Download UNA ECUACION PARA LAS LEYES DEL MOVIMIENTO

UNA ECUACION PARA LAS LEYES
DEL MOVIMIENTO
SEGUNDA LEY
La variación del momento lineal de un cuerpo
es proporcional a la resultante total de las
fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se
produce en la dirección en que actúan las
fuerzas.
La primera ley dice que en ausencia de fuerzas el momento se
conserva. La segunda dice como cambia en presencia de fuerzas.
Ambas leyes son sintetizables en una ecuación:
 d

F  ( mv )
dt
Dos aspectos importantes de la
Segunda Ley
 d

F  ( mv )
dt
La masa es un parámetro físico que
caracteriza a un objeto.
En particular, de la ecuación de
Newton se asume implícitamente que:
LA MASA NO DEPENDE DE LA
VELOCIDAD.


d 
F  m (v )  ma
dt
Esta es una igualdad vectorial
que corresponde en realidad
a tantas ecuaciones como
dimensiones hayan (en
general 3)
Fx  m  a x
Fy  m  a y
Fz  m  a z
Agnosticismo de las Fuerzas
Eléctrica
Rozamiento
Fuerza Resultante
Gravedad
Elástica
F=FELECTRICA + FROZAMIENTO + FGRAVEDAD + FELASTICA
La fuerza resultante es la suma de fuerzas de
distintos tipos. Uno de los enunciados implícitos
en la ecuación de Newton es que estas fuerzas
pueden tratarse, a los efectos del movimiento,
como un solo objeto.
Tercer principio: Acción y reaccion
F1
F2
Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste
realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto
sobre el cuerpo que la produjo.
Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos
con fuerzas extensas
F1
F2


d 
d
d
( p)  (m1v1 )  (m2 v2 )  F1  F2
dt
dt
dt


d
d
(m1v1 )  (m2 v2 )  F12  F1EXT  F21  F2 EXT  F1EXT  F2 EXT
dt
dt
d 
( p )  FEXT
dt
Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia con Fext)
UNA ECUACION PARA LAS LEYES
DEL MOVIMIENTO
PROBLEMA DEL MOVIMIENTO
RESUELTO?
Las ecuaciones de Newton establecen una
solución al juego con los siguientes jugadores:
•tiempo (t)
•espacio (x, linea, (x,y) plano, (x,y,z) etc...
•velocidad (cambio de x con t)
•masa (propiedad física que caracteriza la “resisitividad
a la fuerza y por ende establece la inercia)
•fuerza (agentes físicos que modifican el momento (la
velocidad por la masa)
No es lo mismo conocer la existencia de la
solución (por ejemplo asumamos que se
resuelve el ajedrez y se determina que las
blancas están ganadas antes de empezar) y
conocer la solución. (en el caso del ajedrez,
saber como ganar con blancas)
Integrando funciones desconocidas: Saber
Conservación.
algo cuando no se puede saber todo.
  d 
F ( x )  ( mv )
dt
Consideremos el caso, mas simple, en que la fuerza es
solo una función de la posición, como es el caso para
dos fuerzas que nos interesan: la gravedad y la elástica
(y, veremos, modulo una constante también la eléctrica)
A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
1 2
1 2
U ( x1 )  mv1  U ( x2 )  mv2
2
2
(x1,v1)
(x2,v2)
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece
constante
•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función.
•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
su energía inicial, para conocer su velocidad.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es
decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo
tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar
en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
1 2
1 2
U ( x1 )  mv1  U ( x2 )  mv2
2
2
dU ( x)
F ( x)  
dx
(x1,v1)
(x2,v2)
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece
constante
•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función.
•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
su energía inicial, para conocer su velocidad.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es
decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo
tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar
en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
1 2
1 2
U ( x1 )  mv1  U ( x2 )  mv2
2
2
dU ( x)
F ( x)  
dx
dv
dU ( x)
m 
dt
dx
(x1,v1)
(x2,v2)
•Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la posición (Energía) que permanece
constante
•La fuerza es menos la derivada espacial de esta función.
•La velocidad es una función exclusiva del espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
su energía inicial, para conocer su velocidad.
•Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos al punto original, nada ha cambiado (es
decir la velocidad es la misma, la posición la misma, la física (las fuerzas) la misma y por lo
tanto todo se repite, resultando en oscilaciones. En particular, no es demasiado difícil oscilar
en un mundo no disipativo. Basta volver a pasar en algún momento por el punto de origen.
Dos potenciales importantes: Introduciendo el mundo elástico como el
“equilibrio puntual generico” o la resistencia a alejarse.
G(Superf) = -mg U(x)=mgx
Resorte = -kx
kx2
U ( x) 
2
E  mgx 
mv
2
2
kx2 mv2
E

2
2
U(x)
U(x)
¿Cuales son los aspectos comunes y las diferencias fundamentales entre
estos dos potenciales?
VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
•
Tener un máximo.
•
Tener un mínimo
•
Ser constante.
(Punto indiferente)
•
Crecer o decrecer
(Punto de aceleración)
(Equlibrio inestable)
(Equlibrio estable)
VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
•
Tener un máximo.
•
Tener un mínimo
•
Ser constante.
(Punto indiferente)
•
Crecer o decrecer
(Punto de aceleración)
(Equlibrio inestable)
(Equlibrio estable)
Movimiento genérico en la línea
resulta de una yuxtaposición de estos
operadores elementales.
VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no puede más que:
•
Tener un máximo.
•
Tener un mínimo
•
Ser constante.
(Punto indiferente)
•
Crecer o decrecer
(Punto de aceleración)
(Equlibrio inestable)
(Equlibrio estable)
Movimiento genérico en la línea
resulta de una yuxtaposición de estos
operadores elementales.
A partir de una función potencial uno puede LEER el movimiento y conocer en pleno detalle todos sus
aspectos cualitativos. Por lo tanto, el problema del movimiento en una dimensión, con fuerzas conservativas
esta, esencialmente, resuelto. En lo que sigue extenderemos este problema a un mundo que será mas
complejo por:
1) La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea al plano) lo cual introduce una relación entre la
geometría y la dinámica.
2) La introducción de fuerzas no conservativas que, veremos, no permiten utilizar una función temporal.
Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de
una función escalar)
En dos dimensiones, la física es la misma y para las fuerzas conservativas
puede también deducirse una función potencial. La derivada pasa a ser el
gradiente que indica no solo la magnitud del cambio sino también la
direccionalidad del cambio. (En una dimensión esto tiene un análogo en el
signo de la derivada, que indica en que sentido uno ha de moverse para que la
funcion crezca)
A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
1 2
U ( x )  mv  E
2
dU ( x )
F ( x)  
dx
dU ( x )
dv
m 
dt
dx
A partir de la ecuación de Newton, se puede inferir una funcion
potencial. Consecuencias conceptuales y practicas…
1
2
2
U ( x, y )  m(v x  v y )  E
2
dU ( x, y) dU ( x, y)
x
y
[ F ( x, y), F ( x, y)]  [
,
]
dx
dy
dv y
dvx
dU ( x, y )
dU ( x, y)
m

m

dt
dx
dt
dy
Mapas Escalares: La anatomía
de la función x*exp(r2)
2
1.5
-2
0.5
-1.5
1
-1
0.5
-0.5
0
0
0
0.5
-0.5
1
-0.5
2
1.5
1
-1
2
1
0
0
-1
2
-2
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5
-2
-2
-2
Dos representaciones
equivalentes de las “ternas”
(x,y,f(x,y))
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Las curvas de nivel, o las direcciones
a lo largo de las cuales una función
no cambia y aquellas, ortogonales, de
máximo cambio.
2
Inferir la tendencia al cambio a
partir de una función potencial
Inferir la tendencia al cambio a
partir de una función potencial
Función Potencial y campo gradiente, dos conceptos hermanaos. El gradiente es el vector
formado por el valor de cambio (con signo) en cada dirección. Apunta entonces en la
dirección donde la función mas crece. La fuerza es inversa al gradiente y cambia el momento
(alterando la tendencia a mantener la velocidad constante). Nótese que el momento evoluciona
en dirección de los pozos de potencial. Nótese también que el movimiento no converge a los
pozos (es decir, no se estaciona en un mínimo) porque la partícula tiene inercia. Un pozo
suficientemente profundo “atrapa una particula” que oscila en este pozo.
TIEMPO DE SIMULACIONES: Experimentos in-silico.