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 GPT-04_M2AA1L2_Oblicuángulos
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Pérez
Resolución de triángulos oblicuángulos Por Sandra Elvia Pérez Márquez
En esta lectura se analizarán dos leyes principalmente:
Antes de comenzar, recuerda que los ángulos
de un triángulo se denominan con letras
mayúsculas y los lados opuestos al ángulo se
expresan con la letra correspondiente pero en
minúscula.
Figura 1. Denominación de ángulos y lados en un triángulo.
Ley de Senos Esta ley relaciona a cada uno de los ángulos con el lado opuesto de la siguiente forma:
a
b
c
=
=
senA senB senC
o
senA senB senC
=
=
a
b
c
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Revisor: Sandra Pérez
Como puedes observar, son dos fórmulas que se relacionan de la misma forma. En esta lectura
utilizarás la primera, sin embargo, puedes comprobar que con la segunda obtienes los mismos
resultados, solamente tienes que fijarte en colocar correctamente los datos y despejar adecuadamente.
Es importante que, para poder aplicar la ley de los senos, tomes dos de las relaciones en las cuales
tengas tres datos conocidos de los cuatro que aparecen en la fórmula. Puedes utilizar:
a
b
,
=
senA senB
b
c
a
c
o
=
=
senA senC
senB senC
A continuación se presentan algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Comienza por determinar los lados faltantes en un triángulo si conoces tres datos.
Para el triángulo ABC mostrado en la figura 2, se
A = 24° , B = 35° y
a = 12cm . Encuentra el ángulo C y los lados b y c .
conocen los siguientes datos:
Figura 2. Triángulo con los siguientes datos A = 24º,
B = 35º y a = 12cm.
Solución
a
Para calcular el valor del lado b , se aplica la ley de senos senA
Por lo tanto, despeja
b=
=
b
senB
b
(a )(senB) = (12cm )(sen35°)
senA
sen24°
(12cm )(0.5735) = 16.92cm
b=
0.4067
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Para calcular el valor del ángulo C, recuerda que la suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es 180°,
de esta forma:
A + B + C = 180°
Despeja C:
C = 180° − 24° − 35° = 121°
Sustituyendo los valores de los ángulos A y B:
C = 180° − A − B
a
c
=
Para calcular el valor del lado c de la ley de senos senA senC
Despeja c.
c=
(a )(senC ) = (12cm )(sen121°)
senA
sen24°
(12cm )(0.8571) = 25.28cm
c=
0.4067
Por lo tanto, los datos faltantes en el triángulo ABC son:
c = 25.28cm , b = 16.92cm y C = 121°
Ejemplo 2
¿Quién está más cerca?
Desde lo alto de unas torres que se encuentran en la
playa separadas a una distancia de 800 m, Jorge un
salvavidas observa que una persona se encuentra en
peligro a un ángulo de 63°. Al mismo tiempo Javier, otro
salvavidas también lo detecta a un ángulo de 38°. ¿A qué
distancia se encontrarán cada uno de los salvavidas de la
persona en peligro? ¿Cuál de los dos salvavidas se
encuentra más cercano a la persona que se encuentra en
peligro?
Figura 3. La distancia entre Jorge y Javier es de 800 m y
el ángulo de Javier es de 38° y el de Jorge 63°.
Solución
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En este caso conoces dos ángulos y el lado que los
sustenta.
Si les asignas una variable a cada lado:
A = 63°
B = 38°
Figura 4. Triángulos con lado c = 800 m y el ángulo B de 38° y
c = 800m
ángulo A de 63°
Se puede calcular el valor del ángulo C, sabiendo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
A + B + C = 180°
Despejando C:
C = 180° − A − B
C = 180° − 63° − 38° = 79°
Para el lado b
Utilizando la ley de senos para conocer los lados
Para el lado b
b
c
=
senB senC
Despejando b
b=
(c )(senB )
senC
(800m)(sen38°) =
b=
sen79°
(
800m )(0.6156)
b=
= 501.71m
0.9816
a
c
=
senA senC
Despejando
a=
a
(c )(senA)
senC
(800m)(sen63°) =
a=
sen79°
(
800m )(0.8910)
a=
= 726.16 m
0.9816
Tabla 1. Ley de Senos.
Considerando que el lado a corresponde a la distancia que hay de Javier a la
persona que se encuentra en peligro, la cual es de 726.16 m, se puede concluir que
Jorge se encuentra más cerca, ya que la distancia del lado b es de 501.71 m y por lo
tanto se espera que llegue primero para salvarlo.
Ejemplo 3
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¿Se podrá comunicar?
Dos barcos la Lupita y el pirata tienen equipos de
comunicación con alcance de 180 km. Si la Lupita se
encuentra a una distancia de 155 km del puerto y el pirata
a 222 km de distancia de la Lupita; y el ángulo que se
forma en la línea de vista del puerto entre los barcos es
de 93°, ¿a qué distancia del puerto se encontrará el
segundo barco?, ¿éste se podrá comunicar con el
puerto?
Figura 5. Representación de los datos del ejemplo 3.
Solución
En este caso conoces dos lados y un ángulo.
Si les asignas una variable a cada lado:
b = 222km
B = 93°
c = 155km
Figura 6. Triángulo de lados c = 155 Km y b = 22 km y ángulo
B = 93°.
Utilizando la ley de senos
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Para conocer el ángulo C
Para el lado a
Primero es necesario conocer el ángulo
A.
b
c
=
senB senC
A + B + C = 180°
A = 180° − A − B
Como
Despejando C:
senC =
(c )(senB )
⇒
C = sen −1
b
(155km )(sen93°)
C = sen−1
222km
(155km )(0.9986)
C = sen −1
222km
(c )(senB )
b
A = 180° − 44.2° − 93 = 42.8°
a
c
=
senA senC
Despejando
a=
a:
(c )(senA)
senC
(155km )(sen42.8°) =
a=
sen44.2°
(155km )(0.6794) = 151.06km
a=
0.6971
C = sen−1 (.6972) = 44.2°
Tabla 2. Ley de senos.
En este caso la distancia que existe del puerto al barco El Pirata. Es de 151.06 km, lo
que implica que si se puede comunicar con el puerto ya que su radio tiene un alcance
de 180 km.
Ley de Cosenos ©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
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La ley de Cosenos surge a partir de la necesidad de resolver los triángulos oblicuángulos que la ley de
senos no podía resolver, ya que los datos que se proporcionan no se pueden relacionar en dicha ley.
Para ello surgen tres relaciones:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Las cuales se pueden resumir como sigue:
El cuadrado de cualquiera de los lados es igual a la suma
del cuadrado de los otros dos lados, menos el doble
producto de estos lados por el coseno del ángulo
comprendido entre ellos.
A continuación se presentan algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Para el triángulo ABC mostrado en la figura,
se conocen los siguientes datos:
a = 6.34 , b = 7.3 y C = 93.83° .
Encuentra los ángulos A y B y el lado c .
Figura 7. Triángulo de lados a = 6.34, b = 7.3 y ángulo C = 93.83
o
Solución
Usando la ley de cosenos para calcular el lado c:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Se sustituyen valores:
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2
2
c 2 = (6.34 ) + (7.3) − 2(6.34 )(7.3)cos(93.83°)
c 2 = 40.1956 + 53.29 − (−6.1829) = 99.6685
Despejando el valor de c:
c = 99.6685 = 9.98
Usando ley de senos para calcular el ángulo A:
a
c
=
senA senC
Despejando SenA :
senA =
(a )(senC )
c
(6.34 )(sen93.83°) = 0.63385
senA =
9.98
Despejando A:
A = sen −1 (0.63385) = 39.33°
Para conocer el valor de B:
A + B + C = 180°
B = 180° − A − C
B = 180° − 39.33° − 93.83° = 46.84°
Por lo tanto, los valores no conocidos del triángulo son:
c = 9.98
A = 39.33°
B = 46.84°
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Ejemplo 2
¿Cuánto mide la presa?
Para determinar la longitud de una presa pequeña
de forma irregular, un grupo de topógrafos midieron
la distancia que había a los puntos extremos de la
presa a un punto en específico y el ángulo que
formaban los extremos como se muestra en la figura.
¿Quieres saber cómo calculo la longitud de la presa?
Figura 8. Datos expresados para el ejemplo 2.
Solución
En este caso conoces dos lados y un
ángulo.
Si les asignas una variable a cada lado:
a = 85m
B = 88°
Figura 9. Triángulo de lados c=76m y a=85m y ángulo B=88°.
c = 76 m
Utilizando la ley de cosenos para calcular el lado b:
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
Sustituyendo valores:
2
2
b 2 = (85m ) + (76 m ) − 2(85m )(76 m )cos 88°
b 2 = 7225m 2 + 5776m 2 − (450.9014)
b 2 = 12550.098
b = 12550.098 = 112.02 m
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Como puedes darte cuenta, la ley de senos y cosenos se utiliza dependiendo de los datos
proporcionados por el problema y de acuerdo a ellos, puedes determinar los valores que necesitas y no
necesariamente tienes que encontrar todos los valores del triángulo que se forma.
Por lo tanto, la longitud de la presa es de
112.02 metros.
Bibilografía Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed., Ruiz Sánchez, M. C.
Trad.). México: McGraw -Hill.
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.).
México: McGraw-Hill.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.
Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica
(10ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: International Thomson.
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