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Problema nº 1: NÚMEROS BUENOS Y MALOS
Don Odón Betanzos ha encargado a sus paisanas Isa y Rocío, entusiastas en el estudio de
los números, que investiguen sobre los números buenos y malos.
Rocío después de leer en un famoso libro de matemáticas, le dice a Isa:
“¿Sabes que los números buenos son números enteros superiores o igual a 2 y que pueden
escribirse como la suma de números naturales no nulos, distintos o no, dónde la suma de sus
inversos es igual a 1 y los números malos son aquellos que no son buenos, es decir, que no
cumplen la propiedad anterior?”
Por ejemplo:
18 es un número bueno , porque 18 = 3+3+6+6 y
1111
  
1
3366
Ya que Rocío ha explicado cuándo un número es bueno o malo, ayuda a Isa en su labor
de investigación contestando de forma razonada a las siguientes cuestiones:
a)
¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos inclusive?
b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que sus cuadrados
también lo son?
c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su cuadrado,
también lo es?
Solución
Menú
Solución:
a) ¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos
inclusive?
•
2=1+1
y
(1/1)+(1/1)= 2 ≠ 1
Por lo tanto, 2 es un número malo
•
3=1+1+1
3=1+2
y
(1/1)+(1/1) +(1/1)= 3 ≠ 1
y
(1/2)+(1/1) = 3/2 ≠ 1
Por lo tanto, 3 es un número malo
•
4=2+2
y
(1/2)+(1/2) = 1
Por lo tanto, 4 es un número bueno
•
5=1+1+1+1+1
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3
Enunciado
y
(1/1)+(1/1) +(1/1) + (1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1
y
(1/2)+(1/2)+(1/1) = 2 ≠ 1
y
(1/4)+(1/1) = 5/4 ≠ 1
y
(1/2)+(1/3) = 5/6 ≠ 1
Por lo tanto, 5 es un número malo
Menú
Solución:
•
6=1+1+1+1+1+1
y
(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 6 ≠ 1
6=1+1+1+1+2
y
(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 9/2 ≠ 1
6=1+1+2+2
y
(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 3 ≠ 1
6=1+2+3
y
(1/2)+(1/3)+(1/1) = 11/6 ≠ 1
6=1+1+4
y
(1/4)+(1/1)+(1/1) = 9/4 ≠ 1
6=2+4
y
(1/2)+(1/4) = 3/4 ≠ 1
6=3+3
y
(1/3)+(1/3) = 2/3 ≠ 1
6=1+5
y
(1/5)+(1/1) = 6/5 ≠ 1
Por lo tanto, el 6 también es un número malo
Enunciado
Menú
Solución:
•
7=1+1+1+1+1+1+1
y
(1/1)+(1/1) +.....+ (1/1) = 7 ≠ 1
7=1+1+1+1+1+2
y
(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 11/2 ≠ 1
7=1+1+1+2+2
y
(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 4 ≠ 1
7=1+2+2+2
y
(1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 5/2 ≠ 1
7=1+3+3
y
(1/3)+(1/3)+(1/1) = 5/3 ≠ 1
7=1+2+4
y
(1/2)+(1/4)+(1/1) = 7/4 ≠ 1
7=1+1+5
y
(1/1)+(1/1)+(1/5) = 11/5 ≠ 1
7=2+2+3
y
(1/2)+(1/2) +(1/3) = 4/3 ≠ 1
7=1+6
y
(1/6)+(1/1) = 7/6 ≠ 1
7=2+5
y
(1/2)+(1/5) = 7/10 ≠ 1
7=3+4
y
(1/3)+(1/4) = 7/12 ≠ 1
Por lo tanto, 7 es también un número malo
Enunciado
Menú
Solución:
•
Por lo tanto, 8 es un número malo
8=1+1+1+1+1+1+1+1
8=1+1+1+1+1+1+2
8=1+1+1+1+2+2
8=1+1+2+2+2
8=1+1+3+3
8=1+2+2+3
8=2+2+2+2
8=2+2+4
8=2+3+3
8=1+1+6
8=1+2+5
8=1+3+4
8=1+7
8=2+6
8=3+5
8=4+4
Enunciado
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
(1/1)+(1/1)+.....+ (1/1) = 8 ≠ 1
(1/2)+(1/1)+.....+(1/1) = 13/2 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 7/2 ≠ 1
(1/3)+(1/3)+(1/1)+(1/1) = 8/3 ≠ 1
(1/3)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 14/6 = 7/3 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/2) = 4/2 = 2 ≠ 1
(1/2)+(1/2)+(1/4) = 5/4 ≠ 1
(1/2)+(1/3)+(1/3) = 7/6 ≠ 1
(1/6)+(1/1)+(1/1) = 13/6 ≠ 1
(1/2)+(1/5)+(1/1) = 17/10 ≠ 1
(1/3)+(1/4)+(1/1) = 19/12 ≠ 1
(1/7)+(1/1) = 8/7 ≠ 1
(1/2)+(1/6) = 4/6 = 2/3 ≠ 1
(1/3)+(1/5) = 8/15 ≠ 1
(1/4)+(1/4) = 2/4 = 1/2 ≠ 1
Menú
Solución:
•
9=3+3+3
y
(1/3)+(1/3)+(1/3) = 3/3 = 1
Por lo tanto, 9 es un número bueno
•
10=2+4+4
y
(1/2)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1
Por lo tanto, 10 es un número bueno
¡Así que los únicos números buenos del 2 al 10 son
el 4, el 9 y el 10!
Enunciado
Menú
Solución:
b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que
sus cuadrados también lo son?
Hemos observado que 4 es un número bueno,
¿Será su cuadrado 16 = 42 un número bueno?
Pues sí es bueno ya que 16 = 4+4+4+4 y (1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1
2
Además, 9 es un número bueno, ¿también será bueno el 81 = 9 ?
Pues vemos que también es bueno porque
81 = 9+9+9+9+9+9+9+9+9
y (1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)=9/9=1
El 10 es un número bueno, ¿será bueno el 100 = 102
Pues vemos que también es bueno porque 100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10
y (1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10) = 10/10 = 1
Enunciado
Menú
Solución:
c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su
cuadrado, también lo es?
2
Sabemos que si "n" es un número bueno, su cuadrado “n “ se puede
escribir como la suma del número n, n veces.
Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre vamos a obtener n/n,
es decir, la unidad.
2
Por lo tanto n siempre será un número bueno.
Veamos un ejemplo:
El número 25 es bueno ya que
25 = 5+5+5+5+5
y
(1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5) = 5/5 = 1
2
Observamos que su cuadrado 25 = 625 es también bueno ya que
625 = 25+25+25+........+25
y (1/25)+(1/25)+........+(1/25) = 25/25 = 1
Enunciado
Menú
Solución:
a)
Reagrupemos las respuestas:
Los números buenos que se encuentran del 2 al 10 son el 4, el 9 y el 10.
b) El 4, el 9 y el 10 son números buenos y sus cuadrados, 16, 81 y 100 también
son números buenos.
2
c) Si "n" es bueno, entonces, n se puede escribir
como la suma del número n, n veces.
Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre
vamos a obtener la unidad.
2
Por lo tanto n siempre será un número bueno.
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá más formas de calcularlas?
Enunciado
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