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Probabilidad. Variables aleatorias.
1. Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios.
2. Probabilidad de un sucesos.
3. Probabilidad condicionada.
4. Probabilidad total. Teorema de Bayes.
5. Grafica de la función de probabilidad.
6. Variables aleatorias.
7. Parámetros de una distribución.
8. Distribución binomial.
9. Variables aleatorias continuas.
10. Distribución normal.
11. Aproximación de la distribución binomial mediante la normal
Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios.
 Existen dos tipos de experimentos: deterministas y aleatorios.
 Los experimentos deterministas, son aquellos que se puede predecir el
resultado, siempre que se realice en las mismas condiciones.
 Los experimentos aleatorios, son aquellos en los que no se puede predecir
el resultado, aunque se realice en las mismas condiciones.
Los posibles resultados de un experimento aleatorio reciben el nombre de
sucesos aleatorios y se pueden clasificar en sucesos elementales o
compuestos: Suceso elemental es aquel que no se puede descomponer en
sucesos mas simples; Suceso compuesto son aquellos que están
compuestos por sucesos elementales.
 El espacio muestral es el conjunto formado por todos los sucesos
elementales.
El espacio muestral también se denomina suceso seguro, mientras que
aquel suceso que no ocurre nuca se denomina suceso imposible ()
Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios.
 Ejemplo.- La observación de puntuación obtenida en el lanzamiento de un
dado es un experimento aleatorio, cuyos posibles resultado u espacio
muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = “ obtener un 3”, es un suceso
elemental, mientras que B = “ obtener resultado impar” es un suceso
compuesto.
Operaciones con sucesos aleatorios
Dados dos sucesos A y B, de un espacio muestral E, decimos:
 A unión B = A  B es un suceso de E, cuando todos sus sucesos
elementales son suceso de A o de B
 A intersección B = A  B es un suceso de E, cuando todos sus sucesos
elementales son de A y de B.
 Suceso contrario de A = A es un suceso de E, cuando todos sus sucesos
elementales no son sucesos de A.
 Ejemplo.- En el experimento del lanzamiento de un dado, si A = “obtener
resultado par” y B = obtener múltiplo de tres”, será
A  B  2,3, 4,6; A  B  6; A  1,3,5;
Probabilidad de un suceso
 En un experimento aleatorio de n sucesos elementales, incompatibles
entre sí e igualmente probables (es decir con las mismas posibilidades de
ocurrir). Si A es un suceso, se define la probabilidad de A como:
Nº casos favorables
p  A 
Nº casos posibles
 Ejemplo.- Si se lanzan dos dados sobre un tablero y se suman los valores
de sus caras superiores. Hallar la probabilidad de A = “obtener una suma
de puntos igual a 7”.
Solución: Como los casos posibles serán (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2),
(6,1), se cumplirá
6 1
p  A 

36 6
Propiedades de la Probabilidad
 Si A y B son dos sucesos cualesquiera del espacio muestral E, y p es la
probabilidad, se cumplen las siguientes propiedades:
1.  0  p  A   1;
0  p  B 1
2. 
p  E   1;
p    0
3. 
p  A  B   p  A  p  B   p  A  B  ;
Si A y B son sucesos incompatibles: p  A  B   p  A   p  B 
4. 
p  A   1  p  A
Probabilidad condicionada
 La probabilidad de un suceso B condicionado al suceso A (B/A), será:
p  B / A 
p  A  B
p  A
Si podemos obtener p(B/A) mediante la regla de Laplace, despejando será:
p  A  B   p  A p  B / A 
 Ejemplo: Si en una clase de 20 chicos y 10 chicas, 17 chicos y 8 chicas
estudian inglés, y 3 chicos y 2 chicas francés. Calcular la probabilidad de
que un estudiante halla elegido Francés, condicionado a que sea chico.
Solución:
A  el alumno es chico;
A el alumno es chica
B  el alumno estudia Francés;
B el alumno estudia Inglés
p  B / A 
p  A  B
p  A

3
30  3
20
20
30
Probabilidad condicionada
 Dos sucesos A y B son independientes si y solo si:
p  B / A  p  B 
Que es equivalente a
p  A  B   p  A p  B 
 Ejemplo: Si A1 = “ obtener un 6 al lanzar el primer dado” y A2 = “ obtener un
6 al lanzar el segundo dado”. La probabilidad de obtener dos 6, al lanzar
dos dados serán independientes, ya que
p  A1  A2   p  A1  p  A2 / A1  
1 1
1
 p  A1  p  A2  
6 6
36
Probabilidad total.
 Si E es un espacio muestral, y A1, A2, A3, … , An son n sucesos de E tal que
n
i 1
Ai  E;
Ai  Aj   i, j  1,2,3,...,n (conjuntos disjuntos);
i j
A  E , se cumple:
n
 n
 n
p  A   p   Ai  A    p  Ai  A =  p  Ai   p  A / Ai 
i 1
 i 1
 i 1
Probabilidad total.
 Ejemplo.- En una urna hay 3 bolas blancas y 2 negras. Dos jugadores
extraen una bola cada uno sin remplazamiento, de modo que ninguno de
ellos sabe el color del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 2
tenga una bola blanca?
Solución.- Denominando B1 y B2 al suceso de obtener bola blanca, el jugador
1 y jugador 2 respectivamente. Obtendremos


 pB  pB / B   pB  pB / B  
p  B2   p  B1  B2   p B1  B2 
1
2
1
1
3 2 2 3 6
6 12 3
    



5 4 5 4 20 20 20 5
2
1
Teorema de Bayes.
 Si E es un espacio muestral, y A1, A2, A3, … , An son n sucesos de E tal que
n
i 1
Ai  E;
Ai  Aj   i, j  1,2,3,...,n (conjuntos disjuntos);
i j
A  E , se cumple:
p  Ai  A 
p  Ai / A 

p  A
p  Ai   p  A / Ai 
n
 p A  p A/ A 
i 1
i
i
Teorema de Bayes.
 Ejemplo.- En una urna hay 3 bolas blancas y 2 negras. Dos jugadores
extraen cada uno una bola sin remplazamiento, de modo que ninguno de
ellos sabe el color del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 1
obtenga bola blanca, condicionado a que el jugador 2, ha obtenido blanca?
Solución.- Denominando B1 y B2 al suceso de obtener bola blanca, el jugador
1 y jugador 2 respectivamente. Obtendremos
3 2

p  B1   p  B2 / B1 
1
5
4
p  B1 / B2  =


3
2
2
3
2
p  B1   p  B2 / B1   p B1  p  B2 / B1 
  
5 4 5 4
 
Gráfica de la función de probabilidad.
 Dependiendo de espacio muestral de un experimento aleatorio, y de los
sucesos de los cuales queremos hallar su probabilidad, su gráfica serán
puntos, curvas, etc.
 Ejemplo.- Si al lanzar un dado el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 },
y el dado está desequilibrado de forma que:
Prob (1) = Prob (3) = Prob (5)
Prob (2) = Prob (4) = Prob (6) = 2 . Prob(1)
Como debe de cumplir
Prob  E   Prob 1  2  3  4  5  6  
 Prob 1  Prob  2   Prob 1  Prob  3   Prob  4   Prob  5   Prob  6  
 3  Prob 1  3  Prob  2   3  Prob 1  3  2  Prob 1  9  Prob 1  1
1
2
 Prob 1  Prob  3  Prob  4   ; Prob  2   Prob  4   Prob  6  
9
9
Gráfica de la función de probabilidad.
 Su gráfica será.
Variables aleatorias.
 Dado un espacio muestral E, tal que para cada suceso A de E, le podemos
asignar una probabilidad p(A). Una VARIABLE ALEATORIA X (v. a. X) es una
función X : E  R (números reales) que cumple que si x(A) = B,
p(X=B) = p(A)
 Ejemplo.-
En
el
experimento
de
lanzar
tres
veces
una
moneda
(supuestamente equilibrada), podemos asignar la v. a. X = ‘número de caras
obtenidas’, que si p es la probabilidad cumplirá:
p ( X  0)  P(Cruz , Cruz , Cruz ) 
1
23
3
p ( X  1)  3  P (Cara, Cruz , Cruz )  3
Si los valores del recorrido X es un conjunto
discreto (finito o infinito
2
3
numerable)
X es, Cara
una ,variable
discreta, mientras que si
p ( Xdecimos
 2)  3que
 P(Cara
Cruz ) aleatoria
3
2
puede tomar cualquier valor de un intervalo decimos que es una variable
1
p ( X  3)  P(Cara, Cara, Cara )  3
aleatoria continua
2
Parámetros de una distribución.
 Los parámetros de una distribución son valores numéricos que caracterizan
la distribución de probabilidad. Estos parámetros suelen aportarnos datos
de centralización o de dispersión de datos.
 La Media (valor esperado o esperanza matemática), la Varianza y la
desviación típica de una variable aleatoria discreta de n valores xi (i = 1, 2,
… , n) y de función de probabilidad p, es
n
  E  xi    xi  p  xi 
i 1
n
n
  V  xi   E  xi        xi     p  xi    xi2  p  xi    2
2
2


i 1
  V  xi   E  xi     
2

2

i 1
n
x  
i 1
i
2
 p  xi  
n
x
i 1
2
i
 p  xi    2
Parámetros de una distribución.
 Ejemplo.le propone
a Pedro
el siguiente
juego:la“lanzamos
dado.es
Si
No debeJuan
de aceptar
Pedro,
dicho
juego, pues
ganancia un
media
sale
un múltiplo
de 3 yo site Juan
doy 6leeuros
en caso
contrario,
me dasun4
negativa.
Sin embargo,
diera y,
8 euros
cada
vez quetú saliera
múltiplo ¿Debe
de 3, si seria
un juegoelequitativo,
que en
caso
euros”.
de aceptar
Pedro?. ya¿En
queeste
condiciones
debería
E[xi] = Calcula
(-4) . (2/3)
+ 8 . (1/3)
0
aceptarlo?.
la media
y la =
desviación
típica.
Solución: Si denominamos la variable aleatoria xi = “los euros que gana
Pedro al lanzar el dado”, podemos construir la siguiente tabla y calcular la
media y desviación típica
Suceso
xi
p(xi)
xi . p(xi)
xi2
xi2 . p(xi)
No múltiplo de 3 (1, 2, 4, 5)
-4
2/3
- 8/3
16
32/3
6
1/3
6/3
36
36/3
1
- 2/3
52
68/3
Múltiplo de 3 (3, 6)
suma
2
1
2
E  xi   4.  6    ; 
3
3
3
68 4
 
3 9
200 10  2

9
9
Distribución binomial y normal.
 En las siguientes diapositivas, podemos ver en la página Web de Jesús
Plaza Martínez, dos ejemplos de distribución discreta (distribución
binomial) y distribución continua (distribución normal)
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de GAUSS del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/ma
tematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva