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HISTORIA DE LOS
LOGARITMOS
DIANA LORENZO DEL ÁLAMO
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
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INTRODUCCIÓN
Se crearon para simplificar el cálculo de multiplicaciones, divisiones,
potencias y extracción de raíces de números muy grandes o con muchos
decimales
Para ello se crearon las tablas de logaritmos
Hoy en día, la utilización de los logaritmos para el cálculo está en desuso
(ordenadores y calculadoras), pero es fundamental en la cultura
matemática básica.
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PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO
LOS BABILONIOS (3000 aC – s.VI aC )
Se han encontrado tablas de tipo exponencial (o logarítmico) con las 10
primeras potencias para las bases 9, 16, 1.40, 3.45
Se planteaban problemas: “A qué potencia debe elevarse un cierto
número para obtener otro número”
No utilizaban sus “tablas de logaritmos” para simplificar sus calculo, sino
para resolver problemas muy concretos
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PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO
ARQUÍMEDES DE SIRACUSA (aprox. 250 aC)
Es el primero que compara sucesiones aritméticas con geométricas
Ejemplo:
1
2
3
4
5
6
7
2
4
8
16
32
64
128
Regla de Arquímedes: “para multiplicar entre sí dos números cualesquiera
de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de
arriba situados encima de aquéllos dos. Luego debe buscarse en la misma
sucesión de arriba dicha suma, y el número de la sucesión inferior que le
corresponda debajo será el producto deseado”
A los números de la primera sucesión los llamaremos “logaritmos” y a los
de la segunda “antilogaritmos”
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PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO
IBN YUNUS (siglo XI)
Matemático árabe y paisano de Alhazen
Introdujo la fórmula:
2*cos(x)*cos(y) = cos (x + y)*cos(x – y)
Fórmula de transformación de productos a sumas
Prostafairesis: método de convertir productos en sumas
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PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO
NICOLAS CHUQUET (siglo XV)
Escribió “triparty en la science des nombres” en 1484, donde pone nombre
a las potencias: champs, cubiez, champs de champ, etc.
Construye una tabla de las sucesivas potencias de dos con exponentes de 0
a 20; y nota que a la suma de los exponentes le corresponde el producto de
las potencias.
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PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO
MIGUEL STIFEL (1487-1567)
Extiende las tablas de Chuquet incluyendo las potencias negativas -1, -2,
-3, de dos
En 1544 publica “Arithmetica integra”, donde introduce
am * an = am+n
para n y m racionales
Observa la correspondencia entre las progresiones aritméticas y
geométricas:
Progresión aritmética
Progresión geométrica
adición
multiplicación
sustración
división
multiplicación
potencia
división
extracción de raíces
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INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS
CONTEXTO HISTÓRICO
A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido a la
expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación,
eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos (de
multiplicación y división) menos laboriosos que los utilizados hasta
entonces
Los cálculos trigonométricos aplicados a la astronomía y a la navegación,
y el cálculo de las riquezas acumuladas inspiraron respectivamente a John
Napier y a Jobst Bürgi a descubrir los logaritmos
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INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS
JOHN NAPIER (1550-1617)
Reflexionó sobre la sucesiones de potencias de un número dado de Stifel y
Arquímedes
Pensó que una sucesión de potencias enteras de base entera dejaba
muchos huecos entre los términos sucesivos y la interpolación era
bastante imprecisa
Influido por la “prostafairesis”
“Mirifi logarithmorum canonis descriptio” de 1614
“Mirifi logarithmorum canonis constructio” de 1619
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INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS
Napier toma el número 1- 10-7 = 0.9999999
Para evitar los decimales, multiplica todas las potencias por 107
Define: N = 107*(1 - 1/107)L donde L es el logaritmo de Napier del número N
Logaritmo de 107 es cero, y logaritmo de 107*(1 - 1/107) es uno
Diferencia entre los logaritmos de Napier y los de ahora: el logaritmo de un
producto no es exactamente igual a la suma de los logaritmos
N1 = 107*(1 - 1/107)L1
N2 = 107*(1 - 1/107)L2
N1*N2/107 = 107*(1 - 1/107)L1+L2
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INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS
HENRY BRIGGS (1561-1630)
Propuso a Napier la creación de tablas
utilizando potencias de 10, y acordaron log 1
= 0 y log 10 = 1. Briggs fue quien construyo
estas tablas de logaritmos llamados de base
vulgar o logaritmos de Briggs
Partió de la igualdad log 10 = 1 y fue
calculando otros logaritmos tomando raíces,
por ej: √10 = 3.162277 → log √10 = 0.5
La primera columna de la tabla es una
progresión aritmética (logaritmos) y la
segunda es geométrica (antilogaritmos)
n=log10N
N=antilog10n
1
10
0.875
107/8=7.4980
0.750
103/4=5.6234
0.625
105/8=4.2170
0.500
101/2=3.1623
0.375
103/8=2.3714
0.250
101/4=1.7783
0.125
101/8=1.3385
0
1
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INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS
PUBLICACIONES IMPORTANTES
Briggs:
“Logarithmorum chilias prima”, 1617
“Arithmetica logarithmica”, 1624
John Speidell: “New Logarithmes”, de 1619
Una obra de Vlacq y Decker con los logaritmos del 1 al 100000, en 1628
William Ouhtred establece las propiedades de los logaritmos:
Log (m*n) = log m + log n
Log (m/n) = log m – log n
Log mn = n*log m
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INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS
JOBST BÜRGI (1552-1632)
Fue el primero en desarrollar la idea de los logaritmos (en 1586)
pero lo publicó mucho después que Napier en “Arithmetische
und geometrische progress-tabulen” en 1620
Definió N = 108*(1 + 1/104)L , donde N será el logaritmo de
Bürgi del número L.
Bürgi parte de una progresión aritmética de primer término 0,
razón 10 y último término 32000 (números rojos). La progresión
geométrica correspondiente empieza con el número 108 y razón
1 + 1/104 (números negros)
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INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS
DIFERENCIAS ENTRE LOGARITMOS DE NAPIER Y BÜRGI
Napier toma 1 - 1/107, y Bürgi toma 1 + 1/104, que está muy cercano al
verdadero valor del número e (base de los actuales logaritmos neperianos)
(1 + 1/104)10^4 = 2.7184593…; e = 2.718281828…
Napier multiplica en sus tablas todos los términos por 107, mientras que
Bürgi lo hace por 108.
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DESCUBRIMIENTOS POSTERIORES
GREGOIRE DE SAINT VINCENT (1584-1667)
En 1630 escribió “Opus geometricum quadraturae circuli et sectionun coni”,
donde creía haber cuadrado el círculo y la hipérbola. Aunque se equivocó
en la cuadratura del círculo, argumentaba que las áreas bajo la hipérbola
se parecían a los logaritmos: según crece la abscisa geométricamente, el
área bajo la curva x*y=1 crece aritméticamente.
Esto no se tuvo muy en cuenta porque perdió credibilidad al equivocarse en
cuadrar el círculo
Descubrió: Área bajo la hipérbola y=1/(x+1) desde 0 a x es ln (1+x)
Antonio de Sarasa, en “Opus geometricum”, además de defenderle,
descubrió que el área de la hipérbola entre 1 y x (Área [1, x)) tenía
propiedad de logaritmo:
Área [1, x*y) = Área [1, x) + Área [x, x*y) = Area [1, x) + Area [1, y)
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DESCUBRIMIENTOS POSTERIORES
NICOLAUS MERCATOR (1620-1687)
“Logarithmotechnia”, en 1668. Contiene fórmulas de aproximación para
el cálculo de logaritmos. Por ejemplo:
Área(1/(x+1)) = ln (x+1) = x/1 - x2/2 + x3/3 - x4/4 + …
Mercator llamó logaritmos naturales a los valores que se obtienen por
medio de esta serie
Más tarde, Mengoli descubrió:
ln 2 = Σ (-1)n+1/n = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … + (-1)n+1/n
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DESCUBRIMIENTOS POSTERIORES
CURVA LOGARÍTMICA
Torricelli propone la gráfica, pero es Huygens quien expone sus
propiedades en “discurso sobre la causa de la gravedad”, en 1690
LOGARITMOS DE NÚMEROS NEGATIVOS
Jean Bernoulli creía que log (-n) = log n. Pero Euler probaría que no es
cierto
LEONHARD EULER (1707-1783)
En su “Introductio in analysin infinitorum” de 1748 descubre
m = logap ↔ am = p
Define e como la base del sistema de logaritmos naturales:
ex = (1+x/j)j para j muy grande
Relaciona los números e y π con 0 y 1 en la famosa igualdad:
eπi + 1 = 0
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CONCLUSIONES Y APLICACIONES
Los logaritmos serán de gran ayuda para el nacimiento de la física
matemática a finales del siglo XVII.
La utilización de los logaritmos sigue las siguientes direcciones:
Aplicadas al cálculo de fórmulas geométricas, utilizadas en astronomía,
navegación y agrimensura.
Aplicadas a todo cálculo multiplicativo, lo que llevó a la construcción de reglas
de cálculo y a la elaboración de algoritmos
La introducción por Newton y Leibniz del cálculo diferencial e integral
Quienes más utilizaron los logaritmos fueron los astrónomos. Uno de ellos,
Laplace, dijo: “los logaritmos han duplicado la vida de los astrónomos”
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EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LOS
LOGARITMOS
Economía: algunos índices de crecimientos son exponenciales. En la banca
se utilizan para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo
Intensidad del sonido: la “altura” del sonido es proporcional al logaritmo
de la frecuencia
Psicología: se utiliza en la ley Weber-Fechner, de estímulo-respuesta
Música: los grados de tonalidad de la escala cromática no son
equidistantes ni por el número de vibraciones ni por la longitud de las
ondas de los sonidos respectivos, sino que representan los logaritmos de
estas magnitudes.
El pentagrama es una escala logarítmica
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EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LOS
LOGARITMOS
Química: para calcular el PH de las sustancias: PH = -log10H+
Geología: en la Escala de Richter, que mide las fuerzas de las vibraciones
que existen en un seísmo. Esta intensidad se puede conocer gracias a esta
escala creada en base a los logaritmos
Estadística: para calcular el crecimiento de la población
Astronomía: las estrellas se dividen según el grado de luminosidad visible
en astros de 1ª, 2ª, 3ª, etc., magnitud. La luminosidad objetiva constituye
una progresión geométrica de razón 2.5.
En pocas palabras, al establecer la luminosidad visible de una estrella, el
astrónomo opera con las tablas de logaritmos de base 2.5
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