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Construcción de fórmulas
Profesor Marco Antonio García Juárez
Problema 1:
D. Juan el albañil es especialista en enlosar patios de forma cuadrada.
Su diseño favorito consiste en utilizar losas rojas para el interior y
blancas para los bordes.
He aquí algunos patios construidos por él:
a) Si atendemos al número L de baldosas que tiene el patio
cuadrado en cada lado, podemos hacer la siguiente tabla, en la que
B indique el número de baldosas blancas empleadas . Complétela
L
3
4
5
6
.............
N
B
8
12
16
20
............
?
NÚMEROS FIGURADOS
• Karl Friedrich Gauss, llamado el
Príncipe de las Matemáticas, estaba
en la escuela cuando su profesor,
tal vez con la intención de
entretener a los niños mientras
trabajaba, propuso a la clase que
sumaran todos los números del
1 al 100. El profesor quedó
sorprendido cuando Gauss, que
tenía 11 años, dio la respuesta
correcta poco después de ser
formulada la pregunta.
¿Cómo lo habrá hecho?
Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera:
S= 101 x 50 = 5050
Trate de encontrar la regla para calcular la suma S de los n
primeros números, es decir, para 1,2,3,4,5,6.. n…
Matemática pitagórica
“¿Qué es
lo
más sabio?
—el
número.
¿Qué es lo
más
bueno?
—la
felicidad.”
Seguramente conocerá los números triangulares y cuadrados
que fueron estudiados por los Pitagóricos en el s. VI a.C.
NÚMEROS TRIANGULARES:
Dibuje las figuras T4
y T5 que siguen…
Puede utilizar fichas
de colores…
T1
T2
T3
Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular
( Trianón ) era una figura sagrada por la que tenían la
costumbre de jurar.
Complete la Tabla de los números triangulares:
Nº
1
2
3
4
5
T
3
6
10
…
…
6 … 10 …
… … …
n
..
¿Tn? ..
… Tn
• La fórmula para el n-ésimo número
triangular es:
1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n = n(n+1)
2
• También es igual al coeficiente binomial
Complete
=
NÚMEROS CUADRADOS:
Dibuje la figura C5 que sigue
C1
C2
Nº
1
2
3
C
4
9
16 .....
C3
4 ....... n
n
..
…
C4
El esquema geométrico que muestra la figura siguiente
manifiesta a relación entre los números triangulares y
los cuadrados:
Compruebe la igualdad de forma algebraica
Suma de dos números triangulares
consecutivos: número cuadrado
• La suma de dos números triangulares consecutivos,
Tn y Tn − 1 es un cuadrado perfecto, o, si se quiere
en la terminología pitagórica, un número cuadrado.
Demostrémoslo. Sean
y Tn =
Tn =
=
Sumando
Sumando Tn y T n-1
es decir
Tn + Tn − 1 =
+
Tn + T n − 1 = n
2
Construya las fórmulas para encontrar el término general
Números rectangulares
Puede utilizar
fichas
de colores
Dibuje la figura
que sigue P6
Números pentagonales
Dibuje
la figura
que sigue
H6
Números hexagonales
Puede utilizar
Fichas de colores
Números estrellados
Números cúbicos
Números tetraédricos
TÉCNICAS PARA
BUSCAR EL PATRÓN
MÉTODOS GEOMÉTRICOS
El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se
expresa como la suma de tres números triangulares de un
orden menor y más la suma de los puntos de su lado, esto es:
Pn = 3 · Pn-1 + n , de donde:
Deduzca del siguiente esquema el patrón de la
secuencia de números estrellados
.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
• Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números
reales
de manera que cada término de la
sucesión se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija,
d, llamada diferencia .
Veamos algunos ejemplos:
•
•
•
-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = -8 y d = 5.
70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 = 70 y d = -30.
3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2.
De esta manera se tiene que :
En general tenemos que:
En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la
suma de los n primeros términos de una PA:
Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n.
Observamos que el enésimo número triangular se construye sumando los
n primeros términos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4, ......, n, de primer término 1,
enésimo término n y diferencia 1. Si aplicamos la fórmula anterior se tiene
que:
Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del
enésimo número pentagonal:
•
•
•
•
•
P1 = 1
P2 = 1+4
P3 = 1+4+7
P4 = 1+4+7+10
P5 = 1+4+7+10+13
Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y diferencia
3, tenemos que Pn se corresponde con la suma de los n primeros
términos de la sucesión. En virtud de las fórmulas que hemos visto:
Hallar, mediante una técnica similar, el término general de
los números hexagonales y estrellados
DIFERENCIAS FINITAS
•
Comencemos estudiando las
diferencias entre los términos
consecutivos de una PA cualquiera,
por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...
La primera diferencia es constante
Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales
La segunda diferencia es constante
Sucesión de números cúbicos..
La tercera diferencia
es constante
• En general, si una secuencia a1 , a2 , a3 , a4,... Tiene las
primeras diferencias fijas podemos concluir que la
secuencia es una progresión aritmética de diferencia d y
primer término a1 :
Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de término
general:
a) 2 n + 5,
b) 3 n - 1 y
c) -6 n + 9.
d) ¿Cómo son las secuencias de término general an = a n + b?
•
Veamos que cuando el término general de una secuencia viene
dada por un polinomio de segundo grado en n,
an = a n 2 + b n + c, las segundas diferencias son constantes:
Recíprocamente, si las segundas diferencias son constantes el
término general será del tipo
an = a n2 + b n + c. Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la
siguiente forma: la diferencia segunda es el doble del valor de a, para
obtener el valor de b hay que restarle 3a al primer valor de D1. Por
último, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer término
de la secuencia.
• Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias
para las secuencias de término general:
a)
n2 + 3n + 2
b) -n2 + 7
• Investiga utilizando diferencias el patrón de la
secuencia de los números tetraédricos.
• Estudia las diferencias de una sucesión de término
general
an = a n3 + b n2 + c n + d
• Halla el término general de las secuencias:
• 2, 9, 20, 35, 54, 77,....
• 4, 5, 8, 13, 20, 29,....
• Llamamos números poligonales a los que se generan mediante
un polígono: triangulares, cuadrados, pentagonales,
hexagonales, etc. Comprueba que, si en la fórmula
cambiamos b por 1 obtenemos la expresión general de los
números triangulares; si la cambiamos por 2 obtenemos la de
los números cuadrados: si lo hacemos por 3 se obtiene la de
los pentagonales, ...
• Comprueba que se verifican las siguientes relaciones:
Cn=Tn + Tn-1
Pn=Cn + Tn-1
Hn=Pn + Tn-1
• No siempre nos valen las diferencias:
Cuando el término general de una secuencia no sea
un polinomio en n no podremos utilizar la técnica de
las diferencias finitas. Veremos algunos casos en
que esto ocurre y aprovecharemos para estudiar dos
tipos de secuencias que también son muy
frecuentes en la literatura matemática: las
progresiones geométricas y las sucesiones
recurrentes.
Estudiemos ahora el siguiente caso:
supongamos infinito el proceso de
construcción de cuadrados (el
cuadrado grande tiene lado 1).
¿Cuánto mide, cuando llevamos
n cuadrados, la longitud de la línea
negra?
¿Y si considerásemos a la infinidad
de ellos?
Resuelve la cuestión cuando leas el
siguiente apartado:
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
•
Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números
reales de manera que cada término de la sucesión se obtiene
multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razón.
•
De esta manera se tiene que
:
•
En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n
primeros términos de una PG:
Halla el perímetro del copo de nieve de n capas:
En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG ,
si -1 < r < 1, se tiene que
, es decir, r a la n se acercará a cero tanto
como queramos, tomando n suficientemente grande.
En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG
sería:
Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir
cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo
caso?
SUCESIONES RECURRENTES
•
•
De manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como
aquellas en las que un término se expresa en función de términos anteriores.
Veamos un par de casos que aclaren la idea:
Averiguar el número de caminos distintos que se pueden tomar desde los
vértices numerados para llegar hasta 0 (no vale retroceder):
En el esquema se muestra que C n = C n-1 + C n-2 (cada término es la suma de los
dos anteriores)
Según esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia sucesión, con
lo que no se hacen constantes y es imposible determinar, de esta manera, su
término general.
Las Torres de Hanoi:
•
Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma que queden en la misma
posición. Los discos sólo pueden situarse descansando en alguno de los tres
postes, sin que un disco mayor pueda colocarse sobre otro menor.
Hallar la secuencia
Nº. De discos
1
Nº. mínimo de
movimientos
1
2
............................
3
............................
n
¡¡¡superpresentaciones power point!!!\animaciones Juegos\torrehanoi.pps
METODOLOGÍA
• Comenzar por pocos discos.
• Observar que antes de terminar el juego con n
discos, hay que hacerlo con n -1, siendo
• A n = A n-1 + 1 + A n-1 = 1 + 2 · A n-1 .
• Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15;
A5 = 15; etc, se sigue que An= 2 n - 1.
• Del hecho de que A n = 1 + 2 · A n-1 se deduce que las
diferencia primera será:
• D = A n+1 - A n = 1 + 2 A n - A n = 1 + A n que no se hace
constante. Puedes estudiar lo que ocurre con las
demás diferencias y comprobarás que ocurre lo
mismo.
• Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones
recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi,
hemos hallado una expresión para su término
general: An = 2 n - 1.
Problemas
• Veamos otro clásico problema: Un hortelano vendió al primero
de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más
media manzana; al segundo la mitad de las restantes más
media, al tercero la mitad de las que quedaban más otra media
manzana, etc. El séptimo comprador, al adquirir la mitad de las
manzanas sobrantes más media manzana, agotó la mercancía.
¿Cuántas manzanas tenía el jardín?
• Determina la expresión de An :
• Demuestra que si multiplicas por ocho un
número triangular, y sumas uno, obtienes un
número cuadrado. Intenta demostrarlo
mediante un esquema geométrico. (NOTA: la
demostración algebraica requiere
expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado
perfecto)
•
•
•
•
Realiza las sumas:
1+3+5+.....+(2n+1)
3+4+5+.....+(n+2)
5+8+11+....+(3n+2)
• ¿Cuántos trozos, no necesariamente iguales, se
pueden obtener como máximo al realizar n cortes
sobre una tarta?
Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y comprueba
si lo has conseguido, sabiendo que las diferencias
segundas de dicha secuencia se hacen constantes.
• Se necesitaron 20
cubos para
construir esta torre
de 4 capas. Expresa
el número de cubos
necesario para
realizar una de n
capas.
• Halla An (número
máximo de
regiones
obtenidas por
intersección de n
círculos)
A veces las apariencias engañan. Si observamos el número máximo de
regiones que se pueden obtener al unir n puntos de una circunferencia, la
observación de los 5 primeros términos parece indicar que la secuencia sigue
la fórmula An = 2n-1. Claramente se ve que el término sexto no cumple ya esa
regla. Determina la expresión general de la sucesión, sabiendo que sus
primeros términos son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que sus cuartas
diferencias son constantes.
•Muchas gracias