos que:
D0 \ Dr ⊂ C0 + B(0; rM) ⊂
p
[
Bi + B(0; rM)
i=1
donde la primera inclusión viene de la condición (*). Entonces
C \ D r ⊂ D0 \ Dr ⊂
p
[
Bi + B(0; rM)
i=1
Y los conjuntos Bi + B(0; rM) tienen diámetro menor que 2rM + ε 0 < ε .
A continuación, un resultado cuya prueba es una consecuencia del lema anterior para
p = 1.
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
99
Proposición 3.2.3. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante. Si B
es un subconjunto de X σ (X, F)−cerrado, acotado y convexo y H ∈ H(F) con H ∩ B 6= φ
y
α (H ∩ B) < ε
entonces existe otro semiespacio G ∈ H(F) σ (X, F)−abierto cumpliendo
φ 6= G ∩ B ⊂ H ∩ B, y diam(G ∩ B) < ε
D EMOSTRACIÓN : Hacemos la prueba por inducción en p, donde α (H ∩ B, p) < ε . Para
p = 1 no hay nada que probar. Supongamos que la afirmación es cierta para p ≤ n − 1 y
escribimos:
H
H
H ∩ B ⊂ BH
1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ B n
H
donde cada BH
i es un conjunto convexo y σ (X, F)−cerrado con diam(B i ) < ε .
Si definimos L1 := co(B \ H, BH
1 ∩ B), tenemos dos posibilidades:
(i) L1 ⊂ B y L1 6= B, entonces podemos elegir y ∈ B \ L1 y, por el teorema de HahnBanach, existe un semiespacio H̃ ∈ H(F) con y ∈ H̃ y H̃ ∩ B ⊂ H ∩ B. Pero H̃ ∩ B ⊂
H
BH
2 ∪ · · · ∪ Bn , aplicando la hipótesis de inducción obtenemos el semiespacio G ∈ H(F).
Cubierto por
n − 1 conjuntos.
B1H
:
B
L1
H̃
H
(ii) B = L1 , en este caso aplicamos el resultado anterior para p = 1 con los conjuntos
H
C0 = BH
1 ∩ B y C1 = B \ H para obtener un semiespacio abierto G ∈ H(F) con G ∩ B 1 6= φ ,
G ∩ B ⊂ H ∩ B y diam(G ∩ B) < ε .
B1H
1
*
diámetro
menor que U
B = L1
G
Dr
H
100
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING .
Como corolario del resultado anterior, obtenemos una mejora de un resultado de
Gilles y Moors (teoremas 4.2 y 4.3 de [Gi-Mr]). Antes veamos la definición de conjunto
dentable.
Definición 3.2.4. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Se dice
que el subconjunto acotado B ⊂ X es σ (X, F)−dentable si para cualquier ε > 0, existe
H ∈ H(F) tal que H ∩ B 6= φ y
diam(H ∩ B) < ε
Corolario 3.2.5. Para un espacio normado X, un subespacio F ⊂ X ∗ normante y un
subconjunto B ⊂ X σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado. Son equivalentes:
(i) B es σ (X, F)−dentable.
(ii) B tiene σ (X, F)−slices de índice de Kuratowski arbitrariamente pequeño.
D EMOSTRACIÓN : Podemos trabajar con la norma equivalente ||| · ||| dada por el subespa
cio normante F y aplicar la proposición anterior para cada ε > 0.
Observación 3.2.6. I. Namioka nos ha informado recientemente que el corolario 3.2.5
aparece ya en una publicación del Seminario Rainwater (I. Namioka “Characterizations
of closed convex sets with the RNP, following Bourgain and Stegall”. Rainwater Seminar
Functional Analysis, October 1976).
3.3 Índice de dentabilidad de puntos quasi-denting.
En esta sección daremos la prueba geométrica del teorema de Troyanski sobre renormamiento LUR de espacios de Banach donde los puntos de la esfera unidad son puntos
quasi-denting en la bola unidad (Teorema 6 de la introducción). Comenzamos esta sección
recordando y estudiando algunas definiciones que aparecieron en la introducción.
Definición 3.3.1. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, A ⊂ X
un subconjunto y ε > 0 fijado. Se dice que:
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
101
(i) Un punto x ∈ A ⊂ X es ε − σ (X, F)−denting (resp. ε − σ (X, F)−quasi-denting), si
existe H ∈ H(F) conteniendo a x y cumpliendo
diam(A ∩ H) < ε (resp. α (A ∩ H) < ε )
diam(A ∩ H) < diam(A ∩ H) < >
>
A
H
A
H
(ii) Un punto x ∈ A ⊂ X es σ (X, F)−denting (resp. σ (X, F)−quasi-denting), si ∀ε > 0
existe H ∈ H(F) conteniendo a x y cumpliendo
diam(A ∩ H) < ε (resp. α (A ∩ H) < ε )
De la definición anterior se observa que cualquier punto denting es quasi-denting. Sin
embargo, la implicación contraria no es cierta, como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.3.2. Sea {ei }4i=1 la base de vectores unitarios de R4 y definimos el conjunto:
T := {e1 , e1 ± e2 , e1 + e2 ± e3 , e1 − e2 ± e4 }
Entonces los puntos e1 , e1 +e2 y e1 −e2 son puntos quasi-denting en T que no son denting.
D EMOSTRACIÓN : Como T es un conjunto finito se cumple que α (T) = 0, por lo que e 1 es
un punto quasi-denting en T. Ahora, consideramos un semiespacio abierto H conteniendo
a e1 , entonces o bien e1 + e2 ∈ H o bien e1 − e2 ∈ H, ya que, si ninguno de los dos
elementos está en H, por convexidad e1 6∈ H. Además la distancia entre e1 y cualquiera
de los dos elementos anteriores es 1. El mismo razonamiento sirve para los otros puntos
y se concluye la prueba.
102
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
e1 − e 2 + e 4
e1 − e 2 − e 4
Ie1 + e2 + e3
e1 + e 2
e1 − e 2
6
e1
-
e1 + e 2 − e 3 R
T
A continuación nos vamos a centrar en estudiar puntos σ (X, F)-denting y puntos
σ (X, F)quasi-denting de la bola unidad cerrada BX de un espacio normado. Estudiaremos
un ejemplo, extraído de [T2], de un espacio de Banach donde todos los puntos de la esfera unidad SX son puntos quasi-denting en la bola unidad cerrada BX . Sin embargo, hay
puntos en dicha esfera que no son denting en la bola. Fijemos la siguiente notación:
En el espacio vectorial C[0, 1] consideramos la norma completa
+∞
|x| := |x|∞ + ∑ 2−i w(x, 2−i )
i=1
donde | · |∞ es la norma del supremo y w(x, δ ) es el módulo de continuidad de x, es decir,
w(x, δ ) := sup{x(t 0 ) − x(t 00 ); |t 0 − t 00 | ≤ δ }
Ejemplo 3.3.3. En el espacio de Banach (C[0, 1], |·|), cualquier punto de la esfera unidad
es un punto quasi-denting de la bola unidad cerrada.
D EMOSTRACIÓN : Definimos
|x|n := |x|∞ + ∑ 2−i w(x, 2−i )
i<n
Sea |x| = 1, y ε > 0. Podemos encontrar m tal que w(x, 2−m ) < ε /2, y definimos
K := {u; |u|m ≤ 1 − 2−m ε }
K es convexo y cerrado y x 6∈ K, veamos esto último:
1 = |x|m + ∑ 2−i w(x, 2−i ) < |x|m +
i≥m
ε
∑ 2−i =
2 i≥m
ε
= |x|m + 2−m 2 = |x|m + 2−m ε
2
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
103
por lo que |x|m > 1 − 2−m ε . Como consecuencia existirá f ∈ C ∗ [0, 1], | f | = 1 tal que
f (x) > sup f (K)
Consideramos δ = 1 − sup f (K)>0, y B = {u; |u| ≤ 1}. Sea u ∈ S B ( f , δ ), entonces u 6∈ K,
por lo que |u|m > 1 − 2−m ε . Como |u| ≤ 1 llegamos a que w(u, 2−m ) < ε , por lo tanto
SB ( f , δ ) ⊂ F2ε−m := {u ∈ B; sup u(t 0 ) − u(t 00 ) ≤ ε si |t 0 − t 00 | ≤ 2−m }
Si probamos que
α (F2ε−m ) ≤ ε
habremos acabado. Como [0, 1] es compacto podemos expresar
[0, 1] ⊂
N
[
B(xi ; 2−m )
i=1
Aplicando el lema de Urysohn, ver [E], existe un sucesión finita {φ i }N
i=1 de funciones
continuas cumpliendo 0 ≤ φi ≤ 1, supp(φi ) ⊂ B(xi ; 2−m ) para cada i = 1, . . . , N y ∑N
i=1 φi =
1.
Fijado u ∈ F2ε−m , definimos
N
ū(x) :=∑ u(xi )φi (x)
i=1
entonces se cumple
N
|u(x) − ū(x)| = |u(x) −∑ u(xi )φi (x)| =
i=1
N
N
N
i=1
i=1
i=1
= | ∑ u(x)φi (x) − ∑ u(xi )φi (x)| ≤ ∑ |u(x) − ui (x)|φi (x) =
=
∑
i;x∈supp(φi )
|u(x) − u(xi )|φi (x) ≤ ε ∑ φi (x) = ε
i
Definimos entonces el conjunto relativamente compacto
K2ε−m := span{φi ; i = 1, . . . , N} ∩ B
Entonces α (K2ε−m ) = 0, es decir, lo puedo cubrir por una cantidad finita de bolas de
diámetro arbitrariamente pequeño. Atendiendo a que
distancia( f , K2ε−m ) ≤ ε para todo f ∈ F2ε−m
104
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
se concluye que
α (F2ε−m ) ≤ ε
Veamos la siguiente observación sobre el ejemplo anterior.
Observación 3.3.4. En el espacio de Banach (C[0, 1], | · |), no todo punto de la esfera
unidad es un punto denting de la bola unidad cerrada.
D EMOSTRACIÓN : Utilizando una caracterización de [L-L-T], basta probar que existen
f , g, h ∈ C[0, 1] con | f | = |g| = |h| = 1 cumpliendo f = 12 g + 12 h, en esta situación se dice
que f es un punto no extremal de la esfera unidad de (C[0, 1], | · |). Hay que observar que
la norma | · | mide, no sólo el máximo valor de una función, sino también su pendiente.
Por lo tanto al compensar el valor máximo con la pendiente, se obtienen funciones que
están en la esfera unidad. Con esto en mente definimos las siguientes funciones:

x + 1 , x ≤
6
f (x) =
 7 − x, x >
6
1
2
1
2
;
Gráficamente tenemos:

 6 x,
x≤
g(x) = 5
 6 (1 − x),
5
x>
1
2
1
2
;

4x + 1,
h(x) = 5
 17
15
−
3
4
5 x,
x≤
x>
1
2
1
2
Y
11/15
2/3
3/5
1/3
y = h(x)
1/6
y = f (x)
y = g(x)
1/2
1
X
Vamos a probar primero la condición | f | = |g| = |h| = 1.
(a) | f |∞ = 23 y w( f , 2−i ) = sup{| f (x + 2−i ) − f (x)|; x ∈ [0, 1]} = 2−i , donde la última
igualdad se debe a que
| f (x + 2−i ) − f (x)| = x + 2−i − x = 2−i , si x + 2−i ≤
1
2
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
105
y
| f (x + 2−i ) − f (x)| = | 76 − x − 2−i − 76 + x| = 2−i , si x ≥
1
2
En cualquier otro caso | f (x + 2−i ) − f (x)| es menor que en los casos anteriores (ver la
gráfica de esta función). Entonces se tiene que
| f | = 23 + ∑ 41i = 23 + 13 = 1
i
(b) |g|∞ = 53 y w(g, 2−i ) = sup{|g(x + 2−i ) − g(x)|; x ∈ [0, 1]} = 65 2−i , donde la última
igualdad se debe a que
|g(x + 2−i ) − g(x)| = 65 x + 65 2−i − 56 x = 56 2−i , si x + 2−i ≤
1
2
y
|g(x + 2−i ) − g(x)| = | 65 − 65 x − 65 2−i − 65 + 56 x| = 65 2−i , si x ≥
1
2
En cualquier otro caso |g(x + 2−i ) − g(x)| es menor que en los casos anteriores (ver la
gráfica de esta función). Entonces se tiene que
|g| = 53 + ∑ 65 · 41i = 35 + 13 · 65 = 1
i
11
y w(h, 2−i ) = sup{|h(x + 2−i ) − h(x)|; x ∈ [0, 1]} = 45 2−i , donde la última
(c) |h|∞ = 15
igualdad se debe a que
|h(x + 2−i ) − h(x)| = 45 x + 45 2−i + 13 − 54 x − 13 = 45 2−i , si x + 2−i ≤
1
2
y
4
12 −i
17
4
4 −i
|h(x + 2−i ) − h(x)| = | 17
15 − 5 x − 15 2 − 15 + 5 x| = 5 2 , si x ≥
1
2
En cualquier otro caso |h(x + 2−i ) − h(x)| es menor que en los casos anteriores (ver la
gráfica de esta función). Entonces se tiene que
|h| =
11
15
+ ∑ 45 · 41i =
11
15
+ 13 · 45 = 1
i
Probaremos ahora la condición f = 21 (g + h).
Si x ≤ 21 , entonces
1
1
1
2 g(x) + 2 h(x) = 2
· 65 x + 12 · ( 54 x + 13 ) = x + 16 = f (x)
106
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
Si x > 21 , entonces
1
1
1
2 g(x) + 2 h(x) = 2
17
· 65 (1 − x) + 12 (− 54 x + 15
) = −x + 76 = f (x)
Recordemos la siguiente definición, que ya apareció en la introducción.
Definición 3.3.5. La norma k · k de un espacio normado X se dice localmente uniformemente rotunda (LUR), si para toda sucesión (xn )n ⊂ SX y x ∈ SX se cumple
lı́m k
n
xn + x
k= 1 ⇒ lı́m k xn − x k= 0
n
2
En lo que queda de sección estudiaremos el índice de dentabilidad de los puntos
σ (X, F)quasi-denting, como consecuencia de esto obtendremos una prueba alternativa
(geométrica) del teorema de Troyanski para puntos quasi denting (teorema 10 de la introducción) el cual afirma que: Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de que cada
punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad cerrada
BX , entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.
Recordamos el índice de dentabilidad de G. Lancien basado en el siguiente proceso
de derivación de tipo Cantor.
Fijado un espacio normado X, un subespacio normante F ⊂ X ∗ y B ⊂ X un subconjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado. Elegimos algún ε > 0 y definimos:
Dε ,F (B) := {x ∈ B; k · k − diam(H ∩ B) > ε , ∀H ∈ H(F), x ∈ H}
D,F (B)
B
De nuevo, Dε ,F (B) es un conjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado; de hecho, si B
es absolutamente convexo, Dε ,F (B) también lo es. Iterando este proceso definimos:
+1
Dαε ,F
(B) := Dε ,F (Dαε,F (B)) donde D0ε ,F (B) := B
y
Dαε,F (B) :=
\
β <α
β
Dε ,F (B), si α es un ordinal límite.
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
En este contexto denotaremos por:

ı́nf{α ; Dα (B) = φ }
ε ,F
δF (B, ε ) :=
∞
107
si existe
en cualquier otro caso
Con esto podemos definir el índice de dentabilidad.
Definición 3.3.6. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ subespacio normante y B ⊂ X un
subconjunto σ (X, F)−cerrado, acotado y convexo. Se define el índice de dentabilidad de
B como
δF (B) := sup{δF (B, ε ); ε > 0}
También podemos hablar de índice de dentabilidad de un subconjunto arbitrario S respecto
al conjunto B anterior. En este contexto denotaremos por:

ı́nf{α ; Dα (B) ∩ S = φ } si existe
ε ,F
δF (S, B, ε ) :=
∞
en cualquier otro caso
Definición 3.3.7. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, B ⊂ X
un subconjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado y S ⊂ B un subconjunto arbitrario.
Se define el índice de dentabilidad de S respecto a B como:
δF (S, B) := sup{δF (S, B, ε ); ε > 0}
Recordemos que si F ⊂ X ∗ , la norma del espacio normado X se dice que es σ (X, F)inferiormente semicontinua si la bola unidad cerrada es también σ (X, F)−cerrada. En
particular, en un espacio de Banach si ||| · ||| es una norma equivalente en (X ∗ , k · k∗ ),
dicha norma es también dual si, y sólo si, es σ (X ∗ , X)−inferiormente semicontinua.
Estamos interesados en el índice de dentabilidad de la esfera unidad en la bola unidad
cerrada de un espacio normado, por el siguiente resultado (teorema 11 de la introducción).
Teorema 3.3.8. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante cumpliéndose
δF (SX , BX ) < ω1
Entonces X admite una norma equivalente LUR y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
108
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
Antes de ver la prueba de este resultado veamos el siguiente lema, que es una adaptación del lema 2 de [R].
Lema 3.3.9. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Fijamos un
punto x ∈ SX y sea ∆ una familia de conjuntos de X con la propiedad que para todo ε > 0,
existen A ∈ ∆ y H ∈ H(F) tal que x ∈ H ∩ A y
k · k − diam(A ∩ H) < ε
Entonces para cada ε > 0 existen C ∈ ∆, δ > 0 y G ∈ H(F) tales que x ∈ G∩(C +B(0; δ ))
y
k · k − diam((C + B(0; δ )) ∩ G) < ε
D EMOSTRACIÓN : Dado ε > 0 existe H ∈ H(F) y A ∈ ∆ tal que x ∈ A ∩ H y k · k−diámetro(A ∩ H) < ε /4 (luego A ∩ H ⊂ B(x, ε /4)). Sea H := {y ∈ X : f (y) < α }, donde f ∈ F y
α ∈ R. En particular, f (x) < α . Sea H 0 := {y ∈ X : f (y) < α +2f (x) }, un elemento de H(F),
y sea H 00 := {y ∈ X : | f (y)| < α −2f (x) }. Entonces, H 0 + H 00 ⊂ H. Podemos encontrar δ > 0
tal que B(0, δ ) ⊂ B(0, ε /4) ∩ H 00 . Probaremos que (A + B(0, δ )) ∩ H 0 ⊂ B(x, ε /2). Para
verlo, sea y ∈ (A+B(0, δ ))∩H 0 . Entonces y = a+ δ b, donde b ∈ BX . Por tanto, a−y ∈ H 00 ,
luego a = y + (a − y) ∈ (H 0 + H 00 ) ∩ A ⊂ H ∩ A ⊂ B(x, ε /4). Entonces y = (y − a) + a =
δ b+a ∈ B(0, δ )+B(x, ε /4) ⊂ B(x, ε /2). Se sigue que k·k−diámetro(A+B(0, δ ))∩H 0 <
ε.
D EMOSTRACIÓN : [Demostración del teorema 3.3.8] Sin perder generalidad podemos
asumir que F ⊂ X ∗ es 1−normante, la prueba sigue la misma estructura que la propuesta por M. Raja para el teorema 1 de [R]. No obstante, haremos la construcción para
que el trabajo sea autocontenido.
Sea µ = δF (SX , BX ) < ω1 , consideramos la familia numerable
∆ := {Dα1 ,F (BX ); α < µ , m ∈ N}
m
donde cada elemento de ∆ es absolutamente convexo. Además la familia ∆ cumple las
hipótesis del lema anterior, por lo que podemos considerar que los elementos de ∆ son
también k · k −abiertos. Para que la notación sea más clara expresaremos
∆ = {Bn ; n ∈ N}
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
109
Denotaremos por k · kn al funcional de Minkowski asociado al conjunto absolutamente
convexo, σ (X, F)−cerrado, acotado y entorno del origen Bn . Por lo que cada k · kn es, de
hecho, una norma en X, equivalente a la inicial y además σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
Ahora, para cada m ∈ N, definimos los conjuntos:
Bn,m := {x ∈ Bn ; k · k − diam(Bn ∩ H) > m1 , si x ∈ H ∈ H(F)}
Los conjuntos así construidos son, o bien vacíos, o bien absolutamente convexos y
σ (X, F)−cerrados. Para cada p ∈ N, consideramos los conjuntos
Bn,m,p := Bn,m + B(0; 1/p)
Veamos que se cumple que
Bn,m = ∩+∞
p=1 Bn,m,p
cuando Bn,m 6= φ . De hecho, si x 6∈ Bn,m entonces, ya que este conjunto es convexo y
σ (X, F)−cerrado, podemos elegir H ∈ H(F) tal que x ∈ H y Bn,m ∩ H = φ . Tomando el
semiespacio dado por un hiperplano paralelo, podemos asumir que la distancia entre B n,m
y H es positiva. Entonces para algún p ∈ N se tiene que
(Bn,m + B(0; 1p )) ∩ H = φ
y por tanto x 6∈ Bn,m,p . De nuevo los conjuntos Bn,m,p son absolutamente convexos, acotados, σ (X, F)−cerrados y entornos del origen. Si denotamos por k · k n,m,p al funcional
de Minkowski asociado a cada conjunto de estos, obtenemos, de nuevo, una norma en X
equivalente a k · k y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
Definimos la norma
|x| = (k x k2 + ∑ αn k x k2n +
n
∑
αn,m,p k x k2n,m,p )1/2
n,m,p
Donde las sucesiones (αn )n y (αn,m,p )n,m,p aseguran la convergencia de las series y que
| · | es una norma en X equivalente a k · k y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
Probaremos que | · | es también LUR, sean x ∈ X y (xk )k ⊂ X tales que
|xk | = |x| = 1, ∀k ≥ 1
y
lı́m |
k
x + xk
|=1
2
110
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
entonces
|x|2 + |xk |2
x + xk 2
−|
| )=0
k
2
2
Por argumentos estándard de convexidad (ver [R], pag. 347) se tiene que, para cualesquiera m, n, p anteriores:
(1) lı́mk k xk km,n,p = lı́mk k xk2+x km,n,p =k x km,n,p .
(2) lı́mk k xk kn = lı́mk k xk2+x kn =k x kn .
(3) lı́mk k xk k= lı́mk k xk2+x k=k x k.
Para probar que la sucesión (xk )k | · |−converge a x, no es restrictivo suponer que
lı́m(
k xk k=k x k= 1 ,∀k ∈ N
ya que en caso contrario, podemos considerar la sucesión
(
xk
)k ⊂ SX
k xk k
Fijamos 1/2 > ε > 0, existe n ∈ N y H ∈ H(F) tal que x ∈ Bn ∩ H y
k · k − diam(Bn ∩ H) ≤ ε /3
ya que k · k es σ (X, F)−inferiormente semicontinua. Como Bn es abierto, se tiene que
k x kn < 1, por lo tanto k xk kn < 1 para k suficientemente grande, y por tanto xk ∈ Bn
para k suficientemente grande. Análogamente, para k suficientemente grande también se
cumple que
x + xk
∈ Bn
2
Tomamos m ∈ N tal que 2/ε < m < 3/ε , por tanto x 6∈ Bn,m . Si Bn,m 6= φ entonces,
para algún p ∈ N, se tiene que k x kn,m,p > 1, por lo que para k suficientemente grande,
k
k x+x
2 kn,m,p > 1 y como consecuencia
x + xk
6∈ Bn,m,p
2
k
Si Bn,m = φ , simplemente tenemos que x+x
2 6∈ Bn,m .
Por lo tanto, para k ∈ N suficientemente grande, se tiene que
x + xk
∈ Bn \ Bn,m
2
Por definición de Bn,m , existe H 0 ∈ H(F) tal que
x+xk
2
∈ Bn ∩ H 0 y
k · k − diam(Bn ∩ H 0 ) ≤ ε /2
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
111
Pero entonces x o xk pertenece a H 0 , y por tanto a Bn ∩ H 0 . Como
k xk − x k= 2 k xk −
xk + x
xk + x
k= 2 k x −
k
2
2
deducimos que
k xk − x k≤ ε , para k suficientemente grande
Como | · | es equivalente a k · k se tiene que
lı́m |x − xk | = 0
k
y se concluye la prueba.
Calcularemos ahora el índice de dentabilidad de los puntos quasi-denting de un conjunto convexo, cerrado y acotado:
Teorema 3.3.10. Para cada ε > 0, existe un ordinal numerable η ε , tal que si X es un
espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante, entonces para cada subconjunto
B ⊂ X σ (X, F)−cerrado, acotado y convexo, si:
Qε := {x ∈ B; ∃H ∈ H(F), x ∈ H y α (H ∩ B) < ε }
Entonces se tiene que
δF (Qε , B, ε ) < ηε < ω1
La prueba está basada una serie de resultados previos.
Lema 3.3.11. Sea B un subconjunto σ (X, F)−cerrado, acotado y convexo de un espacio
normado X, F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante y ε > 0. Consideramos la cadena
B := L0 ⊃ L1 ⊃ L2 ⊃ · · · ⊃ Ln
de subconjuntos de B σ (X, F)−cerrados y convexos. Sea S ⊂ Ln , entonces
δF (S, B, ε ) ≤ δF (L0 \ L1 , B, ε ) + δF (L1 \ L2 , L1 , ε ) + . . .
+δF (Ln−1 \ Ln , Ln−1 , ε ) + δF (S, Ln , ε )
112
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
D EMOSTRACIÓN : Haremos la prueba por inducción en n. Para n = 1 consideramos B =
L0 ⊃ L1 ⊃ S como en el enunciado y fijamos δF (L0 \ L1 , B, ε ) = α y δF (S, L1 , ε ) = β .
+1
Ya que Dεα,F (B) ∩ B \ L1 = φ , se tiene que Dεα,F (B) ⊂ L1 . Dado x ∈ Dαε ,F
(B), tenemos
que
diam(H ∩ Dαε,F (B)) > ε
para cada H ∈ H(F) que contenga a x, por lo que
diam(H ∩ L1 ) > ε
para cada H ∈ H(F) que contenga a x, por lo tanto x ∈ Dε ,F (L1 ). Se tiene pues que
+1
(B) ∩ S ⊂ Dε ,F (L1 ) ∩ S
Dαε ,F
β
α +β
Ya que β es el primer ordinal tal que Dε ,F (L1 ) ∩ S = φ , se obtiene que Dε ,F (B) ∩ S = φ ,
por lo que δF (S, B, ε ) ≤ α + β .
Ahora supongamos que tenemos B = L0 ⊃ L1 ⊃ L2 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ S como en el enunciado y supongamos que la fórmula se cumple para n − 1 conjuntos. Considerando L 0 ⊃
L1 ⊃ S, como hicimos antes,
δF (S, B, ε ) ≤ δF (L0 \ L1 , B, ε ) + δF (S, L1 , ε ) (∗)
Si consideramos ahora los conjuntos L1 ⊃ L2 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ S, por la hipótesis de inducción
δF (S, L1 , ε ) ≤ δF (L1 \ L2 , L1 , ε ) + · · · + δF (Ln−1 \ Ln , Ln−1 , ε ) + δF (S, Ln , ε )
Para acabar la prueba sólo necesitamos usar la desigualdad anterior (∗).
Lema 3.3.12 (Lema de reducción). Sea B un subconjunto σ (X, F)−cerrado, acotado y
convexo de un espacio normado X, F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante y fijamos ε > 0.
Sea H ∈ H(F) con
α (H ∩ B, n) < ε para algún n > 1 fijado
Entonces existe una sucesión de subconjuntos σ (X, F)−cerrados y convexos
B =: B0 ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bs ⊃ Bs+1 ⊃ · · ·
tales que
H ∩ B ⊂ (B0 \ B1 ) ∪ (B1 \ B2 ) ∪ · · · ∪ (Bs \ Bs+1 ) ∪ · · ·
y para cada s = 0, 1, 2, . . . y cada z ∈ Bs \ Bs+1 existe G ∈ H(F) con z ∈ G, G ∩ B ⊂ H ∩ B
y
α (G ∩ Bs , p) < ε para algún p ≤ n − 1
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
113
D EMOSTRACIÓN : Ya que α (H ∩ B, n) < ε podemos fijar conjuntos σ (X, F)−cerrados y
convexos
H
BH
1 , . . . , Bn
con diam(BH
i ) < ε , i = 1, . . . , n y tales que
H
H ∩ B ⊂ BH
1 ∪ · · · ∪ Bn
Definimos
L1 := co(B \ H, BH
1 ∩ B)
Si y ∈ B \ L1 , por el teorema de Hahn-Banach existirá un semiespacio G ∈ H(F) conteniendo a y, G ∩ L1 = φ y tal que
H
G ∩ B ⊂ BH
2 ∪ · · · ∪ Bn
y por tanto
α (G ∩ B, p) < ε para algún p ≤ n − 1.
B1H
B
Cubierto por
:
n − 1 conjuntos.
L1
G
H
Consideramos los conjuntos C01 := BH
1 ∩ B y C1 := B \ H para aplicar el lema 3.2.1 con
p = 1, y encontrar 0 < r < 1, de hecho es suficiente si
2r diam(B) + diam(BH
1)<ε
de tal manera que si
Dr,1 := {(1 − λ )x0 + λ x1 ; r ≤ λ ≤ 1, x0 ∈ C01 , x1 ∈ C1 }
tenemos que L1 \ Dr,1 6= φ y
diam(L1 \ Dr,1 ) < ε
Por lo tanto para cada y ∈ L1 \ Dr,1 existirá G ∈ H(F) conteniendo a y, G ∩ Dr,1 = φ . Por
tanto G ∩ B ⊂ H ∩ B y G ∩ L1 ⊂ L1 \ Dr,1 , como consecuencia diam(G ∩ L1 ) < ε y
α (G ∩ L1 , 1) < ε
114
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
diamB1H < 3
B1H
B
Dr,1
L1
G
H
Denotaremos por B1 := L1 y B2 := Dr,1 . Ahora iteraremos la construcción formada para
"comer" todos los puntos de BH
1 y de B ∩ H después de una cantidad numerable de pasos.
Definimos:
L2 := co(B \ H, BH
1 ∩ Dr,1 )
Si tomamos cualquier y ∈ Dr,1 \ L2 , existe y ∈ G ∈ H(F) con G ∩ L2 = φ . Por tanto
H
G ∩ B ⊂ H ∩ B ⊂ BH
1 ∪ · · · ∪ Bn
además como
Dr,1 ∩ BH
1 ⊂ L2
se tiene
H
G ∩ Dr,1 ⊂ BH
2 ∪ · · · ∪ Bn
Por lo tanto
α (G ∩ Dr,1 , p) < ε para algún p ≤ n − 1
B1H
B
-
Cubierto por
n − 1 conjuntos
L2
H
Aplicaremos de nuevo el superlema de Bourgain-Namioka y con los conjuntos
C02 := BH
1 ∩ Dr,1 y C1 := B \ H
y con el mismo valor r de antes tenemos otra vez:
diam(L2 \ Dr,2 ) < ε
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
115
donde
Dr,2 := {(1 − λ )x0 + λ x1 ; r ≤ λ ≤ 1, x0 ∈ C0 , x1 ∈ C1 }
Como antes para cada y ∈ L2 \Dr,2 existe G ∈ H(F) con y ∈ G, satisfaciendo G∩B ⊂ H ∩B
y α (G ∩ L2 , 1) < ε .
B1H
B
- diamB H < 1
Dr,2
H
Fijamos los conjuntos B3 := L2 y B4 := Dr,2 . Por inducción continua el proceso y
definimos una sucesión de conjuntos
B = B0 ⊃ L1 ! Dr,1 ⊃ L2 ! Dr,2 ⊃ · · · ⊃ Ls ! Dr,s ⊃ Ls+1 ! · · ·
tal que para cada y ∈ Ls \ Dr,s existe y ∈ G ∈ H(F), con G ∩ B ⊂ H ∩ B y α (G ∩ Ls , 1) < ε ;
y para cada y ∈ Dr,s \ Ls+1 existe y ∈ G ∈ H(F), con G ∩ B ⊂ H ∩ B y α (G ∩ Dr,s , p) < ε
para algún p ≤ n − 1.
Si Dr,s0 ∩ BH
1 = φ para algún s0 ≥ 1, entonces el proceso para y la sucesión sería finita
en este caso. Observamos que si eso ocurre, se tiene
H
H ∩ Dr,s0 ⊂ BH
2 ∪ · · · ∪ Bn
y α (H ∩ Dr,s0 , p) < ε para algún p ≤ n − 1 también.
Si el proceso no para, veremos ahora que para cada y ∈ H ∩ B existe un entero s ≥ 2
tal que o bien y ∈ Ls \ Dr,s o bien y ∈ Dr,s−1 \ Ls siempre que y 6∈ (B \ L1 ) ∪ (L1 \ Dr,1 ). De
hecho si H = {x ∈ X; f (x) > µ }, f ∈ F, entonces tenemos
sup f |Dr,1 ≤ (1 − r) sup f (BH
1 ∩ B) + r µ
para el primer paso
H
sup f |Dr,2 ≤ (1 − r) sup f (BH
1 ∩ Dr,1 ) + r µ ≤ (1 − r)[(1 − r) sup f (B1 ∩ B) + r µ ] + r µ =
= (1 − r)2 sup f (BH
1 ∩ B) + (1 − r)r µ + r µ
116
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
para el segundo paso, y por recurrencia:
s−1
sup f |Dr,s ≤ (1 − r)s sup f (BH
]
1 ∩ B) + r µ [1 + (1 − r) + · · · + (1 − r)
para s = 1, 2, . . . . Como consecuencia, cada y con f (y) > µ no puede estar en todos los
conjuntos Dr,s para s = 1, 2, . . . porque la desigualdad construida implica que f (y) ≤ µ .
Entonces si s es el primer entero con
y 6∈ Dr,s
entonces o bien y ∈ Ls \ Dr,s , o bien y ∈ Dr,s−1 \ Ls , cuando s ≥ 2; e y ∈ B \ L1 o bien
y ∈ L1 \ Dr,1 cuando s = 1.
El lema se acaba al definir B2n+1 := Ln+1 y B2n := Dr,n para n = 1, 2, · · · cuando el
proceso no para, y Bs0 := Dr,s0 , Bs0 +1 = · · · = φ cuando el proceso para en el paso s0 . Proposición 3.3.13. Para cada ε > 0, existe una sucesión de números ordinales
1 =: ξ1 < ξ2 < · · · < ξ p < · · · < ω1
tal que si X es un espacio normado y F ⊂ X ∗ es un subespacio 1−normante, se tiene que
δF (H ∩ B, B, ε ) < ξ p (∗)
siempre que B es un subconjunto de X σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado y H ∈ H(F)
con α (H ∩ B, p) < ε .
D EMOSTRACIÓN : Definiremos por inducción en p la sucesión de ordinales numerables
(ξn )n . Para p = 1, el índice de Kuratowski α (·, 1) coincide con el diámetro y H ∩ B es
"comido" en el primer paso del proceso de derivación, es decir, ξ 1 := 1 verifica (∗).
Supongamos que hemos definido ya
ξ1 < ξ2 < · · · < ξn−1 < ω1
tal que (∗) se satisface para p ≤ n − 1. Fijamos B un subconjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado de X y H ∈ H(F) con α (H ∩ B, n) < ε . Por el lema de reducción tenemos
una sucesión de conjuntos σ (X, F)−cerrados y convexos
B = B0 ⊃ B1 ⊃ · · · ⊃ Bs ⊃ Bs+1 ⊃ · · · (∗∗)
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
117
tal que
H ∩ B ⊂ (B0 \ B1 ) ∪ (B1 \ B2 ) ∪ · · · ∪ (Bs \ Bs+1 ) ∪ · · ·
y para cada s y cada y ∈ Bs \ Bs+1 existe G ∈ H(F), con
y ∈ G, G ∩ B ⊂ H ∩ B, y α (G ∩ Bs , p) < ε
para algún p ≤ n − 1. Por nuestra hipótesis de inducción tenemos que
δF (G ∩ Bs , Bs , ε ) ≤ ξn−1
y como consecuencia
δF (Bs \ Bs+1 , Bs , ε ) ≤ ξn−1 , para s = 0, 1, 2, . . .
cuando (∗∗) es infinito, y
δF (H ∩ Bs0 , Bs0 , ε ) ≤ ξn−1
también, cuando el proceso para en el paso s0 . En cualquier caso podemos aplicar el lema
previo al lema de reducción para obtener
δF (Bs \ Bs+1 , Bs , ε ) ≤ (s + 1)ξn−1 , para s = 0, 1, 2, . . .
Con lo cual tenemos
δF (H ∩ B, B, ε ) ≤ sup{(s + 1)ξn−1 ; s = 0, 1, 2, · · · } =: ξn < ω1
lo cual finaliza el proceso de inducción.
Corolario 3.3.14. Para cada subconjunto B, σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado de X,
si
Qε ,p := {x ∈ B; ∃H ∈ H(F), x ∈ H con α (H ∩ B, p) < ε }
entonces
δF (Qε ,p , B, ε ) ≤ ξ p < ω1 , para p = 1, 2, . . .
D EMOSTRACIÓN : Qε ,p = ∪{H ∩ B; H ∈ H(F) y α (H ∩ B, p) < ε } y
δF (Qε ,p , B, ε ) ≤ sup{δF (H ∩ B, B, ε ); H ∈ H(F) y α (H ∩ B, p) < ε } ≤ ξ p
118
3.3 Í NDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI - DENTING
D EMOSTRACIÓN : [Demostración del teorema 3.3.10] Se tiene que Q ε :=
cando el corolario anterior se tiene:
S+∞
p=1 Qε ,p , apli-
δF (Qε ,p , B, ε ) ≤ ξ p para p = 1, 2, . . .
de donde se sigue
δF (Qε , B, ε ) ≤ sup{ξ p ; p = 1, 2, . . . } =: ηε < ω1
porque ω1 no es límite de una sucesión de ordinales numerables.
Corolario 3.3.15. Existe un ordinal numerable η tal que si X es un espacio normado
y F ⊂ X ∗ un subespacio normante, entonces para cada subconjunto B ⊂ X, σ (X, F)−
cerrado, acotado y convexo. Si Q es el conjunto de todos los puntos σ (X, F)−quasidenting de B, se tiene que
δF (Q, B) < η < ω1
D EMOSTRACIÓN : Sin pérdida de generalidad podemos asumir que la norma dada es
||| · |||, tomando F un subespacio 1−normante. Entonces tenemos:
δF (Q, B) ≤ sup{ηεn ; n = 1, 2, . . . } =: η < ω1
donde εn ↓ 0.
Estamos ahora en disposición del probar el teorema de Troyanski para puntos puntos
quasi-denting.
D EMOSTRACIÓN : [Teorema 10 de la introducción] Aplicando el corolario 3.3.15 y el
teorema 3.3.8 se obtiene el resultado.
De hecho, hemos probado algo más general:
Corolario 3.3.16. Si X es un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante tal que
cada punto de la esfera unidad SX es σ (X, F)−quasi-denting para la bola unidad cerrada
BX , entonces δF (SX , BX ) < ω1 y, como consecuencia, X admite una norma equivalente
σ (X, F)−inferiormente semicontinua y LUR.
La prueba del teorema 3.3.8 y el corolario 3.3.15 proporcionan el siguiente resultado:
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
119
Corolario 3.3.17. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un espacio normante y D ⊂ SX
el conjunto de todos los puntos σ (X, F)−quasi-denting de B X . Entonces X admite una
norma equivalente σ (X, F)−inferiormente semicontinua y que es LUR sobre los elementos de D. En el caso de tener un espacio dual X ∗ , obtenemos una norma equivalente
w∗ −inferiormente semicontinua y LUR sobre los elementos de D, por lo tanto será una
norma dual.
3.4 Algunas aplicaciones y consecuencias
A continuación estudiaremos una consecuencia del teorema de Troyanski para puntos
quasi-denting y una extensión del proceso de derivación de Lancien para el que seguirá
siendo válido el teorema de renormamiento LUR. Es necesario que veamos antes una
definición.
Definición 3.4.1. Sea B un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de
Banach X.
(i) Diremos que un subconjunto F ⊂ B es una cara de B si existe f ∈ X ∗ tal que
F = {x ∈ B; f (x) = sup f }
B
(ii) Diremos que una cara F ⊂ B es una cara denting de B si, cada conjunto abierto en
norma U ⊃ F cumple
F ∩ [co(B \U)] = φ
U
U
F
BX
F
co(BX \ U )
Corolario 3.4.2. Sea X un espacio de Banach cumpliendo que todas las caras de la bola
unidad son compactas (en norma) y denting. Entonces X admite una norma equivalente
LUR.
120
3.4 A LGUNAS APLICACIONES Y CONSECUENCIAS
D EMOSTRACIÓN : Debido teorema de Troyanski para puntos quasi-denting (Teorema 10
de la introducción) basta probar que todos los puntos de la esfera unidad de X son quasidenting para la bola unidad cerrada.
Sea x ∈ SX y F ⊂ SX una cara tal que x ∈ F. Fijamos ε > 0 y consideramos la familia
de bolas abiertas de X {B( f ; ε ) : f ∈ F} que cubre F. Como las caras de este espacio de
Banach son compactas, existirán f 1 , . . . , fn ∈ F tal que
F⊂
n
[
B( fi ; ε ) = U
i=1
Aplicando ahora que todas las caras son denting, se verifica
F ∩ co(BX \U) = φ
por lo que
x 6∈ co(BX \U)
Aplicando el teorema de Hahn-Banach, existirá un semiespacio abierto H 3 x, tal que
H ∩ BX ∩ co(BX \U) = φ
se concluye pues que
H ∩ BX ⊂ U =
n
[
B( fi ; ε )
i=1
Para el resto de la sección podemos definir ahora un nuevo índice de dentabilidad, el
índice de dentabilidad respecto al índice de Kuratowski:
Fijamos un espacio normado X, un subespacio normante F ⊂ X ∗ y B ⊂ X un subconjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado. Elegimos algún ε > 0 y definimos:
α Dε ,F (B) := {x ∈ B; α (H ∩ B) ≥ ε , ∀H ∈ H(F) y x ∈ H}
De nuevo, α Dε ,F (B) es un conjunto σ (X, F)−cerrado, convexo y acotado, iterando este
proceso definimos:
β +1
β
α Dε ,F (B) := α Dε ,F (α Dε ,F (B)) donde α D0ε ,F (B) := B
y
β
α Dε ,F (B) :=
\
γ <β
γ
α Dε ,F (B) si β es un ordinal límite.
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
121
Establecemos
y

ı́nf{β ; α Dβ (B) = φ }
ε ,F
αδF (B, ε ) :=
∞
si existe
en otro caso
αδF (B) := sup{αδF (B, ε ); ε > 0}
Se cumple que α Dε ,F (B) ⊂ Dε ,F (B), por lo tanto αδF (B) ≤ δF (B). Además la igualdad
no es cierta en general, veámoslo.
Ejemplo 3.4.3. Si consideramos el conjunto T del ejemplo 3.3.2, se cumple:
αδ (co(T)) = 1 < δ (co(T))
D EMOSTRACIÓN : Como co(T) es compacto se tiene que α (co(T)) = 0, por lo tanto
αδ (co(T)) = 1. Además si H es un semiespacio conteniendo a e1 , se cumple que:
diam(H ∩ co(T)) = diam(H ∩ T) > 1/2
Entonces δF (co(T), 1/2) > 1, de donde δF (co(T)) > 1.
No obstante se tiene el siguiente resultado, que acota cada δF (B) en función de su
correspondiente αδF (B).
Teorema 3.4.4. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante para X.
Existe una aplicación
Ψ : [0, ω1 [−→ [0, ω1 [
tal que si µ = αδF (B) < ω1 , (donde B es cualquier subconjunto de X, σ (X, F)−cerrado,
acotado y convexo), entonces δF (B) < Ψ(µ ).
D EMOSTRACIÓN : Vamos a definir la aplicación Ψ : [0, ω1 [−→ [0, ω1 [ de la siguiente manera. Fijamos µ ∈ [0, ω1 [ y sea B ⊂ X cualquier subconjunto σ (X, F)−cerrado, acotado
y convexo, tal que µ = αδF (B).
Sea ε > 0 arbitrario, entonces podemos construir una cadena numerable y decreciente
de subconjuntos de B, σ (X, F)−cerrados y convexos
β
β +1
µ
B = α D0ε ,F (B) ⊃ · · · ⊃ α Dε ,F (B) ⊃ α Dε ,F (B) ⊃ · · · ⊃ α Dε ,F (B) = φ
122
3.4 A LGUNAS APLICACIONES Y CONSECUENCIAS
β
β +1
Consideramos un elemento x ∈ α Dε ,F (B) \ α Dε ,F (B), entonces existirá H ∈ H(F) tal
que
β
x ∈ H ∩ α Dε ,F (B)
y
β
α (H ∩ α Dε ,F (B), n) < ε para algún n ∈ N
Aplicando la proposición 3.3.13, existirá un ordinal ξ nε < ω1 tal que
β
β
δF (H ∩ α Dε ,F (B), α Dε ,F (B), ε ) ≤ ξnε
β
β +1
Como n ∈ N depende del punto x elegido de α Dε ,F (B) \ α Dε ,F (B), podemos asegurar
β
β +1
β
δF (α Dε ,F (B) \ α Dε ,F (B), α Dε ,F (B), ε ) ≤ sup {ξnε } =: ξ ε < ω1
n=1,2,...
Hay que observar que la acotación anterior no depende de β . Aplicando el lema 3.3.11
(en este caso para una cadena numerable) tenemos que
β
β +1
δF (α Dε ,F (B) \ α Dε ,F (B), B, ε ) ≤ δF (α D0ε ,F (B) \ α Dε1,F (B), α Dε0,F (B), ε )+
β
β +1
β
· · · + δF (α Dε ,F (B) \ α Dε ,F (B), α Dε ,F (B), ε ) ≤
≤ ξ ε + · · · + ξ ε = (β + 1)ξ ε
|
{z
}
β +1
γ
γ +1
Además si α Dε ,F (B) 6= φ pero α Dε ,F (B) = φ , aplicamos de nuevo la proposición 3.3.13
y se tiene que
γ
γ
δF (α Dε ,F (B), α Dε ,F (B), ε ) ≤ ξ ε
de nuevo por el lema 3.3.11
γ
δF (α Dε ,F (B), B, ε ) ≤ (γ + 1)ξ ε
Se concluye pues que
δF (B, ε ) < µ · ξ ε < ω1
Consideramos ahora (εn )n una sucesión de números reales positivos, que decrecen a
cero. Entonces
δF (B) ≤ sup {δF (B, εn )} ≤ sup {µ · ξ εn } =: ξµ < ω1
n=1,2,...
n=1,2,...
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
123
Se observa que ξµ no depende del conjunto B elegido salvo, evidentemente, que αδ F (B) =
µ.
Definiendo ahora
Ψ(µ ) := ξµ + 1, acabamos la prueba.
También se puede definir el índice de dentabilidad respecto al índice de Kuratowski,
de un subconjunto arbitrario S ⊂ B. En este contexto denotaremos por:

ı́nf{β ; α Dβ (B) ∩ S = φ } si existe
ε ,F
αδF (S, B, ε ) :=
∞
en cualquier otro caso
y
αδF (S, B) := sup{δF (S, B, ε ); ε > 0}
Aplicando el teorema 3.4.4 respecto a αδF (S, B) y el teorema 3.3.8 se obtiene el siguiente
resultado:
Corolario 3.4.5. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante cumpliéndose
αδF (SX , BX ) < ω1
Entonces X admite una norma equivalente LUR y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
En la siguiente sección llevaremos este resultado a sus últimas consecuencias.
3.5 Teorema de renormamiento LUR.
En la introducción ya enunciamos el siguiente resultado que relaciona teoría de renormamiento LUR con la propiedad s-JNR (teorema 13). Lo volvemos a enunciar ya que
será una herramienta fundamental en esta sección.
Teorema 3.5.1. Sea X un espacio normado y F un subespacio normante de su dual.
Entonces X admite una norma equivalente σ (X, F)−inferiormente semicontinua y LUR
si, y sólo si, para cada ε > 0 podemos escribir
X=
∞
[
n=1
Xnε (resp. SX =
∞
[
n=1
Snε )
124
3.5 T EOREMA DE RENORMAMIENTO LUR.
de tal manera que si x ∈ Xnε (resp. x ∈ Snε ), existe H ∈ H(F) conteniendo a x con
diam(H ∩ Xnε ) < ε (resp. diam(H ∩ Snε ) < ε )
La idea en esta sección es probar el resultado anterior cambiando diámetro por índice
de Kuratowski. La definición de conjunto radial fue vista en la introducción (de manera
implícita), no obstante la recordamos antes de enunciar el teorema principal de esta sección:
Definición 3.5.2. Sea A un subconjunto de un espacio normado X, se dice que dicho
conjunto es radial si para cada x ∈ X, existe ρ > 0 tal que ρ x ∈ A.
Nuestro resultado principal de la sección es:
Teorema 3.5.3. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) X admite una norma equivalente LUR y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
(ii) Para cada ε > 0, podemos descomponer X = ∪n Xnε tal que para cada n ∈ N y
x ∈ Xnε existe H ∈ H(F) conteniendo a x y α (H ∩ Xnε ) < ε .
(iii) Existe un conjunto radial A ⊂ X tal que para cada ε > 0, podemos descomponer
A = ∪n Aεn tal que para cada n ∈ N y x ∈ Aεn existe H ∈ H(F) conteniendo a x y
α (H ∩ Aεn ) < ε .
Se observa que no hay que suponer que los conjuntos {Xnε } o {Aεn } sean convexos.
Como en la prueba del teorema 3.5.1, ver [R], necesitamos previamente un argumento
de convexificación que reducirá el teorema 3.5.3 al teorema 3.5.1, debido al estudio que
hemos hecho en la sección anterior.
Comenzamos con una consecuencia de nuestra versión del superlema de BourgainNamioka para el índice de Kuratowski (lema 3.2.1):
Lema 3.5.4. Sea A un subconjunto acotado de un espacio normado X, F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante, M = diam(A) y fijamos ε > 0. Si x ∈ A cumple que existe H = {y ∈
X; g(y) > η } ∈ H(F) conteniendo a x y α (H ∩ A) < ε , entonces existe r ∈]0, 1] (que sólo
depende de ε y M) de tal manera que existe Dr (x) ⊂ co(A) σ (X, F)−cerrado y convexo
con las siguientes propiedades:
(i) co(A) \ Dr (x) 6= φ .
(ii) α (co(A) \ Dr (x)) < 2ε .
(iii) sup g(Dr (x)) ≤ (1 − r) sup g(co(A)) + rη .
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
125
D EMOSTRACIÓN : Elegimos conjuntos B1 , · · · , Bn con diam(Bi ) < ε y cumpliendo
H ∩ A ⊂ ∪ni=1 Bi . Seleccionamos elementos ui ∈ Bi ∩ A para i = 1, · · · , n y fijamos los
siguientes conjuntos:
Kε := co(u1 , . . . , un )
C0 := {y ∈ co(A); dist(y, Kε ) ≤ ε }
C1 := {y ∈ co(A); g(y) ≤ η } = co(A) \ H
Como hicimos en el lema 3.2.1, para cada 0 ≤ r ≤ 1, definimos
Dr := {(1 − λ )x0 + λ x1 ; r ≤ λ ≤ 1, x0 ∈ C0 , x1 ∈ C1 }
Para obtener la conclusión de este resultado debemos comprobar que los conjuntos C =
co(A), C0 y C1 satisfacen las condiciones del lema 3.2.1 y aplicarlo.
co(A)
A
-
K
C0
H
C1
H
Se observa que C y C1 son acotados, σ (X, F)−cerrados y convexos. Como Kε es k · k
−compacto, se obtiene que C0 es σ (X, F)−cerrado. Como Kε es convexo, C0 es también
convexo. Estudiemos el resto de condiciones.
(1) C0 ⊂ co(A) y α (C0 ) ≤ ε ya que Kε se puede cubrir por una cantidad finita de
conjuntos de diámetro tan pequeño como se quiera y
dist(y, Kε ) ≤ ε para todo y ∈ C0
(2) co(A) no es un subconjunto de C1 (x 6∈ C1 ).
(3) co(A) = co(C0 ∪C1 ). Para probar esta igualdad tenemos que probar sólo que
co(A) ⊂ co(C0 ∪C1 )
126
3.5 T EOREMA DE RENORMAMIENTO LUR.
Para ello definimos
B1 := co(H ∩ A) y B2 := co({y ∈ A; g(y) ≤ η })
Se cumple que co(A) ⊂ co(B1 ∪ B2 ). Ahora como A ∩ H ⊂ C0 , se tiene que B1 ⊂ C0 y
como B2 ⊂ C1 , llegamos a que co(A) ⊂ co(C0 ∪C1 ).
Como α (C0 ) ≤ ε , se tiene que α (C0 ) < 2ε y podemos tomar ε 0 = 3ε /2 y r < ε /4M
en el lema 3.2.1 y se obtiene que
co(A) \ Dr 6= φ y α (co(A) \ Dr ) < 2ε
Para probar la condición (iii) basta observar que
sup g(Dr ) = sup(gDr ) ≤ (1 − r) sup g(C0 ) + r sup g(C1 )
≤ (1 − r) sup g(C0 ) + rη
Definiendo Dr (x) := Dr , se concluye la prueba.
Iteraremos el lema construido para asegurar que los puntos ε -quasi-denting de un
conjunto arbitrario B, sean puntos 2ε -quasi-denting en algún conjunto convexo de una
sucesión {Bn } asociada a B:
Lema 3.5.5 (Lema de iteración). Sea B un subconjunto acotado de un espacio normado
X, F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante tal que para algún ε > 0 fijado, cada x ∈ B es un
punto ε − σ (X, F)−quasi-denting de B. Entonces existe una sucesión
B0 = co(B) ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bn ⊃ · · ·
de subconjuntos de co(B) convexos y σ (X, F)−cerrados tales que para cada x ∈ B, existe p ≥ 0 satisfaciendo que x ∈ B p y es un punto 2ε − σ (X, F)−quasi-denting en dicho
conjunto B p .
D EMOSTRACIÓN : Construiremos por recurrencia sucesiones de conjuntos
B0 = co(B) ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bn ⊃ · · ·
y B =: B̃0 , B̃1 , · · · , B̃n , · · · tales que
Bn := co(B ∩ B̃1 ∩ · · · B̃n ) si B ∩ B̃1 ∩ · · · B̃n 6= φ
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
127
y dado x ∈ B, si x ∈ (B ∩ B̃1 ∩ · · · B̃n−1 ) \ B̃n entonces x es un punto 2ε − σ (X, F)quasidenting para
Bn−1 = co(B ∩ B̃1 ∩ · · · B̃n−1 )
De hecho consideramos B0 := co(B) y B̃0 := B. Fijado x ∈ B, por hipótesis existe Hx =
{y ∈ X; gx (y) > ηx } ∈ H(F) conteniendo a x tal que:
x ∈ Hx ∩ B y α (Hx ∩ B) < ε
Sea M = diam(B0 ), para cada punto x ∈ B junto con su correspondiente Hx , podemos
aplicar el lema anterior para obtener conjuntos D1r (x) convexos y σ (X, F)−cerrados, con
r ∈]0, 1] y las propiedades descritas en el enunciado de dicho lema. Ahora definimos
B̃1 :=
\
D1r (x)
x∈B˜0
Se tiene que si x ∈ B \ B̃1 , existirá y ∈ B tal que
x ∈ co(B) \ D1r (y)
y x es un punto 2ε − σ (X, F)-quasi-denting para B0 = co(B).
B
α < 2 y
α<
α < 2 y
B0
...
..
..
...
.
.
..
..
...
.
.
..
..
...
.
B̃1
.
..
...
...
.
.
..
..
..
..
.
.
..
...
.
.
............
.........................................
*
α < 2
- α < 2
Hay que observar que si B ∩ B̃1 = φ , habríamos acabado la prueba ya que cada x ∈ B sería
un punto 2ε − σ (X, F)-quasi-denting para B0 . Por lo tanto asumimos que B ∩ B̃1 6= φ , y
definiremos el conjunto B1 como:
B1 := co(B ∩ B̃1 )
Consideramos el conjunto B ∩ B̃1 y el semiespacio Hx para cada punto x ∈ B ∩ B̃1 . Ya que
diam(co(B ∩ B̃1 )) ≤ M y α (Hx ∩ B ∩ B̃1 ) < ε
128
3.5 T EOREMA DE RENORMAMIENTO LUR.
podemos aplicar el lema anterior al conjunto B ∩ B̃1 y obtendremos esta vez conjuntos
D2r (x) convexos y σ (X, F)−cerrados, con las propiedades descritas en el enunciado de
dicho lema con el mismo valor de r anterior.
Ahora definimos
B̃2 :=
\
D2r (x)
x∈B∩B˜1
Como ocurría antes, si x ∈ (B ∩ B̃1 ) \ B̃2 existirá y ∈ B ∩ B̃1 tal que
x ∈ B1 \ D2r (y)
y x es un punto 2ε − σ (X, F)-quasi-denting para B1 .
α < 2
B ∩ B̃1
B1
]
α<
α < 2 ..
...
..
...
..
...
..
...
B̃2
.................................
1
..
...
..
...
.
.
...
..
...
..
-
α < 2
α < 2
La construcción de la sucesión sigue por recurrencia y será finita si
B ∩ B̃1 ∩ · · · ∩ B̃n = φ
Para acabar la prueba necesitamos probar que para cada x ∈ B, existe p ≥ 1 tal que
x ∈ (B ∩ B̃1 ∩ · · · ∩ B̃ p−1 ) \ B̃ p
Supongamos que este no es el caso, es decir, existe x ∈ B (el cual será fijo a partir de
ahora) cumpliendo
x∈(
\
B̃ p ) ∩ B
p≥1
Para dicho punto consideramos los conjuntos Drp (x) 3 x definidos por el punto x, gx y ηx
dados en las sucesivas etapas p ≥ 1. Aplicando el lema anterior
sup gx (D1r (x)) ≤ (1 − r) sup gx (B0 ) + rηx
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
129
Ahora para p = 2 y teniendo en mente que B1 ⊂ D1r (x) tenemos
sup gx (D2r (x)) ≤ (1 − r) sup gx (B1 ) + rηx ≤
≤ (1 − r) sup gx (D1r (x)) + rηx ≤ (1 − r)[sup gx (B0 ) + rηx ] + rηx =
= (1 − r)2 sup gx (B0 ) + rηx (1 + (1 − r))
Ahora por recurrencia tendríamos
sup gx (Dnr (x)) ≤ (1 − r)n sup gx (B0 ) + rηx [1 + (1 − r) + · · · + (1 − r)n−1 ] =
= ηx + (1 − r)n (sup gx (B0 ) − ηx )
Como consecuencia x no puede estar en todos los conjuntos
Dnr (x) para n ≥ 1
porque la desigualdad formada implica gx (x) ≤ ηx lo que es absurdo.
Como consecuencia del teorema 3.3.10 obtenemos la conexión entre índice de Kuratowski y dentabilidad.
Corolario 3.5.6. Sea B un subconjunto acotado de un espacio normado X, F ⊂ X ∗ un
subespacio 1−normante tal que para algún ε > 0 fijado, cada x ∈ B es un punto ε −
σ (X, F)−quasi-denting para B. Entonces existe una familia numerable {Tn ; n ∈ N} de
subconjuntos de co(B), σ (X, F)−cerrados y convexos tal que para cada x ∈ B, existe
p > 0 tal que x ∈ Tp y es un punto 2ε − σ (X, F)-denting en Tp .
D EMOSTRACIÓN : Fijamos la sucesión B0 ⊃ B1 ⊃ · · · ⊃ Bn ⊃ · · · dada por el lema anterior.
Por el teorema 3.3.10 sabemos que
δF ( puntos 2ε − σ (X, F)-quasi-denting de B p , B p , 2ε ) < η2ε < ω1
y por lo tanto la familia de conjuntos derivados
β
{D2ε ,F (B p ); β < η2ε , p = 1, 2, · · · }
nos proporciona una familia numerable {Tn ; n = 1, 2, · · · } con las propiedades requeridas.
Llegamos ahora a la prueba del teorema principal de esta sección.
130
3.5 T EOREMA DE RENORMAMIENTO LUR.
D EMOSTRACIÓN : [Demostración del teorema 3.5.3] (i)⇒(ii) Sigue del teorema 3.5.1.
(ii)⇒(i) Dado que la condición (ii) es cierta para cualquier norma equivalente, no es
restrictivo suponer que la norma dada es ||| · |||, la dada por F un subespacio 1−normante.
Entonces se tienen las condiciones del corolario anterior para cada conjunto
Xn,ε ∩ B(0; m), para n, m ≥ 1
y tenemos familias numerables
{Tpn,m,ε ; p = 1, 2, · · · }, para n, m ≥ 1
de manera que si x ∈ Xn,ε ∩ B(0; m) existe p ≥ 1 tal que x ∈ Tpn,m,ε y existe H ∈ H(F)
conteniendo a x y
diam(H ∩ Tpn,m,ε ) < 2ε
Si definimos
Ypn,m,ε := {x ∈ Tpn,m,ε ; ∃H ∈ H(F), x ∈ H y diam(H ∩ Tpn,m,ε ) < 2ε }
se tiene que
X = ∪{Ypn,m,ε ; n, m, p = 1, 2, · · · }
y tenemos la descomposición fijada en el teorema 3.5.1, lo que es equivalente a tener una
norma equivalente LUR en X y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
(ii)⇒(iii) Es obvio.
(iii)⇒(ii) Haremos una adaptación de la prueba de la proposición 2.46 de [M-O-T-V3].
Dado x ∈ X \ {0}, denotaremos por r(x) > 0 un escalar que cumple r(x)x ∈ A. Por la
hipótesis sobre A, para cada k ∈ N, podemos expresar:
A=
[
An,k
n
con la propiedad que para cada x ∈ An,k existe H ∈ H(F) conteniendo a x y cumpliendo
α (An,k ∩ H) <
1
k
Fijados q ∈ Q y n, m, k ∈ N definimos
q,m
An,k := {y ∈ X \ {0}; r(y)y ∈ An,k ; 0 <
1 1
1
1
− <
< }
q m r(y) q
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
131
Se observa que
X \ {0} =
[
q,m
{An,k ; q ∈ Q, n, m, k ∈ N}
Además probaremos que para cada ε > 0 y x ∈ X \ {0}, existen n, m, k ∈ N, q ∈ Q y
H 0 ∈ H(F) conteniendo a x tales que
x ∈ An,k ∩ H 0 y α (An,k ∩ H 0 ) < ε
q,m
q,m
Para esto fijamos ε > 0 y x0 ∈ X \ {0}, consideramos r(x0 ) > 0 y k ∈ N cumpliendo
1 r(x0 )ε
<
k
2
Para este valor k fijado, consideramos n ∈ N tal que r(x0 )x0 ∈ An,k . Entonces existe H =
{y ∈ X; f (y) > δ } tal que
r(x0 )x0 ∈ An,k ∩ H y α (An,k ∩ H) <
1
k
Por lo tanto existen conjuntos B1 , . . . , B j ⊂ X con diam(Bi ) <
y tales que
An,k ∩ H ⊂
j
[
1
k
para cada i ∈ {1, · · · , j}
Bi
i=1
Para cada i ∈ {1, · · · , j} fijamos un elemento xi ∈ Bi . Tomamos m ∈ N tal que
m>
2M
+ r(x0 )
ε
donde M = máx{k xi k; i = 1, . . . , j} Finalmente consideramos q ∈ Q tal que
0<
1
1
δ
δ
1 1
− <
< y f (x0 ) > >
q m r(x0 ) q
q r(x0 )
Tomamos H 0 ∈ H(F) dado por f y δq . Se observa que
q,m
x0 ∈ An,k ∩ H 0
Además, para cada i ∈ {1, . . . , j}, definimos ui =
1
r(x0 ) xi .
0
α (Aq,m
n,k ∩ H ) < ε
comprobando que
q,m
An,k ∩ H 0 ⊂
j
[
i=1
B(ui ; ε )
Probaremos que
132
3.5 T EOREMA DE RENORMAMIENTO LUR.
Para ello tomamos cualquier y ∈ An,k ∩ H 0 , en particular f (y) > δq , por tanto:
q,m
f (r(y)y) = r(y) f (y) > r(y)
δ
>δ
q
Entonces r(y)y ∈ An,k ∩ H y debe existir xi , con i ∈ {1, . . . , j}, tal que
k r(y)y − xi k<
1
1
1 1
⇔k y −
xi k<
k
r(y)
k r(y)
Se tiene que:
k y − ui k=k y −
<
1
1
1
1
xi k≤k y −
xi k + k
xi −
xi k<
r(x0 )
r(y)
r(y)
r(x0 )
1 1
1
1
1 1
1
1
+ k xi k |
−
|< (
+ )+M =
k r(y)
r(y) r(x0 )
k r(x0 ) m
m
=
1 1
1 1
+ ( + M) < ε
k r(x0 ) m k
donde la última desigualdad se tiene por las restricciones sobre k y m.
En la sección 1.7 ya comentamos que de [M-O-T-V] se sigue que dado un espacio
de Banach X y F ⊂ X ∗ un subespacio normante, X admite una norma equivalente
σ (X, F)−inferiormente semicontinua y LUR si, y sólo si, admite una network para
la topología de la norma que es σ −"slicely"-aislada, (teorema 1.7.3). El siguiente resultado es una consecuencia del teorema 3.5.3 y generaliza al resultado de [M-O-T-V],
de hecho, de una condición de "discretitud" pasamos a una condición de "finitud local".
Antes una definición previa.
Definición 3.5.7. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante y A =
{Aα ; α ∈ I} una familia de subconjuntos de X. Se dice que A es:
(i) Relativamente localmente finita mediante F−slices si para todo x ∈ ∪{A α ; α ∈ I}
existe H ∈ H(F) conteniendo a x tal que
|{α ; H ∩ Aα 6= φ }| < +∞
(ii) σ -Relativamente localmente finita mediante F−slices, si se puede expresar como unión numerable de subfamilias relativamente localmente finitas mediante F−
slices.
3. Í NDICE DE NO COMPACIDAD DE K URATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR
133
Corolario 3.5.8. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) La topología dada por la norma admite una network σ -relativamente localmente
finita mediante F−slices.
(ii) X admite una norma equivalente LUR y σ (X, F)−inferiormente semicontinua.
D EMOSTRACIÓN : Por lo mencionado en el párrafo precedente a la definición 3.5.7, basta demostrar sólo la implicación (i) ⇒ (ii). Pero esta implicación se prueba de manera
análoga a la prueba del corolario 3.1.8 cambiando conjuntos abiertos por semiespacios, y
aplicando el teorema 3.5.3.
El estudio realizado en [M-O-T-V3] pone de manifiesto la gran versatilidad del teorema 3.5.1 por lo que es de esperar que la extensión que aquí presentamos produzca nuevos
resultados en un futuro no lejano.
134
B IBLIOGRAFÍA
Bibliografía
[Ar] A. V. Arkhangel’skii, An addition theorem for weight of subsets of a compact space
(Ruso), Doklady Acad. Nauk USSR, 126 (1959), 239–241.
[Ar2]
, Topological function spaces, Mathematics and its applications (Soviet series) vol 78, Kluwer academic publishers Dordrecht Boston London (1992).
[Arv] A. D. Arvanitakis, Some remarks on Radon Nikodým compact spaces, Fund. Math.
172 (2002), 41–60.
[As] E. Asplund, Frechet differentiability of convex functions, Acta Math. 121 (1968),
31–47.
[Av] A. Avilés, Radon Nikodým compact spaces of low weight and Banach spaces,
Preprint.
[A-L] D. Amir y J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach
spaces, Ann. Math. (2), no 88 (1968), 35–46.
[Arg-Me] S. Argyros y S. Mercourakis, On weakly lindelöf banach spaces, Rocky Mountain J. Math. 23 (1993), 395–446.
[Arg-Me2]
2003.
, Examples concerning heredity problems of WCG Banach spaces,
[Arg-Arv] S. Argyros y A. Arvanitakis, A characterization of Regular Averaging Operators and its consequences, Preprint, 2003.
136
B IBLIOGRAFÍA
[Bu] D. K. Burke, Covering properties, Handbook of Set-Theoretic Topology, ed. K.
Kunen y J. E. Vaughan, North Holland, (1984).
[Bu-K-To] M. R. Burke, W. Kubis y S. Todorčević, Kadec norms on spaces of continuous
functions, Preprint.
[B-St] Y. Benyamini y T. Starbird, Embedding weakly compact sets into Hilbert space,
Israel J. Math. 23 (1976), 137–141.
[B-Ru-W] Y. Benyamini, M. E. Rudin y M. Wage, Continuous images of weakly compact
subsets of Banach spaces, Pacific J. Math. 70 (1977), 309-324.
[Bou] R. D. Bourgin, Geometric aspects of convex sets with the Radon-Nikodym property,
Lectures notes in mathmatics, volumen 993, Springer-Verlag (1983).
[C-M] B. Cascales y J. M. Mira, Análisis Funcional, DM, (2002).
[C-O] B. Cascales y J. Orihuela, A Sequential Property of Set-Valued Maps, J. Math.
Anal. Appl. 156 (1991), 86–100.
[C-Na-O] B. Cascales, I. Namioka, y J. Orihuela, The Lindelöf property in Banach
spaces, Studia Math. 154 (2003), 165–192.
[Ci-F] P. Cizek y M. Fabian, Adequade compacta which are Gul’ko or Talagrand, Serdica
Math. J. 29 (2003), 55–64.
[CH] G. Choquet, Sur le théorème des points-selle de la théorie des jeux. Bull. Sci. Math.
(2) 79 (1955), 48–53.
[Co] D. L. Cohn, Measure theory, Cambridge: Birkhauser-Boston, January (1997).
[D] J. Diestel, Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, 1984.
[De-Fo-Hj] R. Deville, V. Font y P. Hájek, Analytic and C K approximations of norms in
separable Banach spaces, Studia Math. 120 (1996), 61–73.
[De-Go-Z] R. Deville, G. Godefroy y V. Zizler, Smoothness and renormings in Banach spaces, Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 64
(1993).
B IBLIOGRAFÍA
137
[D-J-P] A. Dow, H. Junnila y J. Pelant, Weak covering properties of weak topologies,
Proc. London Math. Soc. 75 (1997), 349–368.
[D-J-P2]
(2004).
, Coverings, networks and weak topologies, Preliminary version,
[Da-Fi-Jh-Pc] W. J. Davis, T. Figiel, W. B. Johnson y A. Pelczynski, Factoring weakly
compact operators, J. Funct. Anal. 17 (1974), 311–327.
[E] R. Engelking, General Topology, PWN-Polish, Scientific Publishers, 1977.
[F] M. J. Fabian, Gateaux differentiability of convex functions and topology. Canadian
mathematical society series of monographs and advanced texts, (1997).
[F-Go-Z] M. Fabian, G. Godefroy y V. Zizler, The structure of uniformly Gâteaux smooth
Banach spaces, Israel J. Math. 124 (2001), 2443–252.
[F-Go-M-Z] M. Fabian, G. Godefroy, V. Montesinos y V. Zizler, Inner characterizations
of weakly compactly generated spaces and their relatives. Preprint.
[F-H-Ha-Mon-P-Z] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, J. Pelant y V. Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, CMS Springer Verlag
(2001).
[Far] V. Farmaki, The structure of Eberlein, uniformly Eberlein and Talagrand compact
spaces in Σ(RΓ ), Fund. Math. 128 (1987), 15–28.
[Fo] G. Fodor, On stationary sets and regressive functions, Acta. Sci. Math. Szged 27
(1966), 105–110.
[G] F. García, Propiedades de los compactos de Eberlein, Tesina de licenciatura, Publicaciones del Departamento de Matemáticas, no 38 (2001), Universidad de Murcia.
[Gi-Mr] J. R. Giles y W. B. Moors, A continuity property related to Kuratowski’s index of non-compactness, its relevance to the drop property, and its implications for
differentiability theroy, J. Math. Anal. Appl. 178 (1993), 247–268.
[Go] G. Godefroy, Renormings of Banach spaces, Handbook of the geometry of Banach
spaces, Vol. I, North-Holland, Amsterdam, 2001, pp. 781–835.
138
B IBLIOGRAFÍA
[Go2]
, Banach spaces of continuous functions on compact spaces, Recent
progress in general topology, II, North-Holland, Amsterdam, 2002, 177–199.
[Gr] G. Gruenhage, Generalized metric spaces, Handbook of set-theoretic topology, Elsevier science Publishers, B. V., (1984). Chap. 10.
[Gr2]
, Covering properties on X 2 \ ∆, w−sets and compact subsets of
Σ−products, Topology Appl. 17 (1984), 287–304.
[Gr3]
, A note on Gul’ko compact spaces, Proc. American Math. Soc. 100 (1987),
371–376.
[Gr4]
268.
, On a Corson compact space of Todorčević, Fund. Math. 126 (1986), 261–
, Generalized metric spaces and metrization, Recent progress in General
[Gr5]
Topology, North-Holland, Amsterdam, 1992, 239–274.
[Gr6]
, Metrizable spaces and generalizations, Recent progress in general topology, II, North-Holland, Amsterdam, 2002, 201–225.
[Gr-Mch] G. Gruenhage y E. Michael, A result of shrinkable open covers, Top. Proc. 8
(1983), 37–43.
[Gul] S. P. Gul’ko, The structure of spaces of continuous functions and their hereditary
paracompactness, Uspekhi Mat. Nauk, 34 (1979), 33–40.
[H-Hj-Z] P. Habala, P. Hájek y V. Zizler, Introduction to Banach spaces, Matfyzpress,
(1996).
[Ha] R. W. Hansell, Descriptives sets and the topology of nonseparable Banach spaces,
preprint. University of Connecticut, Storrs, (1989).
, Descriptives sets and the topology of nonseparable Banach spaces, Serdi[Ha2]
ca Math. J. Vol 27 (2001), 1–66.
[Hay] R. Haydon, Trees in renorming theory, Proc. London Math. Soc. 78 (1999), 541–
584.
B IBLIOGRAFÍA
139
[Hay-J-N-R] R. Haydon, J. E. Jayne, I. Namioka y C. A. Rogers, Continuous functions
on totally ordered spaces that are compactum their order toplogies, J. Funct. Anal.
178 (2000), 23–63.
[Hj] P. Hájek, Analytic renormings of C(K) spaces, Serdica Math. J. 22 (1996), 25–28.
[Ho] R. Hodel, Cardinal functions (I), Handbook of set-theoteric topology, NorthHolland, (1984), 1–61.
[J-R] J. E. Jayne y C. A. Rogers, Borel selectors for upper semicontinuous set-valued
maps, Acta Math. 155 (1985), 41–79.
[J-N-R] J. E. Jayne, I. Namioka, C. A. Rogers, σ -fragmentable Banach spaces, Mathematika, 39 (1992), 161–188.
, Topological properties of Banach spaces, Proc. London Math. Soc. 66
[J-N-R2]
(1993), 651–672.
[Ji-M] M. Jiménez y J. P. Moreno, The Mazur intersection property and Asplund spaces,
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 321 (1995), 1219–1223.
, Renorming Banach spaces with the Mazur intersection property, J.
[Ji-M2]
Funct. Anal. 144 (1997), 486–504.
[Ka] O. F. K. Kalenda, Stegall compact spaces which are not fragmentable, Topol. Appl.
96 (1999), 121–132.
[Ka2]
, A weak Asplund space whose dual is not in Stegall class,Proc. Amer.
Math. Soc. 130 (2002),2139–2143.
[Ke] J. L. Kelley, General Topology, Springer GTM 27, (1955).
[K-T] D. Kutzarova y S. Troyanski, Reflexive Banach spaces without equivalent norms
which uniformly convex or uniformly differentiable in every direction, Studia Math.
72 (1982), 91–95.
[Ke-Mr] P. S. Kenderov y W. B. Moors, Fragmentability and sigma-fragmentability of
Banach spaces, J. London Math. Soc. 60 (1999), 203–223.
140
B IBLIOGRAFÍA
[Ke-Mr-Sc] P. S. Kenderov, W. B. Moors y S. Sciffer A weak Asplund space whose dual
is not weak∗ fragmentable, Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), 3741–3747.
[La] G. Lancien, Théorie de l’indice et problèmes de renormage en géométrie des espaces
de Banach, Thèse, Paris. (1992)
[La2]
, Dentability indices and locally uniformly convex renormings, Rocky
Mountain J. Math. 23 (1993), 635–647.
[L-L-T] Bor-Luh Lin, Pei-Kee Lin y S. Troyanski, A characterisation of denting points
of a closed bounded set, Longhorn Notes, U. T. Functional Analysis Seminar, 19851986, The University of Texas and Austin, pp. 99-101.
[M-O-T] A. Moltó, J. Orihuela y S. Troyanski, Locally uniformly rotund renorming and
fragmentability, Proc. London Math. Soc. 75 (1997), 619–640.
[M-O-T-V] A. Moltó, J. Orihuela, S. Troyanski y M. Valdivia, On weakly locally uniformly rotund Banach spaces, J. Funct. Anal. 163 (1999), 252–271.
[M-O-T-V2]
, Kadec and Krein-Milman properties, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331,
Série I. p. 459–464, (2000).
[M-O-T-V3]
, A non linear transfer technique, preprint (2002).
[Me] S. Mercourakis, On weakly countably determined Banach spaces, Trans. Amer.
Math. Soc. 300 (1987), 307–327.
[Me-Ne] S. Mercourakis y S. Negrepontis, Recent progress in general topology, ch. Banach spaces and topology II, pp. 493–536, M. Hušec and J. van Mill, Eds. Elsevier
Science Publishers B.V., 1992.
[Mi] A. Miscenko, Spaces with point-countable base, Soviet Math. Dok.l 3 (1962), 855–
858.
[N] J. Nagata, A note on Filipov’s theorem, Proc. Japan Acad. 45 (1969), 30–33.
[Na] I. Namioka, Separate continuity and joint continuity, Pacific J. Math. 51 (1974),
515–531.
B IBLIOGRAFÍA
141
[Na2]
, Eberlein and Radon-Nikodým compact spaces, Lecture Notes at University College London, 1985.
[Na3]
, Radon-Nikodým compact spaces and fragmentability, Mathematika 34
(1987), 258–281.
[Na-Po] I. Namioka y R. Pol, Mappings of Baire spaces into function spaces and Kadec
renorming, Israel J. Math. 78 (1992), 1–20.
[Ne] Negrepontis, Banach spaces and Topology, Handbook of Set-Theoretic Topology.
Kunen-Vaunghan, ed. North-Holland, (1984).
[Ny] P. Nyikos, Order-theoretic base axioms, Surveys in general topology (e.d. G. M.
Reed, Academic Press, New York, 1980), pp. 367–398.
[O] J. Orihuela, Pointwise compactness in spaces of continuous functions, J. London
Math. Soc. 36 (1987), 143–152.
[O2]
, On weakly Lindelöf Banach spaces, Progress in functional analysis (Peñíscola 1990), vol 170, Norh-Holland, Amsterdam, 279–291, (1992).
[O-S-V] J. Orihuela, W. Schachermayer y M. Valdivia, Every Radon-Nikodym Corson
compact space is Eberlein compact, Studia mathematica 98 (1991), 157–174.
[On] L. Oncina, Descriptive Banach spaces and Eberlein compacta, tesis doctoral, Universidad de Murcia, (1999).
[On2]
, The JNR property and the Borel structure of a Banach space, Serdica
Math. J. 26 (2000), 13–32.
[On3]
69–81.
, A new characterization of Eberlein compacta, Studia Math. 146 (2001),
[On4]
, On WCG Asplund Banach spaces, aparecerá en Quart. J. Math., 2004.
[On-R] L. Oncina y M. Raja, Descriptive compact spaces and renorming, aceptado en
Studia Mathematica.
[Ph] R. R. Phelps, Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, Lect.
Not. Math, Springer-Verlag 1364 (1993).
142
B IBLIOGRAFÍA
[Pr-Na-Ph] D. Preiss, I. Namioka y B. Phelps, Smooth Banach spaces, weak Asplund
spaces and monotone of usco mappings, Israel J. Math. 72 (1990), 257–279.
[R] M. Raja, Locally uniformly rotund norms, Mathematika 46 (1999), 343–358.
[R2]
, Kadec norms and Borel sets in a Banach space, Studia Math. 136 (1999),
1–16.
[R3]
, On dual locally uniformly rotund norms, Israel Journ. Math. 129 (2002),
77–91.
[R4]
, Weak* locally uniformly rotunds norms and descriptive compact spaces,
Journal of Funct. Anal. 197 (2003), 1–13.
[Ri] N. K. Ribarska, Internal characterization of fragmentable spaces, Mathematica 34
(1987), 243–257.
[Ri2]
, The dual of a Gâteaux smooth Banach space is weak ∗ fragmentable, Proc.
Amer. Math. Soc. 114 (1992), 1003–1008.
[Ri3]
, On having a countable cover by sets of small local diameter, Studia Mathem. 140 (2000), 99–116.
[Ro] H. P. Rosenthal, The heredity problem for weakly compactly generated Banach
spaces, Compositio Math. 28 (1974), 83–111.
[So] G. A. Sokolov, On some classes of compact spaces lying in Σ-products, Comment.
Math. Univ. Carolinae 25 (1984), 219–231.
[St] Ch. Stegall, The duality between Asplund spaces and spaces with the RadonNikodým property, Israel J. Math. 29 (1978), 408–412.
[T] S. L. Troyanski, On a property of the norm which is close to local uniform rotundity,
Math. Ann. 271 (1985), 305–313.
[T2]
, On some generalizations of denting points, Israel Journal of Math. 88
(1994), 175–188.
[Ta] M. Talagrand, Espaces de Banach faiblement K -analytiques, Ann. of Math. 110
(1979), 407–438.
B IBLIOGRAFÍA
[Ta2]
143
, A new countably determined Banach space, Israel J. Math. 47 (1984),
75–80.
[Tor] H. Toruńczyk, Smooth partitions of unity on some non separable Banach spaces,
Studia Math. 46 (1973), 43–51.
[V] M. Valdivia, Projective resolution of identity in C(K) spaces, Arch. der Math. 54
(1990), 493–498.
[Vas] L. Vašák, On one generalization of weakly compactly generated Banach spaces,
Studia Math. 70 (1981), 11–19.
[Y] N. N. Yakovlev, On bicompacta in Σ-products and related spaces, Comment. Math.
Univ. Carolin. 21 (1980), 263–283.
[Z] V. Zizler, Non-separable Banach spaces, Handbook of the geometry of Banach
spaces, Vol 2, North-Holland, Amsterdam, (2001).
Índice alfabético
A(k), 42
C(K), 2
C(X), ix, x
C0 (Λ), 31
C p (X), x
Dε ,F (B), xxi, 106
T , 11
T0 , 11
T1 , 11
∆, xii
∆−sistema, 43
N<ω , 10
α Dε ,F (B), 120
αδF (B), 121
αδF (S, B), 123
α (A), xx, 90
α (A, p), 96
Fσ , 20
Gδ , 3
K (M), 19
δF (B), xxi, 107
δF (S, B), xxii, 107
H(F), xxi, 91
T, 101
NN , x
ω , 13
ω1 , 13
ord(x, A ), 66
σ (X, F), xxi, 91
σ −álgebra
de Borel, 4
θ -cubrimiento débil, xvi
c0 (Γ), 17
c1 (X), 17, 63
c1 (Σ × Γ), 18
dH , 19
l ∞ (Γ), 17
l1 , 5
l1 (Γ), 5
l2 (Γ), 8
o(X), 13
ord(x, A ), 34
árbol, 11, 30
árbol derivado, 12
altura, 31
aplicación
superiormente semicontinua, x
usco, x
usco minimal, 29
Í NDICE ALFABÉTICO
cadenas, 31
cara, 119
denting, 119
caracter de densidad, 55
compacto
de Corson, x
de Eberlein, x
uniforme, x
de Gruenhage, 34
de Gul’ko, x
de Namioka, 26
de Namioka-Phelps, 36
de Radon Nikodým, 28
de Stegall, 29
de Talagrand, x
de Valdivia, xi
descriptivo, 34
quasi Radon-Nikodým, 28
conjunto
dentable, 100
derivado, 1
estacionario, 15
numerablemente compacto, 16
radial, 124
sucesionalmente compacto, 16
conjuntos
mutamente casi disjuntos, 13
cubrimiento
contraído, 51
derivada de
Fréchet, 3
Gâteaux, 29
diagonal, xii
diagrama 1.1.1, 7
145
diagrama 1.5.1, 27
diagrama 1.6.1, 30
diagrama 1.7.1, 37
diagrama Int. I, xi
diagrama Int.II, xix
elemento maximal, 12
espacio
débil Asplund, 29
de Asplund, 3
hereditariamente weakly θ −refinable,
36
espacio topológico
Σ−metacompacto, xv, 66
K −analítico, x
NN −metacompacto, xviii, 83
σ -metacompacto, xii
σ −fragmentable, 24
σ −fragmentado, 24
σ −metacompacto, 49
σ −uniformemente
metacompacto, xiv, 59
angélico, 16
débilmente σ −metacompacto, 67
débilmente submetacompacto, xvi
fragmentable, 24
fragmentado, 24
metacompacto, 49
metaLindelöf, xii, 66
numerablemente K −determinado, x
esquema de Lusin, 12
familia
T0 -separadora, 18
T1 -separadora, 18
146
Í NDICE ALFABÉTICO
Σ−puntualmente
finita, xiv, 60
finitamente extendible, xv, 63
N
N −puntualmente
finita, xvii, 79
finitamente extendible, xvii, 81
σ -distributivamente
puntualmente finita, 34
σ -relativamente
localmente finita, 94
σ −aislada, 34
σ −discreta, xii
σ −discretamente
extendible, 40
σ −puntualmente
finita, xii
σ −relativamente
localmente finita mediante slices,
132
σ −uniformemente puntualmente
finita, xiii
σ −uniformemente puntualmente finitamente
extendible, xiv, 58
σ -puntualmente
finitamente extendible, xiii, 47
adecuada, 8
aislada, 34
débilmente
σ −puntualmente finita, xvi, 66
discreta, xii
discretamente
extendible, 40
envolvente, 51
puntualmente
finita, xii
finitamente extendible, xii, 47
numerable, xii
numerablemente extendible, 74
relativamente
localmente finita, 94
localmente finita mediante slices,
132
uniformemente puntualmente
finita, xiii
uniformemente puntualmente finitamente
extendible, xiii, 58
web-puntualmente finita, 75
función
diferenciable
Fréchet, 3
Gâteaux, 29
uniformemente diferenciable
Gâteaux, 29
indice de
dentabilidad, xxi, 107
dentabilidad respecto al índice de Kuratowski, 120
Kuratowski, xix, 90
lema de iteración, 126
Lema del ∆-sistema, 43
LSP, 75
métrica de Hausdorff, 19
medida
de Borel, 4
medidad
Í NDICE ALFABÉTICO
regular, 4
network, xii
norma
inferiormente semicontinua, 107
LUR, xx, 106
partición
σ −G-relativamente abierta, 34
σ −relativamente abierta, 25
G-relativamente abierta, 34
relativamente abierta, 24
proceso de derivación de Cantor, 2
propiedad
τ −Kadec, 26
d−SLD, xxiii
JNR, xxiii
Kadec, xxiv
sJNR, xxiii
punto
ε −denting, 101
ε −quasi-denting, 101
denting, xx, 101
aislado, 1
de acumulación, 1
quasi-denting, xx, 101
rama infinita, 11
ramas, 31
retículo de compactos, 19
semiespacio abierto, xxi, 91
slice, 91
soporte, 23
subconjunto
perfecto, 4
147
subespacio
1−normante, xxi, 91
normante, xx, 91
superlema de Bourgain-Namioka, 97
supp, 23
teorema de
Amir-Lindestrauss, 17
Benyamini-Stardbird, 17
Rosenthal, 21
Troyanski para puntos denting, xx
Troyanski para puntos quasi denting,
xxii
topología
de Vietoris, 19
web de subfamilias, 74