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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO
202
U N I D A D V: E L E M E N TO S D E T R I G O N O M E T R Í A
203
UNIDAD 5 (CINCO): ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
PROPÓSITOS DEL CURSO:
MOSTRAR a las razones trigonométricas como una herramienta y un modelo en la solución de problemas diversos campos del
conocimiento.
INICIAR, así mismo, un nuevo saber matemático que culminará posteriormente con el estudio de las funciones trigonométricas
204
APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE LA UNIDAD CINCO:
Al finalizar la unidad: El alumno:
 Conoce que las razones trigonométricas se derivan de una propiedad fundamental de los triángulos rectángulos semejantes, y sabrá
que existen seis de ellas.
 Aprecia la importancia de las tablas trigonométricas en la solución de problemas que involucren triángulos rectángulos.
 Construye una tabla de seno, coseno y tangente para los ángulos de: 30°, 45° y 60°.
Usa tablas trigonométricas y calculadora para obtener los valores del seno, coseno y tangente; así como de sus inversas.
 Estima el valor del resultado en la resolución de triángulos y problemas, los contrastará con los resultados obtenidos, y realizará la
validez de los mismos en el contexto del problema.
205
 Adquiere habilidad en el manejo de la calculadora al resolver ejercicios y problemas de corte trigonométrico.
 Maneja algebraicamente algunas identidades trigonométricas.
 Comprende la deducción de las fórmulas de las leyes de senos y cosenos.
 Resuelve problemas donde se involucren cualquier tipo de triángulos.
 Aplica, junto con los conocimientos de esta unidad, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el teorema de Pitágoras y los criterios de
semejanza, en la resolución de problemas.
 Valora a la trigonometría como una herramienta de gran utilidad en la solución de diversidad de problemas.
.
206
La agricultura y la navegación son actividades que, desde sus orígenes, requirieron cálculos de distancias cuya medición directa no resultaba
posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la
trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas
de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un
determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma
la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida
según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. La trigonometría se encarga de establecer
las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las
amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las medidas de unas con respecto a las medidas de las otras.
207
La observación astronómica como actividad del se humano, ha estado asociada con la noción de ángulo en geometría y obviamente en
trigonometría. Un sistema de medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras magnitudes geométricas, como
la longitud o la superficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a arcos
de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace intervenir una magnitud irracional, el número pi; esto implica
que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo la división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan
resolverse fácilmente mediante una construcción geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás.
Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR del plano que contiene a los tres puntos; dichas
semirrectas poseen un origen común N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina ángulo. Las
semirrectas son los lados del ángulo y su origen común es el vértice.
A continuación estudiaremos un poco sólo los ángulos que contienen los triángulos.
208
ÁNGULOS:
Geométricamente hablando un ángulo es la abertura entre dos semirrectas.
Por ejemplo:
C
B
R
A
Q
En cada caso tenemos momentos diferentes del ángulo
P
209
Para hacer su medición, los ángulos pueden representarse en los sistemas que
siguen:
 En el sistema sexagesimal:
1° = 60’ = 3600”
1’ = 60”
 En el sistema centesimal:
1G = 100m = 10000s
1m = 100s
210
Transformemos grados sexagesimales a grados centesimales
90° x = 100G (1°)
90 X 100 G (1)
( ¿estás de acuerdo con esto?)

90
90
Sigamos adelante:
90x 100 G (1)

90
90
100 G
x=
90
x = 1.1111G (Lo que significa que un grado sexagesimal es 1.11 grados
centesimales):1°= 1.1111G
211
También:
100 G
1G

90
x
100 G x

1G (90)
100 G x 1G (90)

100 G
100 G
x
1 (90)
100
x
90
100
x = 0.9° ( Lo que quiere decir que un grado centesimal es 0.9
grados sexagesimales): 1G = 0.9°
212
5.1).Determina los grados sexagesimales que hay en 95 grados centesimales.
5.2).Calcula los grados sexagesimales que hay en 56 grados centesimales.
5.3).Encuentra los grados centesimales que hay en 37 grados sexagesimales.
5.4).¿Cuántos son los grados centesimales que hay en 49 grados
sexagesimales?.
 El sistema circular o radial; Su unidad el radián
2  r = 360°; ahora despeja r; como tu ya sabes:
Valor del radián (r)=
=
360 180
=

2
180
3.14159
(síguele y encuentra el valor del radián en grados, minutos y segundos).
213
Hagamos nuevamente: 2  r = 360°; luego despeja 1°, como tu ya sabes; para
que encuentres el valor de 1° sexagesimal en radianes:
2  r = 360°
2  r = 360( 1°)
2r
 1°
360
r
 1°
180
3.14159 r
 1°
180
[( Un grado sexagesimal es igual a 0.01745r (radianes].
214
5.5).Encuentra los radianes( r ) que hay en 78 grados sexagesimales.
5.6).Determina los radianes( r ) que hay en 45 grados sexagesimales.
5.7).Calcula los radianes( r ) que hay en 2  grados sexagesimales.
5.8).¿Cuántos son los radianes( r ) que hay en

grados sexagesimales?.
2
5.9).Determina los grados sexagesimales que hay en 3 radianes y transformarlos
a grados, minutos y segundos.
5.10).Encuentra los grados sexagesimales que hay en 4.8 radianes y
transformarlos a grados, minutos y segundos.
215
216
5.11).Con la figura anterior, obtener las razones trigonométricas del ángulo agudo
A:
Sen A 
a

c
Cot A 
b

a
Cos A 
b

c
Sec A 
c

b
Tan A 
a

b
Csc A 
c

a
Síguele indicando la definición en cada una de las razones trigonométricas
anteriores.
217
5.12).Dibuja la misma figura que tienes en el problema 5.11, y Determina la
simbolización de las razones trigonométricas del ángulo agudo B:
Sen B 
Cot B 
Cos B 
Sec B 
Tan B 
Csc B 
220
5.15).Si los valores de de los catetos del triángulo de abajo miden 4 y 6 Cm,
Calcula la hipotenusa y las razones trigonométricas del ángulo B.
A
B
c
b
a
C
221
5.16).-Si los valores de los catetos del triángulo de abajo miden 6 y 8 Cm,
Calcula el valor de la hipotenusa y las razones trigonométricas de los ángulos A
y B.
B
c
a
A
b
C
222
Si consideramos los valores de las razones trigonométricas del triángulo
rectángulo (◮ABC) que sigue:
Son las que se indican a continuación:
Sen A 
a
c
Cot A 
b
a
Cos A 
b
c
Sec A 
c
b
Tan A 
a
b
Csc A 
c
a
223
5.17).Tomando en cuenta los valores que tienes arriba, de las razones
trigonométricas del ángulo agudo A del triángulo rectángulo, despeja los lados
del triángulo y escribe en tus propias palabras el significado de cada expresión.
A
c
b
C
a
B
224
Sen A 
a
c
Cot A 
b
a
c Sen A =
a = c Sen A
Cos A 
b
c
b= c Cos A
Tan A 
a
b
a = b Tan A
b = a Cot A
Sec A 
c
b
c = b Sec A
Csc A 
c
a
c = a Csc A
225
5.18).Considera las expresiones para calcular los lados del triángulo rectángulo
cuyo ángulo A mide 32°, determina el ángulo B y la medida de los catetos y la
hipotenusa del mismo triángulo.
A + B = 90 (
< B = 580
a = c Sen A
b = a Cot A
a = c Sen 32
b = a Tan-1= a
a = c ( 0.5299)
a = 0.5299 c
b=a(
1
)
Tan32
b =a(1.6005)
b = 1.6005 a
b= c Cos A
c = b Sec A
b = c Cos 32
b = c ( 0.8480)
b = 0.8480 c
a = b Tan A
c = a Csc A
1
TanA
226
Tan A =
a
b
Sec A = 1.1792
Csc A = 1.8871
Cot A =
1
TanA
Cot A =
1
0.6248
Cot A = 1.6005
5.19). Calcular la altura de un muro donde se ha recargado una escalera de 6
metros de largo y apoyada en el piso formando un ángulo de 42°.( Hacer la
gráfica).
227
a = c Sen A
a = 6 Sen 42°
a = 6(0.6691)
a = 4.0148(El muro mide 4.0148 m)
5.20).Para sostener un poste de 20 metros de alto, se coloca un cable desde la
punta del poste hasta el piso, formando un ángulo con el poste de 65°.
Determinar la longitud del cable utilizado, haciendo la gráfica correspondiente.
228
c = a Sec B
c = 20 Sec 65°
c = 20(2.3663)
c = 47.3261
b = 47.3261(.9063)
b = 42.8920
a = 20
229
5.21).En un edificio de 22 metros de alto hay un observador, desea saber a que
distancia se encuentra una persona, si la observa formando un ángulo de
depresión de 32° 20’. (El ángulo de depresión se forma en la parte inferior a la
horizontal que forma el observador).
230
C = 22 Csc 32° 20’
C = 22(1.8695)
C= 41.1292 m
b = 41.1292Cos32°20’
b = 41.1292(.8449)
b = 34.7501 m
☛RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30° Y 60°
Primero tracemos un triángulo equilátero:
231
C
B
30°
1
60°
AA
1b
2
a
D
C
1
3
1
4 1
3
3 1
12  ( ) 2 = 1 



=
=
=
3
2
4
4 4
4
2
2
4
1
3 ; Esto significa que en todo triángulo
Entonces:CD =
2
rectángulo 30°, 60°, 90°; la hipotenusa toma un valor cualquiera, el
cateto menor ( opuesto al ángulo de 30°) es la mitad de la hipotenusa
y el cateto mayor ( opuesto al ángulo de 60°) es el cateto menor
multiplicado por la raíz de 3. ¿Está claro?
☛CD =
232
5.22).Dibuja un triángulo rectángulo como el anterior, con un valor de la
hipotenusa de 4 Cm
y calcula el valor del cateto menor, el cateto mayor y
determina los valores del seno, coseno y tangente de los ángulos de 30° y 60°
(simplificados lo más que puedas) y determina sus inversas.
C
B
30°
4
60°
AA
2 3
a
2b
D
C
Sen 30 
2
4
Cos 30 
2 3
4

1
2
=
3
2
1
Sen 30
2
Tan 30 
 2 
Cos 30
3 2 3
2
Sen 60 
2 3
4
Cos 60 
2
1

4
2

3
2
3
Sen 60
2 3
Tan 60 
 2 
 3
1
Cos 60
2
2
233
5.23).Con un triángulo 30°, 60° ,90°. Darle un valor a la hipotenusa de 5 Cm;
determina los valores de los catetos menor y mayor y calcula las razones
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°.
B
A
60°
b
C
A a b
c =5a
30°
C
B
☛RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DE 45°.
Tomemos un cuadro cualesquiera con una de sus diagonales y pongamos el
símbolo a para cada uno de los lados del cuadro:
234
a
a
a
☛El cuadro anterior fue dividido en dos triángulos
rectángulos isósceles.
☛Los ángulos agudos de cada triángulo son iguales
por tratarse de triángulos isósceles y por lo tanto
miden 45°.
a
Ahora calculemos los lados de uno de los triángulos rectángulos y determinemos
las razones trigonométricas de los ángulos de 45°.
235
Empecemos con el valor de 1 para los catetos: Suponiendo que les llamemos a,
entonces aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:
a2  a2  c2
Podemos afirmar que en este tipo de triángulos, los
catetos toman cualquier valor numérico y la hipotenusa
es el valor de los catetos por la raíz de dos.
12  12  c 2
Sustituyendo ya que a = 1
11  c2
Desarrollando
2 = c2
Agrupando
2  c2
Aplicando regla
2 c
Desarrollando. Aquí se nota y debemos de estar de
acuerdo que el coeficiente de la
de los catetos iguales.
2 es 1, o sea el valor
236
Ahora síguele con los valores 2 y 3, utilizando el procedimiento planteado.
5.25).Si consideramos los valores de las razones trigonométricas de los ángulos
de 30°, 45° y 60°( se indican en las tablas anexas), determina y verifica el
cumplimiento de las identidades que a continuación se escriben.
Con:
Sen 30 
Cos 30 
Tan 30 
1
2
Sen 60 
1
2
1
3
3
1
2
Cos 60 
1
2
Tan 60 
3
1
3
237
Sen 45 
1
2
Cot 45 
Cos 45 
1
2
Sec 45 
Tan 45 
1
1
1
Csc 45 
1 1
 (1)
5.25.1). Sen 30° + Cos 60°(Cot 45°)=
2 2
5.25..2). Sen 60° + Cos 30°(Tan 45°)=
1
1
1
2

1
2

1
=
2
2
1 1 2
  1
2 2 2
238
5.25.3).Verificar
la
Sen 2 30  Cos 2 30  1
identidad:
Sen 2 45  1  Cos 2 45
Sen 2 30  Cos 2 30  1
1 2
1
( ) (
2
2
3) 2  1
1
3
( )  ( ) 1
4
4
4
1
4
11
y
239
Sen 2 45  1  Cos 2 45
(
1 2
1
)  1  ( )2
2
2
1
1
 1
2
2
1 2 1
 
2 2 2
240
Sen 30 
1
2
1
2
Cos 30 
Tan 30 
1
3
3
Sen 60 
1
2
Cos 60 
1
2
Tan 60 
3
1
Sen 45 
1
2
Cot 45 
Cos 45 
1
2
Sec 45 
Tan 45 
1
1
1
Csc 45 
3
1
1
1
2

1
2

1
2
2
241
5.25.4).-Verificar la identidad: Cot 30  Csc 30  1 y Csc 45  1  Tan 45
2
2
Cot 2 30  Csc 2 30  1
3  22  1
2
3= 4 – 1
3 = 3; Si es cierta la identidad( se verifica)
Csc 2 45  1  Tan 2 45
2  1  12
2
2 -1= 1
1 = 1; Si es cierta la identidad( por tanto se verifica)
2
2
242
243
244
Escribe todo lo que entiendas al
mirar, escuchar y analizar.