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1. Representa gráficamente "un número par". Escribe algebraicamente "un número par".
2. Representa gráficamente "un número impar". Escribe algebraicamente "un número
impar".
3. Demuestra gráficamente que "par" + "par" = "par". Demuéstralo algebraicamente.
4. Demuestra gráfica y algebraicamente: "par"+ "impar" = "impar", "impar" + "impar" =
"par"
5. Representa gráfica y algebraicamente "múltiplo de 3".
6. Representa gráfica y algebraicamente "no múltiplo de 3". ¿Qué ocurre?
7. ¿Qué pasa con la suma de "múltiplos de 3" y de "no múltiplos de 3"?, (estudia los
distintos casos). ¿ Qué podemos generalizar en la suma de "múltiplos de n " y "no múltiplos
de n ?
8. Representa gráfica y algebraicamente "número compuesto". ¿ Cuál es el problema para
representar un número no compuesto (un primo) ?
9. Representa gráfica y algebraicamente dos números consecutivos.
10. Demuestra gráfica y algebraicamente que la suma de tres números consecutivos es
múltiplo de 3.
11. Demuestra gráfica y algebraicamente que la suma de seis números consecutivos es
múltiplo de 3 pero no de 6.
12. Expresa con palabras (necesitarás dos frases) un resultado general cuando se suman
números consecutivos.
13. Representa gráfica y algebraicamente "suma de un número par de números
consecutivos" y "suma de un número impar de números consecutivos".
14. Utiliza el apartado anterior para expresar más algebraicamente el resultado sobre la
suma de números consecutivos.
5  10 
2
La representación numérica de un número no es única:.
Tampoco la algebraica ni la geométrica.
=
25  5 ´ 0
=
En la primera igualdad vemos otra forma de representar impares. ¿qué números
representamos en la otra igualdad?
15. Siguiendo la nueva representación, representa "impares consecutivos".
16. ¿ Qué fórmula numérica sugiere la figura? Escribe fórmulas numéricas más cortas y
más largas que sean análogas.
17. Sin sumar, ¿cuánto suman ? : 1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + ......... + 25 =
1 + 3 + 5 + .............. + 99 =
Ponte tú más sumas y "súmalas"
18. Generaliza la fórmula con palabras.
19. Expresa algebraicamente el resultado.
20. Traduce numéricamente la figura.
21. ¿ Qué es una suma de impares consecutivos ?
22. Sin sumar, ¿cuánto suman?: 5 + 7 + 9 + 11 =
11 + 13 + 15 + … +35 =
27 + 29 + 31 + ...........+ 87 =
Ponte tú más sumas y "súmalas"
23. Según lo anterior a qué números representa la figura:
24. Relaciona numéricamente la suma de pares consecutivos empezando por 2 con la suma
de impares consecutivos empezando por 1.
Ej: 2 + 4 + 6 + 8 = (1 + 3 + 5 +7 ) + 4
2 + 4 + 6 + ........ + 34 =
2 + 4 + 6 + .............+ 108 =
Pon tú más ejemplos
25. Relaciona gráficamente la suma de pares consecutivos empezando por 2 con la suma
de impares consecutivos empezando por 1.
26. Da una fórmula para la suma de pares consecutivos empezando por 2. ¿ Te parece
adecuado que digamos que llamemos a esos números casi-cuadrados ?
27. Calcula sin sumar : 8 + 10 + 12 + 14 + 16 =
14 + 16 + 18 + ....... + 62 =
42 + 44 + 46 + ...........+ 94 =
28. Relaciona numéricamente la suma : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 con una suma de pares
consecutivos.
29. Relaciona la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 , con una suma de pares e impares
consecutivos.
30. Representa gráficamente: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
31. ¿Qué fórmulas te sugieren las siguientes figuras?
32. Observa las siguientes transformaciones:
3
2
5 =5.5 =
=
=
=
=
= 21 + 23 + 25 + 27 + 29
33. Haz una transformación similar para 3 3 .
34. Inténtalo con .
43
¿ Qué se te ocurre para darle forma de "ele gorda simétrica" ?
36. Sin representar expresa 6 3
y 73 como suma de impares consecutivos.
37. Además por ser "eles" todo cubo es diferencia de dos .....................
38. Escribe como diferencia de dos cuadrados:
13 , 23 , 103 , 153 y 253
39. Date cuenta de que las "eles" consecutivas son encajables. Así
es el cuadrado de:
13  23  33  4 3  53
40. Mira la figura y escribe una fórmula:
41. Observa las siguientes fórmulas:
1 = 03 + 13
2 + 3 + 4 = 13 + 23
5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 2 3 + 33
Escribe dos filas más.
42. ¿ Cómo convertirías la figura A en la figura B de forma sistemática?
A
B
43. Escribe un fórmula algebraica que generalice las fórmulas de 41.
44. Traduce algebraicamente la igualdad de las figuras (fíjate que ahora no es una igualdad
de números naturales):
a
a
b
=
b
Más actividades
45. Un impar es una "ele estrecha" luego una diferencia de cuadrados consecutivos.
Escribe como diferencia de cuadrados consecutivos: 3, 5, 13, 21.
46. Razona que un número par no es diferencia de cuadrados consecutivos.
47. ¿Qué números pares pueden ser diferencia de cuadrados casi-consecutivos? ( Usa 44).
48. Un número par puede ser diferencia de cuadrados no enteros "consecutivos".
49. Un número impar al cuadrado es también impar y por tanto diferencia de cuadrados
consecutivos. Así todo número impar distinto del 1 puede ser cateto de un triángulo
pitagórico (introducción del profesor a los cuadrados pitagóricos).
50. Los números pares al cuadrado son diferencias de cuadrados consecutivos y así todos
los pares menos el 2 pueden ser catetos pitagóricos.
51. El problema de sumar 1 2  2 2  3 2  ......  n 2 .
Solución en dos (ver dibujo) y tres dimensiones.
En el dibujo puedes ver lo que vale 1.5 + 3.4 + 5.3 + 7.2 +9.1 ,
intenta generalizar esa fórmula. Busca representaciones que prueben
las siguientes fórmulas:
1.2+2.3+3.4+4.5=
4.5.6
;(usa que cada uno de los
3
sumandos puede ser expresado como suma de pares consecutivos empezando por 2).
En tu dibujo quizás veas lo que vale 1 . 4 + 2 . 3 + 3.2 + 4 .1 . Aventura en cualquier caso
cuánto vale esta suma.
¿Eres capaz de probar gráficamente que: (2 + 4) + (6 +8 +10) + (12+14+16+18) =1.2.3 +
2.3.4 + 3.4.5 =
3.4.5.6
?
4
52. Suma de progresiones geométricas enteras a partir de su representación
53. Suma de cuadrados de números consecutivos de la serie de Fibonacci a partir de la
representación geométrica.
54 ¿ Quiénes son los números escalera ?.
Apéndice
2+4+6+8=45
(representación de suma de pares mediante eles no simétricas)
Suma de “casicubos” consecutivos:
123 + 234 +345 =
= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 =
= (1 +2 + 3 + 4)  (2 + 3 + 4) =
3 4 5 6
4
Suma de “casicuadrados” consecutivos:
3  (1  2 + 2  3 + 3  4 + 4  5) =
= (2  5 + 2 )  (1 + 2 + 3 + 4) = 4  5  6
La zona de enmedio puede ser interpretada como la
suma: 2  4 + 4 3 + 6  2 + 8  1 que es también igual
456
a
. La mitad de esta zona puede ser leída como:
3
456
1  4 + 2  3 + 3  2 + 4  1, igual a
6