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TEORIA DE DECISIONES
Toma de decisiones
bajo condiciones de
riesgo
Toma de decisiones bajo condiciones de
riesgo



1.
2.
3.
Cuando se toman decisiones bajo riesgo, se
necesita información que permita proporcionar
probabilidades sobre los diversos estados posibles
de la naturaleza.
Esta información pueden ser registros previos o el
juicio subjetivo del TD.
Se estudiarán 3 criterios:
Criterio del valor esperado (o criterio de Bayes)
Criterio de racionalidad
Criterio de máxima verosimilitud
Criterio del valor esperado




Se debe seleccionar la alternativa de decisión
que tenga el “mejor” valor esperado.
El valor esperado para una alternativa es la
suma de los beneficios multiplicados por su
probabilidad de ocurrencia.
Por ejemplo, un comerciante vende fresas de tal
forma que las ventas es una variable aleatoria
discreta.
Las ventas y sus probabilidades se muestran a
continuación.
Criterio del valor esperado


Ventas
diarias
Frecuencia
(días)
Probabilidad
10
18
0,2
11
36
0,4
12
27
0,3
13
9
0,1
Total
90
1,00
El comerciante compra una caja a $3 y la
vende a $8.
Este margen relativamente alto refleja lo
perecedero del producto y el riesgo de
almacenarlo.
Criterio del valor esperado




Se va a suponer que el producto no tiene ningún
valor después del primer día en que se ofrece la
venta.
El problema es cuánto ordenar hoy para los
negocios de mañana.
La tabla siguiente, llamada tabla de utilidades
condicionales, muestra la utilidad resultante de
cualquier combinación posible de oferta y
demanda.
Por ejemplo, si se almacenan 12 cajas y se
demandan sólo 10 se tiene una utilidad de 10x53x2=44
Criterio del valor esperado
Alternativas de almacenamiento
Ventas
(cajas)
Estados
de la
naturaleza
(demanda)

10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
10
50
47
44
41
11
50
55
52
49
12
50
55
60
57
13
50
55
60
65
Se calculará el valor esperado de cada alternativa.
10 cajas
11 cajas
12 cajas
13 cajas
0,2  50  0,4  50  0,3  50  0,1 50  50
0,2  47  0,4  55  0,3  55  0,1 55  53,4
53,6
0,2  44  0,4  52  0,3  60  0,1 60  53
,6
0,2  41  0,4  49  0,3  57  0,1 65  51,4
Criterio del valor esperado





Por lo tanto se debe almacenar cada día 12 cajas,
ya que esta cantidad dará el mayor promedio
diario de utilidades.
En el problema se ha utilizado la experiencia
previa (no se ha introducido certidumbre).
No se sabe cuántas cajas serán solicitadas.
Ni hay garantía de que habrá una utilidad de
$53,6 mañana.
Pero si almacena 12 unidades al día promediará
utilidades de $53,6 por día.
Criterio del valor esperado

Es lo mejor que puede hacer, porque la elección de
cualquier otra alternativa tendrá una utilidad
promedio menor al día.
Utilidad esperada con información
perfecta





Supongamos que el comerciante del ejemplo
pudiera tener información perfecta sobre el futuro.
Quitaría toda incertidumbre del problema.
Esto no significa que las ventas no variarían de 10
a 13 cajas al día.
Las ventas todavía serían 10 cajas al día el 20%
del tiempo, 11 cajas el 40% del tiempo, etc.
Sin embargo, con información perfecta sabría por
anticipado cuántas cajas se van a pedir cada día.
Utilidad esperada con información
perfecta

Entonces almacenaría el número exacto de cajas
que se van a vender al otro día.

Y su utilidad sería 0,2  50  0,4  55  0,3  60  0,1 65  56,5

Esta es la máxima utilidad posible (UEIP).
Alternativas de almacenamiento
Estados
de la
naturaleza
(demanda)
Ventas
(cajas)
10
cajas
11
cajas
12
cajas
13
cajas
10
50
-
-
-
11
-
55
-
-
12
-
-
60
-
13
-
-
-
65
Valor esperado de la información
perfecta

Suponiendo que se tenga un pronosticador
perfecto de la demanda futura.

¿Cuál sería el valor de tal pronosticador?



Se debe comparar lo que cuesta tal información
adicional con la utilidad adicional que tendría como
resultado de tener dicha información.
Es decir, se puede ganar utilidades diarias
promedio de $56,6 si tiene información perfecta
sobre el futuro.
Su mejor utilidad diaria esperada sin el
pronosticador es $53,6, luego la cantidad máxima
que se estaría dispuesto a pagar es la diferencia
$56,6 - $53,6 = $2,9
Valor esperado de la información
perfecta

Esta diferencia se conoce como valor esperado de
la información perfecta (VEIP)

Es la cantidad máxima en la que se puede
incrementar la ganancia diaria esperada.

No tiene sentido pagar más de esta cantidad, al
hacerlo bajaría la utilidad diaria esperada.

En la práctica se está interesado en el valor de la
información que permita tomar una mejor decisión
en vez de una perfecta.
Minimización de pérdidas





En vez de maximizar las utilidades también se
puede pensar en minimizar las pérdidas.
Consideraremos 2 tipos de pérdidas:
Pérdidas por obsolecencia: causadas al almacenar
demasiadas unidades.
Pérdidas de oportunidad: causadas al no tener
inventario cuando se demanda el producto.
Para el ejemplo, se tiene la siguiente tabla
(llamada tabla de pérdidas condicionales)
Minimización de pérdidas
Alternativas de almacenamiento
Ventas
(cajas)
Estados
de la
naturaleza
(demanda)


10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
10
0
3
6
9
11
5
0
3
6
12
10
5
0
3
13
15
10
5
0
No hay pérdidas cuando el número almacenado en
un día cualquiera es el mismo que el número
solicitado (ceros en la diagonal).
Valores sobre la diagonal son pérdidas por
obsolecencia (nº almacenado>nº demandados).
Minimización de pérdidas




Por ejemplo, si se almacenaron 13 cajas y se
demandaron 11 entonces la pérdida fue de 3x2=6
Valores bajo la diagonal representan pérdidas de
oportunidad (nº demandados>nº almacenado).
En el ejemplo, consideremos las pérdidas de
oportunidad en $5 por caja.
Si se almacenaron 10 cajas y se demandaron 13
entonces la pérdida de oportunidad fue de 3x5=15
Minimización de pérdidas

A continuación se minimizarán las pérdidas
esperadas, utilizando la distribución de
probabilidades dada anteriormente.
10 cajas
11 cajas
12 cajas
13 cajas


0,2  0  0,4  5  0,3 10  0,115  6,5
0,2  3  0,4  0  0,3  5  0,110  3,1
0,2  6  0,4  3  0,3  0  0,1 5  2,9
0,2  9  0,4  6  0,3  3  0,1 0  5,1
Luego, se almacenan 12 cajas al día con una
pérdida esperada diaria mínima de $2,9
Se observa que se llega a la misma conclusión
anterior.
Minimización de pérdidas

El valor esperado de la información perfecta (VEIP) es
igual a la pérdida mínima esperada.
Alternativas de almacenamiento
10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas

Utilidad esperada
50,0
53,4
53,6
51,4
Pérdida esperada
6,5
3,1
2,9
5,1
Se tiene que
pérdida esperada = UEIP – utilidad esperada
Optima
Productos con valor de recuperación


Si un producto tiene valor de recuperación, esta
cantidad se debe considerar al calcular las
utilidades condicionales.
Se aplican los mismos procedimientos.
Criterio de racionalidad




Este criterio se aplica en situaciones donde hay
pocos o ningún datos sobre la demanda anterior.
En ausencia de información se supone que todos
los EN son igualmente probables.
Al aplicar este criterio al ejemplo de las fresas se
le asignaría una probabilidad de 0,25 a cada uno
de los 4 EN.
Y la decisión óptima es almacenar 12 cajas con
una utilidad esperada de $54.
Criterio de racionalidad
10 cajas
0,25  50  0,25  50  0,25  50  0,25  50  50
11 cajas
0,25  47  0,25  55  0,25  55  0,25  55  53
12 cajas
54
0,25  44  0,25  52  0,25  60  0,25  60  54
0,25  41  0,25  49  0,25  57  0,25  65  53
13 cajas
Criterio de máxima verosimilitud




Primero se elige el EN que tiene la mayor
probabilidad de ocurrencia.
Después, suponiendo que este estado ocurrirá, se
elige la alternativa de decisión que producirá la
utilidad más alta.
En el ejemplo de las fresas la demanda de 11
cajas tiene la mayor probabilidad (0,4)
Y la alternativa de almacenar 11 cajas tiene la
mayor utilidad.
Criterio de máxima verosimilitud
Alternativas de almacenamiento
Ventas
(cajas)
Estados
de la
naturaleza
(demanda)

10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
10
50
47
44
41
11
50
55
55
52
49
12
50
55
60
57
13
50
55
60
65
Este criterio producirá resultados válidos cuando un
EN es mucho más probable que cualquier otro.
Criterio del valor esperado con
variables aleatorias continuas




Sea p la probabilidad de vender una unidad
adicional de un producto.
Luego, 1 - p es la probabilidad de no venderla.
Si la unidad adicional es vendida se obtendrá un
aumento en las utilidades condicionales, esta es la
utilidad marginal UM.
Si no se vende esta unidad adicional se reduce la
utilidad condicional, esta es la pérdida marginal
PM.
Criterio del valor esperado con
variables aleatorias continuas



La utilidad marginal esperada al vender una
unidad adicional es la utilidad marginal de la
unidad multiplicada por la probabilidad de que
será vendida, es decir, pxUM.
La pérdida marginal esperada al no vender una
unidad adicional es la pérdida marginal de la
unidad multiplicada por la probabilidad de que no
será vendida, es decir, (1-p)xPM.
Se deben almacenar unidades adicionales
mientras la utilidad marginal esperada sea mayor
que la pérdida marginal esperada.
Criterio del valor esperado con
variables aleatorias continuas

Luego, se almacenarían productos hasta que
p UM  (1  p)  PM



PM
 p
UM  PM
En cualquier problema dado, sólo habrá un valor
de p para el que la ecuación sea válida.
Se debe determinar ese valor para conocer la
acción de almacenamiento óptimo.
p representa la mínima probabilidad requerida de
vender al menos una unidad adicional para
justificar el almacenamiento de esa unidad
adicional.
Criterio del valor esperado con
variables aleatorias continuas




Las unidades adicionales se deben almacenar
mientras la probabilidad de vender al menos una
unidad adicional sea mayor que p.
Ejemplo, un comerciante compra a $9 la caja de
tomates y la revende a $16.
Si no se vende una caja en el primer día de venta,
tiene un valor de recuperación de $3.
Los registros previos de venta indican que la
demanda está distribuida normalmente con una
media de 120 cajas diarias y una desviación
estándar de 38.
Criterio del valor esperado con
variables aleatorias continuas

¿Cuál debe ser el inventario del comerciante?
PM
$6
p
 p
 0,462
UM  PM
$7  $6



Es decir, el comerciante debe estar seguro 0,462
de vender al menos una unidad adicional antes de
que le beneficie almacenar esa unidad.
Esta probabilidad es el área sombreada.
Se debe almacenar unidades adicionales hasta que
se alcance el punto Q, si almacena una cantidad
mayor la probabilidad cae debajo de 0,462.
Criterio del valor esperado con
variables aleatorias continuas


Como el área sombreada es 0,462 el área abierta
es 1-0,462=0,538.
De la tabla de distribución normal estándar se
obtiene Z=0,1
Criterio del valor esperado con
variables aleatorias continuas



Esto significa que el punto Q está 0,1 veces la
desviación estándar a la derecha de la media.
Es decir, punto Q = 120 + 0,1 x 38 = 124
El inventario óptimo que se debe ordenar es 124
cajas.