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Estadística
Capítulo 5.2
Distribución
Binomial
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Distribución Binomial
Es una función de distribución de
probabilidad con muchas aplicaciones en la
vida diaria. Las variables que se estudian son
categóricas.
Su evento primario se identifica como un
Éxito.
Posee cuatro propiedades esenciales:
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Distribución Binomial
1. Cada observación se puede clasificar en dos
categorías: éxito y fracaso.
2. Si la probabilidad de éxito es p, la
probabilidad de fracaso es 1-p (q)
3. El resultado es independiente del resultado
de cualquier otro evento
4. La muestra siempre tiene un tamaño fijo
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Probabilidades ya dadas
• p
Probabilidad de éxito
• 1-p
Probabilidad de fracaso
No confundir “p” minúscula con “P” mayúscula.
La minúscula es la probabilidad que ya se
conoce y la mayúscula es la que se quiere
calcular.
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Cuando los clientes hacen un pedido en la
empresa Mayorca, el sistema revisa si los
datos están completos. Los pedidos
incompletos se marcan y se les incluye en
un reporte de excepciones. Según estudios
anteriores, se ha determinado que la
probabilidad de que un pedido se marque
es de 0.10
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Si la probabilidad de que un pedido esté
marcado es de 0.10
P(sí marcado) = 0.10
Es la probabilidad
de éxito
P(no marcado) = 1–0.10 = 0.90
Es la probabilidad
de fracaso
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Distribución Binomial
n!
x
n x
P( x  X ) 
p (1  p)
X !(n  X )!
p
1-p
n
x
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=
=
=
=
probabilidad de éxito
probabilidad de fracaso
tamaño de la muestra
Número de eventos a evaluar
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En ECK los pedidos incompletos se marcan y se
incluyen en el reporte de excepciones.
Estudios anteriores han demostrado que la
probabilidad de que un pedido venga marcado
es de 0.10.
De una muestra de 4 pedidos, calcular la
probabilidad que 3 de ellos vengan marcados.
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Probabilidad de Éxito
: p = 0.10
Tamaño de la muestra
:n=4
Probabilidad a calcular
: P(x=3)
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4!
P( x  3) 
(0.10) 3 (1  0.10) 43
3!(4  3)!
4!
P( x  3) 
(0.10) 3 (1  0.10)1
3!(1)!
4 * 3 * 2 *1
P( x  3) 
(0.001)(0.90)
3 * 2 *1* (1)
24
P( x  3) 
(0.09)
6
La probabilidad de que 3 pedidos
P( x  3)  0.0036
vengan marcados es de 0.36%
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Los registro de garantía de una empresa
distribuidora de vehículos muestran que la
probabilidad de que un automóvil nuevo necesite
una reparación amparada por la garantía durante
los primeros 90 días es de 0.05. Se selecciona
una muestra de 3 carros nuevos.
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno necesite
reparación amparada en la garantía?
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Probabilidad de Éxito
: p = 0.05
Tamaño de la muestra
:n=3
Probabilidad a calcular
: P(x=0)
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P( X
P( X
P( X
P( X
3!
0
3
 0) 
* (0.05) (0.95)
(0!)(3  0)!
3 x 2 x1
 0) 
* (1)(0.857375)
(1) * (3 x 2 x1)
6
 0)  * (0.857375)
6
 0)  (1)(0.857375)  0.857375
La probabilidad de que ningún vehículo necesite reparación
es del 85.74%
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Desigualdades en la Distribución
Binomial
•
La desigualdad involucra la aplicación de la
fórmula más de una vez en una sola
solicitud.
•
El espacio muestral con el que se trabajará
está bien definido.
•
El valor mínimo del espacio muestral es 0
(ninguno)
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Desigualdades en la Distribución
Binomial
•
La probabilidad de que un evento sea menor
que 2, se esquematiza así:
P( X  3)  P( X  2)  P( X  1)  P( X  0)
•
Si el espacio muestral está determinado por 5
elementos, la probabilidad de que un evento
sea mayor que 2, será:
P( X  2)  ( X  3)  P( X  4)  P( X  5)
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ECK tiene la probabilidad de que se marque un
pedido en 0.10. Calcular la probabilidad de que en
cuatro envíos de pedidos, por lo menos 3 salgan
marcados
En este caso, la probabilidad que se pide es para
varios eventos, recordar que las variables son
discretas y si piden por lo menos 3, significa que
pueden salir 3 o más. Tomando como base este
ejemplo, podemos asumir que la probabilidad será
para el caso en que vengan 3 marcados o 4 que
es el tamaño de la muestra.
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P( X  3)  P( X  3)  P( X  4)
Se calcula la probabilidad para 3 y para 4.
4!
3
4 3
P ( X  3) 
p (1  p )
3!(4  3)!
4!
4
44
P ( X  4) 
p (1  p )
4!(4  4)!
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4!
1
P ( X  3) 
(0.0001) * (0.9)
3!*(4  3)!
4 x3 x 2 x1
P ) X  3) 
(0.0009)
3 x 2 x1x1
P ( X  3)  (4) * (0.0009)
P ( X  3)  0.0036
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4!
P ( x  4) 
(0.1) 4 (1  0.1) 0
4!(4  4)!
4!
4
0
P ( x  4) 
(0.1) (0.9)
4! 0!
P ( x  4)  1* (0.0001)
p ( x  4)  0.0001
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P( X  3)  P ( X  3)  P( X  4)
P( X  3)  0.0036  0.0001
P( X  3)  0037
La probabilidad de que se marquen 3 o más pedidos es de
00.37%
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Distribución binomial
Media Aritmética
La media μ de la distribución binomial es
igual al tamaño de la muestra multiplicada
por la probabilidad de éxito.
  E ( X )  np
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Distribución binomial
Varianza
La varianza de la distribución binomial es
la siguiente:
  VAR(( X )  np(1  p)
2
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Distribución binomial
Desviación Estándar
La desviación estándar es la raíz
cuadrada de la varianza, de la siguiente
manera:
    np(1  p)
2
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Los registros de garantía de una empresa distribuidora
de vehículos muestran que la probabilidad de que un
automóvil nuevo necesite una reparación amparada
por la garantía durante los primeros 90 días es de 0.05.
Se selecciona una muestra de 3 carros nuevos.
¿Calcular lo siguiente:
Media Aritmética
Varianza
Desviación Estándar
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Media Aritmética
  E ( X )  np  (4)(0.1)  0.4
Varianza
  VAR(( X )  np(1  p)  (4)(0.1)(0.9)
2
  0.36
2
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Desviación Estándar
    0.36  0.6
2
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Fin del capítulo 5.2
Continúa el capítulo 5.3
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