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Algebra de Boole
Objetivo
• Objetivo: El estudiante identificará la lógica
Booleana, así como los teoremas básicos de
ésta.
• Dominio: Desarrollo de las capacidades para
interpretar, aplicar y establecer conexiones
con operadores lógicos entre proposiciones
lógicas






El sistema matemático
El sistema matemático Booleano
Proposiciones
Conectores y tablas de verdad
Proposiciones complejas
Operaciones lógicas binarias
Algebra de Boole
POSTULADOS DE UN SISTEMA
MATEMATICO
PARA TODO x, y Є S
1. CONJUNTO CERRADO
2. LEY ASOCIATIVA (x*y)*z = x*(y*z)
3. LEY CONMUTATIVA x*y = y*x
4. ELEMENTO DE IDENTIDAD e*x = x*e =
x
5. INVERSO para cada x Є S existe un
elemento y Є S /
x*y = e
6. LEY DISTRIBUTIVA x*(y.z) = (x*y) .
(x*z)
El sistema matemático
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a. CONJUNTO CERRADO RESPECTO AL OPERADOR +
b. CONJUNTO CERRADO RESPECTO AL OPERADOR .
a. IDENTIDAD RESPECTO A +
b. UN ELEMENTO DE IDENTIDAD RESPECTO A .
a. CONMUTATIVO RESPECTO A +
b. CONMUTATIVO RESPECTO A .
a. EL . DISTRIBUTIVO RESPECTO A + : x.(y+z) =
(x.y)+(x.z)
b. EL + DISTRIBUTIVO CON RESPECTO A EL . x +
(y.z) = (x+y) . (x + z)
PARA x Є B, EXISTE UN x' Є B DE MODO QUE x + x' =
1
EXISTEN POR LO MENOS 2 ELEMENTOS EN B / x ≠ y
Definiciones axiomáticas del
Algebra de Boole
DUALIDAD
TEOREMAS BASICOS
TEOREMA 1 A. x + x = x
B. x . x = x
TEOREMA 2 A. x + 1 = 1
B. x . 0 = 0
TEOREMA 3 A. (x')' = x involución
TEOREMA 4 A. x+(y+z) = (x+y)+z
B. x.(y.z) =
(x.y)+(x.z) asociativo
TEROREMA 5 A. (x+y)'= x'.y‘
B. (x.y)'= x'+y‘
de Morgan
TEOREMA 6 A. x+xy = x
B. x.(x+y) =x
POSTULADO 2 A. x+0 = x
B. x.1 = x
POSTULADO 3 A. x+y = y+x
B. x.y = y.x
conmutativo
POSTULADO 4 A. x(y+z) = (x.y)+(x.z)B. x+y.z =
(x+y).(x+z) distribu.
POSTULADO 5 A. x+x' = 1
B. x.x' = 0
Teorema y postulados básicos
del A.B
Una proposición es un enunciado o una
oración que puede ser falsa o verdadera
pero no ambas a la vez.
 Una proposición es verificable, por ende,
es un elemento fundamental de la lógica
matemática y de la lógica digital.

Proposiciones
p: La tierra es plana.
q: -12 + 28 = 21
r: x > y + 1
s: El Cortulua será campeón en la
presente temporada de Fútbol
colombiano.
 t: Hola ¿Qué tal?
 v: Bogotá es la capital de Colombia
 w: Lava el coche, por favor




Proposiciones







AND conjunción
OR Disyunción
NOT negación
NAND
NOR
XOR
XNOR
Conectores y tablas de verdad
Se utiliza para conectar dos proposiciones
que se deben cumplir (ser verdaderas)
para que se pueda obtener un resultado
verdadero.
 Su símbolo es: {, un punto (.), un
paréntesis, o también, }.
 Se le conoce como la multiplicación lógica
(en la matemática booleana)


[i] LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática para computación. McGraw-Hill.
1985
Operador and (y) - Operación
Conjunción [i]
La proposición “El coche enciende cuando
tiene gasolina en el tanque y tiene
corriente la batería” está formada por dos
proposiciones simples: q y r
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
Con
p: El coche enciende.
De tal manera que la representación del
enunciado anterior usando simbología
lógica es como sigue: p = q  r
Operador AND - Conjunción
Tabla de la conjunción
.q
.r
.p: q  r
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Diagrama de Venn de la
disyunción
Diagrama circuital y compuerta
Con este operador se obtiene un resultado
verdadero
cuando
alguna
de
las
proposiciones es verdadera.
 Se indica por medio de los siguientes
símbolos: {,+,}.
 Se conoce como las suma lógica en el
Álgebra Booleana.
 En términos literales se comporta como
y/o.

Operador O - Disyunción
Por ejemplo:
1.
p: “Una persona puede entrar al cine
si compra su boleto u obtiene un pase”.
Donde.
p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
La proposición compuesta es p: q v r y la
tabla de verdad representativa es:
Operador O - Disyunción
.q
0
0
1
1
.r
0
1
0
1
.p: q  r
0
1
1
1
Operador O - Disyunción
Diagrama de Venn de la
conjunción
Circuito conmutacional y
compuerta
Su función es negar la proposición.
 Esto significa que sí alguna proposición es
verdadera y se le aplica el operador not se
obtendrá su complemento o negación
(falso).
 Este operador se indica por medio de los
siguientes símbolos: {‘, ,}. Por

Operador Not (no) – Operación
negación
Ejemplo.
Teniendo la proposición :
p:
La capital de Francia es Paris (p = 1),
su negación será :
p’: no es la capital de Francia Paris(p’= 0)
.p
1
0
p’
0
1
Operador Not (no) – Operación
negación
Diagrama de Venn (complemento)
Conmutacional y compuerta


Es el operador que conecta dos proposiciones en
el sentido estricto de la “o” literal, o es blanco o
es negro; es o no es.
El
operador
se
denomina
XOR,
cuyo
funcionamiento es semejante al operador or con
la diferencia en que su resultado es verdadero
solamente si una de las proposiciones es cierta,
cuando ambas son verdaderas el resultado es
falso, igual si las dos son falsas. Se nota como
.
La O exclusiva (Disyunción
exclusiva)
r:
Antonio canta o silva
La proposición está compuesta por las
proposiciones
p: Antonio Canta
q: Antonio silva
Su notación es:
p:
rq
La O exclusiva (Disyunción
exclusiva)
.p
0
0
1
1
.q
0
1
0
1
.r = p  q
0
1
1
0
Tabla de verdad La O exclusiva
.p  q
Diagrama de Venn O exclusiva
O exclusiva conmutacional
Se utiliza para conectar dos proposiciones
que se deben cumplir(ser verdaderas)
para que se pueda obtener un resultado
falso, en cualquier otro caso la
proposición compuesta es verdadera. Su
símbolo es: {()’, (.)’, ()’}.
 De tal manera que la representación de
una proposición queda como sigue:

p = (q  r)’

No AND
.q
0
0
1
1
Tabla NAND
.r
0
1
0
1
p = (q  r)’
1
1
1
0
Es el Inverso de la disyunción, se obtiene
con este operador un resultado verdadero
cuando las proposiciones son falsas. En
cualquier otro caso da un resultado falso.
 Se e indica por medio de los siguientes
símbolos: {()’, (+)’, ()’}.
 Se conoce como las suma lógica inversa
en el Álgebra Booleana.
 La proposición compuesta es r: (p  q)’

No OR
NOR
.p
1
1
0
0
NOR
.q
1
0
1
0
.r = (p  q)’
0
0
0
1

Es el operador que niega al conector O
exclusivo , así , que tan solo es verdadera
la proposición compuesta sí, o, bien, las
dos son verdaderas o las dos son
falsas(más adelante veremos que también
se denomina equivalencia).


El operador se denomina XNOR, Se nota
como , algunos también lo notan como
( )’.
No OR exclusiva XNOR
.p
0
0
1
1
.q
0
1
0
1
XNOR
.r = p q
1
0
0
1
XNOR