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1. Electrostática
2. Electrostática con medios materiales
3. Magnetostática
4. Magnetostática con medios materiales
5. Los campos variables en el tiempo y las
ecuaciones de Maxwel
Capítulo 2: ELECTROSTÁTICA
El potencial electrostático
El gradiente del potencial electrostático
La ley de Gauss
La divergencia del campo eléctrico. Forma diferencial de la
ley de Gauss
El rotacional del campo electrostático
Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática
La ecuación de Poisson y la ecuación de Laplace
La energía y el trabajo en el campo electrostático
Los aislantes y los conductores
El campo eléctrico en los conductores
Los métodos de solución de problemas electrostáticos
Dada una distribución de carga eléctrica
estática, determinar el campo eléctrico
que se produce.
Una vez determinado el campo eléctrico, podemos,
mediante la aplicación de la formula
F=qE
encontrar la fuerza y después aplicando las leyes del
movimiento (de Newton, por ejemplo) encontrar la
dinámica del sistema.
q1
 
r2  r1

r2

r1
q2
1
q1q2 r2  r1
F
2
4 0 r2  r1 r2  r1
2
1
N
m
9
 9  10
4 0
C2
 0  8.85  10
12
F
m
F  Q
1
+ Q
Q
Q
4 0
1
4 0
1
4 0
1
4 0
N
qi
 r r
i 1
i
2
r  ri
+
r  ri
 ( r ) dV  r  r 
 r  r r  r
 ( r ) dS  r  r 

 r  r r  r
 ( r ) dl  r  r 
 r  r r  r
2
2
2


 
F (r )
E (r )  lim
cuando Q  0
Q
El campo eléctrico en el punto P es la
fuerza que sentiría en ese lugar una
carga de +1 coulomb
Newton
 E   Coulomb
Q
r
q
E
1
q
4 0 r
2
rˆ
q1
q4

qi
q2


q3
q5
qN
E r  
1
+
4 0

1

4 0
1
4 0
1
4 0
N
qi
 r r
i 1
i
2
r  ri
+
r  ri
 (r )dV  r  r 
 r  r r  r
 (r )dS  r  r 

 r  r r  r
 (r )dl  r  r 
 r  r r  r
2

2
2
¡Hay que hacer estas malditas integrales!
Dada una distribución de carga eléctrica
estática, determinar el campo eléctrico
que se produce.
Una vez determinado el campo eléctrico, podemos,
mediante la aplicación de la formula
F=qE
encontrar la fuerza y después aplicando las leyes del
movimiento (de Newton, por ejemplo) encontrar la
dinámica del sistema.
  P1  P2   

C  P1  P2 
E  dl
r
q
1
q
 r  
4 0 r
Se toma como punto de referencia el infinito, donde el potencial es cero
q1
q4

qi
q2


q3
q5
qN
 r  
1
+
4 0

1

4 0
1
4 0
1
4 0
N

i 1
qi
+
r  ri
 ( r ) dV 
 r  r
 ( r ) dS 

 r  r
 ( r ) dl 
 r  r

¡Estas son, en principio, más fáciles
E r  
1
+
4 0

1

4 0
1
4 0
1
4 0
N
qi
 r r
i 1
i
2
r  ri
+
r  ri
 (r )dV  r  r 
 r  r r  r
 (r )dS  r  r 

 r  r r  r
 (r )dl  r  r 
 r  r r  r
2

2
2
¡Hay que hacer estas malditas integrales!
 r  
1
+
4 0

1

4 0
1
4 0
1
4 0
N

i 1
qi
+
r  ri
 ( r ) dV 
 r  r
 ( r ) dS 

 r  r
 ( r ) dl 
 r  r

¡Estas son, en principio, más fáciles
  P1  P2   
E  

C  P1  P2 
E  dl
R
0
1
 r  
4 0

 (r )dV 
r  r
r   0,0, z 
r ´  r cos  sin  , r sin  sin  , r cos 
r  r    r cos  sin  , r sin  sin  , z  r cos 
r  r 
 r 2 cos 2  sin 2   r 2 sin 2  sin 2   z 2  r 2 cos 2   2 zr cos 
 r 2 sin 2   z 2  r 2 cos 2   2 zr cos  r 2  z 2  2 zr cos
  z 


1
4 0
1
4 0
1
4 0
R  2
r sin  drd d
2
0   
r  z  2 zr cos
2
0 0 0
R
r sin  drd
2
20  
r  z  2 zr cos
2
0 0
2

R
20  r dr 
sin  d
2
0
2
0
r  z  2 zr cos
2
2


0
sin  d
r  z  2 zr cos
2
2


1 2 2


r  z  2 zr cos  
 zr
0
1 2 2
1 2 2

r  z  2 zr 
r  z  2 zr
zr
zr
R  2
1
r 2 sin  drd d
  z 
0   2 2
4 0 0 0 0 r  z  2 zr cos
R
1
r sin  drd

20 
2
2
4 0
r  z  2 zr cos
0 0
R
1
1

20 
4 0
z0
2


r  z  2 zr  r  z  2 zr rdr
2
2
2
2

R

r  z  2 zr  r  z  2 zr rdr
2
2
2
2
0
zR
R

0 
z  r
2

  z  r   rdr 

2
R
   z  r   z  r   rdr 
0
R
2 3R 2 3
 2  r dr  r  R
0
3
3
0
2
zR
R  2
1
r 2 sin  drd d
  z 
0   2 2
4 0 0 0 0 r  z  2 zr cos
R
1
r 2 sin  drd

20 
2
2
4 0
r  z  2 zr cos
0 0
R
1
1

20 
4 0
z0


r  z  2 zr  r  z  2 zr rdr
2
2
2
1
12 3
1 4 3 1

20
R 
 R 0
4 0
z3
4 0 3
z
2


R
r 2  z 2  2 zr  r 2  z 2  2 zr rdr
0
zR
z

0 
z  r
R
2
  r  z   rdr   


z
2
z
R
0
z
z  r
2

r  z 
   z  r   z  r   rdr    z  r   r  z   rdr 
2 3
 2 1 2
2
2
 2 r dr  2 z  rdr  z  z R  z  z  R  z 
3
3 

0
z
z
R
2


2
 rdr 


zR
R  2
1
r 2 sin  drd d
  z 
0   2 2
4 0 0 0 0 r  z  2 zr cos
R
1
r sin  drd

20 
2
2
4 0
0 0 r  z  2 zr cos 
2
R
1
1

20 
4 0
z0


r  z  2 zr  r  z  2 zr rdr
2
2
2
2
1
1  2 1 2
1
 2 1 2

20 z  R  z  
20  R  z 
4 0
z 
3  4 0
3 


 2 1 2
20  R  r  r  R

1 
3 

 r  

4 0  4 3 1
 R 0
rR
 3
r

 2 1 2
20  R  r  r  R

1 
3 

 r  

4 0  4 3 1
 R 0
rR
 3
r
E  r     r 
   r 
1   r  
1   r  ˆ

rˆ 
E r    

r sin   
r 
 r

 2 1 2
20  R  r  r  R

1 
3 

 r  

4 0  4 3 1
rR
 R 0
 3
r
E  r     r 
   r 
1   r  ˆ
1   r  
E r    
rˆ 



r
r


r
sin






 2 1 2
20  R  r  r  R

1 
3 

 r  

4 0  4
1
3
 R 0
rR

r
 3
rR
20   2 1 2 
20  2 
1 40
E r   
r
 R  r  rˆ 
 r  rˆ 
4 0 r 
3 
4 0  3 
4 0 3
E  r     r 
   r 
1   r  ˆ
1   r  
E r    
rˆ 



r
r


r
sin






 2 1 2
20  R  r  r  R

1 
3 

 r  

4 0  4
1
3
 R 0
rR

r
 3
rR
3
4

1
1
4

R
0 rˆ
 
3
E r   
 R 0   rˆ 
4 0 3
r  r 
4 0
3
r2
1
E  r     r 
 4 0
ˆ
rr
1 
3
E r  

4 0  4 3 rˆ
 R 0 2
 3
r
rR
rR
E  r     r 
 4 0
ˆ
rr
1 
3
E r  

4 0  4 3 rˆ
 R 0 2
 3
r
rR
rR
Verde: Potencial
Rojo: Campo
R
0
1
 r  
4 0

 (r )dS´
r  r
r   0,0, z 
r ´ R  cos  sin  ,sin  sin  ,cos 
r  r     R cos  sin  ,  R sin  sin  , z  R cos 
r  r 
 R 2 cos 2  sin 2   R 2 sin 2  sin 2   z 2  R 2 cos 2   2 zR cos 
 R 2 sin 2   z 2  R 2 cos 2   2 zR cos  R 2  z 2  2 zR cos
  z 

1
4 0
 2
1
R 0  
sin  d d
2
4 0
0 0

2 R  0 
2
sin  d
2
0
R  z  2 zR cos
2
R  z  2 zR cos
2
2


0
sin  d
R  z  2 zR cos
2
2


1

2
2

R  z  2 zR cos  
 zR
0
1
1
2
2
2
2

R  z  2 zR 
R  z  2 zR
zR
zR
 2
1 2
sin  d d
  z 
R 0  
2
2
4 0
R  z  2 zR cos
0 0

1
sin  d
2

2 R  0 
2
2
4 0
R  z  2 zR cos
0
1 2 R 0
2
2
2
2

R  z  2 zR  R  z  2 zR
4 0 z


zR
1 2 R 0
 z 
4 0 z

R 2  z 2  2 zR  R 2  z 2  2 zR
1 2 R 0
 z  R   z  R  
 z 
4 0 z
1 4 R  0
 z 
4 0
z
2

zR
1 2 R 0
 z 
4 0
z

R 2  z 2  2 zR  R 2  z 2  2 zR
1 2 R 0
 R  z   R  z  
 z 
4 0
z
1
R 0
 z 
4 R 0 
4 0
0

E  r     r 
   r 
1   r  ˆ
1   r  
E r    
rˆ 


r 
r sin   
 r
R 0

rR

0

 r    2
 R 0 1  1 Q r  R
  0 r 4 0 r
 R 0
rR
 
 0
 r    2
 R 0 1 r  R
  0 r
E  r     r 
   r 
1   r  ˆ
1   r  
E r    
rˆ 


r 
r sin   
 r
 R 0
rR
 
 0
 r    2
 R 0 1 r  R
  0 r
E  r     r 
   r 
1   r  ˆ
1   r  
E r    
rˆ 


r 
r sin   
 r
 R 0
rR
 

0
 r    2
 R 0 1 r  R

 0 r
rR
E r   0
E  r     r 
   r 
1   r  ˆ
1   r  
E r    
rˆ 


r 
r sin   
 r
 R 0
rR
 

0
 r    2
 R 0 1 r  R

 0 r
rR
R 2 0   1 
R 2 0 rˆ
1 Q
E r   

rˆ
  rˆ 
2
2
 0 r  r 
0 r
4 0 r
E  r     r 

0
1 
E r  

ˆ
r
2
4 0 4 R  0 2
r

rR
rR

0
1 
E r  

ˆ
r
2
4 0 4 R  0 2
r

rR
rR
• Angulo sólido
• Integral de superficie
• El flujo de un campo vectorial
l
r

l
 (radianes)=
r
El ángulo sólido  subtendido por una superficie S
se define como el área de la superficie en una esfera
unitaria (de radio 1) cubierta por la proyección de la
superficie en la esfera
nˆ  dS
   2
r
S
   sin  d d
S
Los ángulos solidos se miden en steradianes
   sin  d d
S

2

0
0
0
   sin  d  d  2  sin  d  4
A : R3  R3
A

dS

S
A
dS
A
S
Flujo   A  dS
S
1
q
ˆ
E (r ) 
r
2
4 0 r
Flujo del campo electrico de una carga puntual q en el origen
sobre una esfera centrada en la carga
1
q
E (r ) 
rˆ
2
4 0 r
La superficie es una esfera de radio a, por tanto
dS  a 2 sin  d d rˆ

1
 2
4 0 0 0
 2
q 2
1
1
a sin  d d rˆ  rˆ 
q   sin  d d 
4 q
2
a
4 0 0 0
4 0
q

0
q


q
0
dS
L
q
E
Flujo del campo electrico de una carga puntual q en el origen
sobre un plano z  a con lado L
E (r ) 
1
q
ˆ
q

r
2
4 0
4 0 r
( x, y , z )
1
x
2
 y2  z2

3
2
La superficie es el plano z  a, por tanto
dS  dx dy kˆ
 cara 
 cara
1
4 0
q

6 0
L L
4q  
0 0
x
2
 y2  a2
2
q 

4 0 3
1
adxdy

3
2
 total  6 cara
q
q
6

6 0  0
total
q

0
S
q

 E  dS
S
ˆ
rˆ  ndS

ˆ

 E  ndS
S
1
4 0
q
S
rˆ  nˆ
dS
2
r
es la proyección del área dS en un plano
perpendicular a r .
Por tanto
ˆ
rˆ  ndS
d 
r2
Considerando una esfera que pase por el centro
del elemento infinitesimal de área
ˆ 
rˆ  ndS
d 
r 2
e
ˆ
ˆ 
rˆ  ndS
rˆ  ndS
S r 2  S r 2  4
S
q
S 
q
0
Eb
b
Ea
a
q
caras laterales  0
E  dS  0
cara a
 1 q 
1
 a Ea  a 

q
2 
4 0
 4 0 a 
cara b
 1 q
1
 b Eb  b 

q
2 
4 0
 4 0 b 
2
2
2
2
 Total  0
En

q
E
caras laterales  0
E  dS  0
cara a

a2
a2  1 q
1
 
Ea  nˆ  
cos   
q

2
cos
cos  4 0 a
4 0

cara b

b2
b2  1 q
1
ˆ
 
Eb  n  
cos   
q

2
cos
cos  4 0 b
4 0

 Total  0
q
 Total  0
qj 
q1 
q1 
q2 
qi 
q2 
E r  
1
4 0
N1
qi
 r r
i 1
i
qj
r r
1
r r


r  ri 4 0 j 1 r  r 2 r  rj
j
N2
2

 Q S
0
E 

S (V )
E  dS 
 Q S (V )
0
1

0

  r ´ dV ´
V
El flujo de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la
carga total neta encerrada en la
superficie entre ε0
• El que el flujo a través de una
superficie cerrada sea cero no
implica que no haya carga dentro
de la superficie.
Solo que el total de la carga
encerrada es cero.
• El que el flujo a través de una
superficie cerrada sea cero no
implica que el campo sea cero.
Ejemplos del uso de la ley de
Gauss para calcular campos
electrostáticos

A
z

2 EA 
A
A(2 z ) 
0
z
 zkˆ
 E ( z) 
0
A
z

d
A
z

2 EA 
d
Ad 
0

d z ˆ
E
k
2 0 z
La ley de Coulomb
1
F

q1q2
4 0 r2  r1
2
r2  r1
r2  r1
1
qi r  ri
El principio de superposición E  r  

2
4 0 i 1 r  ri r  ri
N
nos da

S (V )
1
E  dS 
0

V
  r ´ dV ´
E 

S (V )
E  dS 
 Q S (V )
0
1

0

  r ´ dV ´
V
El flujo de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la
carga total neta encerrada en la
superficie dividida entre ε0

1
E  dS 
0
S (V )

V



E  dS  E   4 r 2 
  r ´ dV ´
S (V )
r ´ dV ´  q
V
1
q
q
E
4 0 r 2
1
q
E r  
rˆ
2
4 0 r
1
Qq
F  QE 
rˆ
2
4 0 r
No hay forma de derivarlo
•Con la ley de Gauss se resuelven problemas con
mucha simetría
•La simetría nos permite “adivinar” parte de la
solución. Por ejemplo las caracteristicas
vectoriales
•La simetría nos permite saber sobre que
superficies el campo electrostático debe
permanecer constante
¡
NO depende ni de  ni de !
1. Fuera de la esfera
E 

1
1
E  dS   Q S (V ) 
0
0
S (V )

  r ´ dV ´
V
a
 (r )
r
1
Q
E (r ) 
rˆ
2
4 0 r
¡
NO depende ni de  ni de !
2. Dentro de la esfera
E 


1
1
E  dS   Q S (V ) 
  r ´ dV ´
0
0
S (V )
E  4 r
V
2
 
1
 (r´)dV ´
0 Esfera
radio r
r
a
 (r )
1 1
E (r )  rˆ 2
r 0
4 1
E (r )  2 rˆ
r 0

 (r´)dV ´
Esfera
radio r
r

0
 (r´)r´2 dr´
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
r
1 1
ˆ
E (r ) 
r
2
0 r

0
 ( r´) r´ dr´
2
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
r
1 1
E (r ) 
rˆ
2
0 r

 ( r´) r´ dr´
2
0
0
 (r )  0  E (r ) 
rrˆ
3 0
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
r
1 1
E (r ) 
rˆ
2
0 r

 ( r´) r´ dr´
2
0
 ( r )  0 r  E ( r ) 
n
0
 n  3  0
r
n 1
rˆ
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
r
1 1
E (r ) 
rˆ
2
0 r

 ( r´) r´ dr´
2
0
e
0 1  e
ˆ
 (r )  0 2  E (r ) 
r
2
r
0 r
r
r
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
r
1 1
E (r ) 
rˆ
2
0 r

 ( r´) r´ dr´
2
0
1 r
 (r )  0 ln(r )  E (r ) 
0 3ln(r )  1 rˆ
0 9
a
r
E 

1
1
E  dS   Q S (V ) 
0
0
S (V )
h

 E  E  2 rh  

  r ´ dV ´
V
1
0
 r h  
2

r
1  h 

E

r
 0 2 rh
2 0

E (r )  rrˆ
2 0
2
a
r
h

E 

1
1
E  dS   Q S (V ) 
0
0
S (V )

  r ´ dV ´
V
 E  E  2 rh  
1
0
 a h  
2
2
2

a
h



1
1 a
1 "
E


 0 2 rh
 0 2r 2 0 r
E (r ) 
a2
2 0
1ˆ
 r
r
 
 2 rrˆ r  a
 0
E (r )   2
  a 1 rˆ r  a
 2 0 r
vacío
ra

2
E

dS

E

4

r

S

1
0
 Q S
 4 r 3 
 
  1
0  3 
1

 4 r 3 
E  4 r   
  1
0  3 
2
1
1
E
1r
3 0
E  r   1 1rrˆ
3 0
ar b

2
E

dS

E

4

r

S

1
0
 Q S
 4 a 3 
 
  1
0  3 
1

 4 a 3 
E  4 r   
  1
0  3 
2
1
a3
1
E
1 2
3 0 r
3
a
E r  
1 rˆ2  1 Q1 rˆ2
3 0 r 4 0 r
br c

2
E

dS

E

4

r

S1
  4  Q  S
 4 a 3 
 
 
 0  3  1
1
 4 r 3 4 b3 
 

  2
0  3
3 

1
 a 3  1  r 3
b3   2
E 

 2 
 2
3

r
3

3

0  r
 0
 0
 a3
 rˆ  1

b3
E r   
1 
2  2  
 2  rrˆ
3 0  r  3 0 
 3 0
r c


E  dS  E  4 r 2
S1

1
0
 Q S
 4 a 3 


  1 
0  3 
1
 4 c 3 4 b3 

 
  2
3 
0  3

1
1  Q1 Q2 
E
 2  2 
r 
4 0  r
Q1  Q2
1
rˆ
E r  
2
4 0 r
1

r
0

r

a

3 0


1 Q1
ar b

2
4 0 r

E (r )  rˆ 
 1  a 3   b3   1   2 r b  r  c
1
2
 3 0
r 2 3 0

1 Q1  Q2

cr
2

4 0 r