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UT 7 – Parte I
ANOVA
Análisis de la Varianza
(ANalysis Of VAriance)
ESTADÍSTICA II
Índice
I.- Preámbulo
II.- Análisis de la varianza con 1 factor
II.1.- Un ejemplo
II.2.- Idea intuitiva del ANOVA
II.3.- Descomposición de la suma de cuadrados. Test F
II.4.- Intervalos LSD de comparación de medias
II.5.- Análisis de residuos
II.6.- Estudio de efectos sobre varianzas
II.7.- Realización práctica de los cálculos
II.8.- Número desigual de observaciones para cada factor
II.9.- Factores cuantitativos: descomposición de la SCFactor
Resumen
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
I-Preámbulo

Técnica básica para el estudio de observaciones
que dependen de varios factores.

Herramienta fundamental en el análisis de los
modelos de Diseño de Experimentos y
Regresión Lineal

En esta UT veremos el caso más sencillo: la
comparación de los efectos de las
I
variantes de un único factor.
(Más adelante se generalizará
simultáneo de K factores)
al
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
estudio
II- Análisis de la Varianza con 1 Factor
EJEMPLO
Una factoría de motores tiene 2 proveedores de los
cigüeñales que mecaniza. Un tercer proveedor
ofrece
sus
cigüeñales
algo
más
caros
argumentando sus mejores propiedades dinámicas,
concretamente que su equilibrado dinámico es
menor.
La factoría decide hacer una prueba comparando
10 cigüeñales del nuevo proveedor (código=1) con
10 de cada uno de sus 2 proveedores tradicionales
(códigos 2 y 3). Los resultados obtenidos se
recogen en la siguiente tabla:
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
EJEMPLO
Factor estudiado
(sólo uno)
Variantes del factor (3)
Resultados obtenidos
(equilibrado dinámico en grs.)
PROVEEDOR
1
2
3
23
35
50
28
36
43
21
29
36
27
40
34
95
43
45
41
49
52
37
51
52
30
28
43
32
50
44
36
52
34
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
EJEMPLO
CUESTIÓN CLAVE
¿Hay evidencia suficiente respecto a la superioridad
de los cigüeñales del nuevo proveedor para
cambiar a éste pese al precio ligeramente más
elevado?.
El ejemplo que consideramos es un caso particular
de diseño de experimentos: se estudia el efecto
de un único factor (el proveedor) con 3 variantes
(los 3 proveedores a comparar) sobre la media de la
variable respuesta (el equilibrado dinámico, que
debe ser el menor posible)
(En la siguiente unidad veremos el análisis del
efecto de varios factores)

Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Autoevaluación


Dado que conocemos una técnica estadística para
comparar dos tratamientos ¿no sería posible analizar los
datos anteriores comparando dos a dos las tres parejas
posibles de proveedores?.
Si en vez de tratarse de 3 hubiera 5 proveedores
 ¿Cuántas parejas de tratamientos habría que
comparar?
 Suponiendo que los 5 proveedores fueran idénticos y si
en cada comparación se operase con un riesgo de 1ª
especie del 5%, ¿la probabilidad de obtener una
conclusión errónea (deducir que al menos dos de los
proveedores son distintos) sería del 5%?
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Conclusión
En general, la práctica de analizar los resultados
de este tipo de experimentos comparando 2 a 2
(mediante las técnicas ya vistas) todas las
parejas posibles de tratamientos no es
recomendable:


es muy laboriosa
incrementa la probabilidad global de cometer un error
de 1ª especie
Técnica estadística adecuada:
Análisis de la Varianza
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Objetivos del EJEMPLO
Se usará a lo
largo de la UT
1.
Dar una idea intuitiva del fundamento del ANOVA
2.
Enseñar cómo se calcula una tabla de análisis de la
varianza y cómo se interpreta su contenido
3.
Dar una técnica sencilla para comparar varias medias, si
el ANOVA resulta significativo
4.
Poner de manifiesto la importancia de las técnicas
gráficas de análisis de residuos
5.
Introducir una técnica para analizar si existen diferencias
de varianza entre diversos tratamientos
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.2- Idea intuitiva del ANOVA

Técnica estadística muy poderosa para el estudio del efecto
de uno o más factores sobre la media de una variable.
Variabilidad debida a
 Idea básica: descomponer
la variabilidadVariabilidad
total observada
diferencias entre
Variabilidad
residualen
unos
partes asociadas a cada
factor estudiado
Total
en datos
los = en las tratamientos
+ (diferencias dentro de
más
la que después
compararán
datosuna parte residual,
(efecto delcon
factor
cada se
tratamiento)
las dos primeras: proveedor)
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo


intuitivo
Efecto de la variedad y la dosis de abonado sobre
el rendimiento de un cultivo en 12 parcelas.
Veamos unos rendimientos hipotéticos en algunos
casos extremos:
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo
intuitivo
Factor 1
ABONADO
VARIE.
1
2
3
1
20
20
20
20
20
20
2
20
20
20
20
20
20
Valor
Valor
observado:
observado:
Factor
2
3
variantes:
3 dosis
2
variantes
RENDIMIENTO
RENDIMIENTO
Parcela
3 4
distintasParcela
sembrada
sembrada
con con
la variedad
la variedad
1y1y
cultivada
cultivada
con con
la dosis
la dosis
de de
abonado
abonado
2 2
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo
intuitivo
ABONADO
Caso A
VARIE.
1
2
3
1
20
20
20
20
20
20
2
20
20
20
20
20
20
Rendimiento medio = 20


2
2
2
La suma
de
las
desviaciones
de
cada
valor
xikj  de
x los
 cuadrados








20  20
20  20
20  20  0
observado
del RENDIMIENTO con respecto a su media:
ikj
2
Suma
deinfluye
Cuadrados
Nada
Total (SCT)
SCTotal=0
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo
intuitivo
ABONADO
Caso B
VARIE.
1
2
3
1
20
20
20
20
20
20
2
30
30
30
30
30
30
Rendimiento medio = 25
  xikj  x 
2
  20  25 2   20  25 2 
  30  25 2  300
ikj
SCT=300  Hay variabilidad.
El factor
variedad influye sobre
Al “analizarla
la media
varianza”del
se observa
que la variabilidad se
rendimiento
debe sólo
al efecto
de la variedad
SCTotal
=SCvariedad
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo
intuitivo
ABONADO
Caso C
VARIE.
1
2
3
1
20
20
25
25
30
30
2
30
30
35
35
40
40
Rendimiento medio = 30
2
2
2
ElTOTAL
factor
y
el
factor
dosis
influyen
SC
  20variedad








 30
25  30
40  30  500
sobre la media del rendimiento
SCT=500  Hay variabilidad.
No hay interacción.
Al “analizar la varianza” se observa que la variabilidad se
debe
al efecto
de la variedad
como al efecto de la
El tanto
efecto
del abonado
es lineal.
dosis de abonado.
SCTotal=SCvariedad+SCabonado
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo
intuitivo
ABONADO
Caso D
VARIE.
1
2
3
1
20
20
25
25
30
30
2
30
30
35
35
50
50
Rendimiento medio = 31’67
El factor variedad,
el factor abonado y su
2
2
interacción
influyen
sobre la
media
del 2  1066' 67
SCTOTAL   20  31






' 67
25  31' 67
50  31' 67
rendimiento
SCT=1066’67  Hay variabilidad.
El efecto favorable de la dosis 3 es mayor en la
Al “analizar
la varianza”
variedad
2 que
en la 1.se observa que la variabilidad se
debe tanto al efecto de la variedad como al efecto de la
dosis de abonado y a su interacción.
SCTotal=SCvariedad+SCabonado+ SCInteracción
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo
intuitivo
ABONADO
Caso E
30
Único
realista
1
2
3
1
19
21
27
24
28
32
31
30
31
36
33
47
51
Rendimiento medio = 31’6
El factor variedad,
el factor abonado y su
2
interacción,
como
otros2factores
no 2  1001
SCTOTAL  19 así






 31' 6
21  31' 6
51  31' 6
controlados o no tenidos en cuenta influyen
sobre la media
del rendimiento
SCT=1001
 Hay variabilidad.
Las parejas
de parcelas
con idéntica
variedad
Se observa
que la variabilidad
se debe
tanto al efecto
de y
la variedad
al efecto
de la dosis
de abonado y a su
abonado
no como
rinden
exactamente
igual:
interacción, así como al de los factores no controlados
SCTotal=SCvariedad+SCabonado+ SCInteracción + SCResidual
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Significación de un efecto

La comparación de la SC asociada a cada efecto
con la SCresidual permite estudiar si dicho efecto es o
no significativo.

Para llevar a cabo dicha comparación, cada suma
de cuadrados se divide por sus grados de libertad,
obteniéndose unos estadísticos a los que se
denomina cuadrados medios:
SC
CM 
g.l
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Significación de un efecto



El CMTotal es la varianza de los datos observados.
El CMResidual es una estimación de la 2 de las
poblaciones muestreadas (asumiendo misma 2
para todas las poblaciones)
El CM asociado a cada efecto:
 Si el efecto no existe en la población el CM es
otra estimación de la 2 independiente de la del
CMResidual.
 Si existe un efecto real poblacional, entonces
tiende a ser mayor que 2
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Significación de un efecto
Denominamos f-ratio o f calculada al cociente:
CMfactor/CMresidual
Si no existe un efecto real del factor a nivel
poblacional
el CMfactor será muy parecido al
CMresidual

El f-ratio será muy parecido a 1 con una
distribución F de
Fisher con los grados de
libertad correspondientes.
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Significación de un efecto

Si existe un efecto real del factor
poblacional
el CMfactor >>> CMresidual
a
nivel
El f-ratio será demasiado elevado para ser una F
de
Fisher con los grados de libertad
correspondientes.
¿De dónde sale esto...?
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.3 Descomposición de la Suma de
Cuadrdos. Test F

Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo Proveedores cigüeñales

Experimento:




Factores: PROVEEDOR (solo 1)
Variantes: Prov. 1, 2 y 3 (3)
Variable respuesta: equilibrado dinámico (EQUIDINA)
Objetivo: ¿existen diferencias entre los
equilibrados dinámicos medios en los cigüeñales de
los 3 proveedores?
H0 : m1  m2  m3
H1 : i, j ;i  j / m1  m2
ANOVA
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo Proveedores cigüeñales

Tabla resumen del ANOVA
Origen
Variación
Suma de
Cuadrados
Grados
Libertad
Cuadrado
Medio
Total
5465
29
-
-
Tratamientos
207
2
103’5
0’532
Residual
5258
27
194’7
-
Riesgo de 1ª especie: =0’05
Tabla: F2,27(5%) = 3’35 >> 0’532
F
ratio
Aceptamos H0
¡NO HAY DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS
ENTRE PROVEEDORES!
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo Proveedores cigüeñales
TEST F
(Gráficamente)
Distribucion F 2,27
1,2
density
1
0,8
0,6
=0’05
0,4
0,2
0
0
1
Aceptación
0’53
3 3.35
2
x
4
5
Rechazo
Aceptamos H0
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.4- Intervalos LSD para la comparación
de medias

Si el test F resulta significativo:



¿Es mejor el Prov. 1 que el 2 y el 3?
¿Es mejor el 1 y el 2 que el 3, no habiendo diferencias entre los primeros?
...
Hay que estudiar entre cuáles de los tratamientos existen
diferencias significativas.
 Un valor significativo de la f-ratio sólo indicaría que al menos
una de las tres medias difiere de las restantes, pero no precisa
cuáles son las que difieren entre sí.

Intervalos LSD
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.4- Intervalos LSD para la comparación
de medias


Intervalos LSD (Least Signficative Difference) son
intervalos para la media de cada tratamiento.
Intuitivamente, se calculan como la mitad del
intervalo de confianza para la diferencia de medias:
Media del
tratamiento i
1 (  2 )%
ˆ ( xi  x j )
xi  tgl resid . 
2
Valor de
TABLAS
Estimación de la desv.
Típica de l tratamiento
• NOTA: el intervalo obtenido no es un intervalo de confianza
para las medias correspondiente. Su utilización es sólo la
comparación de medias
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.4- Intervalos LSD para la comparación
de medias
Se asume 12  22  32  2 ( Homocedasticidad )
N1  N2  N3  N
CM residual
2
ˆ
y Sxi 
( estimacion var . media muestral ) 
Ni
2CM residual
2CM residual
CM residual
ˆS 2
ˆ
 S( xi  x j ) 
 2
( xi  x j ) 
Ni
Ni
Ni
xi  0.0707 .t
(  2 )%
gl resid
.Sxi
2
2
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
CM residual
N
II.4- Intervalos LSD para la comparación
de medias
Ejemplo:
Tablas  t
(  2 )%
gl resid
(  2  0.025 )
27
t
CM residual
194' 7
Sx 

N
10
 2' 052
Estimación de
la varianza
poblacional
4' 41
Intervalo LSD Prov 1:
37  0' 707 . 2' 052 . 4.41
30' 6 ,43' 39
Media del
Desv. Típica
¿Cuáles
serían
los otros intervalos LSD?
tratamiento 1
con que se
estima cada
media
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo con Statgraphics:
Table of Least Squares Means for EQUIDINA
with 95,0 Percent Confidence Intervals
-----------------------------------------------------------------------------Level
Count
Mean
Stnd.
Lower
Upper
Error
Limit
Limit
-----------------------------------------------------------------------------GRAND MEAN
30
40,5333
1
10
37,0
4,41303
27,9452
46,0548
2
10
41,3
4,41303
32,2452
50,3548
3
10
43,3
4,41303
34,2452
52,3548
PROV
------------------------------------------------------------------------------
Nº total de
Equilibrado
Media muestral
Estimación
dinámico
de Intervalos
de la S deLSD para
observaciones
medio,
cada proveedor
sealacual
media
seade
cada
cada
proveedor
el proveedor
proveedor
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Gráficamente con Statgraphics:
EQUIDINA
Means and 95,0 Percent LSD Intervals
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
1
2
3
PROVEEDOR
Intervalo LSD Prov:La diferencia entre la media de
dos tratamientos será significativa si los respectivos
intervalos LSD no se solapan.
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.5 Análisis de residuos



Residuos: diferencia entre cada dato y la media de
su tratamiento.
Su estudio tiene una gran importancia práctica.
Media del equilibrado
Ejemplo:
23  37  14
Primer valor
observado del
equilibrado
Séptimo
valor
dinámico
del
observado
prov. 1del
equilibrado
dinámico del
prov. 2
51  41' 3  9' 7
dinámico de la
Residuo
1
muestra
del prov.
1
Media del equilibrado
dinámico de la
Residuo
17 2
muestra
del prov.
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.5 Análisis de residuos

El Statgraphics calcula los residuos
automáticamente y permite guardarlos en una
variable que por defecto denomina RESIDUALS.

También efectúa una representación gráfica de los
mismos.

Permite detectar datos anómalos o pautas de
variabilidad sospechosas.

¡Una observación anómala puede invalidar
por completo todas las conclusiones de un
análisis!
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.5 Análisis de residuos
Residual Plot for EQUIDINA
Los residuos deben
estar alrededor de
cero,
distribuidos
Dato
anómalo:
la
o menosdel
de
5ªmás
observación
manera
uniforme
prov.
1 debe
ser
35, no 95
RESIDUOS
60
40
20
0
-20
-40
-60
1
2
3
PROVEEDOR
Si se vuelve a realizar el ANOVA ...
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo Proveedores (sin dato anómalo)

Tabla resumen del ANOVA
Origen
Variación
Suma de
Cuadrados
Grados
Libertad
Cuadrado
Medio
Total
2409’46
29
-
-
Tratamientos
871’26
2
435’6
7’64
Residual
1538’2
27
56’97
-
Riesgo de 1ª especie: =0’05
Tabla: F2,27(5%) = 3’35 << 7’64
F
ratio
Rechazamos H0
¡SI HAY DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS
ENTRE PROVEEDORES!
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
Ejemplo Proveedores cigüeñales
TEST F
(Gráficamente)
Distribucion F 2,27
1,2
density
1
0,8
0,6
=0’05
0,4
0,2
0
0
1
3 3.35
2
Aceptación
x
4
5
Rechazo
Rechazamos H0
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
7’6
Intervalos LSD
¿Entre que tratamientos existen diferencias
significativas con respecto al equilibrado dinámico?
EQUIDINA
47
43
39
Los intervalos se
Means and 95,0 Percent LSD Intervalssolapan: entre los
prov 2 y 3 no hay
diferencias
significativas del eq.
dinámico
35
31
27
1
2
3
Pero entro el prov.
1 y el 2 o el 3 si
hay diferencias
significativas
PROVEEDOR
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas



moderna Estadística Industrial gran importancia
de los enfoques de diseño robusto desarrollados
en Japón 
obtener condiciones operativas que sean poco
sensibles a la existencia de causas de variabilidad

estudio de posibles efectos sobre la dispersión de
los factores implicados en el diseño de productos y
procesos.
¿Existen diferencias entre los proveedores de
cigüeñales respecto a la varianza de los
equilibrados?
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas

Se asume que las poblaciones de las que procede
la EQUIDINA de cada proveedor son iguales.
0,18
Mean,Std. dev.
31,2,38
41,3,2,38
43,3,2,38
0,15
0,12
0,09
0,06
0,03
0
19
29
39
49
59
EQUIDINA
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas

Pero, ¿y si los datos proceden de poblaciones con
diferentes varianzas según el proveedor?
0,2
Mean,Std. dev.
31,2
41,3,6
43,3,4
0,16
0,12
0,08
0,04
0
0
20
40
60
80
EQUIDINA
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas

Procedimientos clásicos: tests de Bartlett y Hartley



Necesidad de aprenderse un nuevo procedimiento.
No aplicables si hay más de un factor implicado.
Necesitan replicaciones en cada tratamiento.
Romero, R. y Zúnica, L. R. proponen un método
aproximado, pero eficaz, sin los inconvenientes
de los tests más formales, basado en el estudio
de los residuos:
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas
Residual Plot for EQUIDINA
16
residual
11
6
1
-4
-9
-14
1
2
3
PROVEEDOR
¿Qué aspecto tendría el gráfico si los
equilibrados del proveedor 1 tuvieran mucha
menor varianza que los otros dos?
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas
Residual Plot for EQUIDINA
16
residual
11
6
1
-4
-9
-14
1
2
3
PROVEEDOR
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas

¿Existe alguna relación entre la media aritmética
de los cuadrados de los residuos de un proveedor y
la S2 para dicho proveedor?
media( SCR ) 
Si2 

2
(
x

x
)
 ij i
i; j
Ni
2
(
x

x
)
 ij i
i; j
Ni  1
La media de los residuos al cuadrado es
ligeramente superior a l S2, y tienden a ser iguales
si Ni es grande.
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas


Si no hay diferencias entre las varianzas de los
proveedores  no debe haber diferencias entre las
medias de los residuos al cuadrado para cada
proveedor.
¿Qué herramienta o técnica se puede usar para
conocer si existen o no diferencias entre múltiples
medias de una v.a. de distintas poblaciones?



ANOVA
Variable respuesta: (residuos)2
Factor: proveedor
Variantes: 3
Dto. Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad – Estadística II
II.6 Estudio de efectos sobre varianzas
ANOVA Table for RESIDUALS^2 by PROV
Analysis of Variance
----------------------------------------------------------------------------Source
Sum of Squares
Df Mean Square
F-Ratio
P-Value
----------------------------------------------------------------------------Between groups
8198,36
2
4099,18
1,89
0,1707
Within groups
58587,0
27
2169,89
----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.)
66785,4
29
P-Value >
0’05
Aceptamos la H0 de igualdad de varianzas  el
factor proveedor no tiene un efecto significativo
sobre la dispersión
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II.7 Realización práctica de los cálculos
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II.8 Número desigual de observaciones
para cada factor
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II.9 Factores cuantitativos:
descomposición de la SCF
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Resumen

Descomposición de la variabilidad total:
 Una parte debida al efecto del factor investigado

Parte residual que recoge el efecto de todos los factores
no controlados
Ambas partes se comparan mediante un test F en la TABLA
del ANOVA, y esto permite estudiar la significación del factor
en estudio.

Si el test F resulta significativo, se construyen intervalos LSD
(least signficative difference) para comparar las medias de las
distintas variantes del factor
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Resumen

También veremos las técnicas gráficas de análisis de residuos
para detectar anomalías en los datos que puedan
comprometer los análisis.

Por último veremos la descomposición de la suma de
cuadrados de un factor cuantitativo en los términos asociados
a sus efectos lineal, cuadrático y de orden superior.
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