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Intervalos de Confianza
Contenido
Estimación de parámetros
Estimación de intervalos
Intervalo de confianza para la media
Intervalo de confianza para la varianza
Otros Intervalos de Confianza
Intervalos de tolerancia
Ints. de confianza y regresión lineal

UMSNH-FIE
Estimación de Parámetros
Parámetros poblacionales y Estadísticos Muestrales
Parámetros:
160
Histograma de la Poblacion
Media (m)
140
Frecuencia
120
Datos
(Población de Interés)
Varianza(s2)
100
80
Desv. Est. (s)
60
40
20
0
-4
Etc.
-2
0
Clases
2
4
Inferencias
Muestreo
Histograma de la Muestra
Estadísticos:
16
14
Promedio ( X )
Muestras
Frecuencia
12
10
Varianza muestral(S2)
8
6
Desv. Est. muestral(S)
4
2
0
-4
-2
0
Clases
2
4
Etc.
UMSNH - FIE
Estimación de Parámetros
Ejemplo: Estimación de la media de una población
Parámetro que se pretende estimar : La media de la población ( µ ) que en
general no se conoce, no se puede conocer, o se conoce sólo un valor teórico:
Estimador: La media muestral ( X ) que se calcula a partir de una muestra de
N datos como sigue:
____
X
1
(x1  x 2  ...  x N )
N
El estimador (en el ejemplo la media muestral) puede tomar diferentes
valores (aleatorios) dependiendo de la muestra (aleatoria) considerada, es
decir, el estimador es una variable aleatoria
Es natural preguntarse : ¿Cuál será la distribución de probabilidad del
estimador? De hecho ¿cuáles serán sus parámetros? ¿tendrán que ver con los
de la población?
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Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
Población de interés : El conjunto de datos obtenidos al lanzar un dado legal
en diversas ocasiones
Parámetro de interés : La media (µ) de la población
Estimador: La media muestral ( X )
____
1
X  N (x
1
 x 2  ...  x N )
Experimento aleatorio : Lanzar un dado
Variable aleatoria X= número obtenido en la cara superior
Espacio muestral = {1, 2 , 3, 4, 5 , 6}
Distribución de la variable aleatoria X: Uniforme
Media teórica: µ=3.5
UMSNH - FIE
Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
Distribución de la variable aleatoria (X) del experimento
Función de Probabilidad: f(x) = P(X=x)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Función de Probabilidad
0.2
f(x)
0.15
0.1
m
0.05
0
1
2
3
4
5
6
x
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Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
Distribución del estadístico
.
X
Diferentes cálculos de X para N=10:
Muestra
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
X
1
1
3
5
1
1
2
2
4
2
2
2.1
2
1
5
3
6
3
3
6
4
2
5
3.8
3
6
1
5
3
5
4
5
3
2
2
3.2
4
2
5
2
4
1
5
3
6
6
4
3.8
5
3
6
5
4
5
4
3
2
3
4
3.7
...
...
Cada muestra puede considerarse como:
 10 valores de la variable aleatoria X,
 1 sólo valor para 10 variables aleatorias X1,X2,...,X10
UMSNH - FIE
Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
Distribución del estadístico
X
.
Si obtenemos 1000 muestras, obtendremos 1000 valores de X , para
estos 1000 valores realizamos el histograma:
frecuencia relativa
0.25
Distribución de la media muestral
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
X
4
5
6
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Estimación de Parámetros
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
Código en Matlab:
%se simula el dado
x=round(rand(N,n)*6+0.5);
M=sum(x)/N;
[X,c]=hist(M,15);
%se grafica el histograma de frecuencia relativa en p.u.
X=X/n;
bar(c,X)
Recordatorio: Cada muestra puede considerarse como:
 10 valores de la variable aleatoria X,
 1 sólo valor para 10 variables aleatorias X1,X2,...,X10
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Estimación de Parámetros
^ que pretende estimar un parámetro
En general: un estadístico Q
q es una v. a. Que depende de las N variables aleatorias que
forman una muestra, es decir
^
Q = f(X1,X2,...,XN)
Así, una muestra es un conjunto de valores (x1,x2,...,xN) tomados
por las variables aleatorias (X1,X2,...,XN).
Es natural suponer que la distribución f(Xi)=P(Xi=xi) de cada
variable de la muestra es igual a la de la población
^ ^
Sin embargo, la distribución f( ^
q) = P( Q = q ) del estadístico
como se vió en el ejemplo del dado es otra cosa.
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Estimación de Intervalos
^ produce un valor ^
En la explicación previa, un estimador Q
q
que pretende aproximar a un parámetro q. A este enfoque se le
llama estimación puntual
En el enfoque de estimación de intervalos, para un parámetro q
no se estima un valor, sino un intervalo de la forma l  q  u,
donde los valores extremos l, u dependen del valor numérico del
estadístico ^
q para una muestra en particular y de la distribución
^
de muestreo de Q
Es decir, l,u dependen de la muestra, por lo tanto son valores de
variables aleatorias L, U
UMSNH - FIE
Estimación de Intervalos
^ , es posible
Partiendo de la distribución de muestreo para Q
determinar valores de L,U tales que se cumpla lo siguiente:
P(L  q  U) =1 – a
Donde 0 < a < 1
Es decir, se puede garantizar con una probabilidad de 1-a que
la muestra elegida contendrá el valor verdadero de q
Al intervalo resultante l  q  u se le conoce como el intervalo
de confianza del 100(1– a) % para el parámetro desconocido q
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Estimación de Intervalos
Ejemplo: Construcción repetida de un intervalo de confianza
para la media m:
m
Si los intervalos de confianza mostrados son del 95% significa
que si se construye un gran número de ellos, el 95% de ellos
contendrá a la media
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Estimación de Intervalos
En la práctica se obtiene solamente una muestra y se calcula con
ella un intervalo de confianza dicho intervalo contiene o no
contiene a m, no es razonable asignar una probabilidad a este
evento.
La proposición a decuada es que el intervalo contiene a m “con
una confianza” del 95%
La longitud del intervalo de confianza (u-l) es una medida de la
calidad de la información obtenida en la muestra, al semi
intervalo u-q, o q-l se le llama Precisión del estimador.
¿Qué significado tiene un intervalo grande?
¿És deseable que sea grande o que sea pequeño?
¿Qué relación tiene con el valor de 1-a?
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Estimación de Intervalos
Intervalo para la Media (Varianza conocida)
Situación: Se tiene una población con media desconocida m, pero
se supone conocida la varianza s2.
Se toma una muestra aleatoria (X1,X2,...,XN). Con esta muestra
se calcula el estadístico X el cual es un estimador puntual
insesgado para la media m desconocida. Se puede obtener un
intervalo de confianza del 100(1-a) % para m si consideramos
los siguientes hechos acerca de la distribución de X:
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Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida)
1. Si la población es Normal, la distribución de X es Normal
2. Si la población no es Normal, el Teorema del límite central nos
garantiza una distribución de X aproximadamente normal
cuando N 
3. La media de X es m ( X es insesgado)
4. La varianza de X es s2/N
Teorema del Límite Central:
Afirma que la media muestral tiene una distribución Normal
aunque la población original no la tenga, siempre y cuando la
muestra sea muy grande (de manera práctica N>30)
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Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida)
De acuerdo a lo anterior, podemos suponer que la variable
___
Z
X μ
σ/ N
Tiene una distribución N(0,1)
a/2
a/2
-za/2
za/2
Z
de la figura: P{-za/2  Z  za/2 }=1-a.
Con lo cual el intervalo de confianza del 100(1-a)% para la media es
__
xz
__
σ/ N  μ  x  z α/2σ/ N
α/2
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Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida)
Ejemplo: Los siguientes son datos de conductividad térmica de cierto tipo de
hierro (en BTU/hr-ft-°F):
41.60 41.48 42.34 41.95 41.86
42.18 41.72 42.26 41.81 42.04
Una estimación puntual para la media, es X = 41.924. Hallar un intervalo de
confianza del 95 % y uno del 99% para la media.
Se supone que la población tiene una distribución Normal con s=0.3
Usamos la expresión x  z σ/ N  μ  x  z σ/ N para encontrar el
intervalo de confianza para la media: Usando Matlab para calcular za/2 =
norminv(0.025,0,1)
__
__
α/2
α/2
l = 41.924 - 1.96(0.3)/10 = 41.738, u = 41.924+1.96(0.3)/10 = 42.110
Entonces el intervalo de confianza del 95% es
41.738  m  42.11
Y la longitud de este intervalo es 3.92s/ N
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Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza conocida)
Selección del tamaño de la muestra:
La precisión del intervalo de confianza es za/2s/N esto significa
que al usar X para estimar m, el error de estimación, dado por
E=| X - m| es menor o igual que za/2s/N, con una confianza de
100(1-a)%.
El problema inverso consiste en calcular N para obtener un error
E con una confianza del 100(1-a)% previamente especificado:
N1/2= za/2s/E
Ejercicio: Calcular el tamaño adecuado de la muestra para lograr
que el error de estimación de conductividad del hierro sea menor
de 0.05 Btu/hr-ft-°F con una confianza del 95%
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Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza desconocida)
Si no se conoce la varianza s2 de la población, una posibilidad es
utilizar la varianza muestral S2 en las ecuaciones obtenidas para
estimar intervalos en el caso de varianza conocida
Este procedimiento funciona para muestras grandes (N>30), por
ello los intervalos de confianza anteriores se les suele llamar
intervalos de confianza para muestras grandes.
Si las muestras son pequeñas el enfoque anterior no funciona y
para lograr un procedimiento válido se supondrá que la población
tiene una distribución Normal
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Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza desconocida)
Si la población es Normal, la siguiente estadística
X
T= S/
N
Tiene una distribución t con N-1 grados de libertad
a/2
a/2
-ta/2,N-1
ta/2,N-1
T
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Intervalo para la media
Intervalo para la Media (Varianza desconocida)
X
T= S/
a/2
a/2
N
-ta/2,N-1
ta/2,N-1
T
de la figura: P{-ta/2,N-1  T  ta/2,N-1 }=1-a. Con lo cual el
intervalo de confianza del 100(1-a)% para la media es
x  t /2,N1 s/ N x  t /2,N1 s/ N
Ejercicio: Repetir el ejemplo de la conductividad del hierro
suponiendo que no se conoce la varianza
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Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución
Normal
Si la Población es Normal, la distribución muestral del estadístico
siguiente
S2
X  N  1) 2

Donde S2 es la varianza muestral usada como estimador puntual de s2
Es de tipo Ji-cuadrada con N-1 grados de libertad
a/2
0
a/2
c2a/2,N-1
c21a/2,N-1
X
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Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución Normal
a/2
S2
X  N  1) 2

0
a/2
c2a/2,N-1
c21a/2,N-1
X
De acuerdo a la figura, P(c21-a/2,N-1  X  c2a/2,N-1) = 1-a
Por lo tanto, el intervalo de confianza del 100(1-a)% buscado
para la varianza es
2
N  1)s 2
N

1)s
2

 2
2


1
/2,N1

/2,N1
Ejercicio: Hallar el intervalo de confianza del 95% para la
varianza en el ejemplo de la conductividad del hierro
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Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución Normal
Intervalos de confianza unilaterales.- En el caso de la varianza es
más común buscar cotas inferiores o superiores que ambas a la vez
Intervalo de confianza inferior.- Se obtiene reemplazando el límite
superior por  y c21a/2,N-1 por c21a,N-1, obteniendo:
N  1)s 2
2

2

1
,N1
Intervalo de confianza superior.- En forma similar, se reemplaza el
límite inferior por 0 y c2a/2,N-1 por c2a,N-1, obteniendo:
2
N

1)s
2  2


,N1
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Intervalo para la Varianza
Intervalo para la Varianza de una distribución Normal
Ejercicio: Un fabricante de detergente líquido está interesado
en la efectividad de su proceso para llenar envases de
detergente. La norma dice que no se debe tener una desviación
estándar s en el proceso mayor de 0.15, ya que de lo contrario
habrá envases más vacíos de lo permitido.
Se toma una muestra aleatoria de 20 envases y se obtiene una
varianza muestral s2=0.0153 onzas2. ¿Es esta medición una
evidencia de que se está cumpliendo la norma con una
confianza del 95% ?
Sugerencia: se puede usar la función chi2inv de Matlab
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Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para una Proporción
Se toma una muestra de tamaño N de una población muy grande y
resulta que X datos de la muestra pertenecen a alguna clase de
interés. Entonces un estimador puntual de la proporción p de los
datos de la población que pertenecen a la clase en cuestión es:
^P=X/N
Nótese que N y p son los parámetros de una distribución binomial
^ se puede considerar
La distribución de muestreo de P
aproximadamente Normal con media p y varianza p(1-p)/N,
siempre que p no esté muy cerca de 0 o de 1 y si N es
relativamente grande
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Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para una Proporción
De lo anterior, la distribución de la variable
Z
Pp
p1p)
N
Es aproximadamente N(0,1)
Entonces, partiendo de P{-za/2  Z  za/2 }=1-a
Obtenemos el siguiente intervalo de confianza aproximado del
100(1-a)% para la proporción p de la población que pertenece a la
clase dada:
p  z /2
p1p)
N
p p  z /2
p1p)
N
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Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para una Proporción
Ejemplo: De 1000 casos de cáncer pulmonar seleccionados al
azar, 823 son de pacientes que fallecieron. Construya un intervalo
de confianza del 95% para la tasa de mortalidad del cáncer
pulmonar
Solución: La tasa de mortalidad es la proporción de los que
mueren a los que contraen el cáncer pulmonar, de la muestra
tenemos que p^ = 0.823. Por otro lado z0.025=1.96, entonces:
0.823  1.96
0.82310.823)
1000
p 0.823  1.96
0.82310.823)
1000
Es decir, 0.799 p0.847
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Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos
distribuciones Normales
Situación: Se tienen dos poblaciones normales e independientes
con varianzas desconocidas s12, s22 respectivamente. Se tienen
disponibles dos muestras aleatorias de tamaños N1, N2 una de
cada población respectivamente. Sean S12 S22 las varianzas
muestrales respectivas. Se busca un intervalo de confianza del
100(1-a)% del cociente de varianzas s12/ s22
Para hallar el intervalo de confianza se debe recordar que la
distribución de muestreo del estadístico siguiente
F
S 22 /22
S 21 /21
Es de tipo F con N2-1 y N1-1 grados de libertad en el numerador y
denominador respectivamente. (Ver la figura siguiente)
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Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos
distribuciones Normales
S 22 /22
F  S2 /2
1
1
a/2
a/2
f /2,N2 1,N1 1  f1/2,N11,N 1
2
1
0
fa/2,N2-1,N1-1
f1a/2,N2-1,N1-1
F
Así, de la figura: P{fa/2,N2-1,N1-1  F  f1a/2,N2-1,N1-1}=1-a
Por lo tanto, el intervalo de confianza buscado es:
S 21
f /2,N 21,N 11
S 22 
21
S 21
2
2
2 S 2 f 1/2,N 2 1,N 1 1
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Otros intervalos de Confianza
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos
distribuciones Normales
Ejemplo: Una compañía fabrica piezas para turbinas. Tiene dos procesos distintos para
hacer el esmerilado de las piezas y ambos procesos producen terminados con la misma
rugosidad promedio. El ingeniero del proceso desea seleccionar el proceso con la menor
variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de 12 piezas
del primer proceso, obteniendo una desviación estándar muestral s1= 5.1 micropulgadas,
luego toma una muestra de 15 piezas del segundo proceso, obteniendo s2= 4.7. ¿Puede
elegir el primer poceso con una confianza del 90% de tener menor variabilidad en la
rugosidad?
Solución: Suponiendo que los dos procesos son Normales e independientes.
Usando la función finv de Matlab, obtenemos f0.95=2.7386 y f0.05=0.3898, por
2
5.1 2
lo tanto,
0.3898) 2 /2 5.1 2.7386)
4.7 2
Haciendo operaciones:
1
2
4.7 2
2
2
0.46 
1 /
2 3.23
 Como el intervalo incluye la unidad, no se puede concluir que los procesos
tengan variabilidad sgnificativamente diferente con una confianza del 90%
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Otros intervalos de Confianza
Resumen de intervalos de confianza
Parámetros de interés
La media m
Suposiciones
Dist. Muestral Normal (o N grande) s2 conocida
s2 desconocida (Dist. Muestral T)
La varianza s2
Dist. Normal (Dist. Muestral Ji2 )
Proporción p
Dist. Muest. Normal (N grande, p alejado de 0 y de 1)
Cociente de varianzas Dos poblaciones Normales e independientes (Dist.
s12/s22
Muestral tipo F)
s12 y s22 conocidas
Diferencia de medias
m1m2
Distribuciones
s12 = s22 desconocidas (Dist muest T)
normales,
s12  s22 desconocidas (Dist muest T)
Diferencia entre dos
proporciones p1-p2
Dist. Muestral Normal (N1 y N2 grandes, p1 y p2
alejados de 0 y de 1)
Otras... (Ver libros de estadística)
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Intervalos de Tolerancia
Concepto
En ocasiones no nos interesa estimar algún parámetro, sino
establecer un rango en donde se puede esperar que caigan
observaciones (datos) individuales en un proceso.
La respuesta es muy sencilla si se conoce la distribución y los
parámetros de la población, por ejemplo, si se obtuvo una muestra
aleatoria de una población Normal con media m y varianza s2
conocidas, se esperará que el 95% de los datos caerán entre los
límites
m  1.96s
A este intervalo se le llama intervalo de tolerancia y si m y s son
conocidos la cobertura del 95% es exacta
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Intervalos de Tolerancia
Concepto
Si m y s son desconocidos a veces se puede determinar una
constante k tal que los límites x  ks constituyan un intervalo de
tolerancia para una distribución normal
En este caso los límites del intervalo son variables aleatorias y la
proporción de datos cubierta por el intervalo no es exacta.
Entonces se debe introducir un intervalo de confianza para la
proposición de los límites del intervalo de tolerancia.
En la bibliografía se pueden consultar tablas para elegir estos
límites dada una confianza deseada para el caso Normal.
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Intervalos de Confianza y Regresión Lineal
Intervalo de Confianza para la Respuesta Media
En la regresión lineal se supone un modelo de la forma
y = mx + b
Para describir la “respuesta” y del proceso bajo la entrada x
Para una muestra de N puntos (valores de x, y) se calculan valores
^ ^
estimados m,
b de m, b resolviendo las ecuaciones normales, de
manera que se obtiene un modelo estimado ^
y =^
mx + ^b
Así, para un dato x0, se puede estimar una predicción puntual para
^
my/xo (respuesta media) mediante:
my/xo = ^
mx0+ ^
b
Se puede encontrar un intervalo de confianza para la respuesta
media my/xo dado un valor x0 como se explica a continuación
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Intervalos de Confianza y Regresión Lineal
Intervalo de Confianza para la Respuesta Media
Un intervalo de confianza alrededor de la respuesta media my/xo
del 100(1-a)% para el valor de x=x0 está dado por:
Yx 0  t /2
2 N1

x 0 x) 2
S xx
Yx 0 Yx 0  t /2
2 N1

x 0 x) 2
S xx
Donde m^y/xo se calcula a partir del modelo de regresión estimado
_2
^ 2
2
^
Además, s = S(yi - (m xi+b) ) /(N-2) y Sxx = S(xi-x) .
Obsérvese
_ que el ancho de este intervalo
_ de confianza es mínimo
para x0= x y crece a medida que |x0 - x| aumenta. En la siguiente
gráfica se muestra un comportamiento típico de este intervalo
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Intervalos de Confianza y Regresión Lineal
Intervalo de Confianza para la Respuesta Media
Límites del intervalo de confianza
para la respuesta media
Puntos experimentales
Recta de regresión
Observación: Estos límites de intervalo están basados en los puntos experimentales
dados, no se pueden usar para predecir intervalos sobre datos nuevos. A los límites
para nuevos datos se les llama límites de predicción y son más amplios que los límites
para la respuesta media
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