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MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE
Formando Personas Íntegras
Departamento de Matemática
RESUMEN PSU MATEMATICA
GUÍA NÚMERO 17
POLIGONOS:
· Figura plana limitada por lados rectos.
· De acuerdo al nº de lados se clasifican en:
> 3 lados: Triángulo
> 4 lados: Cuadrilátero
> 5 lados: Pentágono
> 6 lados: Hexágono
> 7 lados: Heptágono
> 8 lados: Octágono u Octógono
> 9 lados: Nonágono o Eneágono
> 10 lados: Decágono
> 11 lados: Undecágono o Endecágono
> 12 lados: Dodecágono
> 15 lados: Pentadecágono
> 20 lados: Icoságono
· La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º · (n-2)
(n = número de lados del polígono)
· La suma de los ángulos exteriores es 360º.
· Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n3
· Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados: D =n (n – 3)
2
A. POLIGONOS REGULARES:
· Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.
· Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide:
Áng. interior = 180º · (n – 2)
n
· Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide:
Áng. exterior = 360º
n
· Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.
EJEMPLO PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se
construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que
el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
XVII. CIRCUNFERENCIA:
·p=2πr
·A=πr2
A
A. MEDIDA DEL ANGULO DEL CENTRO:
· El ángulo del centro mide lo mismo que el arco correspondiente.
O
B
< AOB = 90º, entonces AB = 90º
A
B. MEDIDA DEL ANGULO INSCRITO:
· El ángulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente.
B
C
AB = 1 < ACB
2
C. MEDIDA DEL ANGULO INTERIOR:
A
C
P
< x = AB + CD
2
D. MEDIDA DEL ANGULO EXTERIOR:
< x = AB – CD
2
B
x
D
A
C
P
x
O
D
B
E. MEDIDA DEL ANGULO SEMI-INSCRITO:
Q
· Angulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son
una tangente y una cuerda.
O
x
< x = < AQP
A
B
P
EJEMPLO PSU-1: En la figura AB  BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE ,
entonces el ángulo  mide:
A) 10º
B) 40º
C) 20º
D) 70º
E) 80º
EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y BAC = 20°. El
valor del x es
A) 20°
B) 35°
C) 40°
D) 55°
E) 70°
EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el
triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es
A) 68°
B) 66°
C) 57°
D) 44°
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la
medida del ángulo x es
A) 32º
B) 26º
C) 38º
D) 52º
E) 64º
EJEMPLO PSU-5: En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si
el  BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I)  CBO = 20°
II)  CAO =  AOD
III)  AOD =  BOD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la
figura, el  BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el  AED en el
triángulo isósceles AED?
A) 70º
B) 50º
C) 40º
D) 20º
E) Ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide
110°. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el  x mide
A 55°
B 70°
C 110°
D 125°
E 220°
EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro,
DOC  60º y DB es bisectriz del OBC . ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) verdadera(s)?
I) ΔOBC  ΔAOD
II) ΔACB  ΔBDA
III) ΔAED  ΔBEC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O,
¿cuál es la medida del ángulo x?
A) 20º
B) 40º
C) 70º
D) 110º
E) 160º
EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la
cuerda AC 
2
y el ángulo ABC es inscrito de 45º?
2
2
4
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
2
E) 1
A)
EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) Sus perímetros son iguales
II) Sus radios son de igual longitud
III) Sus centros son coincidentes
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos
miden 1. AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC .
¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?
A)
2 1
2
2
C) 2  1
B)
D)
3 1
E) 2  2
EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la
figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del
ángulo AOC?
A) 12°
B) 24°
C) 48°
D) 132°
E) 156°
EJEMPLO PSU-14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al
triángulo PQR. La medida del ángulo  es
A) 80º
B) 100º
C) 120º
D) 125º
E) 130º
EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de
radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:
1
πr
3
1
B)
πr
6
2
C)
πr
3
1
D)
πr
12
A)
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si α  β  32º ,
entonces el valor del ángulo γ es:
A) 16º
B) 32º
C) 48º
D) 64º
E) Indeterminable
CIRCULO:
A. SECTOR CIRCULAR:
Área del sector =
π  r2  α
360º
B. SEGMENTO CIRCULAR:
Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo
AOB
π  r2  α
 Área triángulo AOB
360º
C. CORONA O ANILLO CIRCULAR:
Área del anillo = π · (R2 – r2)
R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor
A
D. TEOREMA DE LAS CUERDAS:
C
AP · PB = CP · PD
P
D
E. TEOREMA DE LAS SECANTES:
B
D
C
P
PA · PB = PC · PD
A
B
F. TEOREMA DE LA TANGENTE Y SECANTE:
T
PT2 = PA · PB
P
A
EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro
30 cm de la figura, la distancia desde el centro O de
ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda
9cm
A) 6 cm
B) 12 cm
C) 18 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
B
AB mide
EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y
radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de
QR, entonces la longitud de PM, en términos de r, es
A)
r
B)
r 5
2
C)
r 3
2
r 2
2
4r
E)
3
D)
EJEMPLO PSU-3: En la figura 12, los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia
de centro O. Si QT : TP  3 : 4 , QT = 6 y ST = 12, entonces RT mide
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y
diámetro AB . Si por el punto medio M de OB , se traza la cuerda CD perpendicular al
diámetro, entonces la longitud de la cuerda CD es
A) r 3
B) r 2
3
r 3
2
2
D)
r 3
3
3
E)
r
2
C)
EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia desde el centro
hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 12 cm
D) 16 cm
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, CD  BD ; CD = 4;
BD = 3. El radio es:
A) 5
25
3
5
C)
3
25
D)
9
25
E)
6
B)
EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, MP  OP
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) MQ = 6
II) PQ = 3 3
III) QN = 6 3
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III