Download Presentacion

El Modelo de
Crecimiento de
Solow
Parte I
Cómo el producto por trabajador
y el crecimiento económico son
determinados por el ahorro.
El modelo de crecimiento de
Solow es tambien conocido
como el modelo de
crecimiento neoclasico o el
modelo de crecimiento
exogeno.
Proemio
• Los modelos tales como “la economía cerrada” y
“la pequeña economía abierta” proporcionan una
visión estática de la economía.
• El modelo de crecimiento de Solow permite una
visión dinámica de como, con el tiempo, el
ahorro, el crecimiento de la población y el cambio
tecnológico determinan el avance de la
economía.
Las variables del Modelo
Las variables endógenas del modelo
son y y k (producto y capital por
trabajador).
•La variable exógena es s (tasa de
ahorro).
•En el modelo de Solow el equilibrio
de largo plazo ocurre en el punto en
donde la inversion por trabajador i y
la depreciacion del capital k se
igualan e y permanece constante
(y=0)
Construyendo el Modelo:
La oferta del mercado de bienes
• Partimos de la función de producción: Y = ƒ (K,L)
• Asumimos rendimientos constantes: zY = ƒ (zK,zL)
• Reemplazando z = 1/L
• Creamos la función de producción por trabajador………..
Y/L= ƒ (K/L,1) …. y = ƒ(k)
Así resulta que el producto por trabajador (productividad) es
función del capital por trabajador.
Construyendo el Modelo:
La oferta del mercado de bienes
•
Trazamos producto por trabajador vs. capital por trabajador
• La pendiente de esta función
es el producto marginal del
capital por trabajador:
cambio en y
PMK

y
cambio en k
•
PMK = ƒ (k+1)- ƒ(k)
• Indica el cambio en el
producto por trabajador que
resulta del aumento del
capital por trabajador en uno.
y=ƒ(k)
Cambio en y
Cambio en k
k
Construyendo el Modelo:
• La inversion por trabajador es
• i = s*y …. o i = s*ƒ(k)
• El producto por trabajador
depende de la inversion por
trabajador.
y
y =ƒ(k)
i = s*ƒ(k)
k
Construyendo el Modelo:
La demanda del mercado de bienes
• Partimos del consumo e inversión por trabajador. (El gasto
gubernamental y las exportaciones netas no se incluyen en el modelo de Solow).
• Llegamos al ingreso por trabajador y = c + i
• Dados la tasa de ahorro (s) y la tasa de consumo (1-s)
la función de consumo es c = (1-s) y
• Remplazamos
y = (1-s) y + i
• Reestructuramos
i=s*y
• La inversión por trabajador es igual a la tasa de ahorro
por el producto por trabajador.
El Estado estacionario
El estado estacionario es el estado de
equilibrio de largo plazo de la
economia.
Ocurre en el punto en donde i y k se
igualan e y permanece constante.
 = tasa de depreciacion
Equilibrio en el Estado Estacionario
• Como y = ƒ(k), sustituyendo y por ƒ(k) ..
• la función inversión por trabajador i = s*y se convierte en
i = s*ƒ(k)
• El desgaste del capital es igual al producto de la tasa de
depreciación  por el capital por trabajador k .. k
• El impacto de la inversión y la depreciación del capital se
expresa en la siguiente formula
• cambio en acumulacion del capital ………k = i - k
• sustituyendo s*ƒ(k) por i ……  k = s*ƒ(k) - k
Equilibrio en el Estado Estacionario
•
Si la asignacion inicial de k fue
demasiado alta, k disminuira
porque la depreciacion excede
la inversion.  k = i - k
•
Si la asignacion inicial de k fue
demasiado baja, k aumentara
porque la inversion excede la
depreciacion.
s*ƒ(k)
s*ƒ(k*)=δk*
•
En el punto en donde s*ƒ(k) = k
k=0
 k = s*ƒ(k) - k = 0
•
Este punto es el punto de
equilibrio k*.
•
δk
s*f(k),δk
En k* la depreciacion iguala la
inversion.
k bajo
k*
k
k
alto
Equilibrio en el Estado Estacionario
(demostración)
• La asignación inicial de k es
demasiado baja.
δk
s*ƒ(k),δk
k2=k1+k
inversion - depreciacion
k3=k2+k
k4=k3+ k
s*ƒ(k)
s*f(k*)=δk*
k5=k4+ k
Este proceso
continúa hasta
que s*ƒ(k) y δk
convergen en k*
k1 k2
k3 k4 k5k*
K2 K3
todavía
K4
todavía
K5
todavía
todavía
eses es
es
demasiado
demasiado
demasiado
demasiado
baja.
baja.
baja.
baja.
k
Ejemplo Numérico
• Dividiendo por L la función de produccion
de Cobb-Douglas …….Y=K1/2L1/2
• Obtenemos la funcion producción por
trabajador …. Y/L=(K/L)1/2 …o… y = k1/2
• k cambia hasta que  k = s*ƒ(k) - k = 0
es decir hasta que s*ƒ(k) = k
Ejemplo Numérico
• Dado s y el k inicial, podemos calcular los
valores que adoptan con el tiempo las
variables en su trayecto al estado
estacionario.
• Asumamos s = 0.4,  = 0.09 y k1 = 4.
• En el equilibrio s*ƒ(k) = k. .. o…
……..0.4*k1/2 = 0.09*k … 4.444 = k1/2
• ... k* = 19.749.
Ejemplo Numérico
¿Cómo calculamos las variables?
• El algoritmo para cada período es el siguiente:
• En el periodo 1 y = k1/2 …. y = 41/2 = 2
• Como c = (1-s)y y s = 0.4, c = 0.6y = 1.2
• Como i = s*y …. i = 0.4*2 = 0.8
• k = 0.09*4 = 0.36
• k = s*y - k .... k = 0.8 - 0.36 = 0.44
• Así, en el próximo período, k = 4 + 0.44 = 4.44.
Ejemplo Numérico
Período
k
y
c
i
δk
Δk
1
4
2
1.2
.8
.36
.44
2
4.44
2.107...
1.264...
.842…
.399…
.443…
.
.
.
.
.
.
.
12
8.344...
2.889...
1.733...
1.155...
.751…
.404…
.
.
.
.
.
.
.
∞
19.749.
4.44…
2.667...
1.777...
1.777...
0.000...
Cambiando la variable exógena:
el ahorro
• El estado estacionario está en el
punto en dónde s*ƒ(k) =  k
δk
s*ƒ(k),
δk
s*f(k *)=δk*
s*ƒ(k)
• ¿Y si aumentamos la tasa de
ahorro?
s*ƒ(k)
s*f(k*)=δk*
• Esto aumenta la pendiente
de la función de inversión.
• La función cambia hacia arriba
k
k*
• Esto aumenta el nivel del capital y del producto
por trabajador del estado estacionario.
• ¿Y si bajamos la tasa de ahorro?
• Esto disminuye el nivel del capital y del producto del estado
estacionario.
k*
Conclusión
• El modelo de Crecimiento de Solow es un modelo
dinámico que nos permite ver cómo la variable exógena
ahorro afecta a las variables endógenas: capital por
trabajador y producto por trabajador.
• También como la depreciación afecta la formacion de
capital, y el efecto que la asignacion inicial de capital
tiene en la determinacion de los valores de las variables
en su trayectoria hacia el equilibrio.
• En la próxima presentacion incluiremos los cambios en
otras variables exógenas; el crecimiento de la población
y el cambio tecnológico.