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LOS NÚMEROS REALES.
La invención de los números ha estado asociada a la
resolución de los problemas con los que se han enfrentado
los humanos. Cuando hubo necesidad de contar y
enumerar, se crearon los números naturales. Con ellos se
pueden realizar operaciones como sumar y multiplicar con
la seguridad de que el resultado de estas operaciones
siempre es un natural.
Pero al efectuar sustracciones puede suceder que no haya
un número natural que exprese su resultado. Para
satisfacer esta necesidad, entre otras, se construyen los
números enteros. Este es el significado que tienen las
deudas y los saldos rojos que aparecen en los extractos
bancarios. Sin embargo, los enteros no son suficientes para
resolver, por ejemplo, problemas de medición, así surgen
los fraccionarios, con los cuales se puede expresar la
medida de una llave de 4/3 de pulgada, y muchos otros
datos de la ciencia y la tecnología.
El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales se
llama:
CONJUNTO DE NÚMEROS REALES
Se representa por R. Tanto los números racionales como los irracionales son
números reales.
Conjunto de los números
reales R
Números naturales
0 1
N
2
3
=

4
5…
0,1,2,3,4,5,…
Conjunto de los números
reales R
Números naturales
0 1
N
2
3
=

4
5…
0,1,2,3,4,5,…
•Números enteros Z
…-3
Z
=
-2
-1
0
1
…-3, -2,-1,0,1,2,3…
2
3…
•Nota importante

Todo numero natural es un numero entero
N
Z
Subconjunto
Z
 Z 0  Z


NUMEROS RACIONALES Q
(FRACCIONES)

Números racionales
-2
-1
Q
-1/2
0
½
1
2
a

  b / a  N , b  N , b  0


TODO NUMERO ENTERO ES UN
NUMERO RACIONAL Z  Q
Subconjunto
•El conjunto de los números
racionales es el conjunto que esta
formado por todos aquellos
elementos que pueden representarse
en la forma
a
b
Tales que cada uno de ellos es
un numero entero y además b
debe ser diferente de cero
NUMEROS IRRACIONALES

Todo empezó cuando comenzaron a
estudiar las áreas de las figuras como el
Área = lado x lado
•Si un
tiene como medida 2, entonces: su
área es lado por lado, o sea 2x2=4
•De este modo empezaron a preguntarse:
¿Si tengo el área del cuadrado, pero lo que
quiero averiguar es uno de los lados, que hago?
Formula:
lado  area , osea, 2  4
Problema 1
Si un cuadrado tiene como área 5.¿Cuanto
mide su lado?
Solución:
Aplicando la formula:
lado  area

lado 
• Pero que pasa con este valor de:
1. No era natural
2. No era entero
3. No era racional
5
4.
5.
2 5 3
5  2, 236067977..
La existencia de los números irracionales como
2, 3, 5 ,etc., fue demostrada por los
griegos del siglo lll
Estudio del numero  (pi),
como numero irracional
•Durante siglos el hombre careció de un
importante invento:
la rueda.

•Los Babilónicos fueron los inventores de la
rueda esto hace unos 6000 años, tal vez de ahí
nació su afán de descubrir el valor aproximado
conocido hoy día como
(pi).


=
Longitud de la circunferencia
Longitud del diámetro
Diámetro
Estudio del número

•Así a lo largo de la historia de la
humanidad encontramos que nuestros
antepasados estaban buscando, directa
o indirectamente, un numero racional
para expresar la razón de la
circunferencia de un
a su
diámetro. Como se sabe en la
actualidad, la búsqueda fue en vano;
esto debida a que pi no es un numero
racional.
Estudio del número  como un
numero irracional

Este gran aporte se debe
a Johan Lambert, un
matemático alemán del
siglo xviii, al probar
que este numero
misterioso en realidad
era un numero
irracional, llamado pi.


Aquí se tiene una
aproximación con
cifras decimales :
=3,14159265358979
32384626933632795
02864197169399375
105820974944…
Los números irracionales

Podemos concluir que los números
irracionales son aquellos mismos que
tienen una expresión decimal
infinita,(números que no tienen fin).
Los números irracionales
Ejemplo de otro numero irracional
El numero de Napier, el cual es la unidad
utilizada en las telecomunicaciones para
medir la magnitud del amortiguamiento.
El símbolo de este numero es e .

e=2,718281828459…
El conjunto de los números reales
R
Q
Z
3 1
, , etc
4 2
…-2,-1,0,1,2…
N
0,1,2,3,...
e,  ,
2,
El conjunto de los números
reales


Z

 R La unión de los números
racionales y los irracionales dan como
resultado el conjunto de los números reales.
Q 
  ,esto pues no tienen elementos
en común.
El conjunto de los números reales





Números decimales
Q
Racionales
(Notación decimal
finita o infinita
periódica)
1
 0, 25
4
1
 0, 3333
3

Irracionales
(Notación decimal infinita no
periódica)

  3,1415265...
 2  1, 41421356...
2 3  2,884414...
3
¿Cual es la diferencia?
Diferencia entre los números
racionales Q y los irracionales
•Un numero racional posee una
expansión decimal periódica
infinita
•Numero irracional posee
expansión decimal no periódica
infinita.
Resumen
Todo numero racional es
real
Todo numero irracional es
real
Ningún numero racional es
irracional.
Ningún numero irracional
es racional.
Los números racionales e
irracionales definen el
conjunto de los números
reales.

4

7
  


 
0,111 1...  
3,385014... 
0,11 1  ,
e
Propiedades del conjunto de

Propiedades del conjunto de los números naturales y
enteros
Infinitos
Discreto: Entre dos números consecutivos siempre
existe la misma distancia.
Ordenado: siempre se pueden comparar dos
números.
Propiedades del conjunto de los
números racionales
Denso: entre dos numeros racionales
siempre es posible encontrar otro numero
racional.
Infinito
Ordenado: siempre es posible
comparar dos números racionales.
Propiedades de los números
irracionales
Infinito
Ordenado
Denso
Propiedades de
Continuo
Denso
Completo: hay una correspondencia
biunívoco entre los puntos de la recta
numérica y sus elementos
Infinito
Números reales y sus
propiedades
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Conmutativa: cuando se suman o se multiplican dos números reales, no importa el orden.
ab  ba
ab  ba
Ejemplo:
12  9  9   12 
 3  3
 12  9  9   12
 108  108
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Asociativa: cuando se suman o se multiplican tres números reales no
importa cuales se suman o se multiplican primero.
a  b   c  a   b  c 
Ejemplo :
2 5
 2 5




4




4
 3 6
6

3




1
2 29
4 
6
3 6
25 25

6
6
a  b   c  a  b  c 
2 5 
 2 5
  3  6   4   3   6  4




5
2 10
 4   
9
3 3
20
20

 
9
9
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Distributiva: cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene el
mismo resultado al multiplicar el numero por cada uno de los términos y luego sumar los
resultados.
a   b  c   ab  ac
Ejemplo:
 0,25    7  3,8    0,25  7   0,25  3,8 
0,25  10,8  1,75  0,95
2,7  2,7
USO DE PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
3  x  4  3x  3  4
 3 x  12
a  b  x  y   a  b  x  a  b  y
  ax  bx    ay  by 
 ax  bx  ay  by
2x  6y  2x  2 3y 
 2  x  3y 
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Elementos neutros:
Existe 0, tal que para todo número real a, se tiene que:
a0 a
Existe 1, tal que para todo número real a, se tiene que
a 1  a
Ejemplo
2 0  2
2 1  2
INVERSOS
Para todo número real a existe a tal que:
a   a   0
a se le llama el opuesto de a .
Para todo número real a diferente de cero existe a 1 tal que
1
a  a 1  a   1
a
1
a se le llama inverso de a.
Ejemplo
1
El opuesto de 3 es 3 y el inverso de 3 es
3
USO DE LOS INVERSOS
La sustracción es la operación inversa a la adición, para restar un
número de otro se suma el opuesto del número.
a  b  a   b 
Ejemplo
18  39  18  ( 39)
 21
La división es la operación inversa de la multiplicación; para
dividir
un número, se multiplica por el inverso del numero.
Si
b0
ab  a
1 a

b b
PROPIEDADES DE LOS NEGATIVOS
 1 x   x
 x   x
  x  y  x   y    xy
  x   y   xy
  x  y   x  y
  x  y   x  y
 1 8  8
  8   8
( 8)  5  8  ( 5)  (8  5)  40
 8  5   8  5  40
  8  5   8  5
  8  5   8  5
El opuesto de x  y es y  x .
RECTA REAL
Los números reales se pueden representar como puntos
sobre una recta .
Sobre la recta se señala un punto de referencia, el cual
corresponde al número real 0. Luego, una unidad de
medida, cada número positivo x se representa por un
punto en la recta, ubicado, a una distancia de x unidades
a la derecha del punto de referencia y cada número
negativo – x , se representa a x unidades a la izquierda
del punto de referencia. La recta formada recibe el
nombre de recta real.
Los números reales positivos se ubican a derecha del
punto
de referencia 0 y los negativos a la izquierda del 0.
RELACIÓN DE ORDEN
El conjunto de los números reales están ordenados. Es decir, a  b
(a es menor que b), si b  a es un número positivo; en la recta real.
Si a  b a se ubica a la izquierda de b.
Si
significa que
o
(a es menor que b o a igual que b)
ab
ab
ab
32
3
2 1

4 2
ACTIVIDAD
1. Determina el signo de cada expresión. Si a, b y c son números
reales tales que a  0, b  0 y c  0.
a
ab
a  bc
ab  ac
2. Investiga si las operaciones de sustracción y división son
conmutativas.
Intervalos reales


Un intervalo real es un conjunto de los reales y
al igual que el conjunto también es infinito.
Tenemos diferentes tipos de notación:
Corchetes
Ejemplo:  a, b
Por comprensión
Ejemplo: x  / x  2
Se lee x pertenece a R, tal que x es
mayor o igual a 2
Gráficamente
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Se lee todos los números reales desde el
menos -1 inclusive hasta mas infinito.
Clasificación de los intervalos reales
Intervalo real cerrado
Es aquel en el cual los elementos de sus
extremos se hallan incluidos
Ejemplo:
1.
2, 2 x / x 
-3
-2
-1
0
, 2  x  2
1
2
3
Clasificación de los intervalos reales
2.Intervalo real abierto
Es aquel en el cual no se incluyen los
extremos
Ejemplo:
1, 2
x / x 
-2
-1
0
, 1  x  2
1
2
3
Clasificación de los intervalos reales
3.Intervalo real semiabierto
Es aquel en el cual solo se incluyen uno de los dos
extremos.
1,3 x / x 
Ejemplo:
-2
-1
0
1
2
x  3
, 1
3
4
Clasificación de los intervalos reales
4. Intervalo real al infinito
Es aquel intervalo en el cual se constituye por todos
los números reales que se encuentran al lado
izquierdo o derecho de algún numero real el cual
podría estar incluido o no.
Ejemplos:
a) 1,  x / x  , x  1
1
Clasificación de los intervalos reales
b)
2,  x / x 
,x
2
2
c)
, 2 x / x  , x  2
2
Fin
¡Muchas gracias¡