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Física y Química 1º de Bachillerato
Tema 11
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA
1. TRABAJO
Si consideramos diversos tipos de trabajos, (carpintero, albañil, labrador etc.),
vemos que el rasgo común en ellos es la transformación de la materia mediante la
aplicación de fuerzas.
El trabajo producido por una fuerza al actuar sobre un cuerpo, será mayor cuanto
mayor sea el desplazamiento producido y cuanto mayor sea la fuerza aplicada.
Si para una misma fuerza, el desplazamiento s   w 
Si para el mismo desplazamiento, la fuerza
F   w
El trabajo w realizado por una fuerza constante F, cuando actúa sobre un
cuerpo y lo desplaza una distancia s, en su misma dirección y sentido, es igual al
producto de la fuerza por el desplazamiento realizado.
w = F · s
Julios (J)
N
m
En el S. I . su unidad es el Julio (J).
F
F
s
Si la dirección de la fuerza forma un ángulo con el desplazamiento, entonces
sólo realiza trabajo la componente de la fuerza que coincide con la dirección del
desplazamiento, y el trabajo es:
Fy
F
w = F x · s

Fx
w = F · s · cos
Cuando la fuerza que actúa sobre el cuerpo, tiene sentido opuesto al del
movimiento de éste, el trabajo realizado es negativo.
El trabajo se puede expresar también como el producto escalar de los vectores
fuerza y desplazamiento:
 
w = F  r
Energía/
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Si representamos gráficamente la fuerza frente al desplazamiento, el trabajo
coincide numéricamente con el área sombrada de la figura:
F(N)
Trabajo realizado por una fuerza constante al desplazarse desde
s0 hasta s.
w = Área = F · s
0
s0
s
s
s (m)
Si se trata de una fuerza variable, como ocurre por ejemplo con la que ejerce un
muelle cuando se deforma, el trabajo coincide numéricamente con el área de la
superficie limitada por la función, el eje de abcisas y las ordenadas correspondientes a
las posiciones inicial y final.
F (N)
0
s0
s
En este caso, si conocemos como varía la fuerza en función de la posición, el
trabajo se puede calcular mediante un proceso matemático llamado integración, que se
verá en un curso posterior.
Ejercicio (1): Un cuerpo se desplaza desde el punto A(-2,1) m, hasta el B(4,3) m. Sobre
él actúa una fuerza constante F = 3i – 5j N. ¿Qué trabajo realiza la fuerza F en el
citado desplazamiento?
Ejercicio (2): Un bloque de masa m = 5 kg es arrastrado sobre una superficie plana y
horizontal tirando de él por medio de una cuerda, que ejerce una fuerza F paralela a la
superficie de 40 N. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y la superficie
es 0,5. Calcula el trabajo que realizan las siguientes fuerzas cuando el cuerpo se
desplaza 8 m. a) La fuerza peso b) La fuerza F. c) La fuerza de rozamiento.
( Tomar g = 10 m /s2).
Ejercicio (3): Calcula el trabajo realizado por un hombre que levanta mediante una
polea y con velocidad constante una carga de 50 kg hasta una altura de 18 m. ¿Qué
trabajo realiza la fuerza peso?
Energía/
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2. ENERGÍA
Ejercicio (4): Poned distintos ejemplos de sistemas (objetos o conjuntos de objetos)
que tengan energía y explicad a qué es debido que la tengan.
Podemos definir la energía como la capacidad que tiene un sistema para realizar
trabajo. Se mide en Julios (J).
2.1. Relación entre trabajo y energía:
Consideremos un hombre que sube mediante una polea un cuerpo hasta cierta
altura.
¿Podría realizar este proceso indefinidamente ?, evidentemente no, pues el hombre
consume parte de su energía que deberá reponer mediante la alimentación. En cambio el
cuerpo levantado ha adquirido energía pues al caer podría realizar un trabajo. Es decir,
el hombre ha perdido una energía al realizar un trabajo, y ésta la ha ganado el cuerpo
que el hombre ha levantado.
La energía que el cuerpo adquiere al elevarlo coincide con el trabajo que el
hombre realizó sobre el mismo.
Ejemplos como éste nos llevan a decir que la variación de energía que
experimenta un sistema es igual al trabajo realizado sobre él por fuerzas exteriores.
wext = E = E f – E0
Como indica la ecuación anterior, el trabajo será positivo cuando aumente la
energía del sistema y negativo si produce una disminución de la energía del sistema.
2.2. Formas de energía:
Aún cuando a la energía se le suele calificar de diferentes maneras, energía
eléctrica, química, solar, nuclear etc, de hecho sólo puede hablarse de dos formas de
energía: La energía del movimiento o cinética y la energía que un sistema posee "en
potencia" o energía potencial, que está asociada a la posición de sus partículas y a las
fuerzas que actúan entre las partículas del sistema.
El agua de un embalse antes de empezar a caer tiene energía, en este caso es el
sistema formado por el agua y la Tierra el que tiene energía porque dentro de él existen
fuerzas de atracción gravitatoria que hacen que una distinta separación , distinta altura
del embalse, permita una distinta capacidad para realizar transformaciones. (Energía
potencial gravitatoria).
Al estirar o comprimir un muelle aparecen fuerzas que varían su energía
potencial elástica.
Si tenemos dos cuerpos cargados eléctricamente (supongamos que los dos son
positivos) se ejercerán una fuerza eléctrica de repulsión que depende de la distancia y
Energía/
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por tanto al variar la separación entre ellos variará su capacidad para realizar
transformaciones, en este caso su energía potencial eléctrica.
A las fuerzas que son la causa de la energía potencial se las llama fuerzas
conservativas, estas son fuerzas internas del sistema y gracias a ellas se puede
conservar o almacenar la energía del sistema y nos devuelven el trabajo que se realiza
para vencerlas.
En el ejemplo del hombre que eleva la carga mediante la polea, el trabajo
realizado por la fuerza peso es igual y de signo contrario al aumento de energía
potencial del sistema.
Las fuerzas conservativas presentan las siguientes características:
1. - Las fuerzas conservativas devuelven íntegramente el trabajo que se realiza
para vencerlas.
2. – Cuando el cuerpo sobre el que actúa una fuerza conservativa se desplaza
entre dos posiciones, 1 y 2, el trabajo que realiza dicha fuerza es independiente
de la trayectoria que describe el cuerpo, sólo depende de las posiciones final e
inicial.
3. – Una fuerza conservativa no realiza trabajo si el cuerpo sobre el que actúa
describe una trayectoria cerrada, volviendo a su posición inicial.
4. - El trabajo realizado por las fuerzas conservativas (interiores) de un sistema
es igual a la disminución de la energía potencial de éste.
w cons. = - E p
Son fuerzas conservativas: las fuerzas elásticas, las fuerzas centrales (fuerzas
gravitatorias y fuerzas eléctricas).
No todas las fuerzas son conservativas, así las fuerzas de rozamiento son no
conservativas, porque realizan trabajo y disipan energía del sistema.
2.3. Principio de Conservación de la Energía
La energía puede pasar de unas formas a otras, pero “en un sistema aislado, la
energía no se puede crear ni destruir, sólo transformarse o transmitirse de unos
cuerpos a otros, de manera que la energía total permanece constante.”
2.4. Energía cinética:
Es la energía que posee un cuerpo a causa de su movimiento. Depende de la
masa del cuerpo y de su velocidad.
Energía/
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La podemos calcular como el trabajo que habría que realizar sobre un cuerpo de
masa m que inicialmente está en reposo, para que adquiera una velocidad v.
Como inicialmente está en reposo, la energía cinética inicial es cero: Ec0 = 0 J.
El trabajo es la variación de la energía cinética:
w = E cf – E c0
El trabajo es:
w = F ·  s ; F = m ·a ;  s = v0 · t + 1/2·(a · (t)2) ; v = v0 + a ·t ;
como v0 = 0 m /s queda:  s = 1/2(a ·(t)2) y v = a · t
sustituyendo: w = m · a ·1/2(a · (t)2) = 1/2m · a2 ·  t2 = 1/2(m · v2) = E c f ;
E
E cf =
1
 m · v2
2
Si la velocidad inicial
es distinta de cero:
w = E cf – E c0 =
1
1
mv 2f  mv02
2
2
(Teorema de las fuerzas vivas)
Ejercicio(9): Un coche de 1000 kg que se mueve a 108Km/h frena y su velocidad
disminuye a 18Km/h. Calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza de frenado. b) Si la
distancia recorrida mientras frena es de 50m calcula la fuerza de frenado.
Ejercicio(10):
Una bala de 40g choca horizontalmente contra una tabla con una
velocidad de 300 m /s, y se incrusta en ella una profundidad de 6 cm. Calcular la
fuerza, supuesta constante, que opone la madera a la penetración de la bala.
2.5. Energía potencial gravitatoria:
Es la energía que posee un cuerpo por ocupar una posición en un campo
gravitatorio. ( Por estar situado a cierta altura sobre la superficie terrestre).
Hemos visto que las fuerzas responsables de la energía potencial de un sistema
son las fuerzas interiores del sistema, es decir las fuerzas conservativas, en nuestro
caso la fuerza peso.
El trabajo realizado por el peso es igual a la disminución de la energía potencial:
w p = - E = - ( E pf - E p0 ) = E p0 - E pf
Energía/
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Imaginemos un cuerpo de masa m a una altura h sobre el suelo. En esa posición
tendrá cierta energía potencial gravitatoria. Si dejamos caer el cuerpo, al llegar al suelo
su energía potencial será nula y el trabajo realizado por el peso mientras el cuerpo cae
será igual a la energía potencial que poseía inicialmente. Como el peso es P = m · g y
el desplazamiento es la altura h , la energía potencial a una altura h será :
Ep=m·g·h
2.6. Energía potencial elástica
Cuando se ejerce una fuerza sobre un muelle, éste se deforma y aparecen fuerzas
que hacen que aumente su capacidad para producir transformaciones, es decir aumenta
su energía potencial.
La energía potencial elástica la podemos calcular como el trabajo que hacen las
fuerzas internas para recuperar la posición inicial del muelle. La fuerza restitutora del
muelle es conservativa y como vimos al principio del tema el módulo de la fuerza es
directamente proporcional a la deformación:
F = K · x
Como vemos no es una fuerza constante, sino que varía con la distancia, por lo
tanto el trabajo lo podemos calcular como el área limitada por la función representativa
de la fuerza frente a la posición, el eje de abscisas y las posiciones inicial y final, si
tomamos como posición inicial x0 = 0, la gráfica de la fuerza frente a la distancia queda
como la de la figura:
F (N)
F=k·x
0
x
El trabajo es igual al área sombreada de la figura, ésta es el área de un triángulo:
1
k  x2
2
Como el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a la disminución
de la energía potencial, si consideramos que la energía potencial en la posición de
equilibrio es igual a cero nos queda:
0J
1
w cons = - E p = E p0 - E pf =  k  x 2
2
w=A=
Energía/
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Es decir la energía potencial del muelle cuando está comprimido o estirado una
distancia “x” , es:
E P (elástica) =
1
k  x2
2
2.7. Energía mecánica
Se entiende por energía mecánica la energía del movimiento mecánico y de la
interacción de los cuerpos. Esta energía es la suma de la energía cinética y de la energía
potencial.
EM = E c + E p
EM = E c + E p (gravitatoria) + E p (elástica)
2. 8. Conservación de la energía mecánica
Hemos visto que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la
disminución de la energía potencial. Si esta fuerza es la única que actúa o si es la única
que realiza trabajo sobre la partícula, el trabajo realizado por la fuerza es también igual
al incremento de la energía cinética, así, si dejamos caer un cuerpo, prescindiendo de
las fuerzas de rozamiento del aire, durante la caída la única fuerza que actúa es el peso
que es una fuerza conservativa, ésta disminuye la energía potencial pero también hace
que aumente la energía cinética, pues al caer disminuye la altura pero aumenta la
velocidad.
wcon = -Ep = +Ec por tanto Ep +Ec = 0 ;
EpF - Ep0 + EcF - Ec0 = 0 ; EcF + EpF = Ec0 + Ep0 ; EM0 = EMF
Si no se realiza trabajo exterior sobre el sistema (un sistema aislado), éste podrá
sufrir modificaciones, pero su energía mecánica no cambiará.
Si w ext = 0  EM = 0
EM0 = EMF
E co + E po = E cf + E pf
Principio de conservación de la energía mecánica: “la energía de un sistema
aislado, en el que sólo intervienen fuerzas conservativas, permanece constante”.
(La energía de un sistema aislado que evoluciona bajo la acción de fuerzas
conservativas, permanece constante).
Energía/
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Ejercicio (11): Se lanza un cuerpo de 5 kg con una rapidez de 3 m /s por un plano
inclinado 30 º. ¿Qué altura máxima alcanzará? ¿Qué distancia recorre sobre el
plano?(Considerar despreciable el rozamiento).
Ejercicio (12): Desde 2 m de altura dejamos caer una bola de 100 g sobre un resorte
que se comprime 5 cm. Calcula: a) La constante elástica del resorte. b) La velocidad
con la que saldrá despedida la bola cuando el resorte se distienda.
h=2m
2.9. Trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento
Cuando sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas se conserva la energía
mecánica; pero si realiza trabajo alguna fuerza no conservativa, la energía mecánica
varía.
El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía
mecánica:
wext = EM = EMF - EM0
Si las fuerzas exteriores realizan un trabajo positivo sobre el cuerpo, su energía
mecánica aumenta. Pero si realizan un trabajo negativo (como en el caso de las fuerza
de rozamiento) su energía mecánica disminuye.
w Roz = EM ; FRoz ·s · cos180 = EMF - EM0
- FRoz ·s = EMF - EM0 ; EM0 = EMF + FRoz ·s
EM0 = EMF + FRoz ·s
E co + E po = E cf + E pf + FRoz ·s
Ejercicio (13): Se lanza un bloque por una superficie horizontal con una rapidez de 15
m /s. Calcula que distancia recorrerá hasta pararse si en el coeficiente de rozamiento
entre el bloque y la superficie es de 0,4.
Energía/
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Ejercicio (14): Desde lo alto de la rampa cuyas dimensiones son las de la figura se
deja caer un cuerpo de 4 kg de masa. Calcula la velocidad con la que llega a la base
del plano si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,25.
10 m
6m
Ejercicio (15): Se lanza un bloque de 2 kg con una rapidez de 3 m /s, desde la base de
un plano inclinado 30 º, el coeficiente de rozamiento es 0,3. Calcula la altura a la que
asciende.
3. POTENCIA
Nos indica la rapidez con la que una fuerza realiza un trabajo.
Si para el mismo tiempo, el trabajo realizado w  P
Si para realizar el mismo trabajo, el tiempo t  P 
La expresión que relaciona la potencia con el trabajo y el tiempo es:
P
J/s=W(vatio)
w
t
s
En el S.I. la unidad de potencia es el vatio(W).
Otras unidades son: El kilovatio ( k W ) , 1kW = 1000 W
El caballo de vapor ( C. V.) , 1 C. V. = 736 W
Como w = F · s,
constante,
s/ t = v, entonces :
P = F · s / t, si la fuerza se desplaza a velocidad
P=F·v
Es frecuente, en la vida cotidiana, utilizar como medida de energía el kilovatiohora, kWh:
1 kWh = 1kw · 1h = 1000 W·3600s = 3,6·106
Ejercicio (16): Un hombre tarda media hora en cargar un camión, elevando hasta una
altura de un metro 15 sacos de 80 Kg cada uno. Calcular la potencia desarrollada.
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Ejercicio (17): Calcula los kWh que consume en 8 h una estufa cuya potencia es de
2000 W. Expresa el resultado en MJ. ¿Cuánto costará mantenerla las 8 h si el kWh está
a 0,09 €.
3.1. Rendimiento ()
El rendimiento de un proceso es el cociente entre la energía útil y la energía total
consumida, o bien entre la potencia útil y la potencia total suministrada.
=
Pu
PT
o bien P u = · PT
Ejercicio (18): ¿Cuantos litros de agua podrá elevar un motor de 2 C.V., hasta una
altura de 12 m en 20 minutos, si el proceso tiene un rendimiento del 78 % ?
Ejercicio (19): Un montacargas de masa 450 kg tiene que subir hasta una altura de 12
m en 30 s. Calcula la potencia que debe tener el motor si se estima que el rendimiento
de la instalación será del 60 % .
Ejercicios:
Ejercicio (1): Un cuerpo de 5 kg de masa, se mueve sobre un plano horizontal por
acción de una fuerza de 30 N, que se aplica al cuerpo formando un ángulo de 30 º con
la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2. Calcula la velocidad del cuerpo
después de 10 s de haber sido aplicada la fuerza y el trabajo de la fuerza de fricción
durante ese tiempo.
Ejercicio (2): Por un plano inclinado 30 º se sube un cuerpo de masa m = 120 kg,
deslizándolo con movimiento uniforme mediante una fuerza F paralela al plano. El
coeficiente de rozamiento entre dicho cuerpo y el plano es 0,3. Calcula el trabajo
realizado por la fuerza F cuando el cuerpo recorre 10 m sobre el plano.
Ejercicio (3): Calcula el trabajo realizado por la fuerza F = 30i – 20j (N) cuando su
punto de aplicación se desplaza desde el punto A(-6,2) al B(4,10) m.
Ejercicio (4): Desde el suelo se lanza oblicuamente hacia arriba un cuerpo de masa m
con una velocidad de 25 m /s. Suponiendo despreciable la resistencia del aire, aplica la
conservación de la energía mecánica para calcular su velocidad en el punto más alto
de la trayectoria, si éste se halla a 2,5 m de altura.
Ejercicio (5): ¿Con qué velocidad inicial se ha de lanzar un cuerpo verticalmente
hacia arriba desde una altura de 5 m para que su velocidad al llegar al suelo sea de
18 m /s? ¿Y si se lanza verticalmente hacia abajo?¿ Y horizontalmente?
Ejercicio (6): Un proyectil de 100 g atraviesa horizontalmente una pared de madera de
40 cm de espesor. Sabiendo que la rapidez del proyectil al llegar a la pared era de 400
m /s y que al salir es de 150 m /s, determinad el valor de la fuerza, supuesta constante,
que ejerce la madera sobre el proyectil mientras atraviesa la pared.
Energía/ 10
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Ejercicio(7): dado el esquema de la figura, determinad la máxima compresión del
muelle, cuya constante elástica es de 20 N /m, cuando el cuerpo impacte sobre el
mismo. a) En ausencia de rozamiento. b) Si el coeficiente de rozamiento en el tramo AB
es 0,2 y en el tramo horizontal se considera despreciable.
A m = 1 kg
1m
30 º
B
Ejercicio (8):
Un cuerpo de 40 kg que esta a 30 m de altura lleva una velocidad de
15 m /s, qué energía hay que suministrarle si queremos que ascienda hasta una altura
de 90 m y se mueva con una velocidad de 12 m /s.
Ejercicio (9):
Desde lo alto de la rampa de la figura se deja caer un cuerpo de 3 kg. El
coeficiente de rozamiento entre plano y el cuerpo es 0,4. ¿Con qué velocidad llega al
suelo?
5m
37º
Ejercicio (10):
Un cuerpo desliza primero a lo largo de un plano inclinado 30 º y luego
continúa moviéndose sobre un plano horizontal. Determinar el coeficiente dinámico de
rozamiento, si se sabe que el cuerpo recorre en el plano horizontal la misma distancia
que en el plano inclinado.
Cuestiones y ejercicios:
1) ¿Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo?¿Por qué? ¿Y la energía
potencial?¿Por qué? ¿ Y la energía mecánica? ¿Por qué?
2) Decid si es cierta la siguiente afirmación y por qué: “sólo las fuerzas conservativas
realizan trabajo”.
3) a)¿Puede un cuerpo desplazarse y realizar un trabajo nulo?¿Por qué? b) Explica
por qué el trabajo que hace la fuerza de rozamiento es siempre negativo.
Energía/ 11
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4) ¿De qué forma puede conseguirse que sobre un cuerpo en movimiento actúe una
fuerza sin que se modifique su energía cinética?.
5) Principio de conservación de la energía mecánica. Decir claramente en qué
condiciones se cumple este principio.
6) Desde la base de una rampa que forma 40 º con la horizontal, se lanza un bloque de
10 kg a lo largo de ésta con velocidad de 12 m /s. El coeficiente de rozamiento entre el
plano y el bloque es  = 0,2. Calcula qué distancia recorre el bloque sobre el plano.
¿Con qué velocidad regresa a la base del plano? Resuelve el ejercicio por
consideraciones energéticas.
7) Un bloque comienza a desplazarse con una velocidad de 7 m /s sobre una superficie
horizontal rugosa, el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es  =
0,3.
Después de recorrer 2 m encuentra una rampa inclinada 40º respecto a la horizontal y
con el mismo coeficiente de rozamiento anterior. Hallar: a) La velocidad del cuerpo
cuando alcanza la base del plano. b) Distancia que recorrerá sobre la rampa antes de
quedar momentáneamente en reposo.
8) Un cuerpo de 4 kg que se mueve a 6 m /s sobre una superficie horizontal sin
rozamiento, choca contra un muelle de constante elástica K = 900 N /m. Calcula: a) la
deformación máxima experimentada por el muelle. b) La velocidad del cuerpo cuando
el muelle se halla comprimido 10 cm.
9) Desde una altura de 4 m se deja caer un cuerpo de 200 g sobre un resorte cuya
constante elástica es de 1200 N /m , Calcula la deformación que experimenta el resorte.
10) En el sistema de la figura en donde el coeficiente de rozamiento es  = 0,2 y la
constante elástica del resorte es K = 900 N /m. Calcula la la distancia que se comprime
el resorte.
v0 = 8 m/s
2m
11) Calcula la potencia de un hornillo eléctrico que tarda 15 minutos en calentar 2,5
kg de agua desde 12 ºC hasta 80 ºC , si sabemos sólo se aprovecha el 85 % de la
energía producida.(1,5) ¿Cuánto cuesta calentar el agua si está a 0,08 € el kW·h? (0,5)
Calor específico del agua 4180 J/ kgK
12) Calcula el rendimiento de un calentador eléctrico cuya potencia es 1500 W, si
sabemos que tarda 3 h en calentar 50kg de agua desde 20 ºC hasta 80 ºC.
ce(agua) = 4180 J/ kg· K (1)
¿Cuánto costaría calentar los 50 kg si el kW·h está a 0,08 €? (0,5)
Energía/ 12
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EJERCICIOS DE REPASO
1) a) Enuncia y demuestra el principio de conservación de la energía mecánica.
b) ¿Qué relación existe entre el trabajo realizado por una fuerza conservativa y la
energía potencial?



2) Calcula el trabajo realizado por la fuerza F  5 i  9 j N cuando su punto de
aplicación se desplaza desde el punto A (-5, 3) al B (-3, -8) m.
3) Desde la base del plano inclinado de la figura se lanza hacia arriba y paralelamente
al plano un cuerpo de 2 kg con velocidad de 5 m/ s. Si el coeficiente de rozamiento
entre el plano y el cuerpo es =0,4 calcula: a) La distancia que recorre el cuerpo sobre
el plano hasta que se para. b) El trabajo disipado por la fuerza de rozamiento.
Resuelve este ejercicio por consideraciones energéticas.
15m
9m
4) Un muelle se alarga 2cm al colgar de él una pesa de 500 g. Colocamos el resorte
sobre el suelo y dejamos caer sobre él la pesa de 500 g, desde una altura de 1m medida
desde la parte más alta del resorte. Calcula: a) La constante elástica del resorte.
b) La máxima deformación que experimenta el resorte.
h=1m
5) Un cuerpo de 5kg de masa comienza a moverse sobre un plano horizontal por
acción de una fuerza de 30N que se aplica al cuerpo formando un ángulo de 30º con la
horizontal.
El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es de 0,4.
Calcula:
a) La aceleración.
b) El desplazamiento realizado por el cuerpo a los 10s de haber sido aplicada la
fuerza.
c) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
d) ¿Qué fuerza o fuerzas no realizan trabajo?¿por qué?
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