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LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
ANTECEDENTES A LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
La naturaleza de la variación
de la fuerza con el inverso del
cuadrado de la distancia la
dedujo Newton de las leyes de
Kepler sobre el movimiento
planetario y de la dinámica del
movimiento circular uniforme.
Tenía un buen conocimiento
de los descubrimientos que
otros científicos, anteriores a
él, habían conseguido:
Copérnico, Kepler, Galileo,…
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
En la deducción de la LGU, Newton utilizó 3 ideas básicas:
A) LA TERCERA LEY DE KEPLER
B) LA DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. EN SU
ÉPOCA YA SE CONOCÍA EL CONCEPTO DE ACELERACIÓN
CENTRÍPETA Y SU RELACIÓN CON LA VELOCIDAD Y EL RADIO DE
CURVATURA.
C) EL VALOR DEL PERÍODO DE ROTACIÓN DE UN ASTRO EN DAR
UNA VUELTA COMPLETA ALREDEDOR DE UN CUERPO CENTRAL
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
A) LA TERCERA LEY DE KEPLER DICE:
“el cuadrado del período de rotación de un
planeta alrededor del Sol es proporcional al
cubo del semieje mayor de la elipse”
T2 = k a3
a
Si suponemos un movimiento circular, el semieje se convierte en el radio de
la circunferencia.
T2
=k
r3
r
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
B) La dinámica del movimiento circular uniforme que nos dice que en una
trayectoria circular la fuerza es igual al producto de la masa por la
aceleración centrípeta.
m
(r  h) 2  r 2  (vt) 2
s=vt
h
r 2  h 2  2 r h  r 2  v 2t 2
r
r
M
1 v2 2
h  ( )t
2 r
v2
ac 
r
v2
F  mac  m
r
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
C) El período de un astro ( p. e. : la luna) en dar una vuelta completa
alrededor de un cuerpo central (p. e.: la Tierra) es:
v
s 2r
v 
t
T
m
2r
T
v
F
Combinando lo anterior, tenemos para la fuerza
ejercida por la Tierra sobre la Luna:
v2
F  mac  m  m
r
4 2 r 2
2
3
r
r
1
1
2
T  4 m
 4 m 2  2  K  m  2
2
r
T r
T r
r
2
2
1
F  K m 2
r
La fuerza es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia.
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
la Luna hará una fuerza igual y opuesta sobre la Tierra
1
F´ K ´M  2
r
siendo M la masa de la Tierra y K´ una constante de proporcionalidad.
Por la 3ª ley de la Dinámica (acción-reacción) F = F´
1
1
K  m  2  k `M  2
r
r
K  m  k `M 
K K`

G
M m
Despejando y sustituyendo K
1
1
F  K m 2  GM m 2
r
r
La ecuación puesta en forma vectorial es:
M m
F G 2
r

M m 
F  G
r
2
r
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Newton calculó el valor de la relación entre la
aceleración centrípeta de la Luna (ac) y el valor de
g en la superficie de la Tierra obtenidos a partir de
los datos experimentales
ac
ac
g
g
Experimental
Teórico
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Cálculo experimental de la aceleración centrípeta de la Luna:
2
(60  rT )
v2
r
2 r
2 (60  6370000  m)
3 m
ac   4 2  4 2 2   4 2

4




2
.
72

10
r
(27,3  24  3600  s)
T r
T
T2
s2
Relación experimental
ac 2,72 10 3

 2.78 10 4
g
9,8
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Comparación de los valores de ac de la Luna y g para un objeto en la
superficie de la Tierra, aplicando la LGU
G
M m
 mac
2
r
M  mz
G
 mz  g
2
rT
GM 
2
ac
rT 2
r

( )
g GM 
r
rT2
Teórico
ac
rT 2
1 2
(
) ( ) ;
g
60  rT
60
ac
1

2.77 10 4
g 3600
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Consecuencias de la Ley de la Gravitación Universal
 Se obtiene una justificación de las leyes de Kepler
 Se podrán determinar masas de cuerpos celestes.
 Se harán predicciones de existencia de nuevos planetas
 Se dará una justificación al fenómeno de las mareas
 Se harán determinaciones del movimiento de cuerpos celestes:
planetas, cometas, satélites;
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
FÍSICA
FÍSICA
FÍSICA
FÍSICA
ANTIGUA
RENACENTISTA
NEWTONIAN
A
MODERNA
MOVIMIENTOS
TEORÍAS
DINÁMICA
LEYES
DE LA
TEORÍA
TERRESTRES
DE
DE
DINÁMICA
DE LA
ARISTÓTELES
….
GALILEO....
Y
RELATIVIDAD
LEY
GENERAL
MOVIMIENTOS
MODELO
GEOCÉNTRICO
MODELO
HELIOCÉNTRICO
DE LA
GRAVITACIÓN
CELESTES
UNIVERSAL.
CARACTERÍSTICAS DE LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA
•
•
•
•
•
•
•
ES UNIVERSAL
SIEMPRE ATRACTIVA
NO TIENE EFECTO DE PANTALLA
ALCANCE INFINITO ( 1/R2)
MUY DÉBIL ( G = 6,67 · 10 -11 N m2 / kg2)
VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN FINITA
PARTÍCULA MEDIADORA: GRAVITÓN
MOMENTO ANGULAR
m

v4

r1

v1

r2
M
m

r4

r3

v2
m

v3
m

L
MOMENTO ANGULAR


p  mv
M

v
r
 
  
L  r m v  r  p
L  r m v  r m  r  m r 2
L  I
m
MOMENTO ANGULAR. LEY DE CONSERVACIÓN.

L


p mv



 dr
  d mv
dL d 

( r m v) 
mv  r 
dt dt
dt
dt


 
dL
 rF  M
dt
L  I
MOMENTO ANGULAR. LEY DE CONSERVACIÓN.



 
dL
L
dt
 rF  M


p mv



dL
Si
 M  0  L  Cte
dt
MOMENTO ANGULAR. LEY DE CONSERVACIÓN.

Si se mantiene constante el módulo de L

L
r  dr
d
r
dr



d
r

d
r


 
 dr
L  r m v  m r  v  m r 
m
dt
dt


L d r dr

m
dt
r d
MOMENTO ANGULAR. LEY DE CONSERVACIÓN.
Ley de las áreas

L
r  dr
d
r
El área barrida por el radio vector será:
La velocidad areolar:

dS 1 d 

r  dr
dt 2 dt
dr
r d

1 
dS 
r  dr
2
MOMENTO ANGULAR. LEY DE CONSERVACIÓN.

L
r  dr
d
r

dS 1 d 

r  dr
dt 2 dt
L

m


d r dr
dt
dS
L

dt 2 m
dr
r d
MOMENTO ANGULAR. LEY DE CONSERVACIÓN.
d
r
dS
2
r
1
dS 
1
1
r · r sen d  r 2 ·d
2
2
dS 1 2 d
 r ·
dt
2
dt
r d  r sen d
d
L rmv r m r  m r
dt
2
dS 1 L

dt
2 m
Aplicaciones de la LGU
Justificación de la 3ª ley de Kepler

F  m ac
F
GM m
( r )

m
r2
r
GM m
m
2
r
 4 2 
 2  r
 T 
GM m
v2
m
2
r
r
2
GM m
 2 r2
m
2
r
r
GM
r3
 2
2
4
T