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Unidad 3
Gráfica de las funciones trigonométricas
Ing. Arnoldo Campillo Borrego.
Autor.
Se llama círculo trigonométrico aquel cuyo radio vale la unidad.
A continuación construirás las razones trigonométricas seno y coseno de
manera más general en el plano coordenado, a partir de tomar ángulos
desde el círculo de radio 1, tomando el vértice del ángulo como el origen.
Si se construye la circunferencia de radio 1 y se toma cualquier ángulo
agudo a partir del eje x, es decir, que el ángulo termina en el primer
cuadrante, como se muestra en la figura:
Si se quiere calcular el seno del ángulo
se puede hacer a partir de la definición
del triángulo rectángulo.
sen α = _cateto opuesto_ = altura = 1
hipotenusa
1
De manera general para los otros cuadrantes se va a definir el seno del
ángulo como la altura (con respecto al eje x) del triángulo que tiene por
lado el segmento al punto en el que acaba el ángulo sobre la
circunferencia de radio 1.
Se va a considerar la altura como positiva si está arriba del eje x y como
negativa si está abajo.
El seno para un ángulo en el
segundo
cuadrante
es
positivo porque su altura está
por arriba del eje x.
El seno en el tercero y
cuarto cuadrante es
negativo,
porque
la
altura del triángulo está
por debajo del eje x.
La razón trigonométrica coseno se va a construir de manera muy similar,
usando la definición de coseno para el triángulo rectángulo que se forma
en el primer cuadrante y generalizándola para los demás cuadrantes.
Si se observa la siguiente figura, en el cual se construyó un triángulo
rectángulo sobre la circunferencia de radio 1, tomando como hipotenusa el
segmento que va del origen al punto donde acaba el ángulo sobre la
circunferencia de radio 1.
De esta manera se tiene que a partir de la definición de la razón trigonométrica
coseno.
cos α = cateto adyacente = proyección sobre el eje x = proyección sobre el eje x
hipotenusa
1
Así, se puede tomar ya está definición para los siguientes cuadrantes, el
coseno se definirá como la proyección sobre el eje x del segmento en el
que termina el ángulo en la circunferencia de radio 1.
En la función coseno, el signo será positivo si se encuentra a la derecha
del eje y o negativo si se encuentra a la izquierda de éste.
En el cuarto cuadrante el coseno
del ángulo es positivo porque la
proyección se encuentra a la
derecha del eje y
En el segundo y tercer cuadrante
el coseno es negativo porque la
proyección se encuentra a la
izquierda del eje y.
Sea BCD un triángulo rectángulo, y C una circunferencia de radio 1,
si colocamos el lado BC del triángulo sobre el radio de la
circunferencia, el lado BD del triángulo interseca a la circunferencia
en E´, trazamos un segmento perpendicular al radio que pase poe E´
intersecando al radio en el punto F´, el triángulo OE´F´ es semejante
al triángulo BCD. Y las funciones trigonométricas que se obtengan
para BCD serán las mismas que para el triángulo que se encuentra
en la circunferencia y cuya hipotenusa mide 1.
Las razones
trigonométricas para
un triángulo, cuya
hipotenusa mide 1,
son iguales para
cualquier triángulo
semejante.
Para obtener las funciones trigonométricas para ángulos no agudos,
vas a construir los ángulos sobre el plano coordenado. Al trazar los dos
ejes de un plano coordenado, éste queda dividido en cuatro partes, a
cada una de las cuales se le llama cuadrante y se le asocia un número
romano, que tiene una secuencia contraria a las manecillas del reloj:
cuadrante I, cuadrante II, cuadrante III, cuadrante IV.
Ángulo de referencia.
Observa que en cada uno de los planos coordenados de la imagen que
se muestra hay un ángulo agudo que se forma con el eje x y el lado
donde termina el ángulo β. A ese ángulo se le llama ángulo de referencia.
Las funciones trigonométricas se pueden calcular directamente con los
ángulos de referencia (tomándolos siempre como positivos) y a cada
función trigonométrica se le asociará un signo dependiendo de ésta y el
cuadrante en el que termine el ángulo original. Si los ángulos son
menores que 360°.
β
β
β
Cuando un ángulo termina en el cuadrante I, su ángulo de referencia
es el mismo.
Ejemplo. El ángulo de referencia de 45° es 45°.
Cuando un ángulo termina en el cuadrante II, su ángulo de referencia es
lo que le falta para llegar a 180°, es decir 180° - α.
Por ejemplo. Si el ángulo 135°, su ángulo de referencia es
180° - 135° = 45°.
Cuando un ángulo termina en el cuadrante III, su ángulo de referencia
es lo que se excedió de 180°, es decir, α – 180°.
Por ejemplo. Si el ángulo es de 225° su ángulo de referencia es
225° - 180° = 45°
Cuando un ángulo termina en el cuadrante IV, su ángulo de referencia
es lo que le falta para llegar a 360°, es decir, 360° - α.
Por ejemplo. Si el ángulo es de 31225° su ángulo de referencia es
360° - 315° = 45°
Si un ángulo excede los 360°, se le resta 360° tantas veces como sea
necesario, hasta que quede un ángulo menor de 360°, y dependiendo
del cuadrante en el que quede se aplica al ángulo menor de 360° que
quedó la regla correspondiente.
Las funciones trigonométricas para cualquier ángulo se podrán calcular
a partir de los ángulos de referencia, ocupando la siguiente tabla de
signos para asociar a la función trigonométrica correspondiente, de
acuerdo al cuadrante en el que termine el ángulo original.
seno
coseno tangen
te
cotangen
te
secant cosecant
e
e
I
+
+
+
+
+
+
II
+
-
-
-
-
+
III
-
-
+
+
-
-
IV
-
+
-
-
+
-
Por ejemplo. Retomando el caso donde 45° es el ángulo de referencia
para todos los siguientes ángulos: 45°, 135°, 225° y 315°, se pueden
calcular cualesquiera de las funciones trigonométricas tomando en cuenta
sólo el signo de la tabla y el valor de la función de 45° respectiva.
Ejemplos.
sen (135°)
Como se encuentra en el segundo cuadrante, buscando en la tabla para
la función seno se ve que el signo que se le asocia es: +, así que:
sen (135°) = sen (45°) = 0.7071
Por otro lado, cos (225°).
Como se encuentra en el tercer cuadrante, buscando en la tabla para la
función coseno se ve que el signo que se le asocia es: -, así que:
cos (225°) = -cos (45°) = -0.7071
También: tan (315°).
Como se encuentra en el cuarto cuadrante buscando en la tabla para la
función tangente se ve que el signo que se le asocia es: -, así que:
tan (315°) = -tan (45°) = -1
Entonces sólo conociendo las funciones trigonométricas para los ángulos
de referencia y utilizando la tabla de los signos para cada cuadrante y
cada función trigonométrica, puede calcularse de manera muy sencilla la
función trigonométrica que se desee.
Ahora construye las funciones trigonométricas, esto se logra siguiendo una regla,
que a cada ángulo (medido en radianes) le asocie el valor de una razón
trigonométrica. Por ejemplo, a cada ángulo se le asocia el valor de seno que le
corresponde.
Esta asociación de todos los ángulos posibles asociados al valor de seno
correspondiente se le llama función seno y se escribe como f(x) = sen (x).
Para cada función se puede construir una tabla en la que cada valor se le asigna el
valor dado que le corresponde en la función, la tabla se va a construir de la
siguiente manera. En una columna se van a representar los valores del ángulo y en
la otra el valor de la función trigonométrica correspondiente, en este caso seno.
x (en radianes)
0
0
π/4
0.7071
π/2
1
3π/2
0.7071
π
0
5π/4
-0.7071
3π/2
-1
7π/2
-0.7071
π
0
Si cada uno de los valores se representa en el plano ordenado,
localizando el valor de x en el eje horizontal x y el valor de f(x) asociado
en el eje vertical y se obtienen los siguientes puntos:
Puntos de la función
seno localizados en el
plano coordenado.
Además de muchas aplicaciones que tienen las razones
trigonométricas, las funciones trigonométricas, por su parte, tienen
también otras tantas aplicaciones, una de ellas es el estudio de las
ondas.
Como las de radio, televisión, rayos x, rayos cósmicos, incluso la luz es
una onda.
Así como se construyó la función seno se puede construir la función
coseno a partir de diferentes valores para el ángulo en el plano
coordenado.
x (en radianes)
f (x) = cos (x)
0
1
π/4
0.7071
π/2
0
3π/4
-0.7071
π
-1
5π/4
-0.7071
3π2
0
7π/4
0.7071
2π
1
Si se construye la gráfica para los puntos lo que se obtiene es:
Como se puede observar, los puntos localizados de la función coseno
tienen un comportamiento muy similar a los de la función seno.
Al igual que para las funciones seno y coseno, construyamos la tabla para
tangente y a partir de ésta su gráfica.
x (en
radianes)
f (x) = tan (x)
-π/2
No definido
-2π/5
-3.0776
-π/3
-1.7320
-π/4
-1
0
0
π/4
1
π/3
1.7320
2π/5
3.0776
π/2
No definido
La función cotangente es parecida a la función tangente. Las funciones
secante y cosecante son parecidas entre sí, pero diferentes a las que
has visto hasta este momento.
Las funciones tienen ciertos comportamientos que ahora se resumen.
Si a una función le sumas una constante, toda la función se desplaza
hacia arriba (con respecto al eje y) esa cantidad que le sumaste.
f (x) = sen (x) y f (x) = sen (x) + 3.
Rojo f (x) = sen (x)
Azul f (x) = sen (x) + 3
Lo mismo si a una función le restas una constante, toda la función se
desplaza hacia abajo esa cantidad que le restaste.
f (x) = cos (x) y f (x) = cos (x) - 2
Rojo f (x) = cos (x)
Azul f (x) = cos (x) - 2
Si una función la multiplicas por una constante n mayor que 1 se
amplifica, es como si cada punto aumentara su altura con respecto al
eje x, n veces.
f (x) = sen (x) y f (x) = 2sen (x).
Si la función se multiplica por un valor entre 0 y 1 se contrae, es como si
cada punto de la altura de la función fuera jalado hacia abajo tantas
veces como el número por el que se multiplico..
f (x) = cos (x) y f (x) = (1/2)cos (x).
Por último si la función se multiplica por un número negativo es
como si el eje x fuera un espejo y se reflejara.
f (x) = sen (x) y f (x) = -sen (x)
Ahora te toca practicar, realiza los ejercicios
de la actividad No. x