Download Ecuación ¿Primer grado con una incógnita?

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Álgebra, ecuaciones y sistemas
1.
Las letras en las matemáticas: las expresiones algebraicas
2.
Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con
monomios
3.
Polinomios. Operaciones con polinomios
4.
Identidades notables. Factorización
5.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y
con denominadores
6.
Utilización de ecuaciones de primer grado para la resolución
de problemas
7.
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
8.
Número de soluciones de la ecuación de segundo grado.
Interpretación gráfica
9.
Ecuaciones de primer
Representación gráfica
grado
con
dos
incógnitas.
10. Sistemas de ecuaciones de primer grado. Resolución gráfica
y discusión
11. Métodos algebraicos de resolución de sistemas
12. Resolución de problemas con sistemas
Índice del libro
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
1. Las letras en las matemáticas: Las expresiones algebraicas
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Expresión algebraica: expresión matemática de un conjunto de operaciones
entre números (los datos conocidos) y letras (las incógnitas o variables).
Los elementos de una expresión algebraica son:
•Variables: son las cantidades desconocidas que se representan con letras.
•Términos: Cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. Cada
término tiene una parte literal (letras) y parte numérica (coeficiente).
Ejemplo: expresión algebraica de una superficie
¿Cuál es la superficie total de las dos parcelas?
A  ab  c d
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2. Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomios
MONOMIOS
Monomio: expresión algebraica de un solo término en la que hay un número
que multiplica a una o varias variables (con exponente natural).
Grado de un monomio: número de letras que tiene su parte literal. Se calcula
sumando los exponentes.
Dos monomios son semejantes cuando sus partes literales son iguales.
Ejemplos: monomios
1
2
4  a3  a  b 7  x 2  y 3   x 4   p  q
3
3
5
4  x  xson monomios semejantes
3
2  x 2  y  z 4 34  x 2  y  z 4 son monomios semejantes
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2. Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomios
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
Solo se pueden sumar y restar monomios semejantes. Para sumar o restar
monomios semejantes, se suman o se restan sus coeficientes y se deja la
misma parte literal.
Ejemplos: suma de monomios
Suma
2  x  y  5 x  8  x  y  3 x
2 x  y  5 x  8  x  y  3 x
2 x  y  8  x  y  5 x  3 x
2  8  x y   5 3 x
10  x  y  2  x
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2. Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomios
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS
Para multiplicar o dividir monomios no es necesario que sean semejantes.
Basta con operar los coeficientes por un lado y las letras (parte literal) por otro
utilizando las propiedades de las potencias.
Ejemplos: multiplicación y división de monomios
Multiplica
 2  a2  b    4  x 
 2  a2  b    4  x   2  4  a 2  b  x  8  a 2  b  x
Divide
15  a 4  b  c 3
5  a2  c 2
15  a4  b  c 3
1
4
3 1 1
4
3 1

15

a

b

c




15

a

b

c
  a 2  c 2  3  a2  b  c
2
2
2
2
5 a c
5
5a c
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3. Polinomios. Operaciones con polinomios
POLINOMIOS
Polinomio: suma de monomios.
Cada uno de los monomios que lo forman se llama término.
El grado de un polinomio viene dado por el término de mayor grado.
Los números que multiplican a las letras en cada término se llaman
coeficientes.
Un polinomio puede tener varias letras diferentes, llamadas variables.
Vamos a estudiar polinomios con una sola variable, x, P(x)
Ejemplos: tipos de polinomios
1
 x  y  2  a  b  5  x 2  y 3  3es un polinomio de grado2  3  5
4
P( x) 3 x 3  4 x 2 4 x  6es un polinomio en x de grado3
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3. Polinomios. Operaciones con polinomios
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se agrupan sus términos semejantes y se suman.
Para restar dos polinomios sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplos: suma y resta de polinomios
P( x ) 3 x 3  4 x 2 4 x  6
P( x ) 3 x  4 x 4 x  6
3
2
Q( x )  2 x 3 x 2 5x
Q( x )  2 x 3 x 2 5x 0
P( x )  Q( x )  5 x 3  3x 2 x 6
P( x )  Q( x )
P( x )  Q( x )
P( x )3x 3  4 x 2 4 x 6
Q( x ) 2x 3 x 2 5x 0
P( x )  Q( x ) x 3  5x 2  9x 6
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3. Polinomios. Operaciones con polinomios
PROCUCTO DE DOS POLINOMIOS
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de los
polinomios por todos los términos del otro polinomio y después se agrupan los
términos semejantes obtenidos.
Ejemplo: producto de polinomios
3 x 3 2 x 2  0 x 1
P( x ) 3 x 3 2 x 2 1
x4 x  2
Q( x )  4 x  2
6 x 3 4 x 2 0 x2
P( x )  Q( x )
12 x 4 8 x 3  0 x 2 4 x 0
12 x 4  14 x 3  4 x 2 4 x 2
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3. Polinomios. Operaciones con polinomios
DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios debemos seguir un procedimiento que tiene varios
pasos. Vamos a ver con un ejemplo como se dividen dos polinomios.
Ejemplo: división de dos polinomios
1 de 4
4
3
2
Vamos a dividir el polinomio P( x)  3x  4 x  6 x  4 x  8
Q( x)  x 2  2x  1
entre el polinomio
1. El grado del polinomio dividendo debe ser mayor que el grado del
polinomio divisor y ambos deben colocarse con sus términos ordenados en
forma decreciente:
3x 4  4 x 3  6x2  4 x  8 x2  2x  1
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3. Polinomios. Operaciones con polinomios
Ejemplo: división de dos polinomios
2 de 4
2. Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de
mayor grado del divisor.
Este resultado es el primer término del cociente: 3x 4 / x2  3x 2
3x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  8 x 2  2 x  1
3x 2
3. Se multiplica el término obtenido en el cociente por todos los términos del
divisor, se ponen los monomios obtenidos debajo de los términos
semejantes correspondientes del dividendo con el signo contrario del
obtenido y después se suman. Se baja el siguiente término del dividendo
4x :
3x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  8 x 2  2 x  1
3x 4 6 x 3 3x 2 3x 2
 2 x 3  3x 2  4 x
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3. Polinomios. Operaciones con polinomios
Ejemplo: división de dos polinomios
3 de 4
4. De nuevo, dividimos el término de mayor grado del nuevo dividendo entre
el término de mayor grado del divisor 2x 3 / x 2  2x
A continuación se multiplica el cociente obtenido 2x por el divisor,
los términos obtenidos se ponen cambiados de signo debajo de los
términos semejantes correspondientes del dividendo y después se suman:
3x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  8 x 2  2 x  1
3x 4 6 x 3 3x 2 3x 2  2 x
2 x 3  3x 2 4 x
2 x 3  4 x 2 2 x
x 2  2 x 8
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Álgebra, ecuaciones y sistemas
3. Polinomios. Operaciones con polinomios
Ejemplo: división de dos polinomios
4 de 4
5. Continuamos con este proceso hasta que el grado del dividendo sea menor
que el grado del divisor. En este caso ya hemos llegado en el dividendo a 9,
con lo que hemos terminado la división y este 9 será el resto de la misma.
3x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  8 x 2  2 x  1
3x 4 6 x 3 3x 2 3x 2  2 x  1
2 x 3  3x 2 4 x
2 x 3  4 x 2 2 x
 x 2 2x  8
  x 2 2x  1
9
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4. Identidades notables. Factorización
4.1. Identidades notables
IDENTIDADES NOTABLES
Cuadrado de una suma
Cuadrado
de una diferencia
Suma por diferencia de
dos cantidades iguales
(a  b)2  a2  2  a  b  b2
(a  b)2  a2  2  a  b  b2
(a  b)  (a  b)  a2  b2
a  b
a  b
a  b
xa  b
xa  b
xa  b
ab  b2
ab b2
ab b2
a2 ab
a2 ab
a2 ab
a2  2ab  b2
a2  2ab b2
a2  b2
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Álgebra, ecuaciones y sistemas
4. Identidades notables. Factorización
4.2. Factorización de polinomios
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio: expresarlo como producto de factores irreducibles.
Para factorizar un polinomio se pueden utilizar varias estrategias: unas
veces podremos hacerlo sacando factor común, otras, aplicaremos las
igualdades notables.
Ejemplos: factorización de polinomios
Factorizar
x 4  8 x 3 3x 2
x 4  8x 3 3x 2  x 2  (x 2  8x 3)
Factorizar
x 2 9
x 2 9  (x 3)  (x 3)
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5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadores
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación es de primer grado con una incógnita cuando solo tiene una
variable y el mayor exponente de la variable es 1.
Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita consiste en
encontrar el valor de la letra x que hace que se verifique la igualdad: este valor
se llama solución de la ecuación.
Ecuación
¿Primer grado con
una incógnita?
2  a 3  5
Sí
5  x2  x  1
No
3 x  y  4  7  4 x
No
5 x  4  x  3
Sí
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Álgebra, ecuaciones y sistemas
5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadores
ECUACIONES EQUIVALENTES
Ecuaciones son equivalentes: tienen la misma solución.
Para resolver ecuaciones debemos de ir transformando la ecuación que nos
dan en otra equivalente que sea fácil de resolver. Para ello, podemos hacer
algunas transformaciones que mantienen la equivalencia.
Transformación equivalente
Regla práctica
Regla de la suma: sumar o
restar la misma expresión en
ambos miembros de la
ecuación.
Si un término está sumando
en un miembro, pasa al otro
restando, y si está restando,
pasa sumando.
Regla del producto:
multiplicar o dividir los dos
miembros por un mismo
número distinto de cero.
Si un número está
multiplicando en un miembro,
pasa al otro dividiendo, y si
está dividiendo, pasa
multiplicando.
Ejemplo
4  x  3  27
4  x  27  3
4  x  24
4  x  24
x  24 
x6
1
4
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Álgebra, ecuaciones y sistemas
5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadores
Pasos para resolver una ecuación de
primer grado con denominadores
a) Quitar denominadores. Se calcula el m.c.m. de
los denominadores, se divide este m.c.m. por
cada denominador y el resultado se multiplica
por el numerador.
b) Quitar paréntesis. Operamos teniendo en cuenta
la regla de los signos: un signo menos delante de
un paréntesis cambia todos los signos que hay
dentro del mismo.
m.c.m.( 2 , 3 , 4 )  12
4  ( x  1)
12

6  ( x  2)
12
4  x  4  6  x  12
12


12  x
12

3 1
12
12  x  3
12
4  x  4  6  x  12  12  x  3
c) Transponer los términos con x. Lo que está
sumando pasa al otro miembro restando, y lo que
está dividiendo pasa multiplicando. De esta
forma, pasamos las letras al primer miembro, y
los números quedan en el segundo.
4  x  6  x  12  x  3  4  12
d) Simplificar y reducir términos semejantes en cada
miembro.
14  x  19
e) Despejar la incógnita y simplificar si es necesario.
x  19 / 14  19 / 14
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6. Utilización de ecuaciones de primer grado para la resolución de problemas
RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Lectura y comprensión del enunciado del problema. Hay que entender los
datos, las preguntas, y cuáles es la incógnita.
2. Planteamiento de la ecuación y resolución. Se plantea la relación
traduciendo al lenguaje algebraico. Se escribe la ecuación y se resuelve.
3. Comprobación. Se escriben las respuestas a las preguntas del enunciado y
se comprueba la solución.
Tipo de problema
Posibles estrategias
velocidad 
espacio
tiempo
Móviles
Utilizar la ecuación
Geométricos
Realizar un dibujo de la situación asignando los datos conocidos
Numéricos
Intentar asociar la incógnita con el número menor
Edades
Hacer una tabla organizando las edades
Mezclas
Hacer una tabla con la información de cada sustancia y de la
mezcla
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Álgebra, ecuaciones y sistemas
7. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
7.1. Resolución de ecuaciones incompletas
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión algebraica
de la forma a · x2 + b · x + c = 0 donde a, b y c son números reales y a ≠ 0
 Si c = 0, entonces, la ecuación a resolver es a · x2 + b · x = 0
Estas ecuaciones se resuelven sacando x factor común
Una solución es x = 0
 Si b = 0, entonces, la ecuación a resolver es a · x2 + c = 0
Se resuelve despejando x2 y haciendo la raíz cuadrada
 Si b = 0 y c = 0, entonces, la ecuación a resolver es a · x2 = 0
La solución es x = 0
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
7. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
7.2. Resolución de ecuaciones completas
SOLUCIÓN ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Las soluciones de una ecuación de segundo grado completa se obtienen con la
siguiente fórmula:
a  x2  b  x  c  0
b  b2  4  a  c
x
2a
Ejemplo: resolver una ecuación de segundo grado
x2  3  x  4  0
b  b2  4  a  c ( 3 )  32  4  1  ( 4 ) 3  25 3  5
x



2a
2 1
2
2
x1 
35
35
 4;x2 
 1
2
2
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Álgebra, ecuaciones y sistemas
8. Número de soluciones de la ecuación de segundo grado.
Interpretación gráfica
NÚMERO DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del signo
del discriminante:
a  x2  b  x  c  0
discriminante  Δ
Δ  b  4ac
2
b  b 2  4  a  c b  Δ
x

2a
2a
Discriminante Δ
Número de soluciones
Δ>0
dos soluciones distintas
Δ=0
una solución
Δ<0
la ecuación no tiene solución (en los Números Reales)
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
8. Número de soluciones de la ecuación de segundo grado.
Interpretación gráfica
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
y  a  x 2  b  x  cEn el plano ( x ,y ) es una parábola de eje vertical
 Parábolay  a  x 2  b  x  c 
2
Puntos corte con ejex
 a  x  b  x  c  0
 Ejexy  0

Puntos de corte con ejex
( x1 
b  Δ
b  Δ
 ,0 );( x2 
 ,0 )
2a
2a
b
b2
VérticeV( 
 ,
 c)
2  a
4  a
Ejerectaverticalx  
b
2  a
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
8. Número de soluciones de la ecuación de segundo grado.
Interpretación gráfica
REPERESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CASOS POSIBLES DE CORTE
Δ>0
Δ=0
Δ<0
 b  b 2  4  a  c b  Δ
a  x  b  x  c  0Δ b  4  a  cx 

2a
2a
2
2
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Álgebra, ecuaciones y sistemas
9. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Representación gráfica
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
O ECUACIÓN LINEAL
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas también se denomina
ecuación lineal y es una expresión de la forma
 a,b,c constantes
a  x  b  y  c
 x ,y incógnitas
Los puntos ( x , y ) forman una recta, por eso se llama ecuación lineal.
Ejemplo: dibujar la gráfica de una ecuación lineal
x  y  12
Dibujar x  y  12
y  12  x
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
10. Sistemas de ecuaciones de primer grado. Resolución gráfica y discusión
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto
formado por dos ecuaciones lineales que se cumplen a la vez
 a  x  b  y  c
 a,b,c ,a',b',c' constantes



 a'  x  b'  y  c'
 x ,y incógnitas
La solución del sistema es un par de números ( x , y ) que verifican las dos
ecuaciones. Un par de números representa un punto en el plano.
Cada ecuación lineal que forma el sistema representa una línea recta.
 Sistema compatible determinado: las rectas se cortan en un punto.
Solución única.
 Sistema incompatible: las rectas son paralelas, no se cortan. El sistema no
tiene solución.
 Sistema compatible indeterminado: las dos ecuaciones representan la
misma recta, una ecuación se puede obtener multiplicando la otra por un
número. Hay infinitas soluciones.
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
10. Sistemas de ecuaciones de primer grado. Resolución gráfica y discusión
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA
DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Hacemos la tabla correspondiente a cada una de las ecuaciones
2. Representamos gráficamente las dos rectas en unos ejes de coordenadas
3. Hallamos gráficamente el punto de corte de las dos rectas
Ejemplo: resolución gráfica de un sistema de ecuaciones
 2  x  y  1
Resolver gráficamente

 x  y  1
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
11. Métodos algebraicos de resolución de sistemas
11.1. Método de sustitución
SUSTITUCIÓN
Pasos a seguir
1. Se despeja una de las incógnitas
en una de las ecuaciones
2. Se sustituye la incógnita
despejada en la otra ecuación
3. Se resuelve la ecuación
4. Se halla la incógnita que falta
 x  2  y  11


4

x

y

8

Despejamos la x en la primera
x  2  y  11x  11 2  y
Sustituimos la x en la segunda
4  x y  8
4  (11 2  y) y  8
4  (11 2  y) y  8
y4
x  11 2  y
x  11 2  4  3
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
11. Métodos algebraicos de resolución de sistemas
11.2. Método de igualación
IGUALACIÓN
Pasos a seguir
1. Se despeja la misma incógnita en
las dos ecuaciones
2. Se igualan las dos expresiones
obtenidas y se tiene una ecuación
de primer grado
3. Se resuelve la ecuación
4. Se halla la otra incógnita
sustituyendo en alguna ecuación
3 x  y  7


2

x

y

13

3  x  y  7y 3  x 7
2  x y 13y  2  x 13
3  x 7 2  x 13
3  x 7 2  x 13
x  20
y 3  x  7y 3  20  7  53
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
11. Métodos algebraicos de resolución de sistemas
11.3. Método de reducción
REDUCCIÓN
3 x  2 y  4


 2  x 3  y 1
Pasos a seguir
1. Mediante multiplicaciones
igualamos los coeficientes de una
de las incógnitas en las dos
ecuaciones
2  ( 3  x  2  y  4 )6  x  4  y  8
3  ( 2  x 3  y 1 )6  x 9  y3
6  x  4  y  8
2. Se suman o restan las ecuaciones
para eliminar una de las
incógnitas
6  x 9  y3
 5  y  5
5  y  5
3. Se resuelve la ecuación
4. Se halla la incógnita que falta
mediante sustitución
y  1
3  x  2  y  43  x  2  ( 1 )  4
x2
1
Álgebra, ecuaciones y sistemas
12. Resolución de problemas con sistemas
RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Cuando en un problema aparecen dos incógnitas, tendremos que plantear
dos ecuaciones para poder resolverlo.
Ejemplo: problema con dos incógnitas y dos ecuaciones
El perímetro de un triángulo isósceles mide 75 cm y cada uno de los lados
iguales mide el doble que el lado desigual. ¿Cuánto mide cada lado?
 2  x y  75

 P  2  x  y  75
 x  2  y 0 x  2  y

 x  2  y
2  x  y  75
2  ( 2  y ) y  75
4  y y  75
75
5  y  75y 
 15
5
x  2  y  2  15  30