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1. Electrostática
2. Electrostática con medios materiales
3. Magnetostática
4. Magnetostática con medios materiales
5. Los campos variables en el tiempo y las
ecuaciones de Maxwel
Capítulo 1: Electrostática
Introducción
La carga eléctrica y su conservación
La ley de Coulomb
Los sistemas de unidades
El campo electrostático. El concepto de campo
El campo electrostático de una carga puntual
El principio de superposición
El campo eléctrico de un dipolo
El campo de una distribución general de cargas puntuales
El campo eléctrico de una distribución continua de carga
La fuerza eléctrica
La obtención del campo eléctrico por integración directa
E

 (r )dV  r  r 
2
r  r r  r
N
E
i 1
qi
r  ri
2
r  ri
+
r  ri
 ( r )dV  r  r 
 r  r r  r
 ( r )dS  r  r 


 r  r r  r
 ( r )dl  r  r 

 r  r r  r
+
2
2
2

F  QE
q
E (r )  2 rˆ
r
más la expresión para la fuerza eléctrica
FQ  QE
nos da
Qq
FQ  2 rˆ
r
E

 (r )dV  r  r 
2
r  r r  r

 r,0,0
2
E (r ) 
rˆ
r
2
E (r ) 
rˆ
r
z
E (r )  2
z
kˆ

 (r )  
0
R
si r  R
si r  R
E
 Q
r rˆ

3
 R
E (r )  
 Q rˆ
2

r

0rR
Rr
4 R 3
Q

3
R
r
q
E (r )  2 rˆ
r

 (r )  
0
R
si r  R
si r  R
0

2
ˆ
E ( z )  4 R  r  1

r2
rR
rR
( r , , z )

a

E( z) 
2 az
a
Q
2
z
3
2 2

kˆ 
z
a
2
z
3
2 2

kˆ
Q
2

a

Ez  2  2
z
z
(0,0, z )

a

z
ˆ
z
E  z   2  
k

2
2
z
a

z



El campo eléctrico en todo el espacio


4
0
4
El campo eléctrico en todo el espacio

0
4

0
Capítulo 1: ELECTROSTÁTICA
El potencial electrostático
El gradiente del potencial electrostático
La ley de Gauss
La divergencia del campo eléctrico. Forma diferencial de la
ley de Gauss
El rotacional del campo electrostático
Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática
La ecuación de Poisson y la ecuación de Laplace
La energía y el trabajo en el campo electrostático
Los aislantes y los conductores
El campo eléctrico en los conductores
Los métodos de solución de problemas electrostáticos
r  r0
q
Pr 
r
r0
E (r ) 
q
r  r0
2
r  r0
r  r0
q
E (r )  2 rˆ
r
Q
P2
P1
Q
P2
W 

C  P1  P2 
F  dl
P1
W 

F  dl
C  P1  P2 
Qq
W  
rˆ  dl
2
r
C  P1  P2 
q
rˆ
  P2  P1    
rˆ  dl  q 
 dl
2
2
r
r
C  P1  P2 
C  P1  P2 
  P1  P2   

C  P1  P2 
E  dl
En general, la integral depende de la trayectoria C  P1  P2 
Si la integral depende de la trayectoria de P1 a P2, podemos obtener
trabajo del campo, llevando la carga al punto P2 por una trayectoria y
regresándola a P1 por otra. De ida agarramos una trayectoria en la que se
haga menos trabajo y de regreso una donde se haga más.
Esto no es imposible, no viola ninguna ley. De hecho hay casos en que
sucede. Parte del sistema pierde energía y así la ley de conservación de
la energía se cumple.
Sin embargo, en electrostática todas las cargas están “fijas” y no hay
forma de que el sistema pierda energía
Por eso debemos esperar que en el caso electrostático la integral no
dependa de la trayectoria. O lo que es lo mismo que la integral sobre una
trayectoria cerrada sea cero
The Feynam Lectures on Physics. Sección 4.3
P2
P1
q
  P1  P2   
E  dl
E  dl  0

C  P1  P2 
E  dl  0
q
E (r )  2 rˆ
r
Z

dl
P2
    E  dl

dr
P1
q
X
P2 
Y

P1
rˆ    dr 
rˆ  dl
    E  dl   q  2   q 

2
r
r
P1
P1
P1
P2
P2
P2
1 1
dr
1 
  q  2  q    q   
r
 r  r1
 r2 r1 
P1
P2
1 1 
  q   
 r1 r2 
r2
 P1
0
0
0
P2 
1 1
  P1  P2     E  dl  q   
 r1 r2 
C  P1  P2 
En el caso de una carga puntual la integral no
depende de la trayectoria
o lo que es lo mismo
La integral sobre cualquier trayectoria cerrada es
cero
Si fijamos P1 , entonces tenemos una función del punto,
es decir, una función de R  R.
3
En particular, si P1 está en el infinito tenemos la
definición del potencial electrostático de una carga
puntual
q
 r r






 :R R
3
P2
P2
P1
P1
W   F  dl  Q  E  dl
P2
W

  E  dl
Q P1
N
E r   
i 1
  P1  P2   
qi
2
r  ri

N
C  P1  P2 
Ei  r  
r  ri N
  Ei  r 
r  ri i 1
E  dl  

i 1 C  P1  P2 
qi
r  ri
iN
 r   
i 1
2
r  ri
r  ri
qi
r  ri
Ei  dl
 (r )dV  r  r
E r  
2
r  r r  r

  P1  P2   

E  dl  

 (r )
C  P1  P2 
 r  
N

i 1 C  P1  P2 
r  r
dV 
Ei  dl
  P1  P2   
 E  dl  0

E  dl no depende de la trayectoria
C  P1  P2 
para cualquiera trayecto cerrado C
C
Un campo con estas características se llama
CONSERVATIVO
  P1  P2   
 E  dl  0
C
 E  0

E  dl no depende de la trayectoria
C  P1  P2 
para cualquiera trayecto cerrado C
El que el campo electrostático sea
conservativo se debe al carácter radial de la
fuerza electrostática.
Se debe a la simetría y dirección de la fuerza
electrostática
Y
x
x  x
X
Z
  x, y, z 
W    x  x, y, z     x, y , z     x, y , z  
x    x, y , z  
x
  x, y, z 

x
x
  x, y, z 
W 
x
x
Y
x
x  x
X
Z
x  x
W  

x
E  dl   Ex x
Haciendo lo mismo en la dirección Y y Z, llegamos a la conclusión que
    
E  
,
,

 x y z 
Es decir, que
E  
Que
E  
es más o menos obvio de la definición de 
P2
    E  dl
P1
como integral de E
 r  

 (r )
r  r
dV 
es una integral más fácil de hacer que
E r  
 r  r
 (r ) r  r 
2
r  r
y ya fácilmente E se encuentra derivando
E  
dV 
q
E (r )  2 rˆ
r
1    sin  A  A   1 Ar 1   rA   ˆ 1    rA  Ar  ˆ
 A 




 rˆ  
  

r sin  

   r sin   r r 
r  r
 

 


 1  1/ r 2
  E (r )  q 

 r sin 
 ˆ  q   1/ r   ˆ
2

r

  E (r )  0


Pr incipio de superposición
E r  

 (r ) r  r 
r  r
2
r  r
dV 
nos lleva a que en general
  E (r )  0
  E (r )  0
OJO: Esto es válido para el campo
electrostático, que es un campo conservativo
  P1  P2   

C  P1  P2 
 (r )
 r   
dV 
r  r
E  
 E  0
E  dl
A : R3  R3
A

dS

S
A
dS
A
S
Flujo   A  dS
S
E 

S (V )

E  dS  4  Q S (V )  4   r ´ dV ´
V
El flujo de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la
carga total neta encerrada en la
superficie por 4
• El que el flujo a través de una
superficie cerrada sea cero no
implica que no haya carga dentro
de la superficie.
Solo que el total de la carga
encerrada es cero.
• El que el flujo a través de una
superficie cerrada sea cero no
implica que el campo sea cero.
• Angulo sólido
• Integral de superficie
• El flujo de un campo vectorial
l
r

l
 (radianes)=
r
El ángulo sólido  subtendido por una superficie S
se define como el área de la superficie en una esfera
unitaria (de radio 1) cubierta por la proyección de la
superficie en la esfera
nˆ  dS
   2
r
S
   sin  d d
S
Los ángulos solidos se miden en steradianes
   sin  d d
S

2

0
0
0
   sin  d  d  2  sin  d  4
A : R3  R3
A

dS

S
A
dS
A
S
Flujo   A  dS
S
q
E (r )  2 rˆ
r
Eb
b
Ea
a
q
caras laterales  0
 cara a
E  dS  0
 q 
 a Ea  a  2   q
a 
 cara b
2
2
 q 
 b Eb  b  2   q
b 
2
2
 Total  0
En

q
E
caras laterales  0
cara a
E  dS  0
a2
a2  q

 
Ea  nˆ  
cos

 2
  q
cos
cos  a

cara b
b2
b2  q

 
Eb  nˆ  
cos

 2
  q
cos
cos  b

 Total  0
q
 Total  0
Flujo del campo electrico de una carga puntual q en el origen
sobre una esfera centrada en la carga
q
E (r )  2 rˆ
r
La superficie es una esfera de radio a, por tanto
dS  a 2 sin  d d rˆ
 2


0 0
 2
q 2
a sin  d d rˆ  rˆ q   sin  d d  4 q
2
a
0 0
  4 q
q

  4 q
Flujo del campo electrico de una carga puntual q en el origen
sobre un plano z  a con lado L
q
E ( r )  2 rˆ  q
r
( x, y , z )
x
2
 y2  z2

3
2
La superficie es el plano z  a, por tanto
dS  dx dy kˆ
L L
 cara  q  
0 0
 cara 
adxdy
x
2
q
3
2
 y2  a2

3
2
2
q 
3
dS
L
q
E
 total  6 cara
2
6
q  4 q
3
total  4 q
S
q

ˆ
 q
 E  dS   E  ndS
S
ˆ
rˆ  ndS
S
S
rˆ  nˆ
dS
2
r
es la proyección del área dS en un plano
perpendicular a r .
Por tanto
ˆ
rˆ  ndS
d 
r2
Considerando una esfera que pase por el centro
del elemento infinitesimal de área
ˆ 
rˆ  ndS
d 
r 2
e
ˆ
ˆ 
rˆ  ndS
rˆ  ndS
S r 2  S r 2  4
S
q
 S  4 q
qj 
q1 
q1 
q2 
qi 
q2 
N1
E r   
i 1
qi
r  ri
qj
r r
r r

r  ri j 1 r  r 2 r  rj
j
N2
2
  4  Q S
E 

S (V )

E  dS  4  Q S (V )  4   r ´ dV ´
V
El flujo de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la
carga total neta encerrada en la
superficie por 4
• El que el flujo a través de una
superficie cerrada sea cero no
implica que no haya carga dentro
de la superficie.
Solo que el total de la carga
encerrada es cero.
• El que el flujo a través de una
superficie cerrada sea cero no
implica que el campo sea cero.
Ejemplos del uso de la ley de
Gauss para calcular campos
electrostáticos

A
z

2 EA  4 A(2 z ) 
A

z
E ( z )  4 zkˆ
A
z

d
A
z

2 EA  4 Ad 
d

z ˆ
E  2 d  k
z
La ley de Coulomb
F

q1q2
r2  r1
2
r2  r1
r2  r1
r  ri
El principio de superposición E  r   
2
r  ri
i 1 r  ri
nos da

S (V )
N

E  dS  4   r ´ dV ´
V
qi
E 

S (V )

E  dS  4  Q S (V )  4   r ´ dV ´
V
El flujo de campo eléctrico a través de
una superficie cerrada es igual a la
carga total neta encerrada en la
superficie por 4


E  dS  4   r ´ dV ´
S (V )
V

E  dS  E   4 r
S (V )
4

  r ´ dV ´  4 q
V
q
2
q
E 2
r
q
E  r   2 rˆ
r
Qq
F  QE  2 rˆ
r

No hay forma de derivarlo
•Con la ley de Gauss se resuelven problemas con
mucha simetría
•La simetría nos permite “adivinar” parte de la
solución. Por ejemplo las caracteristicas
vectoriales
•La simetría nos permite saber sobre que
superficies el campo electrostático debe
permanecer constante
¡
NO depende ni de  ni de !
1. Fuera de la esfera
E 


E  dS  4  Q  S (V )  4   r ´ dV ´
S (V )
V
a
 (r )
r
Q
E (r )  2 rˆ
r
¡
NO depende ni de  ni de !
2. Dentro de la esfera
E 


E  dS  4  Q S (V )  4   r ´ dV ´
S (V )
V
E  4 r 2   4

 (r´)dV ´
Esfera
radio r
r
a
1
E (r )  rˆ 2   (r´)dV ´
r Esfera
radio r
 (r )
r

4
E (r )  2 rˆ  (r´)r´2 dr´
r
0
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
4
E ( r )  2 rˆ
r
r

0
 (r´)r´ dr´
2
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
4
E ( r )  2 rˆ
r
r

 (r´)r´ dr´
2
0
40
 (r )  0  E (r ) 
rrˆ
3
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
4
E ( r )  2 rˆ
r
r

 (r´)r´ dr´
2
0
40 n 1
 ( r )  0 r  E ( r ) 
r rˆ
 n  3
n
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
4
E ( r )  2 rˆ
r
r

 (r´)r´ dr´
2
0
r
r
e
1 e
ˆ
 (r )  0 2  E (r )  4
r
2
r
r
¡
NO depende ni de 
ni de !
2. Dentro de la esfera
4
E ( r )  2 rˆ
r
r

 (r´)r´ dr´
2
0
r
 (r )  0 ln(r )  E (r )  4 3ln(r )  1 rˆ
9
a
r
E 


E  dS  4  Q S (V )  4   r ´ dV ´
S (V )
h

V
 E  E  2 rh   4  r 2 h  
E
2  r 2 h  
rh
 2 r
E (r )  2 rrˆ
a
r
h

E 


E  dS  4  Q S (V )  4   r ´ dV ´
S (V )
V
 E  E  2 rh   4  a 2 h  
E
2  a 2  
r

2  a 2  
r
1ˆ
E (r )  2 a  r
r
2
2 "

r
ra
 2 rrˆ

E (r )  
2 1
2 a r rˆ r  a
vacío
ra

2
E

dS

E

4

r

S
  4  Q  S
 4 r 3 
 4  
  1
 3 

 4 r 3 
E  4 r  4  
  1
 3 
2
4
E
1r
3
4

E r  
1rrˆ
3
ar b

2
r

4

E

dS

E

S
  4  Q  S
 4 a 3 
 4  
  1
 3 

 4 a 3 
E  4 r  4  
  1
 3 
2
1
4 a 3
1 2
E
r
3
3
rˆ
rˆ
a

4
1 2  Q1 2
E r  
r
r
3
br c

2
r

4

E

dS

E

S1
  4  Q  S
 4 a 3 
 4  
  1 
 3 
 4 r 3 4 b3 

4  
  2
3 
 3

 4 a 3  1  4 r 3 4 b3   2

E 

 2 
3  r2
 3 r  3
 4 a 3
4 b3  rˆ  4 
 2  rrˆ
2  2  
1 
E r   
3

r  3
 3
r c


E  dS  E  4 r 2
S1
  4  Q  S
 4 a 3 
 4  
  1 
 3 
 4 c 3 4 b3 
4  

  2
3 
 3

E
Q1 Q2
 2
2
r
r
Q1  Q2
E r  
rˆ
2
r
41

r
0

r

a

3

Q1

ar b
2

r
E (r )  rˆ 
3
3


4

a

4

b

1 4 2
1
2


r
 2
 3
3 r
3

Q1  Q2

cr
2

r
brc