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SEGUNDA UNIDAD
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y
DISPERSIÓN
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Esquema de contenidos
INTRODUCCIÓN
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
- Definición
- Media aritmética
- Media aritmética para datos sin agrupar
- Media aritmética para datos agrupados
- Propiedades de la media aritmética
- Media aritmética total o global
- Moda
- Moda para datos no agrupados
- Moda para datos agrupados sin intervalos
- Moda para datos agrupados en intervalos
- Mediana
- Mediana para datos no agrupados
- Mediana para datos agrupados sin intervalos
- Mediana para datos agrupados en intervalos
- Medidas de Posición: Cuartiles, Deciles y Percentiles
- Percentiles para datos agrupados en intervalos.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
- Medidas de dispersión absoluta
- Rango o Recorrido
- Varianza
- Varianza para datos no agrupados y agrupados
- Varianza total o global
- Propiedades de la varianza
- Desviación estándar
- Medidas de dispersión relativa
- Coeficiente de variación
ASIMETRÍA Y CURTOSIS
- Asimetría o sesgo
- Coeficiente de asimetría
- Curtosis o apuntamiento
- Coeficiente de curtosis
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Objetivos
Objetivo general
Reconoce la importancia de desarrollar habilidades en el planteo, solución y análisis
de resultados de problemas usando herramientas estadísticas descriptivas.
Objetivos específicos
-
Analizar un conjunto de datos calculando sus principales medidas descriptivas.
-
Calcular: Media aritmética, Mediana y Moda.
-
Elegir la medida de tendencia central más adecuada para un conjunto de datos.
-
Comprender la aplicación de los percentiles.
-
Calcular el rango, la varianza y la desviación estándar.
-
Calcular e interpretar el coeficiente de variación.
-
Aplicar en forma correcta las medidas de dispersión absoluta y relativa.
-
Diferenciar entre asimetría y curtosis.
-
Determinar el sesgo de una distribución.
-
Interpretar la curtosis de una distribución.
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Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Introducción
Estimado alumno:
Se inicia, y con mucho agrado, a la Segunda Unidad de esta asignatura con el mismo
entusiasmo que cuando inicié la unidad anterior.
En la estadística descriptiva, después de haber clasificado los datos recopilados en
una tabla de frecuencias, es interesante resumir la información contenida en ella. Es
pertinente condensar dicha información en algunos números que la expresen de forma
clara y precisa, lo cual facilitará posteriores análisis y comparaciones.
En esta unidad nos ocuparemos de las medidas de tendencia central, que son valores
que reflejan la centralización de la variable estudiada, las medidas de dispersión que
expresan el alejamiento de los datos con respecto a una medida de tendencia central y
las medidas de posición, que indican dónde se encuentra una determinada unidad de
análisis con relación a otras unidades, con respecto a una variable.
Las medidas de forma permiten comprobar si una distribución de frecuencia tiene
características especiales como simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y
nivel de apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución.
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Contenidos
II UNIDAD DIDÁCTICA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Definición
Las medidas de tendencia central son valores numéricos que tienden a localizar, en
algún sentido, la parte central de un conjunto de datos. A menudo el término promedio
se asocia a estas mediciones. Cada una de las diferentes medidas de tendencia
central puede recibir el nombre de valor medio o promedio.
Dado un conjunto de datos se tratará de buscar una representación de ellos, que de
manera condensada nos permita tener una idea global de ese conjunto y así:
•
Conocer el dato que aparece con mayor frecuencia en el conjunto.
•
Saber cuál es el número que está a igual distancia de los valores máximo y
mínimo.
•
Conocer la media de los datos, es decir el número que resultaría de repartir el total
de los datos equitativamente entre el número de individuos.
Las medidas de tendencia central son útiles como “descriptivas” del conjunto de datos,
pero no puede decirse que una de ellas es más descriptiva que las otras; depende de
los datos que tenga más sentido utilizar entre una u otra.
Las principales medidas de tendencia central son:
52
Media Aritmética
: x
Mediana
: Me
Moda
: Mo
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
MEDIA ARITMÉTICA
Es el valor que tomaría cada uno de los datos si el total de los valores se repartiera
uniformemente entre el número de ellos.
La media aritmética es una medida muy precisa, por lo menos bajo ciertas
circunstancias, por ejemplo, cuando la presencia de valores extremos no es
significativa. La media aritmética juega un papel importante en la estadística
descriptiva, pero por ser una medida de alta precisión, su rol es fundamental en la
estadística inferencial.
Notación:
Media poblacional
:
µ
Media muestral
:
x , M (x)
x para datos sin agrupar: (Media aritmética simple).
La media aritmética de n números tales como X1 , X2 , ....... , Xn se define como la
suma de los valores de los n números, divididos entre n.
n
∑ Xi
X = i=1
n
Ejemplo:
Las edades correspondientes a cinco alumnos de la UAP son las siguientes:
23 , 27 , 19 , 24 , 21
Calcular la edad promedio.
5
∑ Xi
23 + 27 + 19 + 24 + 21
X = i=1 =
= 22,8 años.
5
5
53
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x para datos agrupados: (Media aritmética ponderada).
Sean X1, X2, ....... , Xk valores de la variable X con sus respectivas frecuencias
absolutas
f1, f2, ...... ,
fk , la media de X se calcula mediante:
Usando frecuencias absolutas:
Usando frecuencias relativas:
k
x =
∑
x =
Xi fi
k
∑X
i
hi
i =1
i =1
n
Ejemplos:
1.-
La siguiente tabla muestra la distribución del peso de un grupo de personas.
Calcular e interpretar el promedio aritmético del peso.
58
Nº personas
fi
7
65
12
70
9
72
14
78
6
Total
n = 48
Peso
Xi
2.-
5
∑ fi Xi
3292
X = i=1
=
= 68,58 ≅ 69 kilos.
48
48
En promedio estas personas tienen un peso
aproximado de 69 kilos.
Un grupo de personas han sido clasificadas de acuerdo a su edad,
obteniéndose los siguientes resultados.
Nº de Personas
fi
4
0,12
20
12
0,35
24
6
0,18
27
10
0,29
30
2
0,06
n = 34
1,00
Total
Nota:
54
hi
Edad
Xi
18
5
X = ∑ hi Xi = 23,11 ≅ 23 años
i=1
En el caso de intervalos, X i es la marca de clase.
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Estadística y Probabilidades
Ejemplos:
1.-
La siguiente es la distribución del número de accidentes registrados durante 60
meses en cierta ciudad.
Edad
Nº meses
Ii : [Li-1 - Li[
10 – 20
fi
2
15
20 – 30
10
25
30 – 40
4
35
40 – 50
16
45
50 – 60
20
55
60 – 70
8
65
Total
2.-
Xi
n = 60
6
∑ fi Xi
2760
x = i=1
=
= 46 accidentes.
60
60
-
Calcular el promedio aritmético de la siguiente distribución de frecuencias.
Peso
Nº alumnos
Ii : [Li-1 - Li[
50 – 55
fi
2
55 – 60
10
60 – 65
4
65 - 70
8
Total
hi
Xi
5
x = ∑ hi Xi
i=1
x =
n=
Nota:
•
La media aritmética es quizá la medida de tendencia central más comúnmente
usada. Sin embargo, no es siempre ideal usarla como un promedio, porque es muy
sensible a los valores extremos.
55
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Ejemplo:
Calcular la edad promedio de cinco personas, cuyas edades son:
18
•
20
19
23
85
⇒
X =
165
5
= 33 años
Aún siendo la media aritmética el promedio más utilizado en la práctica, muchas
veces puede dar lugar a falsas interpretaciones. Esto ocurrirá cuando no tenga
suficiente grado de representatividad, es decir, cuando los valores de la variable
estén poco concentrados, o lo que es lo mismo, muy dispersos a su alrededor;
entonces, poco podrá decirnos la media sobre los datos en estudio.
Propiedades de la Media Aritmética
Si X i es una variable cualquiera y además c y b son constantes, entonces se tiene:
1.-
M(c)=c
2.-
M ( Xi ± c ) = x ± c
3.-
M ( c Xi ) = c x
4.-
M ( c Xi ± b ) = c x ± b
n
5.-
∑( x
i
− x) = 0
i =1
n
6.-
∑
i =1
56
( x i − x )2 ≤
n
∑( x
i =1
i
− k )2
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Ejemplo:
Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias, para la información dada:
Xi : temperatura
f5 = 9
H1 = 0,12
X3 = 10
H2 = 0,28
f1 = f6 = 6
A = 10
u.e.: días.
x = 15,2
k=6
Temperatura
T. prom.
Nº días
Prop. días
% días
[Li-1-Li[
Xi
fi
hi
hi%
Fi
Hi
Hi%
-15--5
-10
6
0,12
12
6
0,12
12
-5- 5
0
8
0,16
16
14
0,28
28
5-15
10
11
0,22
22
25
0,50
50
15-25
20
10
0,20
20
35
0,70
70
25-35
30
9
0,18
18
44
0,88
88
35-45
40
6
0,12
12
50
1,00
100
50
1.00
100
-
-
-
TOTAL
hi =
fi
n
∑ f i = 50
n hi = fi
x=
n=
fi
hi
n=
6
⇒
0,12
∑f X
i
i
n
n× x =
29 + f3 + f4 = 50
f3 + f4 = 21
Nº días Prop.días % días
∑f
i
Xi
50 × 15,2 = -60 + 0 + 10f3 + 20f4
31 = f3 + 2f4
n = 50
Al resolver simultáneamente estas dos ecuaciones
f3 + f4 = 21
f3 + 2f4 = 31
se obtiene:
f4 = 10
f3 = 11
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MEDIA ARITMÉTICA TOTAL O GLOBAL
Si una muestra de tamaño n se particiona en k muestras de tamaño n i cada una con
su correspondiente promedio aritmético x i , entonces el promedio aritmético para los k
grupos juntos se calcula mediante:
k
∑n
i
xT =
i =1
n
xi
, donde:
n =
k
∑n
i
i =1
Ejemplo:
Se tienen los datos correspondientes a la duración de los focos (horas) en las
empresas A y B. Calcular el promedio aritmético para las dos empresas juntas.
Empresa A
Empresa B
Duración
Nº focos
Duración
Nº focos
17
7
12-18
7
23
5
18-24
4
28
8
24-30
12
35
15
30-38
5
42
7
38-46
3
Total
42
Total
31
Calculando el promedio aritmético para cada empresa:
5
∑ fi Xi
1277
x = i=1
=
= 30.40
A
42
42
5
∑ fi Xi
809
x = i=1
=
= 26.10
B
31
31
Reemplazando en la fórmula del promedio total:
xT =
42 × 30,40 + 31 × 26,10
= 28,57 ≈ 29 horas
73
Significa la duración promedio de los focos de ambas empresas en forma conjunta es
de aproximadamente 29 horas.
58
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
MODA (Mo)
Es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia. Una distribución de
frecuencias puede ser unimodal (una moda), bimodal (dos modas), .... , o multimodal
(n modas).
unimodal
bimodal
multimodal
Ocasionalmente encontramos algunas de estas distribuciones en las ciencias sociales,
siendo las bimodales más frecuentes.
Mo para datos no agrupados
La Moda es el dato que más se repite.
Ejemplo:
Seis personas presentan las edades siguientes: 25 , 18 , 20 , 25 , 30 , 25, 25
Calcular e interpretar la Moda.
⇒
Mo = 25 años
La mayoría de estas personas tienen 25 años.
Mo para datos agrupados sin intervalos
Se ubica la máxima frecuencia absoluta simple ( fi ), la moda es el valor de la variable
que presenta dicha frecuencia.
máx fi = f j
⇒
Mo = X j
59
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Ejemplo:
Hallar e interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias.
Nº de PCs vendidas
Nº de meses
Xi
fi
20
5
22
7
24
10
30
6
32
8
Máx fi = 10 ⇒
Mo = 24 PCs.
En la mayoría de los meses se
vendió 24 computadoras.
Nota:
Sólo la Moda tiene significado para variables cualitativas nominales.
Ejemplo:
Hallar e interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias.
Marca
Nº de impresoras
Xi
fi
HP
7
Epson
11
Canon
23
Lexmark
Máx fi = 23 ⇒
9
Mo = Canon.
La mayoría de las impresoras vendidas corresponde a la marca Canon.
60
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Mo para datos agrupados en intervalos
En la columna de las frecuencias absolutas simples se ubica la máxima frecuencia;
entonces el intervalo que posee dicha frecuencia es el intervalo modal, es decir el
intervalo al cual va a pertenecer la moda.
Máxima frecuencia =
fj
⇒
La mediana pertenece al intervalo I j
Luego se aplica la siguiente fórmula:
⎡
⎤
( f j − f j−1)
⎢
⎥
Mo = L j + A j
⎢ ( f − f ) + ( f − f )⎥
j −1
j +1 ⎦
j
⎣ j
Donde:
Lj
:
Límite real inferior del intervalo que contiene a la moda.
Aj
:
Amplitud del intervalo modal.
fj
:
Máxima frecuencia absoluta simple.
Ejemplo:
1.-
La siguiente tabla muestra la distribución de las edades de un grupo de
personas. Calcular e interpretar la moda.
I5
Edad
:
33-45
45-50
50-65
65-72
72-90
90-110
Nº Personas
:
12
8
10
9
15
5
f j−1
fj
f j+1
Entonces:
⎡
⎤
( 15 − 9 )
Mo = 72 + 18 ⎢
⎥ = 78.75
⎣ ( 15 − 9 ) + ( 15 − 5 ) ⎦
La mayoría de estas personas tiene aproximadamente 79 años de edad.
61
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
MEDIANA (Me)
Es el valor que divide al total de las observaciones, ordenadas en forma ascendente o
descendente en dos partes de igual tamaño. Es decir que a uno y otro lado de la
mediana se encuentra no más del 50% del total de las observaciones.
<
Xmín
≥
Me
50%
50%
Xmáx
Me para datos no agrupados
Los datos originales X i se ordenan en forma ascendente o descendente.
a)
Si n es impar
La mediana es igual al valor del término central.
Me = X n + 1
2
Ejemplo:
Los periodos de tiempo, en minutos, que doce clientes esperaron en la cola de
un Banco antes de ser atendidos fueron:
5
5
11
10
8
5
10
4
10
6
10
Variable
:
Tiempo de espera (minutos)
Unidades estadísticas
:
Clientes.
⇒ Ordenando los datos: 4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 8 , 10 , 10 , 10 , 10 , 11
Me = 8 minutos
El 50% de los clientes esperaron menos de 8 minutos mientras que el
otro 50% esperó 8 minutos o más.
62
Segunda Unidad Didáctica ●
b)
Estadística y Probabilidades
Si n es par
La Mediana es igual a la media aritmética de los dos valores centrales.
Xn + Xn
+1
2
2
Me =
2
Ejemplo:
Seis alumnos del tercer ciclo de la facultad de Ingeniería de Sistemas de la
UAP obtuvieron las siguientes notas en su primera evaluación de estadística:
15 , 05 , 20 , 16 , 09 , 12
⇒
Calcular e interpretar la mediana.
Ordenando los datos: 05 , 09 , 12 , 15 , 16 , 20
Me =
12 + 15
2
= 13.5 puntos.
El 50% de los alumnos obtuvieron una nota inferior a 13.5 ; el 50% restante
obtuvo una nota de 13.5 o más.
Nota:
•
La Mediana es un promedio adecuado en los casos en que se presenten
valores extremos (muy alto o muy pequeño).
Ejemplo:
El número de e-mails que recibió cada uno de los empleados de una compañía
se muestran a continuación:
40 , 35 , 30 , 45 , 32 , 98 , 38
⇒
Calcular e interpretar la Mediana.
Ordenando los datos: 30 , 32 , 35 , 38 , 40 , 45 , 98
Me = 38 e-mails.
63
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
Me para datos agrupados: Variable cualitativa ordinal.
Si la variable es cualitativa ordinal, la mediana se encuentra en el lugar n/2, por lo
tanto se ubica dicho lugar en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas Fi .
Ejemplo:
La siguiente tabla presenta la distribución de un grupo de alumnos elegidos en forma
aleatoria clasificados según su ciclo de estudios.
Ciclo de Estudios
Nº alumnos
Fi
I
4
4
II
2
6
III
6
12
IV
3
15
n
= 7,5 = 8vo. lugar
2
⇒ Me = III
El 50% de los alumnos está como máximo en II Ciclo, el 50% restante está
como mínimo en III ciclo.
Me para datos agrupados sin intervalos
a)
Cuando
n
2
se encuentra ubicado entre dos frecuencias absolutas
acumuladas:
Fj−1 <
n
< Fj
2
⇒
Me = X j
Ejemplo:
64
Nº trabajadores
Nº empresas
Fi
120
6
6
180
8
4
220
9
23
250
7
30
n
= 15 = 15 vo. lugar
2
⇒ Me = 220 trabajador es
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
El 50% de las empresas tienen menos de 220 trabajadores, el resto tienen 220 a
más trabajadores.
b)
Cuando
n
coincide con una frecuencia absoluta acumulada:
2
Fj−1 =
n
< Fj
2
Me =
⇒
X j −1 + X j
2
Ejemplo:
Nº hijos
Nº señoras
Fi
1
6
6
n
2
9
15
2
4
7
22
5
8
30
⇒
= 15 = 15 vo. lugar
Me = 3 hijos
Me para datos agrupados en intervalos
Se determina el intervalo mediano, es decir el intervalo que va a contener a la
mediana, ubicando en la columna de las frecuencias acumuladas el
n
lugar
2
mediante:
Fj−1 ≤
n
< Fj
2
⇒
Me ∈ I j
Luego se aplica la fórmula:
⎡n
⎤
⎢ 2 − Fj−1 ⎥
Me = L j + A j ⎢
⎥
fj
⎢
⎥
⎥⎦
⎣⎢
Donde:
L j : Límite real inferior del intervalo que contiene a la mediana.
A j : Amplitud del intervalo mediano.
65
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Ejemplo:
Temperatura.
( °C )
Nº días
Fi
10-15
8
8
15-18
9
17
18-25
12
29
25-30
7
36
Total
36
F2 <
n
< F3 ⇒
2
n
2
= 18 = 18vo. lugar
Me ∈ I3
Luego:
⎡ 18 − 17 ⎤
Me = 18 + 7 ⎢
⎥ = 18.58
⎣ 12 ⎦
En el 50% de los días se registró una temperatura por debajo de los 19 °C, en
el resto de los días hubo una temperatura superior o igual a los 19 °C.
NOTA:
Una distribución de frecuencias puede presentar una de las tres formas:
66
Simétrica
Asimétrica positiva
Asimétrica negativa
x = Me = Mo
Mo < Me < x
x < Me < Mo
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de tendencia central a veces son insuficientes sobre todo cuando en
ocasiones se desea presentar el análisis con respecto a la posición que ocupa la
información que para nosotros resulta relevante. Para esto se utilizan las medidas de
posición, llamadas también medidas de localización.
Las principales medidas de posición son:
Cuartiles
:
k = 4 partes iguales.
Deciles
:
k = 10 partes iguales.
Percentiles
:
k = 100 partes iguales.
Cuartiles
Son medidas de posición que dividen al total de los datos ordenados en cuatro partes
iguales. De esta forma entre dos cuartiles consecutivos se encuentra ubicado no más
del 25% del total de los datos.
El Q3 supera al 75% de los datos y es superado por el 25%.
Deciles
Son valores que dividen al total de los datos ordenados en diez partes iguales; de
modo que en cada una de estas partes se encuentre ubicado no más del 10% del
total.
El D 4 supera al 40% de los datos y es superado por el 60%.
67
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PERCENTILES
Son valores que dividen al total de los datos ordenados en cien partes iguales de
manera que en cada una de estas partes se encuentre ubicado no más del 1% del
total.
Percentiles para datos agrupados en intervalos
Se determina el intervalo que va a contener al percentil, ubicando en la columna de las
frecuencias acumuladas el
Fj −1 ≤
kn
lugar mediante:
100
kn
< Fj
100
⇒
Pk ∈ I j
Luego se aplica la fórmula:
⎡ kn
⎤
⎢ 100 − Fj−1 ⎥
Pk = L j + A j ⎢
⎥
fj
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
Donde:
L j : Límite real inferior del intervalo al cual pertenece el percentil.
A j : Amplitud del intervalo al cual pertenece el percentil.
Ejemplo:
La siguiente tabla de frecuencias corresponde a la distribución de 42 días de acuerdo
a la temperatura que se registró en cada día.
a)
El 35% inferior de los días. ¿Qué temperatura presentó como máximo?
Nº días
Fi
10-15
8
8
15-18
9
17
35 × 42
18-25
12
29
100
25-30
7
36
30-34
6
42
Total
n = 42
Temperatura.
( °C )
68
= 14.7 = 15vo. lugar
Segunda Unidad Didáctica ●
F1 <
35 × 42
< F2
100
⇒
Estadística y Probabilidades
P35 ∈ I2
Luego:
⎡ 15 − 8 ⎤
P35 = 15 + 3 ⎢
⎥ = 17,33
⎣ 9 ⎦
En el 35% inferior de los días se registró una temperatura de 17 °C como
máximo.
b)
Hallar la temperatura mínima y máxima para el 50% central de los días.
El 50% central deja a ambos lados un 25%, entonces para responder a esta
pregunta deberán calcularse los percentiles: P25 y
P25
P75
:
25 × 42
100
= 10.5 = 11 vo. lugar
F1 < 11 < F2 ⇒
P25 ∈ I2
Luego:
⎡ 11 − 8 ⎤
P25 = 15 + 3 ⎢
⎥ = 16
⎣ 9 ⎦
P75
:
75 × 42
100
= 31.5 = 32 lugar
F3 < 32 < F4 ⇒
P75 ∈ I4
Luego:
⎡ 32 − 29 ⎤
P75 = 25 + 5 ⎢
⎥ = 27.14
7
⎣
⎦
⇒
El 50% central de los días presenta una temperatura mínima de 16ºC y
una temperatura máxima de 27.14ºC.
69
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MEDIDAS DE DISPERSIÓN
En el análisis estadístico no basta el cálculo e interpretación de las medidas de
tendencia central o de posición, ya que, por ejemplo, cuando pretendemos representar
toda una información con la media aritmética, no estamos siendo absolutamente fieles
a la realidad, pues suelen existir datos extremos inferiores y superiores a la media
aritmética.
La dispersión se refiere a la variabilidad entre los valores, es decir, qué tan grandes
son las diferencias entre los valores. La idea de dispersión se relaciona con la mayor o
menor concentración de los datos en torno a un valor central, generalmente la media
aritmética.
Ejemplos:
•
A continuación se muestran dos figuras. La primera presenta una distribución con
datos más concentrados alrededor de su promedio (400) que la otra figura con
respecto a su promedio (1000). Es decir, la primera figura es una distribución con
menor dispersión.
400
•
1000
Las figuras siguientes muestran a tres distribuciones con promedio 70, sin
embargo las tres difieren en cuanto a su variabilidad alrededor de la media.
poca variabilidad
70
alguna variabilidad
gran variabilidad
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Ejemplo:
Un enlatador de refrescos indica que cada lata contiene 12 onzas. ¿Cuánto refresco
tiene en realidad cada lata?
•
Es poco probable que todas las latas contengan exactamente 12 onzas.
•
Existe variabilidad en el proceso de llenar las latas.
•
Algunas latas contienen un poco más de 12 onzas, otras contienen un poco
menos.
•
En promedio las latas tienen 12 onzas.
•
El empacador espera que haya poca variabilidad en el proceso de tal forma
que las latas estén lo más cerca posible a las 12 onzas de refresco.
Ejemplo:
Se tienen
dos grupos de estudiantes que sometidos a una prueba arrojaron los
siguientes puntajes:
Puntaje
Nº estudiantes
9
2
Puntaje
Nº estudiantes
10
4
11
5
11
6
12
10
13
4
13
5
15
2
Total
20
17
2
Total
20
Al calcular el promedio aritmético para ambos grupos se obtiene:
x A = x B = 12
Este resultado puede conducir a conclusiones equivocadas cuando se está
comparando distribuciones, pues se podría pensar que ambas secciones son idénticas
en su rendimiento, siendo esto falso ya que observando los datos se aprecia que la
sección B es más homogénea. En este caso el promedio no tiene suficiente grado de
representatividad por lo tanto poco podrá decirnos acerca de los datos en estudio.
71
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
Es necesario entonces calcular otras medidas estadísticas para mostrar cómo varían
los datos alrededor del promedio y esto se logra mediante las medidas de dispersión.
Es necesario estudiar las medidas de dispersión:
1. Para evaluar la confiabilidad del promedio que se está utilizando:
Una dispersión pequeña indica que los datos se encuentran acumulados
cercanamente, alrededor de la medida de tendencia central establecida. Por tanto,
la medida de tendencia central se considera confiable o bastante representativa de
los datos. Por el contrario, una dispersión grande indica que la medida escogida
para representar los datos no es muy confiable, es decir, no es muy representativa
de los datos.
2. Para apreciar cuán dispersas están dos o más distribuciones:
Para poder comparar dos distribuciones de frecuencias entre sí, no sólo
necesitamos la medida de tendencia central, sino también la dispersión entre las
observaciones para no elaborar conclusiones erróneas.
A mayor medida de dispersión → el grupo es más heterogéneo.
A menor medida de dispersión → el grupo es más homogéneo o uniforme.
72
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA
Cuantifican el grado de concentración o de dispersión de los valores de la variable en
torno de un promedio de la distribución.
Principales medidas de dispersión absoluta:
•
Rango o Recorrido
:
R
•
Varianza
:
S2
•
Desviación Estándar :
RANGO O RECORRIDO:
S
R
Es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de los datos.
R
=
Xmáx −
Xmín
Esta medida es muy fácil de calcular sin embargo no es muy recomendable porque
sólo toma en cuenta los valores extremos, sin considerar los demás valores.
73
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
VARIANZA
S2, V[X]
Es un valor numérico que cuantifica el grado de dispersión de los valores de una
variable respecto a su media aritmética. Es el promedio de los cuadrados de las
desviaciones de la variable respecto a su media aritmética.
(
V [ X ] = M⎧
⎨ Xi − x
⎩
)2 ⎫⎬⎭
Notación:
S2
:
Varianza muestral.
σ2 :
Varianza poblacional.
Nota:
•
La varianza nunca es negativa.
•
Cuando la variable toma un único valor; es decir cuando es constante entonces la
varianza es cero.
•
Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie
alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más
dispersos están.
S2 para datos no agrupados:
V( x ) =
1 ⎡
⎛ ∑ Xi ⎞
⎢∑ X2 − n ⎜
⎟
i
n − 1⎢
n ⎠
⎝
⎣
2⎤
⎥
⎥
⎦
Ejemplo:
Calcular e interpretar la varianza de los pesos de un grupo de personas. Los datos son
los siguientes:
⇒
56
74
68
70
8
1⎡
⎛ 565 ⎞
⎢40 329 − 8 ⎜
⎟
7⎢
8 ⎠
⎝
⎣
72
76
78
8 2
∑ Xi = 40 329
i=1
∑ Xi = 565
i=1
n=8
S2
x =
65
2⎤
⎥ = 60,84 ≅ 61 kilos2
⎥
⎦
80
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
En promedio, los pesos del grupo de personas se alejan con respecto al promedio
aritmético en aproximadamente 61 kilos al cuadrado.
S2 para datos agrupados:
2
⎡
⎞ ⎤
⎛ k
⎢
⎜ ∑ fi Xi ⎟ ⎥
1 ⎢k
2
2
⎟ ⎥
Sx =
∑ fi Xi − n ⎜ i=1
⎢
⎜
n − 1 i=1
n ⎟ ⎥
⎢
⎟ ⎥
⎜
⎠ ⎥⎦
⎝
⎢⎣
Ejemplo:
Calcular e interpretar la varianza para la siguiente tabla de frecuencias.
Edad
Nº de personas
Ii
fi
4- 6
4
6 - 10
5
10 - 16
7
16 - 20
3
20 - 30
1
Total
n = 20
Primero deberá calcularse las marcas de clase para cada uno de los intervalos.
Reemplazando en la fórmula:
2
⎡
⎛ k
⎞ ⎤
⎢
⎜ ∑ fi Xi ⎟ ⎥
2⎤
⎡
1 ⎢k
2 − n ⎜ i=1
⎟ ⎥ = 1 ⎢ 3200 − 20 ⎛⎜ 230 ⎞⎟ ⎥
V( x ) =
f
X
∑
i
⎜ n ⎟ ⎥
19 ⎢
n − 1 ⎢i=1 i
⎝ 20 ⎠ ⎥
⎢
⎣
⎦
⎜
⎟ ⎥
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
V ( x ) = 29.21 ≈ 29 años2
En promedio la edad de estas personas se aleja con respecto a su promedio
aritmético en aproximadamente 29 años al cuadrado.
75
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
VARIANZA TOTAL O GLOBAL
Si una muestra de tamaño n se particiona en k muestras cada una de tamaño n i con
su correspondiente promedio aritmético xi , y su varianza Si2
1
2
k
n1
n2
nk
x1
x2
xk
S12
S22
Sk2
Entonces la varianza para los k grupos juntos se calcula mediante:
k
S
2
=
∑
i =1
T
+
Si2 )
n
2
⎞
⎛ k
⎟
⎜
ni xi
⎟
⎜
i
1
=
⎟
− ⎜
n ⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
∑
k
∑n
n =
Donde:
2
ni ( xi
i
i =1
Ejemplo:
Se tienen tres grupos, de seis, nueve y siete estudiantes respectivamente. Si las notas
correspondientes a cada uno de ellos son:
Grupo 1
:
12
16
08
11
10
12
Grupo 2
:
17
14
07
13
11
18
13
Grupo 3
:
10
13
11
08
12
09
12
15
Calcular e interpretar la varianza para los tres grupos juntos.
⇒
76
Primero deberá calcularse la varianza para cada uno de los grupos:
14
Segunda Unidad Didáctica ●
1⎡
⎛ 69 ⎞
S12 = ⎢829 − 6 ⎜
⎟
6 ⎠
5⎢
⎝
⎣
2⎤
⎥ = 7.1
⎥
⎦
2 =
S3
S2
2 =
Estadística y Probabilidades
2
1⎡
⎛ 122 ⎞ ⎤
⎢1738 − 9 ⎜
⎟ ⎥ = 10.53
8⎢
⎣
⎝ 9 ⎠ ⎥⎦
2
1⎡
⎛ 75 ⎞ ⎤
⎢823 − 7 ⎜ ⎟ ⎥ = 3.24
6⎢
⎝ 7 ⎠ ⎥
⎣
⎦
Se calcula también el promedio aritmético de cada grupo:
x =
1
69
= 11.5
6
x =
1
122
= 13.56
9
x =
1
75
= 10.71
67
Reemplazando en la fórmula de varianza total:
S2 =
T
6 ( 11.52 + 7.1) + 9 ( 13.56 2 + 10.53 ) + 7 ( 10.712 + 3.24)
− (12.09 )2 = 8.89
22
S T = 2.98
En promedio las notas de los estudiantes de los tres grupos se
alejan con respecto al promedio total en aproximadamente 3
puntos.
Propiedades de la Varianza
Si X i es una variable cualquiera y además c y b son constantes, entonces se tiene:
1.-
V(c)=0
2.-
V ( Xi ± c ) = V ( X )
3.-
V ( c Xi ) = c2 V ( X )
4.-
V ( c Xi ± b ) = c2 V ( X )
77
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y posee las mismas unidades que la media
aritmética, las mismas que ya no están elevadas al cuadrado como en la varianza.
S =
V ( X)
La desviación estándar o desviación típica aparece para simplificar la interpretación de
la varianza. Cuando calculamos la varianza, nos basamos en datos elevados al
cuadrado, por lo que, el resultado obtenido debe interpretarse en unidades al
cuadrado; por esta razón aparece la desviación estándar como la raíz cuadrada de la
variancia.
Distribuciones con igual promedio aritmético y diferente desviación estándar
Ejemplo:
Calcular la desviación estándar de las notas obtenidas por un grupo de alumnos del
tercer ciclo de la Facultad de Ingeniería de Sistemas de la UAP en la primera
evaluación de estadística.
12
07
⇒
n=9
14
11
16
18
09
9
14
10
9 2
∑ Xi = 1 467
i=1
∑ Xi = 111
i=1
Por lo tanto:
2
1 ⎡
⎛ 111 ⎞ ⎤
⎢1 467 − 9 ⎜
V (x ) =
⎟ ⎥ = 12.25
8 ⎢
9 ⎠ ⎥
⎝
⎣
⎦
78
⇒
Sx =
12,25 = 3.5 puntos
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Nota:
• La varianza y la desviación estándar se utilizan para comparar grupos cuya
variable está expresada en las mismas unidades. Así, el grupo más
homogéneo, el más uniforme o aquel en el que la media aritmética es más
representativa, será aquel en el cual la varianza o la desviación estándar es
menor.
Ejemplo:
En algunas semanas consecutivas, los oficiales de policía Martínez y Castro
levantaron las siguientes infracciones por exceso de velocidad:
Martínez
: 31
38
42
32
39
26
Castro
: 35
43
38
37
33
28
27
¿Cuál de los oficiales es más homogéneo con respecto al número de infracciones?
Solución:
2
SM
1⎡
⎛ 208 ⎞
= ⎢7 390 − 6 ⎜
⎟
5⎢
6 ⎠
⎝
⎣
2⎤
⎥ = 35,87
⎥
⎦
2
SC
2
241 ⎞ ⎤
1⎡
⎛
= ⎢8 489 − 7 ⎜
⎟ ⎥ = 31,95
6⎢
⎝ 7 ⎠ ⎥
⎣
⎦
2 < S2
SC
M
El oficial Castro es más homogéneo con respecto al número de infracciones
porque su varianza es menor.
79
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA
La varianza y la desviación típica también tienen sus limitaciones. Similar a la media
aritmética es vulnerable a la influencia de casos extremos. Además, cuando las
medias aritméticas no son iguales o cuando las unidades de medición son distintas, la
comparación de desviaciones típicas puede no ser significativa. La medida de
dispersión relativa más utilizada es el coeficiente de variación.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Es la desviación estándar dividida sobre la media aritmética multiplicada por 100. El
mismo nos permite comparar desviaciones típicas de variables con unidades de
medición distintas.
CV =
S
× 100
x
En la práctica, se acostumbra considerar que un coeficiente de variación superior a
25% indica alto grado de dispersión y por lo tanto poca representatividad de la media
aritmética.
Ejemplo:
Se desea comparar los sueldos de los trabajadores de dos empresas, A y B. Para tal
efecto se tienen los siguientes datos:
Empresa A
Empresa B
Sueldos ( $ )
Nº trabajadores
Sueldos ( S/. )
Nº trabajadores
380
10
600-650
7
410
9
650-700
9
450
12
700-750
14
480
8
750-800
6
500
7
800-850
4
¿Se puede afirmar que los sueldos de los trabajadores de la empresa A son más
uniformes? ¿Por qué?
80
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
⇒
CVA =
x A = 439.78
xB
= 713.75
S A = 43.02
S
= 60.43
43.02
× 100 = 9.78%
439.78
B
CVA =
60.43
× 100 = 8.47%
713.75
Por lo tanto, los sueldos de los trabajadores de la empresa A no son los más
uniformes, sino los sueldos de la empresa B, porque presentan menor
coeficiente de variación.
81
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
ASIMETRÍA O SESGO
Una distribución es asimétrica cuando sus datos tienden a agruparse hacia uno de los
extremos de la distribución. Cuando una curva es asimétrica se dice que tiene un
sesgo. El sesgo puede ser de dos tipos:
•
Si los datos tienden a agruparse en las primeras clases, se dice que la
distribución tiene un sesgo positivo o que es asimétrica positiva.
•
Si los datos tienden a agruparse en las últimas clases de la distribución, se dice
que esta tiene sesgo negativo o que es asimétrica negativa.
Coeficiente de Asimetría
Es una medida que se utiliza para evaluar el sesgo de una distribución:
CA =
3 ( x − Me )
S
Según es grado de asimetría una distribución puede ser:
82
Simétrica
Asimétrica positiva
CA = 0
CA > 0
Asimétrica negativa
CA < 0
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
CURTOSIS O APUNTAMIENTO
Mide el grado de elevación o agudeza de una distribución comparada con la curva
normal.
Coeficiente de Curtosis
Indica la deformación vertical de una distribución de frecuencias.
K =
P75 − P25
2 ( P90 − P10 )
Según su grado de curtosis, una distribución puede ser:
K=0
K > 0,263
K < 0,263
Si K = 0,263 ⇒ mesocúrtica.
Si K > 0,263 ⇒ leptocúrtica.
Si K < 0,263 ⇒ platicúrtica.
83
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
Resumen
En la presente unidad se tratan el cálculo y la interpretación de las medidas de
tendencia central, de posición y de dispersión.
Las medidas de tendencia central tienen como objetivo sintetizar los datos en un valor
representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta qué punto estas medidas de
tendencia central son representativas como síntesis de la información. Por su parte,
las medidas de dispersión cuantifican la variabilidad de los valores de la distribución
respecto al valor central.
El conocimiento de la forma de la distribución y del respectivo promedio de un conjunto
de datos correspondientes a una variable sirve para tener una idea bastante clara
acerca de las propiedades de la muestra en estudio.
84
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Actividad 2
1.-
Preguntar la edad a 12 mujeres y 20 varones.
2.-
Calcular la edad promedio tanto para mujeres como para varones.
3.-
En promedio: ¿Quiénes son mayores, los hombres o las mujeres?
4.-
Calcular e interpretar la edad promedio para mujeres y varones en forma
conjunta.
5.-
¿Qué grupo es más homogéneo en cuanto a su edad?
6.-
Calcular e interpretar la desviación estándar para estas 32 personas.
7.-
Hallar e interpretar el grado de asimetría.
8.-
Calcular e interpretar la curtosis.
85
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
Autoevaluación
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y POSICIÓN:
1.-
En un examen de estadística tomado el mismo día y hora a los tres grupos del
tercer ciclo de Ingeniería de Sistema, A, B y C, con un total de 150 alumnos, se
obtuvo una nota promedio de 13,2. Las notas promedio de los grupos A y B
fueron 12 y 14 respectivamente, los registros del grupo C se extraviaron pero
se sabe que el grupo A es el 36% del total y el número de alumnos del grupo B
es la tercera parte de los matriculados en el grupo C.
2.-
a)
Hallar la nota promedio del grupo C.
b)
Calcular la nota promedio de los grupos A y C juntos.
De un grupo de empresas se sabe que ninguna tiene más de 5 trabajadores ni
menos de 2, la mayoría tiene 3 trabajadores, el 20% tiene 5 trabajadores y 2 de
cada 20 empresas tiene 4 trabajadores. La proporción de empresas que tienen
dos trabajadores es 0,25. Calcular e interpretar la media aritmética.
3-
Se ha realizado una competencia deportiva para seleccionar a los atletas en
100 metros planos que representarán a un club en una competencia. Sólo el
10% más apto representará al club en dicha competencia, el 20% menos apto
será separado del equipo y se les derivará al grupo de salto largo. El 40%
central será sometido a un riguroso entrenamiento. Hallar los límites de estos
tres grupos; si se cuenta con los siguientes datos:
Velocidad (km/h)
Nº atletas
4.-
8-10
10-13
13-16
16-19
19-22
22-25
25-27
8
6
5
9
6
7
5
El jefe de control de calidad de una empresa ha clasificado un lote de 80
artículos de acuerdo a su peso en una distribución con seis intervalos de clase.
Si las frecuencias absolutas simples correspondientes a cada intervalo son 6,
12, 24, 18, 13 y 7, siendo además:
86
Segunda Unidad Didáctica ●
∑X
X4 = 35
5-
i
Estadística y Probabilidades
= 195
a)
¿Sobre qué peso se encuentra las 3/4 partes de los artículos?
b)
¿Cuánto pesan como máximo el 15% menos pesado de los artículos?
En un examen tomado a tres secciones de un curso de estadística de 91
alumnos, el puntaje medio general fue de 69,3. Los puntajes medios de las
secciones 1 y 2 fueron 70,4 y 64,2 respectivamente. Se perdieron los archivos
con las notas de la sección 3 pero los ayudantes recuerdan que las secciones 1
y 2 tenían exactamente el mismo número de alumnos, mientras que el
ayudante de la sección 3 menciona que su sección tenía 5 estudiantes menos
que la 1. ¿Cuál es el promedio de las notas de la sección 3?
6.-
Una tabla de distribución de frecuencias muestra el número de artículos
producidos por diferentes fábricas. Si se sabe que a partir de la segunda
frecuencia absoluta simple se cumple que cada frecuencia es la tercera parte
de la anterior aumentada en cuatro unidades, y además se conoce:
5
∑
5
fi = 1119
i =1
∑ Xi
= 387,5
X 4 = 95,5
i =1
Calcular e interpretar el promedio aritmético.
7.-
Doscientos cuarenta alumnos correspondientes a las facultades de Ing. de
Sistemas, Veterinaria y Contabilidad rinden en forma conjunta un examen de
estadística. El promedio general fue 12,5. La nota promedio de los 60 alumnos
de Sistemas fue 13, mientras que la nota promedio de los alumnos de
Contabilidad fue 11. Si se sabe que el número de alumnos de Contabilidad es
el triple de los alumnos de Veterinaria; calcular la nota promedio para los
alumnos de:
a)
Veterinaria.
b)
Sistemas y Veterinaria juntos.
c)
Sistemas y Contabilidad juntos.
d)
Veterinaria y Contabilidad juntos.
87
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
8.-
En una investigación sobre salarios diarios de los trabajadores de una empresa
se encontraron los siguientes datos:
25
30
28
40
32
22
42
Se cree que luego de cinco años cada trabajador triplicará su ingreso. ¿Cuál
será entonces el salario promedio?
9.-
Un grupo de cien personas viaja en dos aviones. El primero lleva 40 personas y
el segundo las restantes. Se sabe que el peso medio de todas las personas es
de 186,3 libras y que el de los del segundo avión es de 10 libras menos que el
de las personas del primer avión. ¿Cuál es el peso medio de las personas en
cada avión?
10.-
Las siguientes tablas muestran la duración de los artefactos electrónicos
vendidos por dos tiendas, A y B.
Tienda A
Duración (días)
Tienda B
Fi
Duración (días)
X i fi
17
7
12 – 18
105
23
12
18 – 24
84
28
20
24 – 30
324
35
35
30 – 38
170
42
42
38 - 46
126
Hallar el promedio aritmético para las dos tiendas juntas.
11.-
Las siguientes tablas muestran a dos grupos de alumnos clasificados según el
número de palabras que han memorizado.
Grupo A
88
Grupo B
Xi
fi
Xi
Fi
43
12
30 – 45
5
56
9
46 – 58
14
Segunda Unidad Didáctica ●
a)
Estadística y Probabilidades
69
8
59 – 71
34
82
10
72 – 80
42
95
9
81 – 88
51
El grupo ganador será aquel cuyos 15 mejores participantes obtengan la
mayor cantidad de palabras memorizadas. ¿Cuál será el grupo
ganador?
b)
Calcular e interpretar el promedio más adecuado del grupo B.
c)
¿Cuál es la cantidad mínima de palabras que memorizaron el 20%
correspondiente a los participantes con mayor capacidad?
12.-
Un grupo de 200 personas, cuya estatura promedio es de 1.70 m se divide en
dos grupos; uno con una estatura media de 1.68 m y otro con una de 1.73 m.
¿Cuántas personas hay en cada grupo?
13.-
Se tiene una distribución de frecuencias con cinco intervalos de clase cuya
amplitud es constante y representa a una variable continua. Además se sabe
que:
h1 = h2 = 0,10
f4 = 20
H3 = 0,40
n = 50
Me = 23,75
Mo = 25
a)
Calcular e interpretar el promedio aritmético.
b)
Si otra distribución de 32 unidades estadísticas presenta un promedio
aritmético igual a 29.8, calcular el promedio aritmético para las dos
distribuciones juntas.
14.-
El número de computadoras en las empresas de la ciudad A presenta una
distribución simétrica y además se conoce los siguientes datos:
Xmín = 20
X5 = 88
h2 − h1 =
A1 = A 4 = 20
f3 = 30
A 2 = 10
1
9
X3 = 54,5
5
∑ fi = 90
i =1
a)
Calcular e interpretar el promedio aritmético.
b)
Si el promedio de computadoras para las ciudades A y B es 62, hallar el
número de empresas en la ciudad B si se sabe que su promedio es 69.
89
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
15.-
La siguiente tabla muestra la distribución porcentual de los pesos de cincuenta
personas elegidas en forma aleatoria a la entrada de un estadio.
Xi
:
48
56
64
72
80
88
96
hi %
:
12
18
16
20
14
12
8
a)
Hallar el peso mínimo de las 15 personas más pesadas.
b)
Hallar el peso bajo el cual se encuentran ubicadas las 25 personas que
no son las más pesadas.
16.-
La biblioteca de una universidad tiene registrado el número de libros tanto de
ciencias como de letras que solicitaron, por día, los alumnos durante el año
2007.
Letras
a)
Ciencias
Xi
fi
Xi
fi
24
6
21
4
41
9
36
8
58
4
51
6
75
13
66
12
92
5
81
7
109
8
96
5
126
5
En los quince días de mayor lectura: ¿Se solicitaron más libros de letras
que de ciencias? ¿Por qué?
b)
¿Podemos afirmar que con mayor frecuencia se solicitan libros de letras
que de ciencias? ¿Por qué?
17.-
90
La siguiente tabla muestra los sueldos de los trabajadores de una compañía.
Sueldos (S/.)
Nº Trabajadores
950-1000
4
1000-1150
9
1150-1230
12
1230-1260
19
Segunda Unidad Didáctica ●
1260-1310
10
1310-1460
7
1460-1550
5
Estadística y Probabilidades
a)
¿Cuánto ganan como mínimo los 33 trabajadores con mayor sueldo?
b)
A la quinta parte de los trabajadores, correspondiente a los que ganan
menos, se les dará un aumento. ¿Si José gana 1100, recibirá aumento?
c)
Se considera que hay siete trabajadores cuyos sueldos son altos; en
una reunión de directorio se acordó hacerles un descuento del 5% de
sus sueldos. ¿A partir de qué sueldo corresponde dicho descuento?
18.-
En uno de los laboratorios de la UAP se desea hacer un estudio acerca de las
computadoras y la cantidad de virus que han ingresado el mes pasado.
Xi
:
Fi :
a)
29
38
47
56
65
74
83
4
12
17
29
34
42
46
Se afirma que las quince computadoras con mayor cantidad de virus
llegaron a tener no menos de 64 virus ¿Está de acuerdo? ¿Por qué?
b)
Sandra afirma que en este caso el promedio más adecuado es la moda,
sin embargo Pedro piensa que sería la mediana. ¿Cuál de los dos cree
que tiene la razón? ¿Por qué? Calcule e interprete dicho promedio
adecuado.
c)
Clasificar las computadoras en cuatro categorías diferentes: el 50%
central en la categoría B, el 10% más afectado en la D y el resto en las
categorías A y C. Hallar los límites entre las categorías.
d)
Teniendo en cuenta la clasificación anterior hallar el número de
computadoras correspondiente a cada categoría y luego calcular el
promedio más adecuado.
91
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
19.-
Durante los últimos dos meses se ha venido recogiendo la información
correspondiente a la cantidad de mensajes electrónicos recibidos por los
alumnos de la UAP.
Ii
:
fi :
a)
20-27
28-35
36-48
49-56
57-64
65-75
76-89
90-95
8
5
6
13
17
6
5
8
¿Cuántos mensajes reciben como mínimo y como máximo los 34
estudiantes centrales?
b)
Se desea realizar una nueva clasificación de modo que se tengan
cuatro categorías. El 40% superior se divide en dos partes iguales para
formar las categorías C y D, mientras que el 45% siguiente constituye la
categoría B y el resto la A. Hallar los límites entre estas categorías.
c)
¿Cuántos mensajes reciben en promedio la mayor parte de los
estudiantes?
d)
José quiere saber cuántos mensajes ha recibido Rocío. El número de
mensajes de Rocío es igual a la mitad del valor mínimo del 35%
superior. ¿Cuántos mensajes ha recibido Rocío?
20.-
La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias relativas de los pesos
de cincuenta personas elegidas en forma aleatoria a la entrada de un gimnasio.
Ii
hi %
45-48
48-54
54-60
60-65
65-72
72-78
78-82
12
18
16
20
14
12
8
a)
Hallar el peso mínimo de las 15 personas más pesadas.
b)
Hallar el peso bajo el cual se encuentran ubicadas las 25 personas que
no son las más pesadas.
c)
Se afirma que la media aritmética es menor que la moda, ¿estás de
acuerdo?
d)
Hallar los pesos entre los cuales se encuentra ubicado el 80% central de
estas personas.
92
Segunda Unidad Didáctica ●
21.-
Estadística y Probabilidades
Se desea hacer un estudio en la Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas
de la UAP. Con tal motivo se cuenta con la información correspondiente a las
notas en el curso de Estadística de los alumnos del III ciclo de Ingeniería de
Sistemas.
Ii
:
0-5
5-8
8-10
10-12
12-16
16-18
18-20
fi
:
6
5
8
15
9
7
4
a)
La profesora de estadística va a premiar al quinto superior. ¿A quiénes
premiará?
b)
Si el 30% de los alumnos reprueba el examen de estadística, la profesora
tomará
un
examen
de
recuperación.
¿Será
necesario
dar
la
recuperación?
c)
A los quince alumnos que tengan las mejores notas se les hará un
descuento especial en su próxima boleta. Su nota es 17. ¿Se hará
acreedor a dicho descuento?
d)
Los alumnos están muy preocupados porque afirman que la nota más
frecuente ha sido 09. ¿Hay razón para preocuparse? ¿Por qué?
e)
Se sabe que doce alumnos reprobarán el curso y que seis recibirán un
premio especial. Hallar las notas entre las cuales se encuentran los
alumnos que no reprobarán ni recibirán premio alguno.
93
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS
1.-
Se utilizan dos máquinas diferentes para fabricar conductos de salida de papel
destinados a copiadoras Kodak. Los conductos de una muestra de la primera
máquina medían: 12.2, 11.9, 11.8, 12.1, 11.9, 12.4, 11.3 y 12.3 pulgadas. Los
conductos hechos con la segunda máquina medían 12.2, 11.9, 11.5, 12.1, 12.2,
11.9 y 11.8 pulgadas. ¿Qué máquina deberá utilizarse si se desea utilizar la
máquina que produzca conductos de tamaños más uniformes?
2.-
Dos secciones, A y B, del III ciclo de la facultad de Ingeniería de Sistemas de la
UAP rinden un mismo examen final de estadística y probabilidades. Los
resultados fueron los siguientes:
Sección A
Sección B
Nº de alumnos
fi X i
Xi
Nº de alumnos
Notas
3
18
6
4
4
5
50
10
18
8
14
154
11
20
12
8
104
13
2
14
45
1
16
30
a)
¿Cuál de las secciones es más homogénea con respecto a sus notas?
b)
Si se toma un examen sustitutorio y los alumnos de la sección A
aumentan sus notas en un 15% mientras que los de la sección B
disminuyen 3 puntos; calcular la nueva desviación estándar para cada
sección.
c)
¿En cuántos puntos se alejan las notas de los alumnos con respecto al
promedio aritmético total?
3.-
Se tiene los siguientes datos correspondientes al peso de un grupo de
personas y además se sabe que el peso promedio es 72.2 Kg.
Peso
Nº de personas
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
12
7
10
9
5
¿Se podría afirmar que se trata de una distribución simétrica? ¿Por qué?
94
Segunda Unidad Didáctica ●
4.-
Estadística y Probabilidades
Un entrenador de pista y campo debe decidir a cuál de sus dos velocistas
seleccionará para los cien metros planos en una próxima competencia. El
entrenador basará la decisión en los resultados de cinco carreras entre los dos
atletas, celebradas en un periodo de una hora con descansos de 15 minutos.
Los siguientes tiempos (en segundos) se registraron para las cinco carreras:
Carrera
Atleta
1
2
3
4
5
Mendoza
11,1
11,0
11,0
15,8
11,1
Ramírez
11,3
11,4
11,4
11,5
11,4
Con base en estos datos: ¿A cuál de los dos velocistas debe seleccionar el
entrenador? ¿Por qué?
5.-
Los siguientes datos corresponden al número de veces que el programa
Minitab se “colgó” durante un mes, en cada uno de los ordenadores de una
empresa.
9
12
14
19
10
12
15
21
29
17
En promedio: ¿En cuánto se alejan los datos con respecto al promedio
aritmético?
6.-
Se sabe que la media aritmética de la siguiente distribución es 11.5.
Ii
:
4-6
6 - 10
10 - 16
16 - 20
20 – 30
fi
:
4
5
9
3
1
Calcular e interpretar la varianza.
7.-
Si X es una variable que tiene media 15 y varianza 25, hallar la media, varianza
y desviación típica de Y en los siguientes casos:
a)
Y = 4 + 16X
b)
Y = 16 - 4X
c)
Y=
1
1
+ X
4
4
95
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
8.-
Durante un periodo de diez años, los precios de un producto fueron en
promedio de $80 con una desviación estándar de $12. En el anterior periodo de
diez años el promedio fue de $50 con una varianza de 36. ¿En qué periodo
hubo mayor estabilidad?
9.-
Se clasificó a los trabajadores de una mina en dos categorías, mayores y
menores de 25 años, y se extrajo la siguiente información:
Edad
Nº de obreros
Productividad
Varianza
media
Mayores de 25 años
200
40
4900
Menores de 25 años
300
60
1600
Calcular e interpretar la desviación estándar de todos los obreros de la mina.
10.-
Los alumnos de un grupo obtuvieron en matemática II una nota media de 68.7
puntos con una desviación estándar de 15.4 y los de otro grupo obtuvieron en
la misma asignatura un promedio de 50.9 puntos con una desviación estándar
de 19.6. ¿Cuál de los dos grupos tiene un rendimiento más heterogéneo?
11.-
Un grupo de niños de ocho años de edad tiene una estatura media de 141 cm y
su desviación estándar es 6.9 cm, su peso medio es 42 kilos y su desviación
estándar 5 kilos. ¿En qué aspecto es este grupo más variable, en estatura o en
peso?
12.-
Dos marcas de máquinas, A y B, han sido diseñadas para producir cierto tipo
de producto. Tienen igual precio. Un fabricante, al decidir cuál comprar, ha
observado diez máquinas diferentes de cada marca en operación durante una
hora. El número de artículos producidos por cada máquina se registra en la
siguiente tabla:
96
Marca A
35
36
49
44
43
37
38
42
39
40
Marca B
27
28
53
52
48
29
34
47
45
45
a)
¿Cuál máquina recomendaría comprar? ¿Por qué?
b)
Calcular e interpretar la desviación estándar para las dos marcas juntas.
Segunda Unidad Didáctica ●
13.-
Estadística y Probabilidades
Una prueba de conocimientos A se calificó sobre 20 puntos dando una media
de 12 y una desviación estándar de 2 puntos, mientras que una prueba de
aptitud B se calificó sobre 100 puntos, dando una media de 70 y una varianza
de 25. ¿Cuál de las dos pruebas tiene mayor dispersión? ¿Por qué?
14.-
Una empresa informática tiene un registro de productos de software al cual se
les midió el número de errores encontrados medidos en cientos de módulos.
Los datos se encuentran resumidos en la siguiente tabla:
15.-
Xi :
1
2
3
4
5
fi
17
11
10
5
3
:
a)
Calcular e interpretar la desviación estándar.
b)
¿Qué sesgo presenta la distribución?
Un encargado de compras ha obtenido muestras de focos de luz de dos
proveedores. En su laboratorio ha probado ambas muestras con respecto a la
duración de su vida útil, con los siguientes resultados:
Duración de la vida útil
Muestras de
(horas)
Empresa A
Empresa B
800
700 – 900
10
3
1000
900 – 1100
16
42
1200
1100 – 1300
26
12
1400
1300 - 1500
8
3
¿Para los focos de cuál de las empresas es el promedio aritmético más
representativo?
16.-
Las siguientes tablas muestran la distribución de las tallas correspondientes a
dos grupos de niños.
97
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
Talla
(cm.)
Nº de Niños
Talla
(pulg)
Nº de Niños
80-100
12
30-40
30
100-120
9
40-50
10
120-140
20
50-60
15
140-160
15
60-70
20
160-180
2
70-80
40
80-90
8
¿En cuál de los grupos la media aritmética es menos representativa? Justifique
su respuesta.
17.-
Las notas del curso A tuvieron una media aritmética de 75 puntos y una
varianza de 225. Las del curso B, tuvieron una media de 70 puntos y una
desviación estándar de 14. Si en ambos cursos las notas se aumentan en 10%,
¿cuál de los dos cursos tiene un CV mayor después de arreglar las notas?
18.-
Se tienen los sueldos correspondientes a los técnicos y profesionales que
laboran en una empresa privada. Se quiere comparar la dispersión existente
entre éstos y para ello se cuenta con la siguiente información:
Sueldos/mes
($)
Nº de técnicos
Sueldos/mes
Nº de
(S/)
Profesionales
200
10
400
5
250
10
500
10
300
10
600
5
¿Se puede afirmar que la dispersión es ligeramente superior en los sueldos de
los técnicos? ¿Por qué?
19.-
Un grupo de 300 alumnos llevan el curso de estadística, distribuidos en cuatro
secciones. Si se sabe que el número de alumnos por sección está en una
progresión aritmética cuya razón es 20 y además se conoce que las notas
promedio de las secciones A, C y D son 12, 14 y 11 mientras que las varianzas
98
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
de los grupos A y C son 16 y 4, y las desviaciones estándar de B y D son 3 y 1
respectivamente. Si la nota promedio en el curso es 12.37, calcular e
interpretar la desviación estándar de las cuatro secciones juntas.
20.-
Una muestra de 70 datos originales da una media de 120 y una desviación
estándar de 6, otra muestra de 30 datos originales da una media de 125 y una
varianza de 25. Se reúne las dos muestras formando una sola, calcular el
coeficiente de variación de esta nueva muestra.
21.-
El número de artículos producidos por dos máquinas durante los últimos meses
ha sido el siguiente:
Nº artic.
Nº meses
Nº artic.
Nº meses
20
3
10-14
2
28
4
15-19
1
35
1
20-24
6
40
2
25-29
2
42
3
30-34
3
¿Cuál de las dos máquinas es más heterogénea en cuanto al número de
artículos producidos?
22.-
Se tiene tres empresa con aproximadamente igual número de trabajadores. El
número de inasistencias registradas durante los últimos seis meses en cada
una de las tres empresas se muestra a continuación:
Empresa:
A
:
3
19
4
5
15
6
B
:
7
8
11
9
14
16
C
:
10
17
12
2
18
13
¿En cuál de estas tres empresas existe mayor variabilidad con respecto al
número de inasistencias?
23.-
Se ha medido el tiempo en segundos que demora en arrancar la última versión
del programa Macrohard Phrase en los ordenadores de nuestra empresa según
99
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
el sistema operativo con el que funcionan. Los resultados han sido los
siguientes:
En los ordenadores equipados con Windows XP:
27
25
50
33
25
86
28
31
36
85
10
29
18
En los ordenadores equipados con Windows Vista:
33
7
25
14
5
31
19
¿A qué conclusión se puede llegar si se toma en cuenta el grado de dispersión
de los dos grupos de ordenadores?
100
Segunda Unidad Didáctica ●
Estadística y Probabilidades
Solucionario de autoevaluación
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y POSICIÓN:
Nº
Respuesta
Nº
Respuesta
1
a) 13.8
15
a) 78.3
b) 13.04
2
3.25
3
10.5
4
a) 27.9
b) 69.6
16
13
21
25
17
a) 93.7
69.75
b) 75.5
66.68
a) 1242.63
b) 25
b) 1150
5
74.04
c) 1417.14
6
50.86
7
a) 16.3
18
a) 64.1
b) 14.4
b) 56
c) 11.6
c) 42.5
d) 12.3
d) 46.36
8
93.84
9
192.30
10
28.57
19
a) 44.17
b) 31
182.30
70.6
77.4
68
61
74
c) 59
d) 31
11
a) A
80.7
20
a) 67
b) 64.72
b) 61
c) 87.2
c) 61.37
d) 47.5
21
a) 16
77
12
120
13
a) 22.5
b) 9.25
b) 25.35
c) 14.22
a) 56.56
d) No 11.08
b) 64
e) 8.25
14
180
62
20
17.43
101
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática
MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS:
Nº
Respuesta
Nº
Respuesta
1
2da.
11
Peso
0.12
2
0.06
a) A
3.84
b) 2.25
4.89
8.25
12
2.87
a) A 18.23
13
A 16.7%
3
No
14
a) 1.25
4
Ramírez
-0.17
104.4
b) 7.57
c) 2.59
7.14%
b) 0.62
4.52
0.005
5
6.01
6
26.62
7
244
80
16
A
-44
20
17
20%
20%
4
1.3
18
16.6%
14.5%
Periodo anterior
19
2.69
15%
20
5.07%
21
A 77.7
22
A
8
9
15
34531.07
15762.71
12%
54.91
18.53
44.3
10
Grupo 2
22.4%
38.5%
23
564.71
24
A
11.24
102
11.9
28.86
43
12.6
33.2
102.54
324