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Simulación
Dr. Ignacio Ponzoni
Clase IV: Distribuciones Probabilísticas
Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación
Universidad Nacional del Sur
Año 2005
Probabilidad y Estadística en Simulación
•
El modelado de problemas reales requiere usualmente
contemplar situaciones donde las acciones de algunos
elementos del sistema NO se pueden predecir con total
exactitud.
•
En estos casos, la probabilidad y la estadística juegan un
rol fundamental para construir buenos modelos.
•
Principales usos en Simulación:
• Modelar distribuciones probabilísticas de las variables
aleatorias.
• Analizar los resultados de los experimentos de simulación.
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Variables Aleatorias
•
•
•
•
•
Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida
una función de probabilidad.
Y sea X una función de valor real definida sobre S, de manera
que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de
los reales.
Se dice que X es una VARIABLE ALEATORIA.
Una variable aleatoria se dice discreta cuando el conjunto de
valores que puede tomar la variable es finito o infinito
contable.
Una variable aleatoria se dice continua cuando el conjunto de
valores que puede tomar la variable es un intervalo o conjunto
de intervalos formado por infinitos números.
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Distribuciones Probabilísticas
• Un aspecto clave en los problemas de simulación no
determinísticos es contar con un buen conocimiento
de las distribuciones probabilísticas que modelan las
variables aleatorias.
• Existen dos tipos de distribuciones:
• Continuas: son definidas por su función de
densidad de probabilidad.
• Discretas: son definidas por su función másica de
probabilidad.
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Función Másica de Probabilidad
de una Variable Aleatoria Discreta
Sea X una variable aleatoria discreta. Se llamará a
p(x)  P(X = x) función de probabilidad de la variable
aleatoria X, si satisface las siguientes propiedades:
1. p(x)  0 para todos los valores x de X;
2.  x p(x) = 1.
La colección de pares (xi , p(xi )) correspondientes a
los valores xi de X conforman la denominada función
másica de probabilidad de la variable aleatoria X.
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Función de Probabilidad Acumulativa
de una Variable Aleatoria Discreta
La función de distribución acumulativa de
una variable aleatoria discreta X es la
probabilidad de que X sea menor o igual a un
valor específico x y está dada por:
F(x)  P(X  x) =  x i x p(xi )
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Función de Densidad de Probabilidad
de una Variable Aleatoria Continua
Si existe una función f(x) tal que:
1. f ( x )  0 ,
2. 


 x
f ( x )dx  1,
y
b
3. P ( a  X  b )   f ( x )dx
a
para cualesquiera a y b, entonces f(x) es la función de
densidad de probabilidad de la variable aleatoria X.
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Función de Probabilidad Acumulativa
de una Variable Aleatoria Continua
Sea X una variable aleatoria continua y sea
f(x) su función de densidad de probabilidad, la
función de probabilidad acumulativa de X es:
F( x )  
x

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f ( t )dt
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Esperanza de una Variable Aleatoria
• El
valor esperado (o esperanza) de una variable
aleatoria es un concepto muy importante en el
estudio de las distribuciones probabilísticas.
• La
esperanza de una variable aleatoria tiene sus
orígenes en los juegos de azar, debido a que los
apostadores deseaban saber cuál era su esperanza
de ganar repetidamente un juego.
• En
este contexto, el valor esperado representa la
cantidad de dinero que el jugador está dispuesto a
ganar o perder después de un número muy grande
de apuestas.
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Ejemplo
Suponga que un juego de azar consiste en lanzar una
moneda tratando de obtener una “cara”, y asuma que se
dispone de hasta tres intentos.
El juego termina cuando:
• se obtiene una “cara” en un lanzamiento, o
• se agotan los tres tiros,
lo que suceda primero.
Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento el jugador
obtiene una “cara”, este gana $2, $4, $8 respectivamente.
Si no logra obtener una “cara” en ninguno de los
lanzamientos, el jugador pierde $20.
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Ejemplo
Si analizamos la probabilidad de cada resultado
tenemos:
P(X = $2) = 1/2.
P(X = $4) = 1/4.
P(X = $8) = 1/8.
P(X = -$20) = 1/8.
Luego, la esperanza es:
$2*(1/2)+$4*(1/4)+$8*(1/8)-$20*(1/8) = $0.50
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Definición de Esperanza
En definitiva, el valor esperado o media de una
variable aleatoria X es el promedio o valor medio de
X y está dado por:
E ( X )   x . p( x )
Si X es discreta
x

E ( X )   x . f ( x )dx

Si X es continua
La media E(X) también se denota con el símbolo  .
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Otras Medidas de Tendencia
Central y Dispersión
• Existen
otras medidas descriptivas que también
permiten obtener una mejor caracterización de una
variable aleatoria y su distribución de probabilidad.
• Las medidas más empleadas:
» Mediana
» Moda
» Varianza
» Desvío estándar
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Mediana y Moda
• La
mediana es el valor x de X tal que la
distribución probabilística acumulada en x
es igual a 0,5.
• La
moda es el valor que se presenta con
mayor frecuencia dentro de una distribución
probabilística o de una muestra.
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Medidas de Variación
• Cantidades que expresan el grado de variación de
una variable aleatoria.
• Propiedades de una distribución de probabilidades
o cálculo de muestras.
• Medidas de variación más empleadas:
»Varianza
»Desviación
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Varianza y Desviación Estándar
•
•
•
•
La varianza de una variable aleatoria es la media del cuadrado
de la diferencia entre los valores de una variable aleatoria y su
media, y se denota 2 o V(X).
Es de importancia fundamental en estudios estadísticos, brinda
una medida de la dispersión de los datos.
La varianza de una distribución discreta es:
V ( X )   ( x   )2 . p( x )
x
La varianza de una distribución continua es:

•
V ( X )   ( x   )2 . f ( x )dx

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y se
denota como .
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Parámetros de Distribuciones
Probabilísticas
Las funciones de densidad y de masa de probabilidades dependen
de uno o más parámetros.
Tipos de parámetros:
• Parámetro de forma: controla la forma básica de una
distribución. Para ciertas distribuciones, cambios en el valor de
este parámetro producen modificaciones significativas en la
forma de la distribución.
• Parámetro de escala: controla la unidad de medida dentro del
rango de la distribución. Cambiando este parámetro la
distribución se expande o contrae a lo largo del eje x.
• Parámetro de posición: especifica la posición de la distribución
relativa a cero sobre el eje x. Este parámetro puede representar el
punto medio o el extremo inferior del rango de la distribución.
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Distribuciones Continuas
Distribución Uniforme
•
Esta distribución caracteriza a las
variables aleatorias en donde todos los
posibles valores de la variables poseen
igual probabilidad.
•
Para una distribución uniforme con
valor mínimo a y valor máximo b, la
función de densidad de probabilidad
es:
1
f(x) 
ba
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si a  x  b
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Distribuciones Continuas
Distribución Uniforme
•
La función de probabilidad acumulativa es:
 0 si x  a
x a
F( x )  
si a  x  b
ba
 1 si b  x
•
La media de la distribución uniforme es (a+b)/2 y su varianza
es (b-a)2/12.
•
Parámetros:
» De posición: a
» De escala: b-a
» De forma: no posee.
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Distribuciones Continuas
Distribución Uniforme
• Las funciones de generación de números aleatorios
provistas por lenguajes de programación siguen
generalmente una distribución uniforme donde a = 0
y b = 1.
• Este
tipo de distribución es frecuentemente elegida
cuando hay poco conocimiento disponible sobre la
variable aleatoria que se desea modelar.
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Distribuciones Continuas
Distribución Uniforme
Problema
•
•
•
Un autobus arriba cada 20 minutos a una parada
específica de su recorrido, el cual comienza a las 6:40 am
y termina a las 8:40 am.
Un pasajero que no conoce los horarios del autobus,
arriba a una parada en forma aleatoria (siguiendo una
distribución uniforme) entre las 7:00 am y las 7:30 am
cada mañana.
¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero deba esperar
el autobus más de 5 minutos?
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Distribuciones Continuas
Distribución Uniforme
Solución
•
•
•
El pasajero debe esperar más de 5 minutos sólo si arriba
entre las 7:00 am y 7:15 am o entre las 7:20 am y 7:30.
Si la variable aleatoria X denota la cantidad de minutos
(después de las 7:00 am) en que el pasajero arriba, luego la
probabilidad que se desea conocer es:
P(0 < X < 15) + P(20 < X < 30)
Como X es uniforme con a = 0 y b = 30, la probabilidad es:
F (15)  F ( 30)  F (20) 
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15
20 5
1

30
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Distribuciones Continuas
Distribución Normal
• Es una distribución simétrica con forma de campana.
• La mediana es igual a la media en esta distribución.
• El rango de la variable no está limitado.
• La densidad se concentra en torno a la media.
• Parámetros:
» De posición: media, .
» De escala: varianza, 2.
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Distribuciones Continuas
Distribución Normal
•
La función de densidad de probabilidad para la distribución
normal es:
2= 1

=
0,

 ( x   ) / 2.
f ( x) 
•
e
2
2. .
2
2
 x  
Se emplea para modelar:
• Errores y fallas en procesos.
• Tiempos de procesamiento
en sistemas de servicios.
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Distribuciones Continuas
Distribución Normal
•
Función de probabilidad acumulativa es:
1
F ( x)  
e

 2.
x
•
 1  t u 2 
 
 
2

 
 
 = 0, 2 = 1
.dt
Transformando variables:
z
1

2.
F ( X )  ( z )  
e
t 2 / 2
.dt
F(x)
donde:
z = (t – μ)/σ
x
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Distribuciones Continuas
Distribución Normal
Ejemplo
•
•
El tiempo que se tarda en carga el tanque de un barco sigue
una distribución N(12,4) {media = 12 y varianza = 4}.
La probabilidad de que el tanque este lleno en al menos 10
horas es F(10), donde:
10  12 
F ( 10 )   
  ( 1 )  0.1587

 2 
•
El valor de (-1) se obtiene por tabla usando simetría.
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Distribuciones Continuas
Distribución Triangular
• Esta distribución es definida mediante 3 parámetros:
– mínimo a,
– máximo b,
– intermedio c.
• Los
valores más cercanos a c son los que poseen
mayor probabilidad, mientras que los valores próximos
a los extremos tienen menos probabilidad.
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Distribuciones Continuas
Distribución Triangular
•
Función de densidad de probabilidad:
 2.( x  a )
si a  x  c

 ( b  a ).( c  a )
 2.( b  x )
f( x)
si c  x  b
 ( b  a ).( b  c )

 0 en cualquier otro caso

•
Parámetros:
• De posición: a
• De escala: b-a
• De forma: c
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Distribuciones Continuas
Distribución Triangular
•
La función de distribución de probabilidad acumulativa es:
0 si x  a


( x  a )2
si a  x  c

 ( b  a ).( c  a )
F( x )  
2
(
b

x
)
1 
si c  x  b
 ( b  a ).( b  c )

1 si b  x
•
•
La media se computa como (a+b+c)/3, y la varianza como
(a2+b2+c2-a.b-a.c-b.c)/18
Esta distribución es usada para aproximar otras distribuciones,
tales como la normal, cuando los datos son insuficientes.
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Distribuciones Continuas
Distribución Triangular
•
•
Problema
Los requerimientos de una central de procesamiento, para
programas que debe ejecutar, sigue una distribución triangular
con a = 0.05 seg., b = 6.5 seg., y c = 1.1 seg.
Determine la probabilidad de que un requerimiento de CPU
para un programa sea de a lo sumo 2.5 seg.
Solución
( 6.5  2.5 )2
F ( 2.5 )  1 
 0.541
( 6.5  0.05 ).( 6.5  1.1 )
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Distribuciones Continuas
Distribución Exponencial
•
•
•
Esta distribución modela eventos recurrentes en el tiempo.
Se utiliza frecuentemente para modelar los tiempos entre
arribos y tiempos de servicio con alto nivel de variabilidad.
También se emplea para modelar tiempos entre fallas de
máquinas y dispositivos eléctricos o mecánicos que fallan
catastróficamente (instantáneamente).
Una propiedad clave de esta distribución es que no posee
memoria, esto quiere decir que lo sucedido antes del tiempo
actual no afecta a los futuros valores de la variable aleatoria.
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Distribuciones Continuas
Distribución Exponencial
•
Función de densidad de la
distribución de probabilidades:
f ( x )   .e  . x
•
x0
Función de distribución de
probabilidades acumuladas:
F ( x )  1  e  . x
x0
Media: 1
Varianza: 1

2
Parámetro de escala: 
F(x)
x
(también denominado tasa de fallas)
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Distribuciones Continuas
Distribución Exponencial
Ejemplo
•
Suponga que la vida útil de una lámpara industrial, en el
orden de las miles de horas, sigue una distribución
exponencial con una tasa de fallas  = 1/3 (es decir, una
falla cada 3 mil horas).
•
Luego, la probabilidad de que una lámpara supere su
tiempo medio de vida es:
P(variable > 3) = 1 - F(3) = 1 – (1 – e -3/3) = e -1=0.368
•
Nótese que la probabilidad de sobrevivir el tiempo medio de
vida es siempre 0.368, independientemente del valor de .
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Distribuciones Continuas
Distribución Exponencial
•
•
La probabilidad de que la lámpara funcione entre 2000 y 3000
horas es:
F(3) - F(2) = (1 – e-3/3) - (1 – e-2/3) = -0.368 + 0.513 = 0.145
La propiedad de no poseer memoria significa que si tenemos dos
tiempos s  0 y t  0, luego:
P(variable > t+s, sabiendo que variable > s) = P(variable > t)
• Esto significa que si la variable representa el tiempo de vida
de una lámpara en horas, luego la probabilidad de que la
lámpara siga funcionando t+s horas, sabiendo que ya estuvo
operativa durante s horas, es igual a la probabilidad de que
una lámpara nueva funcione correctamente durante t horas.
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Distribuciones Discretas
Distribución de Bernoulli
•
Una variable que sigue esta distribución tiene dos posibles
valores: 1 (éxito) y 0 (fracaso).
•
La función másica de probabilidad es:
1  p
p( x )  
p
•
si x  0
si x  1
Esta distribución sirve para modelar fenómenos en donde
sólo existen dos alternativas o posibilidades. Sirve por
ejemplo, para modelar una distribución de datos obtenidos a
partir de respuestas (por SÍ o por NO) en encuestas.
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Distribuciones Discretas
Distribución Binomial
Modela n experimentos independientes de la distribución de Bernoulli.
La probabilidad de obtener x éxitos en n intentos es:
 n  x
  p .( 1  p )n x si x  1,2 ,..., n
p( x )   x 

0 en cualquier otro caso

donde: n es la cantidad de experimentos y
p la probabilidad de éxito.
La media es n.p y la varianza es n.p.(1-p)
Esta distribución se utiliza por ejemplo para modelar los resultados de
inspecciones en una operación de producción o para analizar los efectos
de una droga experimental sobre una determinada cantidad de pacientes.
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Distribuciones Discretas
Distribución de Poisson
• Esta
distribución es muy útil para modelar
variables
aleatorias
que
representan
la
probabilidad de que ocurra cierta cantidad de
eventos independientes a una velocidad constante
en el tiempo.
• Por
ejemplo, cantidad de eventos de arribos que
ocurren en un determinado tiempo en sistemas de
colas, el número de errores por línea en el código
de un programa, etc.
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Distribuciones Discretas
Distribución de Poisson
• La función másica de probabilidad de Poisson es:
 e   x

p( x )   x!
 0 ,
x  0 ,1, 2 ,
en otro caso
•  es la cantidad de eventos que ocurre en promedio
en una unidad de tiempo.
• La media y la varianza de esta distribución es .
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Distribuciones Discretas
Distribución de Poisson
Problema
•
Después de una prueba de laboratorio muy rigurosa
efectuada sobre un tipo componente electrónico, el fabricante
determina que en promedio, sólo fallarán dos componentes
antes de tener 1000 horas de funcionamiento.
•
¿Cuál es la probabilidad de que fallen 5 o más componentes
en un período de 1000 horas?
Solución
e 2 20 e 2 21 e 2 22 e 2 23 e 2 24
1  P( X  4 )  1 




 0 ,0527
0!
1!
2!
3!
4!
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Funciones de Conteo
• En ciertos casos, queremos analizar el número de
eventos que ocurren durante un determinado
intervalo de tiempo.
• En
tales casos, podemos definir una función de
conteo N(t) definida para todo t 0.
• Esta
función representará el número de eventos
que ocurren en el período [0, t].
• Luego, N(t) es una variable aleatoria cuyo rango es
el conjunto de los números enteros no negativos.
Simulación
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Procesos de Poisson
•
Un proceso de conteo de arribos, { N(t), t 0 }, es un Proceso de
Poisson con tasa  si se verifican las siguientes condiciones:
• 1. Los arribos ocurren de a uno por vez.
• 2. {N(t), t 0} tiene incrementos estacionarios: la distribución
de la cantidad de arribos entre t y t+s depende sólo de la
longitud de s y no del tiempo inicial t.
• 3. {N(t), t 0} tiene incrementos independientes: el número de
arribos en intervalos de tiempo que no se solapan constituyen
variables aleatorias independientes.
•
Si los arribos siguen un proceso de Poisson, entonces:
e  t ( t )n
P N ( t )  n 
para t  0 y n  0,1, 2 ,
n!
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Procesos de Poisson
Problema
• Los
clientes arriban a un banco siguiendo una
tasa de 2 por hora.
• ¿Cuál es la probabilidad de que arriben 8 clientes
durante el transcurso de las próximas 3 horas?
Solución
e 2.3 ( 2.3 )8
P [ N( 3)  8] 
 0 ,1032
8!
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Probabilidad del Primer Arribo
•
Supongamos que A1 representa el tiempo en que ocurre
el primer arribo en un proceso de Poisson.
•
Luego, la probabilidad de que el A1 ocurra después de
un tiempo t es igual a la probabilidad de que no hayan
arribos el intervalo de tiempo [0, t].
•
En nuestra notación tenemos que:
P(A1 > t) = P[N(t) = 0] = e-t
•
Pero entonces, la probabilidad de que el primer arribo
ocurra en el período [0, t] es: 1- P(A1 > t) = 1 - e-t.
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Otras Distribuciones Probabilísticas
• Continuas:
– Lognormal
– Gamma
– Erlang
– Weibull
– Beta
• Discretas:
– Geométrica
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Recomendaciones
• Lectura recomendada para los temas vistos en clase:
• Capítulo 3 del libro Introduction to Simulation and
Risk Analysis de Evans y Olson.
• Capítulo 5 del libro Discrete-Event System Simulation
de Banks, Carson, Nelson y Nicol.
• Ejercitación propuesta:
• Trabajo Práctico 3: Nociones Básicas de Probabilidad
y Generación de Numeración Aleatorios.
Simulación
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