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LEY GENERALIZADA
DE AMPERE
Una Identidad importante

Estudiaremos en esta sección la inducción de Campos
Magnéticos por Campo Eléctricos Variables en el
tiempo.
debemos analizar la Ley de Ampère con mucho más
cuidado de lo que lo hicimos cuando la enunciamos.
Desarrollemos el valor de

La rotacional es dada por:


iˆ
 
 F 
x
F1
ˆj

y
F2

    F 
kˆ
 F F 

 iˆ 3  2  
z
 y z 
F3
 F F 
F F
ˆj  3  1   kˆ  2  1 
 x z   x y 
Una Identidad importante

Desarrollemos el valor de

calculando la divergencia de la rotacional del campo
vectorial :

    F 
   F F    F F    F F 
    F    3  2    3  1    2  1 
x  y
z  y  x z  z  x y 

desarrollando el miembro derecho encontramos:
   2 F3  2 F2    2 F3  2 F1    2 F2  2 F1 
  
  

    F  



 x y x z   y x y z   z x z y 
Una Identidad importante


La ultima expresión se iguala obviamente a cero
En consecuencia hemos demostrado que:
LA DIVERGENCIA DE LA ROTACIONAL DE
CUALQUIER FUNCION VECTORIAL SIEMPRE
ES NULA :

    F  0
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

Cuando tenemos una corriente, y conocemos
en el espacio el campo de vectores de
densidad de corriente, podemos evaluar la
corriente que atraviesa cualquier superficie
(no sólo la sección transversal de los
conductores).
SUPERFICIE PLANA PERPENDICULAR
AL EJE DEL CONDUCTOR
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

tenemos primero una superficie plana perpendicular al eje un
conductor "uniforme" con corriente uniformemente distribuida en su
sección transversal
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

Se observa el campo de vectores de
densidad de corriente, ellos están
uniformemente distribuidos en la sección
transversal del conductor

Se representan dos elementos diferenciales
de superficie ( en color amarillo) con vector
diferencial de superficie .
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

El área de integración es la encerrada por el contorno
"C", y es denominada "S".

La corriente se encuentra evaluando la integral de
superficie siguiente:
 
 
 
 j  dS   j  dS   j  dS
S
A
S'

Sobre la superficie "A" de la sección transversal del
conductor, el vector de densidad de corriente existe y

tiene el valor j

diferencial de superficie paralela a ese vector
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

En la región
 " S' ", el vector de densidad de corriente no
existe j  0

La integración sobre la Superficie " S' " es nula
quedando la integración sobre la superfice "S" con el
valor:
 
 

 j  d S   j  d S  jA
S

A
la corriente es simplemente dada por:
 
i   j  d S  jA
S
donde "j" es la magnitud uniforme del vector de densidad
de corriente.
Superficie de integración:
plano oblicuo a la sección
transversal del conductor
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE



Área "A" dentro del conductor, con vector de densidad
de corriente formando ángulo "q" con esa superficie.
Área " S' " fuera del conductor, con vector de densidad
de corriente nulo.
Área de la sección transversal " A' " es dada en función
del área "A" de integración como:
A'  A cosq 

La integración del campo vectorial de densidad de
corriente se efectúa sobre la superficie S = S' + A:
 
 
 
 j  dS   j  dS   j  dS
S
A
S'
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE



como j y dS forman el ángulo q , dentro de la región
de integración al interior del conductor, tenemos:
 
 
 
 j  d S   j d S cosq    j d S cos0
S

A
de donde la corriente es dada por la expresión:
 
i   j  d S  j A cosq   0  j
S

S'
A'
cosq   j A'
cosq 
la corriente resulta igual al producto de la magnitud de la
densidad de corriente uniforme multiplicada por el área
de sección transversal
superficie de integración no
plana
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE


Hay una superficie A dentro del conductor, una S' fuera
del mismo y la unión de ellas forma la superficie S de
integración.
La dificultad en este tipo de superficies será la
integración, la integral será sin embargo:
 
 
 
 j  dS   j  dS   j  dS
S

A
S'
la integral sobre S' es nula, y la integral sobre A es el
producto del área de la sección transversal multiplicada
por la magnitud del vector de densidad de corriente
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

La situación se complica cuando la
distribución de densidad de corriente no es
uniforme, pero de todas maneras, la integral
sobre la superficie S, seguirá siendo idéntica
a la corriente que atraviesa esa superficie.
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE



Ahora supondremos que tenemos una superficie "S"
cualquiera en el espacio
En el espacio se encuentra un campo de vectores de
 
densidad de corriente j  j x, y, z 
 
la integral  j  d S
da la corriente que entra o sale
S

de la superficie "S"
dependiendo que la integral tenga valor positivo o
negativo.
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

La figura presenta un campo de
densidad de corriente "saliendo"
de una superficie

Se representan las isolíneas de
la superficie y los vectores
“diferencial de superficie”.

están indicados los ángulos entre
densidad de corriente y los de
elementos de superficie.
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE




El ángulo máximo entre los vectores es
de 90°, el más pequeño de 0°
Siempre el producto escalar será
positivo
La adisión (integración) de todos los
productos escalares involucrados es
siempre positiva
La integral de flujo del vector de
densidad de corriente es positiva
cuando la corriente “sale” de una
superficie
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

simbólicamente tenemos:

 
j  dS  0
S





Investiguemos cuando la corriente
"entra" a través de la superficie
el más pequeño ángulo formado con la
superficie es de 90°, mientras el
máximo es 180°
producto escalar negativo
la integral de flujo del vector densidad
de corriente, negativa.
la integral de flujo del vector densidad
de corriente cuando la corriente entra
en una superficie es negativa
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

simbólicamente tenemos:
 
 j  dS  0
S



¿Qué significa calcular la integral
de flujo del vector densidad de
corriente para una superficie
gaussiana cerrada?
La Superficie se divide en dos
partes S1 y S2
por la primera, la corriente entra,
por la segunda sale.
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE


Las integrales de flujo respectivas son
negativa para la superficie donde la corriente
entra y positiva para la superficie en que la
corriente sale.
la integral de flujo neta, puede tener valores
positivos, negativos o cero
 0
 
 
  
S j  d S  S j  d S  S j  d S   0
 0
1
2
gaussiana

ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL
VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE

En el caso en que la integral de flujo sobre la
superficie Gaussiana resultara:

Negativa, quiere decir que está entrando más
corriente que la que sale.

Positiva, quiere decir que está saliendo más
corriente que la que entra.

Cero, quiere decir que la corriente que entra es
idéntica a la que sale.
FLUJOS ESTACIONARIOS
DE CORRIENTE
ELECTRICA
Aplicación del teorema Gauss
Ostrogradsky
A la integral de Flujo del vector
de densidad de corriente
CONSECUENCIAS

La aplicación del teorema Gauss Ostrogradsky da:
 

 j  d S     j  dV
S

V
Cuando la integral de flujo sobre una superficie Gaussiana "S" es
nula, el integrando de la integral de volumen sobre la superficie
gaussiana, es nulo

 j 0

Eso significa que la corriente que entra es idéntica a la que sale

Eso significa que la corriente pasa por esa superficie sin alteración.
Comparación del
desplazamiento de cargas eléctricas
en el espacio
con el flujo de masa en los fluidos
Analogías


En el caso de mecánica de fluidos, se habla de un flujo de masa, en
Electromagnetismo se habla de un flujo de cargas
En un flujo estacionario de masa, la cantidad de masa que entra a
una superficie cerrada es idéntica a la masa que sale

Se habla de UN FLUJO ESTACIONARIO DE FLUIDO

en el caso eléctrico, cuando la carga que entra es la misma que
sale, el EL FLUJO DE CARGAS ELECTRICAS ES ESTACIONARIO
En mecánica de fluidos, la condición de “Flujo Estacionario” se


determina por el vector de flujo de masa v mediante

  v
Analogías



Cuando    v vale cero, se dice que el FLUJO ESTACIONARIO
Cumpliéndose la condición bien conocida:

  v 0
v

El análisis dimensional de la cantidad


La misma operación sobre el vector j da:
v   M3 L  M  2
L T  T L
da:
 j   I 2  Q 2
L T L
las unidades son las mismas excepto por el cambio de masa por
carga eléctrica
Analogías




Por esa razón cuando se cumple que

 j 0
el flujo eléctrico es estacionario
Si en una cierta región muy pequeña (diferencial volumétrica), se
tiene que   j  0 en esa región no se crea ni se destruye carga
eléctrica, o también, en esa región ni se concentra ni se diluye la
carga
Cuando la integral de flujo de la densidad de corriente no es nula,
la divergencia del vector de densidad de corriente tampoco lo es.
Cuando el flujo del vector de densidad de corriente en una
superficie gaussiana no es cero, dentro de esa superficie existirá
por principio de conservación de la carga eléctrica, una
acumulación de cargas eléctricas o una dilución de ellas,
Analogías

Cuando la integral de flujo del vector densidad de corriente no es
nula, el flujo es no estacionario y podemos escribir:

 j 0
ANALISIS DE LA LEY DE
AMPERE
Ley de Ampère




Cuando las corrientes que se estudian en la aplicación de la Ley de
Ampère tienen la propiedad de ser Corrientes Estacionarias, La ley
es completamente válida.
Es decir, es completamente cierto que en forma integral:
 
 B  d r  0 I
C
O en forma diferencial:


 B  0 j
Donde se ha aplicado el Teorema Vectorial


 
 (  B)  d S   0 j  d S
S
S
Ley de Ampère

Apliquemos el operador nabla por medio del producto escalar a los


    B     0 j 
dos miembros de la expresión anterior


Esa expresión es una igualdad, para ser válida, debe convertirse en
una identidad al sustituirse en ella igualdades válidas
Si suponemos físicamente que estamos tratando con corrientes
estacionarias

 j 0

Esta igualdad podemos sustituirla en la expresión

obteniendo nosotros:


    B     0 j 


    B   0 j   0
Ley de Ampère

Como hemos demostrado que

Obtenemos para el campo magnético:



    F  0

    B 0
Llegando a la igualdad


0      B   0 j   0
La cual es absolutamente cierta, verificándose la validez de la Ley
de Ampère para corrientes estacionarias



  B  0 j    j  0
Ley de Ampère
¡ALGO FALTA!
CORRIENTES NO
ESTACIONARIAS

si tratamos con corrientes no estacionarias, se cumple
evidentemente que:

 j 0

De nueva cuenta calculamos la divergencia de la rotacional del
campo magnético:


    B     0 j 

Como las corrientes son no estacionarias:

por lo tanto tenemos una igualación isostenible:


    B   0 j   0
00
CORRIENTES NO
ESTACIONARIAS

Lo que evidencía que la Ley de Ampère como la tenemos
establecida no es cierta para corrientes no estacionarias

Que nos indica que la suposición de que se cumple la Ley de
Ampère tal como la conocemos hasta el momento, es totalmente
falsa, o bien en la expresión de la Ley de Ampère hacen falta
términos que la conviertan en cierta.
Ecuación de Continuidad del
Flujo de Cargas Eléctricas
Ecuación de Continuidad

Para continuar buscando la verdadera Ley de Ampère que se
cumple en todos los casos de régimen de flujo de cargas, debemos
antes deducir la Ecuación de Continuidad de Flujo de Cargas
Eléctricas.

Esa ecuación es deducible del análisis que realizamos sobre el flujo
del vector de densidad de corriente, y del análisis de las cargas que
se acumulan o diluyen dentro de la superficie gaussiana
.
Ecuación de Continuidad

En el interior de la
Superficie gaussiana que
vemos en la figura
adyacente, hay un
volumen encerrado que
podemos denominar "V",
mientras que a la
superficie gaussiana la
denominamos "S".
Ecuación de Continuidad

En cada punto del espacio, la densidad volumétrica de carga es
dada por la función escalar que depende de la posición y del
tiempo:
   x, y, z, t 

la carga dentro de la superficie gaussiana en un cierto instante de
tiempo es dada por:
Q    x, y, z, t  dV
V

Conforme pasa el tiempo, la carga Q dentro de la superficie
gaussiana puede variar, en ese caso, puede evaluarse la rapidez de
variación de Q con respecto al tiempo:
Q
t
Ecuación de Continuidad

que es dada en términos de la integral por:

Esta rapidez de variación si es positiva, representa un aumento en
la carga al interior de la superficie gaussiana, mientras que si ella es
negativa, representa una disminución de la carga.
Por ello podemos escribir:
Q


Q

  dV
t V t

aumento de carga en el volumen si

disminución de carga en el volumen.
t
 0
Q
t
0
la integral de flujo del vector de densidad de corriente cumple:
Ecuación de Continuidad
 
 j  dS  0
S

si la corriente que sale es mayor que la que entra, o sea que la carga
se está deconcentrando (disminuyendo) dentro del volumen.
 
 j  dS  0
S


si la corriente que entra es mayor que la que sale, o sea que se está
concentrando (aumentando) la carga dentro de la superficie
gaussiana.
 
Q
La integral  j  dS y la derivada parcial
tienen las mismas
unidades
S
t
Ecuación de Continuidad

Tenemos que las variaciones de carga dentro del volumen encerrado
por la superficie gaussiana están relacionadas a:

Cuando la carga aumenta
 
 j  dS  0
y
Q
0
t
y
Q
0
t
S

Cuando la carga disminuye
 
 j  dS  0
S

en consecuencia, debemos tener la siguiente igualdad:


Q

S j  d S    t   V  t  x, y, z, t  dV
Ecuación de Continuidad

Aplicando el Teorema de Gauss-Ostrogradsky, nos encontramos
que
 

 j  dS     j dV
S

V
de tal manera que la relación de la variación de cargas en el
volumen puede escribirse como:




S j  d S  V   j dV   V  t dV

De ahí desprendemos la relación integral:


V   j dV   V  t dV
Ecuación de Continuidad

como el volumen de integración es el mismo, podemos igualar los
integrandos obteniéndose:


 j  
t

Que es la ECUACION DE CONTINUIDAD del Flujo de cargas
eléctricas.
Es mejor conocida en la forma siguiente:
 
 j 
0
t

ella tiene como análogo la Ecuación de Continuidad en los fluidos
dada por:
 
  v 
0
t
Ecuación de Continuidad

Cuando el flujo de cargas es estacionario se cumple que en el
volumen dentro de la superficie gaussiana no acumula cargas
eléctricas ni se diluyen las mismas, entonces:

0
t

y sustituyendo este resultado en la ecuación de continuidad
tenemos ahora:
 

 j 
 j  0  0
t

de donde se tiene como resultado la condición para un flujo
estacionario:

 j 0
Ecuación de Continuidad

Cuando el flujo no es estacionario, se tiene que la rapidez de
variación de la densidad de carga en el volumen no es nula, es
decir:

t

0
sustituyendo esto en la ecuación de continuidad, tenemos:


 j  
0
t

expresión que nos permite escribir la condición para un flujo no
estacionario:

 j  0
Ecuación de Continuidad

En esta parte debemos efectuar un análisis
de la Ley de Gauss en forma diferencial y
correlacionarla con la ecuación de
continuidad, para más tarde demostrar que la
Ley de Ampère puede perfeccionarse para
que cumpla la condición de nulidad de su
miembro derecho, lo que nos conducirá a un
fenómeno muy interesante para el
electromagnetismo.
Ecuación de Continuidad y
Ley de Gauss

La ley de Gauss en forma diferencial sabemos que es:


E 
0

Nuestra meta al analizar la Ley de Gauss es buscar expresiones
matemáticas que se asocien al fenómeno de flujo no estacionario
en el espacio.

Por tal razón estaremos interesados ahora en el análisis de las
condiciones de NO ESTACIONARIDAD del flujo.
UN ANALISIS DE FLUJOS
ELECTRICOS NO
ESTACIONARIOS
Flujos No Estacionarios

Si el flujo no es estacionario, entonces la derivada parcial temporal
de la densidad de carga es diferente de cero, es decir:

0
t

por esta razón, debemos buscar la derivada parcial respecto al
tiempo de ambos miembros de la expresión siguiente:


E 
0

que nos arroja el resultado:
 1 

  E 
 
t
0 t
Flujos No Estacionarios


Esta última ecuación puede escribirse por intercambio de la
derivada temporal como:
Facilmente obtenemos:
   1  
   E 
 t   0  t
  

    0 E 
 t
 t

Esta forma nueva de la Ley de Gauss nos será útil para sustituirla
en la ecuación de continuidad:
 
 j 
0
t
Flujos No Estacionarios


 E 
  j     0
0

 t 

obteniendo:

de donde se obtiene al aplicar el teorema de calculo vectorial que
dice: "la divergencia de la suma es igual a la suma de las
divergencias", la siguiente expresión:


 E
   j  0
0

t 


De esta relación obtenemos un resultado sobresaliente que nos
será útil para reformular la Ley de Ampère
LEY GENERAL DE
AMPERE
Ley General de Ampère

Esta expresión nos indica que: la divergencia
de la suma del vector de densidad de
corriente mas la permitividad multiplicada por
la rapidez de variación del vector de
intensidad de campo eléctrico con respecto
al tiempo es siempre cero.
Ley General de Ampère


Estamos en posición de encontrar la estructura matemática del
término faltante a la Ley de Ampère para aplicarla al caso de flujo no
estacionario:
Si proponemos que la Ley de Ampère sea modificada a la forma:



 E
 B  0  j   0


t



entonces al aplicar el operador nabla para calcular la divergencia de
ambos miembros tenemos:



 E
    B   0    j   0

t 

Ley General de Ampère

hemos demostrado que

y que siempre para cualquier campo vectorial:

En virtud de estas dos últimas identidades, su sustitución en la
nueva Ley de Ampère propuesta se cumple:


 E
   j  0
0

t 


    B 0
00

que es una identidad y permite asegurar que la corrección sugerida,
convierte en correcta a la Ley de Ampère para el caso de corrientes
NO ESTACIONARIAS.
Ley General de Ampère

La Ley general de Ampère queda entonces
bajo la forma:



 E
 B  0  j   0

t 


Hemos llegado al punto culminante del
electromagnetismo:
Ley General de Ampère

Los campos magnéticos son generados
por imanes (cargas magnéticas
permanentes) o por corrientes, pero
también por campos eléctricos variables
en el tiempo (caso de la Ley generalizada
de Ampère).