Download 1.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LOS NÚMEROS REALES
Prof: Haroldo Cornejo Olivarí
Introducción
El ente básico de la parte de la matemática conocida como
ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número
reales.
Números tales como: 1,3 5 , 3, 3 e, π y sus correspondientes
negativos, son usados en mediciones cuantitativas.
Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de
los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema
mas primitivo – tal como el conjunto de los números
naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él,
por medio de una secuencia lógica de definiciones y
teoremas, se construye el sistema de los números reales.
En el segundo método se hace una descripción formal
del sistema de los números reales (asumiendo que
existe), por medio de un conjunto fundamental de
propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras
propiedades pueden deducirse.
En esta primera parte, se hará una presentación intuitiva
del conjunto de los números reales. Se parte de un
conjunto primitivo como es el conjunto N de los números
naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del
mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas
ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van
definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un
desarrollo axiomático del mismo.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales está constituido
por diferentes clases de números. Entre ellas, se
pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:
1. Conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales, que se denota por N
ó también por Z+, corrientemente se presenta asi:
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
2. Conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números enteros, que se denota por
Z , corrientemente se presenta así:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver
ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por
ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2.
Puede notarse que N Z.
Z.
N
3. Conjunto de los números racionales.
El conjunto de los números racionales, que se denota
por Q, se define de la siguiente manera:
Q = {a/b
a, b son enteros y b0 }
La introducción de los números racionales responde al
problema de resolver la ecuación:
ax = b, con a, b R, a  0.
Ésta tiene solución en Z, sólo en el caso
particular en que a es un divisor de b
Note que todo entero n puede escribirse como el
número racional n/1 y, en consecuencia, se puede
concluir que:
ZQ
Q
Z
N
4. Conjunto de los números
irracionales.
El conjunto de los números irracionales, que se
denota por Q*, está constituido por los números
reales que no admiten la representación
racional.
Ejemplos de esta clase de números son: el
número e (base del logaritmo natural), ,
Las raíces de valores que no son cuadrados
perfectos, etc.
En este conjunto, se pueden resolver
ecuaciones que no tienen solución en Q , como
sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 =
0, cuyas soluciones son: x =2 , que no son
números racionales.
5. Conjunto R de los números reales
R =Q  Q*.
Q
Z
N
En el conjunto R de los números reales, están
definidas dos operaciones: adición (+) y
multiplicación (∙), las cuales verifican las
siguientes propiedades (llamadas también
axiomas de cuerpo).
Axiomas de cuerpo
Sean
1. Clausura
a, b, c, d  
a+b 
2. Conmutativa
ab 
a+b=b+a
3. Asociativa
ab=ba
a +( b + c )= (a + b) + c
4. Elemento Neutro
a ( b  c )= (a  b)  c
l! 0   / a + 0 = 0 + a = a
El real 0 es llamado: elemento neutro aditivo.
l! 1   / a  1 = 1  a = a
El real 1 es llamado: elemento neutro multiplicativo.
5. Elemento Inverso
Para cada número real a, existe un real único llamado
el inverso aditivo de a, y que se denota “–a” tal que:
a + (-a) = 0
Para cada número real a  0, existe un real único llamado el
recíproco de a, 1 (inverso multiplicativo) y que se
denota por a-1 ó
tal que:
a
a
6. Distributiva
a-1
1
=a =1
a
 a, b, c,  R , a  (b+c) = ab + ac
CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS
AXIOMAS DE CUERPO
T1. Ley cancelativa:
para la adición
x+y=x+zy=z
Para la multiplicación
Si x  0,
x∙y = x∙z 
T2.
 a, b  R, la ecuación:
x + a = b,
tiene una y solo una solución en R.
T3.
 x R ,
T4.
x∙y=0

T5.
x R ,
si x 0, entonces
T6.
Si y  0,
entonces,
T7.
x R ,
-(-x) = x.
T8.
Si x  0,
entonces
y=z
x∙0=0
x=0
v
x
0
y
y = 0.
x-1 =

x0
(x-1)-1 = x
1
x
 0.
T9.
 x, y R,
-(x + y) = (-x) + (-y)
T10.
Si x  0, y 0,
T11.
Si b  0, d  0,
entonces
T12.
Si b  0, d  0,
entonces
T13.
Si b  0, d  0,
entonces
T14.
T15.
x R ,
(-1)  (-1) = 1
entonces
(xy)-1
=
x-1.y-1
1
1 1
 
=
xy x y
a c adbc
 
b d
bd
a ad

b bd
a c ac
 
b d bd
-x = (-1)x
T16.
(-x)  (-y) = xy
T17.
-(xy) = (-x)y = x(-y)
T18.

x x
x


y
y
y
y0
T19.
x(y-z) = x ∙ y – x ∙ z
T20.
(x-y) + (y-z) = x – z
T21.
(a-b) - (c-d) = (a+d) – (b+c)
T22.
(a + b)  (c + d) = (a  c + b  d) + (a  d + b  c)
T23.
(a - b)  (c - d) = (a  c + b  d) - (a  d + b  c)
T24.
a-b=c–d
T25.
Si
x2 = x  x,

a+d=b+c
entonces,
x2 – y2 = (x-y)  (x+y)
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LOS NÚMEROS REALES
Prof: Haroldo Cornejo Olivarí