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VARIABLE ALETORIA
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COMPETENCIAS Y
OBJETIVOS
UNIDAD IV :VARIABLE ALEATORIA Y SUS CARACTERÍSTICAS
Competencia:
-El estudiante debe definir correctamente lo que es una variable aleatoria, reconocer
y utilizar las principales características de una variable aleatoria para poder
determinar las principales medidas descriptivas: como de tendencia central ,de
dispersión ,como de asimetría y curtosis
Objetivos.
-Aplicar adecuadamente la definición de una variable aleatoria ,función de
probabilidad, de distribución ,para determinar las principales medidas descriptivas de
la misma.
Descripción general de la unidad:
-Esta unidad comprende el desarrollo de los siguientes definiciones :Variable
Aleatoria, Función de probabilidad ,Función de Distribución o Acumulada ; la
determinación de las medidas descriptivas: de tendencia central, de dispersión y de
Asimetría-Curtosis
Lectura:Millar/Freund/Jonson “Probabilidad y Estadística para
Ingenieros”Edo.de México 1992 Pgs.80 al 90
Córdova Zamora “Estadística Descriptiva e Inferencial” 2ª ed.Perú
1996 Pags,183 al 223
Bibliografía Básica: : Moya y Saravia (1988) “Probabilidad e Inferencia
Estadística((2ª ed) Perú .Pags 237 al 356
Referencia electrónica: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%/A1/cálculo de
probabilidades
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Unidad IV VARIABLE ALEATORIA (X) Y SUS CARACTERÍSTICAS
Se llama v.a. X a toda función definida en el tal que a cada w€ 
,le asocia un nº real x= X( w ),por los tanto aparece :
Dominio de la v.a. X = 
Rango de la v.a.X = { x € R / x = X (w), w €  }
Ej. Sea el ε:”Lanzar una moneda 3 veces”,donde se define :
La v.a. X:” Nº de caras obtenidas” .Determine el Dominio y el Rango de
X
Sol:  = { sss,ssc,scs,css,scc,csc,ccs,sss}
El Dom de X= ,para el rango,se evalua: X=0  { sss }
X = 1  { ssc } { scs } { css };X=2  { scc } { csc } { ccs }
X = 3  {ccc }  Rx ={0,1,2,3 }
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CLASES DE V.A.
De acuerdo a su Rx una v.a. X puede ser:
1.-V.A. DISCRETA .- aquella cuyo Rx un conjunto finito o infinito numerable
Rx = { x1,x2,...xn}
2.-V.A. CONTINUA .- es aquella cuyo Rx es un conjunto infinito no numerable
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A.DISCRETA p(x)
Sea una v.a.d X cuyo Rx es discretoP(X)=P(X=x) =P[{w€  /X(w)=x],que debe
satisfacer: a) P(X)  0 y b) P(X) = 1
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
Es el conjunto de pares [ xi, p(xi)],es similar a una Distr.de frec .relativas donde se
pueden calcular todas las medidas descriptivas.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA F(x)
F(x) = P( X x ) = P(X =k ) = P(k) ;  - < x < 
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Ej.Se tiene una tienda comercial que tiene 2 vendedores A y B,donde se
definen: X:”Nº de TV vendidos por A ; Y:”Nº de TV vendidos por
B”.Determinar a)Las probabilidades marginales de A y de B,b)cuál la
probabilidad que cada vendedor venda a lo más un 1 tv, c) Cuál el
promedio de venta de A? .Si la Distribución conjunta es:
X Y
0
1
2
Px(x)
0
0.0625 0.125 0.125 0.3125
1
0.0625 0.125
2
0.125
b) P(x 1 ; y  1 )= 0.375
0.0625 0.2500
=c) E(X)= x px(x) =0 +0.25+
+0.875=1.125
0.2500 0.0625 0.4375
Py(y) 0.25 0.50
0.25
1
b) P(0,0)+P(0,1)+P(1,0)+P(1,1)=
=0.0625+0.125+0.0625+0.125=0.375
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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. CONTINUA f(x)
Es toda función f(x)= P(X=x) que satisface:
a) f(x)≥ 0  x € R ; b) ∫f(xi)dx = 1; c) P(A) =P(x € A) = ∫ f(x) dx
b) Nota.- a) SI X = xo  P(X= xo ) = 0
c) P(a≤ X ≤ b)= P(a ≤ X < b)=P(a< X ≤ b)= P(a< X < b)
Ej. Sea una f(x)= cx² ;
0<x<2
0 e.o.c. .Hallar a) La constante “c” ; b) P(0<X<1)
Sol.-Por el 2º requisito ∫ f(xi)dx = 1 ∫ cx²dx =1  cx³ /3 ]  c=3 / 8
f(x)=(3 / 8)*x² ; 0<x<2  P(0<X<1) = ∫(3 / 8)*x² dx=x³/8 = 1/8
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN O ACUMULADA.-F(X)
La F(X) de una v.a.c. X cuya densidad f(x)= ∫ f(xi)dx
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CARACTERÍSTICAS DE LA VARIABLE ALEATORIA
A parte de función de probabilidad y /o su distribución ,la v.a.X tiene
otras características:La media,la mediana,la moda,la varianza,la
desviación típica etc,
MEDIA DE UNA V.A.D. X
=  x P(X)
MEDIA DE UNA V.A.C X
=∫ x f(xi)dx
MODA DE UNA V.A.D.X
Mo= p(xO)  p(x), x Rx
MODA DE UNA V.A.C.X
Mo= f(x0)  f(xi);  x Rx
LA MEDIANA DE UNA V.A.D X
Xm= F(xo) = P(X xo)  1 / 2 y P(X  xo )  1 / 2
LA MEDIANA DE UNA V.AC X
Xm = F(xo) =P(X xo) = P(X  xo )  1 / 2
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VARIANZA DE UNA V.A.X
Var(x) =² = E [ (X-)²]
VARIANZA DE UNA V.A.D.X
V(X) =² =  ( x-)² p(x)
VARIANZA DE UNA V.A.C.X
V(X) =² = ∫ ( x-)² f(x)dx
DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA V.A. X
 = v(x)
Nota.- Las propiedades de la media como de la varianza de una V.A .X
son similares al de una V. Estadística
EJ.Se tiene la sigte Distrib.de probabilidades de una va.X
x
p(x)
2
4
6
8
total Hallar a) La Moda  Mo = Xo =2
b)La mediana Xm= Xo= 4
0.4 0.3
0.2 0.1
xp(x ) 0.8 1.2
1.2 0.8
x²p(x) 1.6
7.2 6.4 20 d)la varianza  ²=  x²p(x)- ² =
F(X)
4.8
0.4 0.7
0.9 1.0
4 c)La media  =  x P(X) =4
V(X)= ²= 20-4²=4 ;,  = 2
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Ej.Dada la variable aleatoria continua X cuya :
f(x) = 2x/3 , si 1 < x < 2
0
e.o.c
coeficiente de
variacion
Calcular a) La media b) la varianza,c)el
Sol.- a) E(x) =μ= ∫ x f(x) dx = ∫ x 2x/3 dx= [2 x³/9] = 16/9 – 2/9 =
14/9=1.5556
b) V(x) = ∫ x² f(x) dx – μ²= 15/6 – (14/9)²= 0.0802
c) CV(x) = σ/ μ *100%→ σ = √σ ² = √ 0.0802 =0.2832
→CV(x) = 0.2832/1.5556*100%=18.21%
Ej.Suponiendo que la v.a.c. x se distribuye uniformemente en el
intervalo [0; 4] cuya:
f(x) =
¼ ,si 0 ≤ x ≤4
0.e.o.c
Calcular la varianza y el coeficiente de varianza
Sol.- E(x)= E(x) =μ= ∫ x f(x) dx = ∫ x 1/4 dx= [ x²/8] = (4²/8-0²)= 2
V(x) = ∫ x² f(x) dx – μ²= 16/3-2²= 1.3333
c) CV(x) = σ/ μ *100%→ σ = √σ ² = √ 1.3333 =1.1547
→CV(x) = 1.1547/2*100%=57.74%
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