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Potencial eléctrico wikipedia, lookup

Ley de Gauss wikipedia, lookup

Energía potencial wikipedia, lookup

Campo eléctrico wikipedia, lookup

Teorema de Earnshaw wikipedia, lookup

Transcript
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo se utilizará el programa de simulación QuickField, que
permite estudiar problemas electrostáticos de forma numérica, para comparar sus
resultados con los que podemos obtener de forma analítica a partir de la Ley de
Coulomb.
Se calculará el campo eléctrico de distintos tipos de distribuciones superficiales.
Éste puede interpretarse como la modificación que ejerce un cuerpo cargado sobre el
espacio que lo rodea. Existe dicho campo sí: Colocándose una carga en la proximidad
del cuerpo, se ejerce sobre ésa alguna fuerza eléctrica. La magnitud indica la fuerza por
unidad de carga que es capaz de hacer el campo generado por el cuerpo en estudio.
Para distribuciones superficiales se tiene por la Ley de Coulomb, que el campo
eléctrico está dado por:
k . .dS (r  r )

r  r
Donde es r un punto cualquiera, r’ la posición de las cargas y s la densidad
superficial de carga. En algunos casos, cuando la situación es suficientemente simétrica,
el cálculo anterior puede resolverse más fácilmente mediante la aplicación de la ley de
Gauss que se refiere a la circulación del campo a través de una superficie cerrada:
qenc
 E.dS 
3
S
0
S
Luego se averiguará la diferencia de potencial eléctrico para todo el espacio de
las mismas distribuciones. Esto representa la energía potencial almacenada en
determinado punto. En cada caso se tomará una referencia de potencial 0 de acuerdo a
lo conveniente geométricamente, en general para cargas puntuales se toma con potencial
0 el infinito, y si la carga es infinita se toma un punto fijo, arbitrario. Se puede obtener a
partir de:
V ( x, y, z )    E .dl
C
Para comparar los resultados a partir de éstas fórmulas con los del programa
QuickField, se calcularan los valores correspondientes a cinco puntos de dos
distribuciones:
- Cilíndrica infinita.
- Dipolo cilíndrico infinito.
Se despreciarán algunas causas de error, como ser en el caso del dipolo, la
redistribución de las cargas que se produce sobre las superficies, que deja de ser
homogénea al acercarse los dos cilindros. También se considerará despreciable el radio
de los cilindros respecto a las distancias de los puntos calculados.
-1-
PRIMERA PARTE
Cálculo del campo eléctrico y potencial en todo el espacio para una
distribución superficial infinita cilíndrica:
Como en este caso se trata de una situación simétrica, puede aplicarse el teorema
de Gauss; calculando el flujo del campo eléctrico a través de una superficie elegida de
forma tal, que el mismo sea constante sobre ella. Puede considerarse un cilindro de
radio r>>R y altura “d” (siendo R el radio del área cargada).
q
(Ley de Gauss)
E.ds   Exˆ.dsyˆ   Exˆ.dsyˆ   E xˆ.dsxˆ  encerrada

0
s. g
s1
s2
s .lateral
Donde las primeras dos integrales se anulan, pues xˆ. yˆ  0 y de la última
integral (tomada sobre el lateral de la superficie gaussiana) puede extraerse como
constante el valor del campo electrostático. La qencerrada puede obtenerse a partir de la
densidad de carga (dato):

q
q

sup . 2Rd
qencerrada  2. . .R.d
Operando:
 E.ds  E.  ds 
s. g .
2. . .R.d
0
s .lateral
E.2. .r.d 
2. . .R.d
0
Es apreciable que la expresión del campo obtenida es independe de la superficie
elegida. Una vez calculado el módulo, por la geometría, se ve que éste se encuentra en
dirección radial. Puede expresarse en forma genérica:
E (r ) 
 .R.K
r
rˆ
2
r es la distancia al eje z (eje del cilindro cargado) y K  9  109 N .m
Cálculo de E para algunos puntos:
Punto
r
E ( r)
A
0,1 m
22619,4 v/m r̂
B
0,3 m
7539,8 v/m r̂
C
0,3 m
7539,8 v/m r̂
D
0,4 m
5654,8 v/m r̂
E
0,49 m
4616,2 v/m r̂
-2-
C2
.
Para averiguar la diferencia de potencial en el espacio, ha de tomarse un punto
arbitrario de referencia, donde se considere V (x) = 0 v y respecto de él obtener los
demás valores. Para tener resultados comparables con el programa QuickField, se
tomará como nulo el potencial de los puntos a distancia 0,5m del centro de coordenadas.
Y así, integrando:
rf
V (r )    E .dr
ri
V (r f )  V (ri )  
 .R r 1
.dr
 0 r r
f
i
V (r )  
 .R
.ln( r f )  ln( ri ) 
0
Tomando ri = 0,5 m; y rf la distancia del cilindro al cualquier punto del espacio se tiene
que los potenciales de algunos puntos es:
Punto
Distancia r
Potencial
A
0,10 m
3640,5 v
B
0,30 m
1155,5 v
C
0,30 m
1155,5 v
D
0,40 m
504,7 v
E
0,49 m
45,7 v
Campo eléctrico del espacio generado por dos distribuciones superficiales
cilíndricas infinitas:
En este caso, también es aplicable la ley de Gauss pues el problema es simétrico,
y la influencia de una y otra carga sobre el espacio que la rodea es aditiva (el principio
de superposición admite sumar el efecto por separado de cada distribución).
Como ahora se trata de dos cilindros con cargas opuestas, se tiene que el campo
eléctrico generado por cada uno de ellos es (como en la distribución anterior):
E a (r )  
 .R
 .R
rˆa ; E b (r ) 
rˆb
ra . 0
rb . 0
Sin embargo el resultado se ha obtenido en dos direcciones distintas, en la
mayoría de los casos resultará rˆa  rˆb . Para poder superponer los campos eléctricos de
forma más directa se reemplazará el versor radial por las coordenadas en los ejes x,y.
xxˆ  yyˆ
xxˆ  ( y  d ) yˆ
rˆa 
rˆb 
2
2
x  (y  d)
x2  y2
-3-
Siendo xxˆ  yyˆ las coordenadas del punto del espacio donde se quiere averiguar
el campo y “d” la separación entre los cilindros. Con esta sustitución y algunas
operaciones, se tiene la siguiente expresión para el campo eléctrico neto en cualquier
punto del espacio:
E ( x, y) 
 .R  xxˆ  yyˆ xxˆ  ( y  d ) yˆ 



 0  x 2  y 2 x 2  ( y  d ) 2 
En particular:
PUNTO
Coordenadas
E x (v/m)
E y (v/m)
E (v/m)
A
0,2m x̂ + 0 ŷ
8402,35
4942,56
9748
B
0,14m x̂ + 0,14m ŷ
2765,08
15668,81
15911
C
0,28m x̂ + 0,28m ŷ
-3684,53
5649,27
6782
D
0 x̂ + 0.4m ŷ
0
-32044,25
32044
E
0 x̂ + 0,17m ŷ
0
26611,14
26611
Para conocer el potencial en este caso, también es válido sumar el efecto que
cada distribución produciría en el espacio si estuviera aislada. Y como se desarrolló
anteriormente, la diferencia de potencial de cada cilindro individualmente viene dada
por:
Va (ra )  
  .R
0
.ln( ra )  ln( r ref )  ; Vb (rb )  
 .R
.ln( rb )  ln( r ref ) 
0
Siendo r a, rb la distancia del punto al cilindro respectivo rref la distancia del
punto fijado en potencial 0 v hasta cada cilindro. Si pasamos a coordenadas cartesianas
y sumamos:
rrefa
rrefb
ra
rb
 











 .R
2
2
2
2
2
2
2
V ( x, y ) 
. ln( x  ( y  d ) )  ln a  (b  d )  ln x  y  ln a  b 2 
0 



 .R
 .R 
a 2  b 2 
V ( x, y ) 
. ln x 2  ( y  d ) 2  ln x 2  y 2 . 
. ln
 a 2  (b  d ) 2 
0
0




-4-
a2  b2
a 2  (b  d ) 2
tienda a 1. Se tomará entonces V(0 ; 0,17m) = 0 v (ya que d = 0,34 m)(a = 0m
b=0,17m).
El segundo término es constante, para que tienda a cero se buscará que
Así se anulará siempre el segundo término, y como expresión de diferencia de potencial
para todo el espacio queda:
V ( x, y ) 

 .R
. ln x 2  ( y  d ) 2  ln x 2  y 2
0
Si calculamos el potencial en los puntos:
PUNTO
Coordenadas
V(x,y) v
A
0,2m x̂ + 0 ŷ
1536.3 v
B
0,14m x̂ + 0,14m ŷ
451,0 v
C
0,28m x̂ + 0,28m ŷ
-756.0 v
D
0 x̂ + 0.4m ŷ
-4291.2 v
E
0 x̂ + 0,17m ŷ
0v
-5-

SEGUNDA PARTE: RESULTADOS POR QF
DISTRIBUCION CILINDRICA
La carga en el cilindro es superficial y es positiva por lo que las líneas de campo
apuntan radialmente hacia fuera del cilindro. El campo eléctrico se debilita al alejarse de
la carga a razón de 1/r2, pero si la carga fuese negativa el campo apuntaría hacia adentro
y se haría más fuerte al acercarse al cilindro.
En cuanto a la diferencia de potencial podemos ver que el potencial disminuye
radialmente al alejarse de la carga a razón de 1/r. En el gráfico pueden apreciarse unas
líneas circulares concéntricas en las que el potencial no varía, son las líneas
equipotenciales.
-6-
DIPOLO
El dipolo esta formado por dos distribuciones de cargas de signos opuestos y
separadas una distancia fija. Puede apreciarse en el grafico que las líneas de campo
eléctrico apuntan radialmente hacia afuera en el cilindro cargado positivamente
(ubicado en la parte inferior) y hacia adentro en el cargado negativamente (ubicado en la
parte superior).
Las líneas equipotenciales de cada carga en este caso no son circulares debido a
la influencia de su par de signo opuesto y el potencial va disminuyendo a medida que
nos acercamos a la carga negativa. Existen, por ejemplo, puntos en que el potencial
cambia de signo, siendo estos aquellos que están, uno cerca del cilindro con carga
positiva y el otro cerca del que tiene carga negativa.
-7-
CUADRIPOLO
Aquí se tienen cuatro distribuciones de carga, dos positivas (las de la izquierda y
la derecha) y dos negativas (las de arriba y abajo). Las líneas de campo, como en los
casos anteriores, apuntan hacia afuera en las cargas positivas y hacia adentro en las
negativas, pero aquí tenemos cuatro puntos donde el campo se intensifica (las secciones
entre cada carga positiva y negativa).
Las líneas equipotenciales son influenciadas nuevamente por las otras cargas, lo
que no deja que sean circulares y el potencial disminuye acercándose a las cargas
negativas.
Observando este gráfico y los anteriores podemos notar que las líneas de campo
apuntan hacia donde el potencial disminuye.
-8-
PARARRAYOS
En esta distribución se tienen dos elementos: el pararrayos (cargado
positivamente), y la nube (cargada negativamente). En el grafico puede observarse el
motivo por el cual el pararrayos está construido de esta forma. En la punta es donde se
concentran mayormente las líneas de campo (efecto punta), aumentando así la
probabilidad de que se produzca una descarga en ese punto y no en otro lado.
También podemos apreciar que la diferencia de potencial es tan grande entre la
nube y el resto del entorno que las líneas de campo apuntan casi exclusivamente hacia
ella.
Las líneas equipotenciales son influenciadas por la presencia del pararrayos y el
valor del potencial disminuye notablemente cuando nos acercamos a la nube, debido a
su carga negativa.
-9-
TERCERA PARTE: COMPARACIONES
DISTRIBUCION CILINDRICA
Analíticamente
QuickField
%
E ( r)
V(r)
E ( r)
V(r)
E
V
PUNTO A
22619,4 v/m r̂
3640,5 v
20919 v/m r̂
3570.4v
7.5
1.9
PUNTO B
7539,8 v/m r̂
1155,5 v
7380.3 v/m r̂
1145.9v
2.1
0.9
PUNTO C
7539,8 v/m r̂
1155,5 v
7245.6 v/m r̂
1138.8v
3.9
1.5
PUNTO D
5654,8 v/m r̂
504,7 v
5592.6 v/m r̂
501.27v
1.1
0.6
PUNTO E
4616,2 v/m r̂
45,7 v
4818.4 v/m r̂
45.76 v
4.4
0.2
Estos puntos fueron convenientemente elegidos para observar las variaciones de
potencial y campo eléctrico. Los resultados obtenidos por ambos métodos presentan
cierta diferencia pero vemos que ésta no es exageradamente grande, es decir que los
valores están en un rango semejante.
Los puntos que caen sobre circunferencias de radio mayor presentan menos
diferencia entre los dos métodos porque el modelo utilizado analíticamente consideró el
radio mucho mayor que el radio del cilindro.
DIPOLO
Analíticamente
QuickField
%
E (v/m)
V (v)
E (v/m)
V (v)
E
V
PUNTO A
9748 v/m
1536,3 v
8503 v/m
1076.1 v
12.7
29.9
PUNTO B
15911 v/m
451,0 v
12692 v/m
356.9 v
20.2
21.1
PUNTO C
6782 v/m
-756,0 v
4752.6 v/m
-446.3 v
29.9
41.0
PUNTO D
32044 v/m
-4291,2 v
2438.9 v/m
-3534.4 v
92.3
17.6
PUNTO E
26611 v/m
0v
23317 v/m
13.9 v
12.4
-
Estos puntos fueron convenientemente elegidos para observar las variaciones de
potencial y campo eléctrico pues en algunos de ellos encontramos valores
marcadamente diferentes, lo cual encontramos interesante pues demuestra las
diferencias entre un método y el otro.
En el punto D la diferencia en el campo eléctrico entre los dos resultados es
mayor que en los otros puntos; esto se debe en parte a que al aplicar la Ley de Coulomb,
hemos considerado el radio del cilindro (de 0.02 m) mucho menor que la distancia al
- 10 -
punto y en ese caso, la distancia de uno de los cilindros al punto D es de 0,02 m con lo
que el cálculo del campo ahí ya no es tan exacto dado que nos alejamos del modelo
tomado.
También se ve que los resultados eran más parecidos en el caso de un solo
cilindro. Esto se debe a que al haber dos distribuciones, influyen entre sí sobre las
superficies y dejan de ser homogéneas y esto no se ha tenido en cuenta para la
resolución del problema de forma analítica.
ELECCION DE PUNTOS
En QuickField un criterio apropiado para la elección de puntos, en el que
seguramente hallaremos valores cercanos a los reales, surge de considerar el mallado:
Conviene elegir aquellos puntos donde la densidad de nodos sea mayor.
En el caso analítico, preferentemente, tratamos de no considerar aquellos puntos
donde una distribución afecte de manera significativa en la otra.
- 11 -
CONCLUSIONES
En nuestra primera experiencia con el programa QuickField, pudimos observar
que es capaz de resolver problemas muy complejos como lo es por ejemplo el del
pararrayos. Sin embargo al realizar los cálculos completos solo para un número
determinado de puntos del espacio, el programa pierde precisión. Las diferencias son en
parte consecuencia de la escasa cantidad de nodos y porque en realidad, no es un
programa adecuado para ese tipo de problemas. Además, en la presencia de cargas no
localizadas, debemos hacer la grosera aproximación de considerar el potencial en el
infinito como nulo.
En conclusión, el programa QuickField es muy útil en aquellos problemas donde
es difícil modelar la distribución de cargas y también para visualizar las variaciones de
potencial y campo eléctrico en el espacio.
Con respecto a los gráficos obtenidos, se corroboraron las afirmaciones teóricas
ya conocidas sobre los campos eléctricos:
 Las líneas de campo son tangentes al campo eléctrico, y no pueden cruzarse por
poseer este una sola dirección en cada punto.
 Las líneas de campo eléctrico señalan la dirección en que disminuye el potencial
eléctrico.
 Si la carga es positiva las líneas de campo apuntan hacia afuera y si es negativa
hacia adentro.
 Las líneas equipotenciales son perpendiculares al campo eléctrico.
- 12 -
APENDICE
Problema 1: A partir del campo eléctrico correspondiente hallar y graficar el potencial
eléctrico creado por un hilo infinitamente largo cargado con una densidad de carga
lineal constante λ. Discuta si se puede tomar en este caso el valor de referencia cero del
potencial en el infinito. Graficar la función obtenida para todo el espacio.
El campo eléctrico para una carga lineal infinita puede calcularse mediante la Ley de
Coulomb o la Ley de Gauss.
El cálculo mediante la Ley de Coulomb se hace engorroso ya que habría que considerar
los campos en las direcciones de x, y, z y tendríamos que resolverlo para 3 integrales.
En cambio, por la Ley de Gauss sabemos que el campo eléctrico para una distribución
con estas características es:

E r  
rˆ
2 o r
con r  x 2  y 2 .
Para calcular su potencial eléctrico utilizamos la siguiente relación:
V    E  r   dl
Si dl  drrˆ , reemplazo el campo en la función y nos queda:
V    E  r   dl
V   

rˆ  drrˆ
2 o r
b

 ln  r   a
2 o

V 
  ln  b   ln  a  
2 o
V 
- 13 -
Allí tenemos que definir un potencial de referencia que puede ser cualquiera.
En muchos casos se toma que el potencial en el infinito sea 0, pero en este caso no se
puede porque para poder ponerle este valor, la distribución tiene que ser acotada, es
decir, tiene que existir otra superficie que pueda encerrarla.
Y el gráfico de la función para todo el espacio sería:
Problema 2: Un cilindro infinito de radio R tiene una densidad de carga superficial
constante σ.
a) Demostrar que el campo eléctrico es nulo en el interior del cilindro.
b) Calcular el campo y el potencial eléctrico en el exterior del cilindro. Demostrar
que se obtienen los mismos resultados que para un hilo infinitamente largo de
densidad lineal λ=σ2πR
a) Al igual que en el ejercicio anterior se hace mas sencilla la demostración si
calculamos el campo por la Ley de Gauss.
Según gauss:
 E  ds 
s
qenc
0
Para este caso como superficie gaussiana tomo un cilindro con radio menor al
cilindro dado, entonces:
- 14 -
qenc  0
Y la integral nos quedaría de la siguiente manera:
E   ds  0
s
E0
Queda demostrado entonces que el campo eléctrico en el interior del cilindro es
nulo.
b) Por Gauss calculamos el campo en una superficie gaussiana de radio mayor a R:
R
E r  R  
rˆ
 0r
y utilizamos la misma fórmula para calcular el potencial:
V    E  dl
Si dl  drrˆ , reemplazo el campo en la integral y nos queda:
R
Vr  R   
rˆ  drrˆ
 0r
Vr  R 
R
 ln r
R
0
 
Como la superficie es acotada puedo tomar V  R   0 , y la función potencial
resulta:
R
V r  R  
 ln r
R
0
Y reemplazando λ=σ2πR en la fórmula, vemos que se obtiene lo mismo que en
el problema anterior.
 
Problema 3: Una línea de distribución de energía eléctrica se puede modelizar por dos
cilindros conductores de radio a, ejes paralelos separados en d y con cargas lineales
+λ y – λ respectivamente.
a) Hallar el potencial eléctrico en todo el espacio.
b) Suponga que a = 2mm, d = 30 cm y la diferencia de potencial entre los dos
conductores es de Vo. Determine el máximos valor de Vo para que no se
produzca la ionización de las moléculas del aire (efecto corona) siendo el
campo de ionización del orden de 3*106 V/m
- 15 -
a) Considerando al cilindro infinito, uso Gauss para calcular su campo eléctrico:
q
 E  ds   E  ds   E  ds  enc
T1
T2
 E  ds 
qenc
SL
E  2 rL 
SL
0
0
qenc
0
qenc   L

2 0 r

E r  
rˆ
2 0 r
Modifico el campo obtenido para mi sistema de carga:

E  
rˆ
2 0 r

E   
rˆ
2 0 r
Por superposición, calculo el potencial:
V    E  dr
E 
V  V   V 
Y calculo cada miembro:

rˆ  drrˆ
2 0 r

1
V  
 dr

2 0 r

r
V  
 ln  r ro
2 0
V    

rˆ  drrˆ
2 0 r

1
V  
 dr

2 0 r

r
V  
 ln  r ro
2 0
V    
Ahora tenemos que:
V   V r    V ro   V r  
V   V r    V ro   V r  
ya que consideramos V ro  0
Por último, sumo los miembros entre sí y obtengo el potencial:
- 16 -
V  r   
V  r  
r 


 ln     
  ln r  ln r0 
2 0
2 0
 r0 
r 


 ln    
  ln r  ln r0 
2 0
 r0  2 0
Vr  r   V  r   V  r  
Vr  r  

  ln r  ln r 
2 0
r 

 ln   
2 0
 r 
b) Vamos a calcular el λ máx para que se produzca la ionización, utilizando el
valor del campo de ionización en la expresión del campo para la distribución que
tenemos. Una vez que tenemos el valor de λ máx calculo la diferencia de
potencial:
 ˆ
j
2 0 y

ˆj
E   y  
2 0  y  d 
Junto ambos miembros y tenemos:
1

1 ˆ
Er  y   máx   
j
2 0  a  a  d  
Y reemplazando los valores de a, d y el campo en la ecuación nos queda:
máx  3.31107 C m
E   y  
Y, por último calculamos el potencial:
 y d2 

Vr 
 ln 

2 0
 y 
V0  Vr  a   Vr  d  a 
V0 


ad 
 a 
 ln 
 ln 


2 0
 a  2 0
d a
  ad 
 a  
 ln 
  ln 

2 0   a 
 d  a 

V0 
  ln  a  d   ln  a   ln  a   ln  d  a  
2 0
V0 
V0  59525.75V
- 17 -