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1. La fuerza magnética
2. La ley de Lorentz
3. Las corrientes y la densidad de corriente
4. La ecuación de continuidad
5. La densidad de corriente y la fuerza magnética
6. La ley de Biot-Savart
7. La divergencia de B
8. El rotacional de B
9. La ley de Ampere
10.El potencial magnético o potencial vectorial
11.El teorema de Stokes
12.Las ecuaciones de Maxwell para la magnetostática
13.Las condiciones de frontera
B
E
v
q

F q EvB


F q EvB

El campo magnético es un campo
vectorial definido por la fuerza
magnética o de Lorentz
N s Weber
 B   C m  m2  Tesla
Dina


=Gauss 
  B 
StatC


J
Es un campo vectorial que nos dice la
cantidad de carga que pasa por la unidad
de área en la unidad de tiempo
C
Amp
J   2 
  m s
m2
   StatC StatA 
=
 J  
2
2 
cm s cm 

Q
j
n̂
d
ˆ
 Q dentro de la superficie    J  ndS
dt
cualquier
superficie
cerrada

J  0
t
F   J  B dV
V
F 
alambre
 I  B  dl
r
J
r
0 J (r ) r  r 

B(r ) 

dV
2

4 V r  r 
r  r
r
r
I
0 I
B(r ) 
4

dl 
r  r

2
r  r
r  r
0
r  r
B(r ) 
J (r ) 
dV 
3

4 V
r  r
 1 
r  r
  

3
r  r
 r  r 
Es el potencial y el campo eléctrico de una carga
puntual q  1
 1 
0
r  r
0
B( r ) 
J (r) 
dV     J (r )   
 dV 
3

4 V
4 V
r  r
 r  r 
 


   G     G    G
1

r  r
G  J (r )
J (r)
1
1
1

=
  J (r )  
 J (r )  
 J (r )
r  r r  r
r  r
r  r


 1 
 J (r ) 
0
0
B(r )  
J (r )   
 
 dV  
 dV 


4 V
4 V
 r  r 
 r  r 
0
J (r )
B(r ) 
 
dV 

4
r

r
V
0
J (r )
B(r ) 
 
dV 
4
r  r
V
Electrostática
E (r )  
1
4 0

V
 (r)
r  r
dV 
0
J (r )
B(r ) 
 
dV 
4
r  r
V
 B  0
No existen fuentes ni sumideros del campo magnético.
No existen “cargas” magnéticas
0 J (r )   r  r  
B (r ) 
dV 
3

4 V
r  r
pero
r  r


0
r  r
3
por lo tanto
 B  0
No existen fuentes ni sumideros del campo magnético.
No existen “cargas” magnéticas
0
J (r )
B(r ) 
 
dV 
4
r  r
V
0
J (r )
  B(r ) 
 
dV 
4
r  r
V


G   G  G
2
 0
 1 
0 
J (r )
2
  B(r ) 
   
dV  
J (r ) 
 dV 

4  V r  r 
 4 V
 r  r 
 
   G    G    G
J  r
1
1


 J  r 
  J  r 
r  r
r  r
r  r
1
 J  r  
r  r
 
 1 
 1 
0 
2
0
  B(r ) 
   J (r )   
J (r ) 
 dV  
 dV 

4 V
 4 V
 r  r 
 r  r 
 1 
 1 
 
   

 r  r 
 r  r 
 1 
 
  4  r  r  

r

r


2

 1 
0 
  B(r )      J (r )   
 dV   0  J (r )  r  r   dV 
4 V

V
 r  r 

 1 
0 
  B(r )      J (r )   
 dV   0 J  r 
4 V

 r  r 
 1 
V J (r)    r  r  dV 


 1 
 J (r ) 
  J (r )





V J (r )    r  r  dV  V    r  r  dV  V r  r dV  




J (r )
  J (r )
= 
 dS   
dV  
r  r
r  r
S V 
V
Como la corriente está acotada

S V 
J (r )
 dS   0
r  r
Como la corriente es estacionaria
  J (r )  0
 1 
V J ( r)    r  r  dV   0



 1 
0 
  B(r )      J (r )   
 dV   0 J  r 
4 V

 r  r 
  B ( r )  0 J  r 
B  0
  B  0 J
  J  0
B  0
  B  0 J
Electrostática
  E   / 0
 E  0
B  0
4
 B 
J
c
Para todo campo vectorial
 :R  R
3


  dl

3

(  )  dS
S ( )
para toda S () cuyo contorno sea 
 B  0 J


B

dS


J

dS
0


S
S

 S 
B  dl  0  J  dS
S

CS 
B  dl  0  J  dS
S
La circulación del campo magnético es igual a 0
por el flujo de corriente eléctrica a través de
cualquiera de las superficies cuyo contorno es 
I
B

dl


0

C

S C 
J  dS
 B  dl
C
I
i) B es tangencial por simetría
ii) B es constante sobre el círculo rojo
 B  dl   2 r  B   2 rB
C
r

S C 
J  dS  J

S C 
dS  4 r J  I
2
I
r
 B  dl   
0
C
J  dS
S C 
 B  dl  2 rB
C

S C 
2 rB  0 I
0 I 1
B
2 r
0 I ˆ
Br  
2 r
J  dS  I
0 I ˆ
Br  
2 r
0 I   sin  iˆ  cos ˆj 
Br  

2
2
2
x y
0 I

2

 I
y
x
1
0

,
,0  
 y, x,0 
2
2 
2
2 
2
2
2
2
 2 x  y
x y 
x y
x y

1
0 I 1
Br  
 y, x,0 
2
2 
2 x  y
0 I ˆ
Br  
2 r
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A.
Calcular el campo magnético en todos los puntos del espacio
J
a
A  a
2
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A.
Calcular el campo magnético en todos los puntos del espacio
a
J
A  a
 B  dl   
0
C
S C 
J  dS
2
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A. Calcular el campo
magnético en todos los puntos del espacio
a
J
ra
 B  dl
 2 rB
C
0 I ˆ
Br  
r
2
2 a
Radio r

S C 
 
J  dS  J  r
2
Se tiene una corriente cilíndrica de densidad J y de área A. Calcular el campo
magnético en todos los puntos del espacio
a
J
Radio r
r a
 B  dl

 2 rB
S C 
C
J a 

I1ˆ
ˆ
Br  
 

2
2 r
0
0

J  dS  J  a
2 r
2

 0 I ˆ
r
2

 2 a
B(r )  
 0 I 1 ˆ

 2 r
ra
ra
0 I ˆ
Br  
r
2
2 a
ra
0 I
2
2
ˆ  cos ˆj  
Br  
x

y

sin

i

2 a 2

 I
0 I
y
x
2
2
0



x

y

,
,0

 y, x,0 

2
2
2
2
2
2

 2 a
2 a
x

y
x

y


0 I
Br  
 y, x,0 
2 
2 a
0 I ˆ
Br  
r
2
2 a
ra
 B  dl
 0  0  lB  0  lB
C

J  dS  Inl
S (C )
lB  0 Inl
B  0 In
Z
b
a
c
d
K
B
X
Y

b


c
 


ˆ 
ˆ   Biˆ   kdz
B  dl    Biˆ  idy

a
C
d
b
a
   
ˆ 
  Biˆ  idy

c
d
b
d
a
c
 
ˆ 
Biˆ  kdz
 B  dy  0  B  dy  0  2 LB

0
B  dl  2 BL
C
B

J  dS
S (C )
0 K
2
 0 K
 2
B
  0 K
 2
ˆj
z0
ˆj
z0
  KL
0
B
K
B

CS 
B  dl  0  J  dS
S
 B  0 J
  B  0 J
    B   dS    J  dS
0
S
S

S C 
B  dl  0  J  dS
S
J  0
B  0
  B  0 J
f  E  J  B

B  dS  0
cualquier
superficie

CS 
B  dl  0  J  dS
S
B2
n̂2
2
K
1
n̂1
B1

cualquier
superficie
B  dS  0
B2
n̂2
2
K
1
n̂1
B1
0   B(1)  nˆ1  A   B (2)  nˆ2  A 
  B(1)  nˆ1  A   B(2)  nˆ1  A  0
B(1)  nˆ1  B(2)  nˆ1  0
B  2
dl2
d
2
1
a
c
K
dl1
b
B 1

C(S )
B  dl 0  J  dS
S
B  2
d
2
1
dl2
c
K
dl1
a
b
B 1
b
c
d
a
 B 1  dl   B  i   dl   B  2   dl   B i   dl
1
a
i
b
2
c
dl2   dl1
Bt (1) L  0  Bt (2) L  0  0 KL
Bt (1)  Bt (2)  0 K
i
d
 0 KL
 B  0
 B  0 J
f  E  J  B
  B  0 J
     B    0  J
0   0  J
J  0
0
r  r


B(r ) 
J
(
r
)

dV
3
4 V
r  r
0
J (r )
B(r ) 
 
dV 

4
r

r
V
B(r )    A  r 
0
A(r ) 
4

V
J (r )
dV 
r  r
Para todo campo vectorial G
 G  0

G   H
 B  0
 B  0

 B  0 J
 A  B   A
Sustituyendo en   B  0 J ,


    A  0 J


    A  0 J
(  A)   A  0 J
2
E  
      C
     C     C    0  
E   
A  A  A  


  A    A      A        A  0  B
B   A
B    A
(  A)   A  0 J
2
 A  0
Si
con
 A  0
ponemos
A  A  
     A
2
Por tanto
  A    A     0
2
B   A

B    A

  A  A  0
A  A  
A  A  
(  A)   A  0 J
2
Norma de Coulomb
 A  0
 A  0 J
2
Ecuación de Poisson:  A   0 J
2
Ecuación de Laplace:  A  0
2
    / 0
2
 (r ) 
1
 (r )
 r  r
4 0 V
dV 
 A   0 J
2

2
 A , A , A     J
x
y
z
0
A( r ) 
4
0

V
x
, Jy, Jz 
J (r )
dV 
r  r
0
A(r ) 
4

V
J (r )
dV 
r  r
B   A
 


   F     F    F
1
 
r  r
F  J ( r )
J (r )
1
1
1

=
  J (r )  
 J (r )  
 J (r )
r  r r  r
r  r
r  r

1
r  r


3
r  r
r  r

J (r )
r  r

=J (r) 
3
r  r
r  r
0 J (r )   r  r  
B (r )  
dV 
3
4 V
r  r