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Resumencisimo
A  A1 cos  w1t   A2 cos  w2t 
AR
Que sucede en el caso en el que las amplitudes no son iguales.
 2 1  R
2

w
I  A12  A22  2 A1 A2c os  w1  w2  t
La representación esepctral. Para dar
forma (para mandar información) no
basta con emitir en una frecuencia
pura. Cambiando la amplitud de w2,
por ejemplo, se puede modular la
amplitud de la señal. Con que
resolución temporal?
w1 w2
Una de las enésimas
manifestaciones del principio
de incerteza. Para tener
mucha resolución temporal
(para generar fluctuaciones
muy rápidas) hace falta un
ancho de frecuencias muy
grande. Si se dispone de
una banda de frecuencias
pequeña, la resolución
temporal es pobre.
A cos  wt  1   A cos  wt  2 
 1   2 
Ar  2  A  cos 

2


AR
 2 1  R
La suma (superposición) de dos funciones trigonometriítas de igual frecuencia resultan
en una tercera, de la misma frecuencia y de amplitud determinada por la relacion de
fase entre ambas. Cuando la diferencia de fase es de medio ciclo, se anulan.
A1 cos  wt  1   A2 cos  wt  2 
I  A12  A22  2 A1 A2c os 2  1 
AR
 2 1  R
La suma (superposición) de dos funciones trigonometriítas de igual frecuencia y
diferente amplitud (el caso mas genérico) resulta en la modulación de la amplitud por
un termino de interferencia que no llega a anularse.
Sumando ondas, interferencia, fases y batidos:
Al tiempo se le suma el espacio. Una onda como función de
propagación. El presente de cada punto corresponde al pasado de
algún otro.
Mirar la posición en
función del espacio, para
un tiempo fijo.
Una oscilación cos(kx)
Mirar la posición en
función del tiempo, en un
punto fijo.
Una oscilación
2
cos  kx    
k
2
cos  wt    
w
Existe alguna
relación
entre w y k??
Modelo de juguete de una cuerda, de un polímero, del campo
eléctrico, del agua. En fin, de cualquier continuo en el que
sus componentes están unidas elásticamente. En este caso,
solo para que la vida sea mas fácil, los nodos se mueven
hacia arriba y hacia abajo.
En esta configuración, todas las fuerzas son cero.
No hay tensión y la cuerda esta en equilibrio.
Se rompe el equilibrio, generando una perturbación en un punto. Pasa lo que
todos sabemos, una suerte de efecto domino.
Cuanto tiempo tarda en “reaccionar” el nodo contiguo?
Cuanto mayor la fuerza (k), mas aceleración, cuanto
mayor la masa (m), mas inercia. Por ende, la
propagación de esta perturbación ((( la velocidad a la
que viaja la onda, veremos))) debería aumentar con k y
disminuir con m.
El efecto domino no lo es tanto, los dominós no se caen (tienen inercia) y
Dos rasgos característicos mas:
1) Las masas tienen inercia
2) Las fuerzas son reciprocas (acción y reacción) tao,
la perturbación de la primer masa perturba la
segunda y esta a su vez perturba la tercera (la onda
que viaja), pero también la primera!. En ausencia de
fricción, este conjunto de resortes, se queda
oscilando.
Pregunta: Sobre que nodos (olvidemos los del borde) hay una fuerza neta?
La fuerza ejercida sobre un nodo resulta de la suma de fuerzas de sus nodos
contiguos. Cada una de estas fuerzas queda determinada por la “pendiente”,
es decir la derivada. Por ende, si la pendiente cambia (la derivada de la
derivada, osea la derivada segunda) fuerzas habemus. A que corresponde
esto geométricamente.
La derivada segunda determina los puntos de curvatura (como el mínimo de
un potencial armónico). Los puntos de mas curvatura, los de mas torsion, los
de mas derivada segunda - veremos porque vale la pena introducir esta
noción – son donde hay mayor fuerza.
Que da la ecuación de movimiento?
En el continuo, se vuelve mas fácil…
kL  u  x, t   u  x, t 

2
2
m
x
t
2
v
2
F  m a
2
2
Versión “mas”correcta
 u  x, t 
 u  x, t 
k
 m
2
2
x
t
2
2
Se puede, por lo tanto, estimar, casi sin cuentas, la ecuación de onda. Esta
es una ecuación nueva, que relaciona la derivada segunda (la curvatura) en
el espacio con la derivada segunda (la curvatura) en el espacio,
estableciendo una física de propagación y tensión. Es una de las ecuaciones
mas ubicuas (fundamentales) de la física.
 u  x, t   u  x , t 
v

2
2
x
t
2
2
2
Cualquier solución de la forma
f ( x  vt )
Funciona. Cualquier suma de estas
soluciones también funciona. Todas
estas soluciones son ondas (hay
muchas de ellas, viajeras, esféricas,
estacionarias que resultan
básicamente de combinaciones
(interferencia) de estas funciones en
alguna base. Que es eso?
Una solución de la ecuación de
ondas en 1 y 2 dimensiones con
condición de borde (z=0 en la
frontera). Suma de ondas viajeras
reflejadas.
 u  x, t   u  x , t 
v

2
2
x
t
2
2
2
También es una solución:
cos(kx  wt )
k v w
2
2
2
Siempre que
w 
v 
k T
La distancia
recorrida en
un ciclo
El tiempo
que tarda
un ciclo
La velocidad es
c para la luz en
el vacío, LK/M
para una cuerda,
dP/dp para el
sonido …
Mirar la posición en
función del espacio, para
un tiempo fijo.
Una oscilación cos(kx)
Existe alguna
relación
entre w y k??
Mirar la posición en
función del tiempo, en un
punto fijo.
Una oscilación
2
cos  wt    
w
2
cos  kx    
k
cos(kx  wt )
w 
v 
k T
La distancia
recorrida en
un ciclo
El tiempo
que tarda
un ciclo
Mismo w (el
ciclo en un
punto es
igual) pero k
es mayor (el
periodo mas
pequeño)
entonces la
velocidad
de
propagación
disminuye.
w 
v 
k T
La distancia
recorrida en
un ciclo
El tiempo
que tarda
un ciclo
cos(kx  wt )
Mismo v (el
frente de
onda se
propaga a
la misma
velocidad)
pero k es
mayor (el
periodo mas
pequeño)
entonces w
aumenta, …
o viceversa,
como
gusten.
w 
v 
k T
La distancia
recorrida en
un ciclo
El tiempo
que tarda
un ciclo
cos(kx  wt )
Porque usar senos o cosenos: Fourier, las funciones
trigonometricas son una base de todo el espacio de funciones.
Estudiar cosenos es como trabajar en 1 dimensión en el
espacio de funciones.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
w1 w2
Esto pude extenderse de manera tal de generar cualquier
función como una combinación de senos y cosenos.
10
Conociendo como sumar funciones trigonometricas y lo que son
las ondas podemos sumar ondas: interferencia y difracción.
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
d
Una fuente de luz.
Si es (como suele ser) coherente
y es (como suele ser) monocromática.
El campo generado por la fuente en el espacio y en el tiempo es:
A  cos(kx  wt  0 )
Una región
del espacio
donde
observamos
(la pantalla,
un eje en
alguna
dirección…)
Entender el campo en todo el espacio puede ser difícil, en un punto del
espacio todo se vuelve mas sencillo, queda una función del tiempo y toda la
información espacial (la distancia entre la fuente y el punto, la longitud de
onda de la fuente) se resume en un numero: cuanto cambia la fase.
 d  kd  2
d

A  cos(wt  0  d )
Noten que la geometría, el espacio y k, a quedado
resumido en un cambio de fase. El campo eléctrico en
el punto es igual al de la fuente con un cambio de fase
que refleja el retraso.
El espacio: Un medio donde la luz se propaga a cierta velocidad.
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)

d
A  cos(kx  wt  0 )
 d  kd  2
d

La fase relativa queda determinada por la
relación (el cociente) entre d y λ, en
realidad por el resto de esta división, ya
que la parte entera de este cociente implica
que antes de llegar, la onda a dado un
numero de ciclos completos, lo que no
afecta la fase. Dicho de otra manera
(verificar esto):
d  d  m : m 
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
1 , A1
d1
2 , A2
 d  kd  2
d2
d

A1 cos( wt  1  d 1 )

A1 cos( wt  2  d 2 )
La suma de dos cosenos con una diferencia de
fase que queda determinada por una diferencia de
fase en la fuente y una diferencia de camino.
Sumar cosenos, sabemos
La “dificultad” de un ejercicio de interferencia suele
ser un problema geométrico. De calcular ángulos y
distancias.
.
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
1 , A1
d1
2 , A2
 d  kd  2
d2
d

A1 cos( wt  1  d 1 )

A1 cos( wt  2  d 2 )
  (1  2 )  k (d1  d 2 )  i  2
d

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
  2
1 , A1

90
d


1 , A1
d  d  sen( )
  2
d  sen( )

  (1  2 )   k (d1  d 2 )  i  2
d

El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
sen( ) 
1 , A1

d
Un maximo
1 , A1 
d  d  sen( )
2
2
  2
d  sen( )

d  sen( )

d  sen( )

 2m  Maximo
 (2m  1)  Minimo
I  A  A2  2 A1 A2c os   
2
1
2
El esqueleto del ejercicio típico de interferencia (y difracción)
1 , A1
sen( ) 
1 , A1 
2
2
d  sen( )

d  sen( )


d
 2m  Maximo
 (2m  1)  Minimo
Un máximo en el centro
Aguita de colores
sen( ) 
m
d
Aguita de colores
sen( ) 
m
d