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Potencia
Circuitos Eléctricos 2
Potencia instantánea
La potencia instantánea se define como:
p(t) = v(t) i(t)
Para una resistencia es:
p(t) = v(t) i(t) = i2(t)R = v2(t)/R
Para una bobina:
t
di (t ) 1
p(t )  v(t )i (t )  Li (t )
 v(t )  v(t ' )dt '

dt
L
Para un capacitor:
p(t )  v(t )i (t )  Cv(t )
t
dv(t ) 1
 i (t )  i (t ' )dt '

dt
C
Potencia en el circuito RL
i (t ) 


V0
1  e  Rt L u (t )
R




V02
p(t )  i(t )v(t ) 
1  e  Rt L u (t )
R
2
V02
pR (t )  i (t ) R 
1  e  Rt L u (t )
R
2


V02  Rt L
pL (t )  vL (t )i(t ) 
e
1  e  Rt L u (t )
R
Potencia de excitación senoidal
La respuesta al estado senoidal es:
i(t) = Im cos (t – )
Im 
Vm
R 2  2 L2
   tan 1
L
R
p(t )  i(t )v(t )  Vm I m cos(t  ) cos t
Usando
cos  cos   12 cos    12 cos  
Vm I m
cos(2t  )  cos 
2
V I
V I
 m m cos   m m cos( 2t  )
2
2
p(t ) 
Potencia promedio
Ejemplo en Matlab
Voltaje
corriente
potencia
%Potencia instantanea
% senoidal en un circuito RL
w = 1000;
Vm = 1;
R = 50;
L = 100e-3;
Im = Vm/sqrt(R*R+w*w*L*L);
fi = -atan(w*L/R);
t = 0:0.00005:0.01;
i = Im*cos(w*t+fi);
v = Vm*cos(w*t);
p = v.*i;
plot(t,v,t,i*100,t,p*100)
grid
Factor de escala
Potencia promedio = (1)(0.0089)(cos(–1.107)) = 0.002
Ejemplo
Una fuente de tensión de 40 + 60 u(t) un capacitor de 5 mF y un resistor de
200 están en serie. Determine la potencia que absorbe el resistor y el capacitor
en t = 1.2 ms.
vC(0–) = vC(0+) = 40 V
La potencia en C es
vR(0+) = 60 V
i(t)vC(t)
por tanto
es fácil ver que
i(0+) = 60/200 = 300 mA
vC(t) = 100 – 60e– t /t V
i está dada por
vC(1.2m) = 100 – 60e–1.2 V
i(t) = 300e– t /t mA
= 81.93 V
t = RC = 1 ms
la potencia es
en t = 1.2 ms i = 90.36 mA
(90.36)(81.93) = 7.403 W
la potencia en R es
pR(1.2m) = i2R = 1.633 W
Tarea #14
Una fuente de corriente de 12 cos(2000t) A, un resistor de
200 W y un inductor de 0.2 H, están en paralelo. En t = 1ms
determine la potencia que absorbe el resistor, el inductor y la
fuente senoidal.
13.98 kW, –5.63 kW, –8.35 kW
Potencia promedio o activa
La potencia promedio se define como
t2
1
P
p t dt
t 2  t1 t1
Para una función periódica
p(t)
f(t) = f(t + T)
1
P
T

t x T
tx
p t dt
t
t1 tx
t1 + T
tx + T
Potencia promedio o activa
Podemos calcular la potencia promedio como
1
P
nT

t x  nT
tx
pt dt
Si n se hace muy grande y con un intervalo simétrico
1
P  lim
n  nT

nT / 2
 nT / 2
pt dt
Ejemplo
i(t)
Im
–T
T
2T
i(t) = Im t/T
0<t<T
i(t) = Im (t – T)/T
T<t<2T
t
p(t)
p(t) = Im2 Rt2/T2
p(t) = Im2R (t – T)2/T2 T<t<2T
Im2R
–T
0<t<T
P = Im2R/3
T
2T
t
Potencia en estado senoidal
Para el estado senoidal
v(t) = Vm cos(t + q)
i(t) = Im cos(t + )
p(t) = Im Vm cos(wt + q) cos(t + )
p(t) = ½Im Vm cos(q  )+½Im Vm cos(2t +   q)
La potencia promedio es:
P = ½Im Vm cos(q  )
Ejemplo
Dada la tensión en el domino del tiempo v = 4cos(pt/6) V,
determine la potencia promedio y una expresión para la
potencia instantánea que se produce cuando la tensión fasorial
correspondiente a V = 4/_0° V se aplica a través de una
impedancia Z = 2/_60° W.
Ejemplo
v(t) = 4cos(pt/6) V
Voltaje
Z = 2 60° Ohm
i(t) = 2 cos(pt/6–60°) A
P = ½(4)(2)cos(60) = 2 W
p(t) = 8 cos(pt/6) cos(pt/6–60°)
=2 + 4 cos(pt/3–60°) W
corriente
potencia
Tarea #15
Dada la tensión fasorial V = 115245° V en una
impedancia Z = 16.2619.3° W, obtenga una expresión para
la potencia instantánea y calcule la potencia promedio
(activa) si  = 50 rad/s.
767.5 + 813.2 cos(50t + 70.7°)W; 767.5 W
Potencia promedio absorbida por un
resistor ideal
En este caso la diferencia de fase es cero, de modo que:
P = ½Im Vm cos(0) = ½Im Vm
2
V
PR  12 I R  m
2R
2
m
Potencia promedio absorbida por
elementos puramente reactivos
En este caso la diferencia de fase es 90° de modo que:
P = ½Im Vm cos(90°) = 0
La potencia promedio entregada a una red formada solo
de inductores y capacitores es cero.
Ejemplo
Encuentre la potencia promedio
(activa) entregada a cada uno de
los elementos pasivos.
%
%
%
%
%
+---ZL---+----ZC---+
|
|
|
V1
R
V2
|
|
|
+--------+---------+
Potencia promedio en la resistencia = 0.037576
Potencia suministrada por V1 = 0.042007
Potencia suministrada por V2 = -0.004431
Suma = 0.037576
ZL = 45j;
ZC = -100j;
R = 2;
V1 = 10*(cos(50*pi/180)+j*sin(50*pi/180));
V2 = -5;
% Matriz del sistema
Z = [ZL+R, -R; -R, ZC+R];
% vector de voltajes
V = [V1;V2];
% corrientes
I = inv(Z)*V;
% corriente en R
IR = I(1)-I(2);
% potencia promedio en R
PR = R*abs(IR)*abs(IR)/2;
PV1 = abs(I(1))*abs(V1)/2*cos(angle(V1)angle(I(1)));
PV2 = abs(I(2))*abs(V2)/2*cos(angle(V2)angle(I(2)));
fprintf('Potencia promedio en la resistencia =
%8.6f\n',PR)
fprintf('Potencia suministrada por V1 =
%8.6f\n',PV1)
fprintf('Potencia suministrada por V2 =
%8.6f\n',PV2)
fprintf('Suma = %8.6f\n',PV1+PV2)
Tarea #16
En el circuito de la figura, calcule la potencia promedio que absorbe cada uno de los
elementos del circuito.
%
%
%
%
%
+---R1---+----R2---+
|
|
|
V1
ZL
ZC
|
|
|
+--------+---------+
V1
R1
R2
ZL
ZC
=
=
=
=
=
100 V
4 Ohms
10 Ohms
5j Ohms
-5j Ohms
Transferencia de potencia
máxima
Una fuente de tensión independiente en serie con una
impedancia Zth o una fuente de corriente independiente en
paralelo con una impedancia Zth entrega una potencia promedio
(activa) máxima a una impedancia de carga ZL, que es el
complejo conjugado de Zth o ZL = Zth*.
Zth
+
–
ZL
Potencia promedio para
funciones no periódicas
i(t) = sent + senpt
no periódica
i(t) = sent + sen 3.14t
si periódica
1
t nT
P  lim
 sen t  sen pt  2sent senpt dt
t/ 2
2
2
t / 2
El valor promedio de sen2t es ½, también el de sen2pt es ½. El valor
promedio de sent senpt es 0. Por lo tanto
P=½+½=1W
Generalizando
i(t) = Im1cosw1t + Im2cosw2t +...+ ImNcoswNt
P
1
2
I
2
m1

 I m2 2  ...  I m2 N R
Superposición de potencia para frecuencias diferentes.
Ejemplos
Determine la potencia promedio que entrega la corriente I1 = 2
cos 10t – 3 cos 20t A a un resistor de 4 W.
Dado que las frecuencias son diferentes
P = ½ (2)24 + ½ (3)24 = 8 + 18 = 26 W.
Determine la potencia promedio que entrega la corriente I2 = 2
cos 10t – 3 cos 10t A a un resistor de 4 W.
Como la frecuencia es la misma, se debe escribir la corriente
como una sola cosenoidal.
I2 = –cos 10t
P = ½ 12 4 = 2 W
Valores eficaces de I y V
La potencia entregada a una resistencia R es:
1
P
T

T
0
R T 2
i Rdt   i dt
T 0
2
La potencia que entrega una corriente directa es:
P = Ief2R
Igualando y despejando Ief
1 T 2
I ef 
i dt

0
T
Esta expresión define es el valor RMS (raíz cuadrada media)
RMS de una senoidal
Si
i(t) = Im cos(wt + )
I m2 cos 2 t  dt
I ef 
1
T
 Im
 2p /   1 1




cos
2

t

2

 dt 0
2p 0  2 2
 Im
 2p / 
t 0
2p

Im
2

T
0
RMS y potencia promedio
La potencia promedio en una resistencia R es:
P = ½ Im2 R
Como Im = 2 Ief, la potencia promedio es
P = Ief2 R
P = Vef Ief cos(q – )
P = Vef2 /R
Ejemplo
La amplitud de un valor de tensión o corriente senoidal
difiere del valor eficaz por un factor de 2.
50/_30° V = 35.4/_30° Vrms
Valor eficaz para varias
frecuencias
La potencia promedio de una señal de múltiples frecuencias
esta dada por:
P
1
2
I
2
m1

 I m2 2  ...  I m2 N R
Por tanto


2
P  I12ef  I 22ef  ... I Nef
R
Entonces para frecuencias diferentes
2
I ef  I12ef  I 22ef  ...  I Nef
Ejemplo
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t
1
2p
25

2 p / 25
0
36 cos 2 25tdt 
25 2 p / 25 1 1
36 2  2 cos 50t dt

0
2p
2 p / 25
18
 25 

 18t  sen50t 
50
 2p 
0
 18  4.24
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 4 sen(25t + 30°)
La siguiente función en MatLab calcula el
valor rms.
function y = rms(f,T)
% calcula la raiz cuadrada media
F = inline(strcat('(',f,').*(',f,')'));
Q = quad(F,0,T);
y = sqrt(1/T*Q);
rms('6*cos(25*x)+4*sin(25*
x+30*pi/180)',2*pi/25)
ans = 6.1644
Ejemplo
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos225t
rms('6*cos(25*x)+5*cos(25*x).*cos(25*x)',2*pi/25)
ans = 5.23221
Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos30t + 4
Para este caso hay que utilizar
2
I ef  I12ef  I 22ef  ...  I Nef
sqrt(rms('6*sin(25*x)',2*pi/25)^2+rms('5*sin(30*x)',2*pi/30)^2+16)
ans = 6.8191
Tarea #17
Utilice la función rms definida para Matlab para encontrar el
valor rms de:
a) 5 cos 40t
b) v(t) = 10 + 9 cos 100t + 6 cos 100t
c) h(t) = 2 + 3 cos100t + 4 cos(101t – 120°)
Potencia aparente
Para el estado senoidal
v(t) = Vm cos(wt + q)
i(t) = Im cos(wt + )
La potencia promedio es
P = Ief Vef cos(q  )
Al término Ief Vef se le llama potencia aparente y se mide
en VA (Volt-Ampere).
Factor de potencia = Potencia promedio/potencia aparente
= cos(q  )
Al ángulo (q  ) se le llama ángulo de FP.
Ejemplo
Calcule valores para la potencia promedio suministrada a cada una de las cargas
de la figura, así como la potencia aparente que proporciona la fuente y el factor de
potencia de las cargas combinadas.
La tensión eficaz es 60 V rms que aparece a la
combinación de la carga
2–j1+1+j5 = 3+j4 W
La corriente que suministra la fuente es
Is = (60/_0°)/(3+j4) = (60/_0°)/(5/_53.13°) =
2-j1
12/_–53.13°
La potencia promedio que suministra la fuente es
Ps = (60)(12)cos(0°–53.13°) = 432 W
60/_0° Vrms
1+j5
La potencia aparente es
VefIef = (60)(12) = 720 W
El factor de potencia es
PF = 342/720 = 0.6 (retrasado)
La potencia promedio que se entrega a cada carga es
Psuperior = 122(2) = 288 W
Pderecha = 122(1) = 144 W
Potencia compleja
La potencia promedio esta dada
por
Im
P = Ief Vef cos(q  )
Puede escribirse como:
P = Ief Vef Re{e j(q  )}
P = Re{Vef e jq Ief e j)}
P = Re{Vef Ief
*}
Definimos la potencia compleja
como:
S = Vef Ief
S
Q
q
P
*
S = P + jQ
Donde Q es la potencia reactiva
Triángulo de potencia
Re
Potencia compleja
El signo de la potencia reactiva
caracteriza la naturaleza de la
carga a la cual se especifican
Vef e Ief.
Im
Vef
Iefcos(q  
q
Iefsen|q  |
Ief
Si la carga es inductiva,
entonces (q – ) es un ángulo
entre 0 y 90°, el seno de este
ángulo es positivo y la potencia
reactiva es positiva.
Re
Una carga capacitiva produce
una potencia reactiva negativa.
Medición de la potencia
Un wattímetro registra la potencia real promedio consumida
por una carga y con un varmetro se obtendrá la potencia
reactiva Q consumida por la carga.
La potencia compleja entregada a varias cargas
interconectadas es igual a la suma de las potencias complejas
entregadas a cada una de las cargas individuales, sin importar
cómo están interconectadas.
Ejemplo
un consumidor industrial opera un motor de inducción de 50 kW (67.1 hp) a FP
retrasado de 0.8. La tensión de la fuente corresponde a 230 V rms. Para obtener
tarifas eléctricas inferiores, el consumidor debe elevar el FP retrasado. Especifique
una solución plausible.
Se debe agregar una impedancia para corregir el FP en paralelo con el motor.
La potencia S1 tiene parte real P = 50 kW y parte imaginaria Q =
50*tan(cos-1(.8)) = 37.5 VA, entonces
S1 = 50 + j37.5 kVA
Si se desea FP = 0.95, la potencia acompleja total debe ser S = 50
+ j50*tan(cos-1(.95)) = 16.43 kVA y
+
V
–
I
I1
S1
I2
S2
S2 = S – S1 = 50 + j16,43 – 50 – j37.5 kVA
= – j21.07 kVA
La corriente que atraviesa S2 es
I2* = S2 /V = – j21.07/230 = – j91.6 A
I2 = j91.6 A
Z2 = V/I2 = 230/ j91.6 = – j2.51 W
Si f = 60 Hz, un capacitor de
C = 1/(2.51*2*p*60) = 1.056 mF
Terminología de potencia
Término
Potencia instantánea
Potencia promedio
Valor eficaz o rms
Símbolo
Unidad
Descripción
p(t)
W
p(t) = v(t)i(t) valor de la potencia en
un instante cualquiera
P
W
En el estado senoidal
Vrms o Irms V o A
Senoidal Im/2
Potencia aparente
|S|
VA
|S| = Vef Ief
Factor de potencia
PF
Ninguna 1 para cargas puramente resistivas y
para cargas puramente reactivas
Potencia reactiva
Q
VAR
Para medir flujo de energía en cargas
reactivas
Potencia compleja
S
VA
S = P + jQ
ejemplo
El voltaje suministrado por la fuente es de 440 a una carga ZL = 10+2j a través de una línea de transmisión
que tiene una resistencia total de 1.5 W. Determine a) potencia promedio y aparente suministrada a la carga; b)
potencia promedio y aparente perdida en la línea; c) potencia promedio y aparente suministrada por la fuente;
d) factor de potencia de la fuente.
Vm = 440;
ZL = 10+2j;
R = 1.5;
% a) potencia pormedio y aparente suministrada a la carga
I = Vm/(ZL+R); % corriente total
Im = abs(I); % amplitud de la corriente
VmL = abs(I*ZL);
P = real(ZL)*Im*Im % potencia promedio carga
PA = VmL*Im % potencia aparente carga
% b) potencia pormedio y aparente perdida en la linea
Vmlinea = abs(I*R);
Plinea = R*Im*Im % potencia promedio linea
PAlinea = Vmlinea*Im % potencia aparente carga
% b) potencia pormedio y aparente suministrada por la linea
Pfuente = real(ZL+R)*Im*Im % potencia promedio fuente
PAfuente = Vm*Im % potencia aparente carga
% d) factor de potencia
Pfuente/PAfuente
Respuestas: 14.21 KW, 14.49 kVA; 2.131 kW; 16.34 kW, 16.59
kVA; 0.985 retrasado
Tarea
Para el circuito determine la potencia compleja que absorbe: a) el
resistor de 1 Ohm, b) el capacitor dr -10j Ohms, c) la impedancia
de 5 + 10j Ohms, d) la fuente.
+---R1---+-------+
|
|
|
|
R2
|
|
|
|
V
|
C
|
|
|
|
L
|
|
|
|
+--------+-------+
R1 = 1 Ohms
R2 = 5 Ohms
L = 10j Ohms
C = -10j Ohms
V = 120 Vrms
Solución: 26.6 + 0j VA; 0 – 1.331j VA; 532 + 1065j VA;
-559 + 266j VA.