Download cuántica

Física moderna
1 - Introducción a la mecánica
cuántica
Andrés Aragoneses
Radiación del cuerpo negro (Planck, 1900)
En general, un cuerpo que recibe
radiación puede absorberla, reflejarla
y emitir.
Por definición de cuerpo negro
entendemos que es aquella
superficie que absorbe toda la
radiación que recibe, tanto desde
el interior como desde el exterior.
Para describir este fenómeno desde el punto de vista de la física clásica Wien
observó que:
βν
u ν,T  = ν 3C·e T

Válida para frecuencias altas.
El espectro de radiación del cuerpo negro:
Donde el máximo cumple la relación:
λ0T = 2' 898·10 3 mK
Rayleigh y Jeans, a su vez, propusieron:
8πν 2
u ν,T  =
kT
3
c
Válida para frecuencias bajas.
Max Planck, interpolando ambas expresiones encontró la
ley que describe la radiación de cuerpo negro:
8πν 3
u(ν(T) =
c3
h 6' 626·10
34
J·s
h
hν
e kt  1
Constante de Planck
Que, comparada con la mecánica estadística clásica, implica
que la radiación se emite en forma de paquetes de energía y
no de forma contínua como se creía clásicamente.
La energía de estos paquetes es h.
El efecto fotoeléctrico (Einstein, 1905)
Otro fenómeno inexplicable desde la física clásica es que al incidir luz UV
sobre un metal se observa que se arrancan electrones de la superficie de este.
Esto sólo se explica si suponemos los cuantos de energía de Planck:
La energía cinética de los electrones arrancados viene dada por:
E
c
W
Bremsstrahlung y emisión de rayos X.
Para producir rayos X en el laboratorio, se acelera un haz de electrones
bajo varios miles de voltios. Se envía contra un blanco y, al desacelerarse,
emiten un espectro contínuo de radiación electromagnética.
Pero existe una  mínima en la radiación
emitida, que sólo se entiende si se considera
la radiación electromagnética como
partículas:
hc
hν = = K  K 0
λ
λmin
hc
=
eV
El efecto Compton (Compton, 1923)
Al incidir rayos X (1017 – 1020Hz) sobre una superficie (grafito)
esta luz es dispersada observándose dos longitudes de onda (una
igual a la incidente y otra próxima a esta), frente al resultado
clásico de una sola , igual a la incidente.
Considerando la radiación X como
partículas de energía h:
Tenemos una colisión elástica:

E 2 = m0 c 2
 +  pc 
2
2
Eγ = pc = hν
λC =
λ'  λ0 = λC 1  cosθ 
h
me c
Dualidad onda-partícula (de Broglie, 1923)
La luz puede comportarse como una onda y puede comportarse
como partículas
De Broglie sugirió que la materia también debería poseer esta dualidad.
h
λ=
p
Longitud de onda
de la partícula
Propiedad medida experimentalmente a través de difracción de electrones.
La radiación se comporta como ondas y como partículas.
La materia se comporta como partículas y como ondas.
El experimento de la doble rendija, o como los electrones
se comportan exactamente igual que la luz
·Un experimento con ondas: (Young 1773-1829):
Experimento clásico que demuestra la naturaleza ondulatoria de la luz.
I
I
1
12
2
h
1
h
1
,I
h
2
h
2
2
2
I12 = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cosδ
2
La luz en este experimento experimenta una interferencia consigo misma
·Un experimento con partículas:
¿Cuál es la probabilidad de que un proyectil que atraviese los agujeros en la pared
llegue a una distancia x del centro?
En este montaje el detector: o recibe un proyectil o no recibe ninguno.
podemos graduar la velocidad de disparo
P
12
P
1
P
2
No interferencia
·Un experimento con electrones:
Un cañón de electrones que se les hace pasar
por una doble rendija. Al final detectamos
estos electrones con un contador geiger
móvil: clic, clic-clic, clic, …
¿Cuál es la probabilidad relativa de que un clic se detecte a determinada
distancia del centro?
Pero: cada electrón pasa, ya sea a través del agujero 1 ó a través del agujero2.
Esto nos da las probabilidades P1 y P2.
P
12
P
1
P
2
¡¡Interferencia!!
¿Se propagan los electrones por trayectorias tortuosas?
P1 = 1  , P2 = 2 
2
2
P12 = 1 + 2 
2
Los electrones llegan como partículas y la probabilidad
dellegada está distribuida como la intensidad de una
onda
Espiemos por qué agujero pasa cada electrón.
P'
12
P
1
P
2
¡Cuando observamos los electrones su distribución sobre la pantalla es
diferente a cuando no los observamos!
Si los electrones no se ven tenemos interferencia.
Single-electron events build up over a 20
minute exposure to form an interference
pattern in this double-slit experiment by
Akira Tonomura and co-workers. (a) 8
electrons; (b) 270 electrons; (c) 2000
electrons; (d) 60,000.
Rayos X contra una hoja de aluminio
electrones contra una hoja de
aluminio
Principio de indeterminación de Heienberg
No se pueden conocer con infinita precisión dos variables
canónicas de una partícula de forma simultánea. Posición y
el momento de una partícula. Energía y tiempo.

p x 
2

E t 
2
Al hacer una medida experimental se interactúa con el
experimento.
La naturaleza pone un límite a la precisión con que se
pueden realizar medidas
Creación de partículas virtuales
La energía del vacío. Efecto Cassimir
El átomo (Thomson, 1910;Rutherford, 1911; Bohr,
1913; de Broglie, 1924; …)
J.J.Thomson (1910), pastel de pasas
s se
Sugiere que los electrones están
localizados
Sugiere en una distribución
contínua de carga positiva
El estado excitado del átomo tendría lugar con algún electrón
vibrando (carga eléctrica acelerada emite radiación)
¡¡ El espectro observado es discreto !!
E.Rutherford (1911), modelo planetario
Al hacer incidir partículas a (núcleos de He) sobre láminas finas de metal
se observa la dispersión de estas ¡en todos los ángulos!
El átomo de Thomson no es capaza de proporcionar una repulsión de
Coulomb suficientemente intensa.
Rutherford sugiere
un modelo
planetario`para el
átomo
Este modelo
E.Rutherford (1911), modelo planetario
Explica bien la dispersión
de partículas a.
R.P.Feynman: “there is plenty of room
at the bottom”
Este modelo permite
incluso determinar las
dimensines del núcleo
atómico (10-14m)
E.Rutherford (1911), modelo planetario
Pero, a pesar de explicar bien la dispersión de partículas a, este modelo
presenta problemas de estabilidad.
Los electrones, ¿están fijos u orbitan?
Un electrón a 10-10m del núcleo colapsaría en 10-12segundos
emitiendo radiación de forma contínua.
N.Bohr(1913), modelo cuántico
Postulado 1: un electrón en un átomo se mueve en órbitas circulares en
torno al núcleo bajo atracción de Coulomb
e2
 mv 2
r
Postulado 2: en lugar de infinidad de órbitas posibles clásicamente, el
electrón sólo puede moverse en órbitas para las cuales el momento angular
(L=mvr):
n  1,2,3,...
L  n
Postulado 3: a pesar de la aceleración del electrón, este no radía energía
electromagnética: estados estacionarios.
Postulado 4: se emite radiación si un electrón cambia su movimiento de
manera discontínua y se mueve de una órbita Ei a una órbita Ef
E f  Ei  h
cuantificación
N.Bohr(1913), modelo cuántico
Teniendo en cuenta los postulados 1 y 2, y suponiendo que la masa del
núcleo es infinita (centro de masas está en el núcleo)

e2
 mv 2 

r

n 
v
mr 
e2
 n 
 m

r
mr


2
rn  n
me 2
Volviendo al
postulado 1
2

e2  n2
mr
rn  n 2 ·a 0
2
2
a0 
me 2
2
Radio de Bohr
1 e2
vn 
n 
Radios posibles
¿Cuál es la energía del electrón en
la órbita n?
n  1,2,3,...
Formulación ondulatoria de la mecánica cuántica:
la ecuación de Schrödinger (1925)
Los resultados experimentales y el postulado de de Broglie muestran que
las partículas se mueven según leyes del movimiento ondulatorias. Estas
partículas tienen ondas asociadas o funciones de onda  ( x, t )
Sería interesante encontrar las leyes del movimiento ondulatorio que
obedecen las partículas de cualquier sistema microscópico. Una ecuación
que determine la forma de la función de onda para cada caso.
El tipo más común de ecuación que tiene por solución una función es una
ecuación diferencial.
Para una onda viajera podemos considerar:
 x

 ( x, t )  sen 2   t  

 
Teniendo en cuenta a de Broglie =h/p y a Einstein E=h:
  xp E  
 x·p Et 
 ( x, t )  sen 2   t    sen
 
h
h

 





Calcular las derivadas
parciales (x, xx, t, tt) de la
función de onda
La ecuación de Schrödinger (1925)
Esta ecuación diferencial habrá de cumplir:
1) Contener los postulados de de Broglie-Einstein  
2) Coincidir con la ecuación:
h
p
E  h
p2
E
V
2m
3) Debe ser lineal en  ( x, t )
Si 1 ( x, t ) y 2 ( x, t )
son dos soluciones diferentes,
entonces también será solución: ( x, t )  a1 ( x, t )  b( x, t )
4) Para una partícula libre:
V ( x, t )  V0
F 
V ( x, t )
0
x
La ecuación de Schrödinger (1925)
Teniendo en cuenta 1) y 2):
Si introducimos:
k
2

  2
p2
h2
E
V 
 V ( x, t )  h
2
2m
2m
2k 2
 V ( x, t )  
2m
Para satisfacer la condición de linealidad la ecuación ha de ser lineal
respecto a la función de onda en cada térmico.
Consideremos el caso particular de una partícula libre.
Puesto que:
 ( x, t )  sen(kx  t )
 ( x, t )
 k cos( kx  t )
x
 2 ( x, t )
  k 2 sen ( kx  t )
2
x
 ( x, t )
  cos( kx  t )
t
 2 ( x, t )
  2 sen ( kx  t )
2
x
La ecuación de Schrödinger (1925)
 2  ( x, t )
 ( x, t )
a

V
(
x
,
t
)

(
x
,
t
)


t
x 2
Con a y  constanstes a determinar.
Para extrapolar esta expresión a un caso más general consideraremos un
potencial constante, V(x,t)=Vo, y una combinación para la función de
onda:
 ( x, t )  cos( kx  t )  sen(kx  t )
(ej.): Substituyendo esta función de onda en la ecuación diferencial
anterior.
 ak 2  Vo   
 ak 2  Vo 
se obtiene que:
que, junto con:


a 

2m
   i
2k 2
 V ( x, t )  
2m
  i
La ecuación de Schrödinger (1925)
 2  2  ( x, t )
 ( x, t )

 V ( x, t ) ( x, t )  i
2
2m x
t
Ecuación diferencial que describe el comportamiento de una partícula en
un potencial V(x,t). Satisface las cuatro suposiciones hechas para la
ecuación de onda de la mecácnica cuántica.
Orbitales cuánticos: probabilidad de encontrar un
electrón en un átomo.