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LÍNEAS EQUIPOTENCIALES Y CAMPO ELÉCTRICO
En esta propuesta experimental se plantea estudiar el campo eléctrico en el interior de un material conductor,
por el cual circulan corrientes estacionarias, para diferentes configuraciones de borde; este experimento se
empleará como analogía de campos electrostáticos.
Consideraciones Teóricas:
Sobre el campo electrostático y el potencial
El campo electrostático en un punto del espacio, está relacionado con las fuerzas eléctricas que se ejercen
 
sobre una carga de prueba q, colocada en ese punto F  E  q .
Por su parte el potencial eléctrico está relacionado con el trabajo necesario para llevar una carga de un punto
a otro debido al campo electrostático.
 

dW
1 
(1)
dV  
  F ( xyz)  dr   E  dr
q
q
O sea que:
Ex  
dV
dV
dV
; Ey  
; Ez  
dx
dy
dz
O lo que es lo mismo:
(2)
 dV 
E   
 dr  máx
(3)
donde esta expresión significa que el módulo de E es igual a la derivada del potencial con respecto al
desplazamiento, en la dirección que esta derivada es máxima.
Además esta dirección, es la dirección del campo E

Esto puede escribirse más formalmente utilizando el “operador nabla  ” (Ver Apéndice 1)
E  V
(4)
La ecuación 4 permite obtener el E (magnitud vectorial) a partir de conocer el potencial V (magnitud
escalar).
Es útil encontrar una superficie equipotencial para determinar la dirección del campo E .
Aplicación:
Muestre teóricamente que E debe ser perpendicular a una superficie equipotencial
La Ley de Gauss relaciona los campos con las cargas y puede expresarse de dos maneras.
En forma integral establece:


qN
 E  dS  
S
(5)
0
aquí la integral es sobre una superficie cerrada y qN es la carga neta en el interior de dicha superficie.
Si se considera un volumen infinitesimal, al límite del flujo por unidad de volumen lo denominaremos
divergencia de E ( divE )

1  
divE  lim  E  dS
V 0 V
S
Y se puede escribir como:
divE 
Ex E y Ez


x
y
z
Entonces la Ley de Gauss se puede expresar:
divE 

0
o usando el operador nabla
.E 

0
(6)
donde  es la densidad volumétrica de carga. Combinado (4) y (6) obtenemos la ecuación de Poisson que
relaciona los potenciales con las densidades de carga:


 2 V  
(7)
0
Cuando la densidad de cargas es nula, o sea en las zonas donde no hay carga neta, esta ecuación se reduce a
la ecuación de Laplace:

(8)
2 V  0
Ahora,¿que relación tiene este campo electrostático con el dispositivo experimental donde hay corrientes
eléctricas, cargas en movimiento. ¿qué tiene que ver el agua con el espacio vacío? ¿El campo en el agua es
electrostático o sus propiedades tienen similitud?
Sobre la cuba con corrientes eléctricas estacionarias
Se utilizará una cubeta con agua como material conductor, donde se
podrán colocar diversos objetos metálicos, cuyos potenciales se podrán
fijar con fuentes de voltaje; de esta forma se establecerán corrientes
 
eléctricas en el agua, cuya intensidad es I   J  dS .
 
Si ahora calculamos el flujo sobre una superficie cerrada  J  dS vemos
S
que representa el balance total de la carga que “sale menos la que entra”
Como la divergencia de la densidad de corriente es

1  
1 d (q int)

divJ  lim  J  dS  lim

V 0 V
V 0 V
dt
t
S
Donde qint es la carga en el interior de S (el signo - en el término de la derecha viene de que el flujo
positivo indica carga saliente, disminución de la carga encerrada por S).
Al conectar la fuente de voltaje los conductores muy rápidamente reorganizan sus cargas de modo que al
cabo de un tiempo muy corto se establecen corrientes eléctricas estacionarias y la carga en un punto
d
 0 y decimos que la carga total se conserva, haciendo que la divergencia
cualquiera deja de cambiar
dt
de J sea nula divJ  0 o .J  0 (ecuación de continuidad).
Teniendo en cuenta que en un medio de conductividad constante E es directamente proporcional a J


J    E (Ley de ohm), si .J  0  .E  0 y entonces como en esta región no hay carga acumulada se

cumple la ecuación de Laplace para el potencial 2 V  0 .
Conclusión: “Si medimos potenciales y campos en el agua, estos responderán al mismo modelo matemático
que los campos electrostáticos en el vacío”
Configuraciones a estudiar
La idea central de estos experimentos consiste en determinar experimentalmente, para una configuración
dada, las superficies equipotenciales (que se verán como líneas equipotenciales, es decir las líneas sobre las
cuales el potencial, medido con un voltímetro, es constante). A partir de éstas, se pueden encontrar las líneas
de campo.
Objetivos.
Cuba con agua
N° 1
Dibujar las equipotenciales
Dibujar el vector campo eléctrico en diferentes puntos.
Verificar que la función potencial satisface la ecuación de Laplace
V
N° 2
Prever teóricamente la relación entre el campo y el radio
Verificar experimentalmente la relación anterior.
Cuba con agua
V
Apéndice 1
OPERADOR NABLA 
Es un operador diferencial representado por el símbolo  (nabla).
En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:
i



 j k
x
y
z
Aplicaciones del operador nabla 
Este operador puede aplicarse a campos escalares () o a campos vectoriales E , dando:
• Gradiente:   (es un vector)
• Divergencia: .E (es un escalar)
• Rotacional:  E (es un vector)

 
• Laplaciano:  2    () (es un escalar)
Definición intrínseca
Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee.
Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:


1
  A  lim  A  dS
V 0 V
S
En la expresión anterior  representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial) y A es un campo
escalar, vectorial o tensorial. V es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto. De esta
forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin
nombre propio
Bibliografía
http://www.sc.ehu.es/sqwpolim/FISICAII/Tema2.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Nabla
Física re-Creativa - S. Gil y E. Rodríguez www.fisicarecreativa.com/