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DECAIMIENTO RADIOACTIVO DEL
VIRUS DE LA RABIA EN CANINOS
DE 1 – 3 AÑOS
SEGUNDO CICLO
UTPL
21-1-2008
Autor: Raquel Luzuriaga
PROYECTO BIMESTRAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES
DECAIMIENTO RADIOACTIVO DEL VIRUS DE
LA RABIA EN CANINOS DE 1 – 3 AÑOS
SEGUNDO CICLO
TEMA
“DECAIMIENTO RADIOACTIVO DEL VIRUS DE LA RABIA EN CANINOS DE 1 A 3
AÑOS”
INTRODUCCIÓN
DECAIMIENTO RADIOACTIVO DEL VIRUS DE LA RABIA EN CANINOS DE 1 – 3 AÑOS | 21/01/2008
El virus rábico tiene forma de bala, es de genoma ARN y pertenece al género Lyssavirus,
familia Rhabdoviridae. Tiene dos antígenos principales: uno interno de naturaleza nucleoproteínica, y
el otro de superficie que es de composición glucoproteínica y responsable de los anticuerpos
neutralizantes. La rabia es una infección contagiosa, aguda del sistema nervioso central cuyo
resultado final es la muerte del animal infectado. Los perros son susceptibles a este virus debido a que
son animales de sangre caliente.
La rabia es de dos tipos: La irritable o furiosa que hace que el animal se vuelva loco y muy
agresivo es la más común y la muda o paralítica que afecta los músculos de la mandíbula y la laringe
es la menos común. La primera vacuna antirrábica fue inventada por el Dr. Louis Pasteur, en sus
inicios fue probada en conejos, actualmente hay tres formas de obtenerla: la primera es cultivada en
huevos embrionados (embrión de pollo o PCEC; embrión de pato o Dev) , la segunda y más efectiva
es la cultivada en células humanas o VCDH y la vacuna de tejido nervioso o CRL.
Nuestro proyecto se basa en la aplicación de modelos matemáticos; un modelo matemático es
la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. La formulación de un modelo
matemático implica:
Identificar las variables causantes del cambio de un sistema o fenómeno.
Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema (leyes empíricas
aplicables).
Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más
variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones
donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.
Con esta breve introducción a lo que es el virus de la rabia y de lo que es un modelo
matemático empezaremos a desarrollar el problema antes enunciado.
OBJETIVOS
Encontrar un modelo matemático que ayude a determinar el decaimiento radioactivo del virus
de la rabia en caninos de 1 a 3 años.
Aplicar los conocimientos adquiridos en la materia de Ecuaciones Diferenciales para la
elaboración de un modelo matemático aplicado a un problema de la vida real.
Desarrollar una investigación del proceso radioactivo del virus de la rabia en caninos, para
determinar cómo reacciona el virus frente al suministro de un componente radioactivo (en
nuestro caso la vacuna contra el virus de la rabia) en un periodo de tiempo dado.
1
DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS
IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES:
DESCRIPCION DE LA
VARIABLE
Rabia furiosa
Rabia muda
Virus activado
Virus inactivado
Vacunas Tejido Nervioso
Vacunas Cultivo
Vacunas Huevos de Embriones
Exposición Leve
Exposición grave
Suero antirrábico
Tiempo
Edad del Perro
Perro Contagiado
Perro no Contagiado
Velocidad del decaimiento
radioactivo del virus de la rabia
ABREVIATURA
Rf
Rm
Va
Vi
Vtn
Vc
Vhe
El
Eg
Sa
T
Ep
Pc
Pnc
Vdr
CLASIFICACIÓN DE VARIABLES:
Las variables que hemos listado anteriormente pueden ser clasificadas en dos tipos de acuerdo
al control que se tiene de cada una de ellas dentro del problema a continuación detallamos esta
clasificación:
CONTROLABLES NO CONTROLABLES
Va
Rf
Vi
Rm
Vtn
El
Vc
Eg
Vhe
Pc
Sa
Pnc
T
Vdr
Ep
DECAIMIENTO RADIOACTIVO DEL VIRUS DE LA RABIA EN CANINOS DE 1 – 3 AÑOS | 21/01/2008
Las variables son de gran importancia en el desarrollo de un modelo matemático por que
describen las actividades que se dan en el problema y nos ayudan a esclarecer los aspectos
relevantes del mismo, es por ello que hemos realizado un análisis minucioso del problema y
nos encontramos con las siguientes variables:
2
ELABORACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO:
La parte más importante y complicada de elaborar es el modelo matemático puesto que para
lograr realizarlo se deberá seguir una serie de reglas, tomando en cuenta investigaciones científicas,
leyes y ciencias que intervienen en el modelo que se está desarrollando, así pues empezaremos;
debemos considerar que el decaimiento radioactivo del virus de la rabia es una reacción química, por
lo tanto para poder elaborar nuestro modelo matemático debemos tener en cuenta las leyes químicas y
biológicas que tienen las moléculas tanto del virus activo (Va) como del inactivado (Vi) de la rabia.
Como sabemos las velocidades son cambian con respecto al tiempo, de ahí tenemos que el
modelo que elaboremos nos dará una ecuación diferencial. No todas las variables que describimos
anteriormente afectan al desarrollo de nuestro modelo pero si algunas de ellas como por ejemplo el
Va, Vi, Ps, Vdr ya que de estás dependerá la velocidad del decaimiento radioactivo.
El Va y Vi son moléculas de dos sustancias que intervienen en una reacción bimolecular
elemental donde la suma de estas dos es proporcional a Ps de ahí que la fórmula en la que se describe
esto es:
DECAIMIENTO RADIOACTIVO DEL VIRUS DE LA RABIA EN CANINOS DE 1 – 3 AÑOS | 21/01/2008
Va + Vi -> Ps (Perro sano)
estas dos sustancias son conocidas como reactantes las mismas que se unen para formar una tercera
llamada producto que en nuestro caso nos dará como resultado que el perro esté sano en un periodo de
tiempo dado.
A continuación describiremos las hipótesis o leyes empíricas que son aplicables a nuestro
problema estás nos guiarán a la obtención del modelo matemático.
Ley de la velocidad de reacción: La velocidad de reacción depende de la concentración de los
reactantes y del producto, así pues tenemos que la fórmula que determina está velocidad es la
siguiente:
dVdr d Ps
d Va
d Vi



dt
dt
dt
dt
Ley de acción de masas: Esta ley está basada en la suposición de que reacciones elementales ocurren
cuando las moléculas de los reactantes están en contacto simultáneamente. Por lo tanto a mayor
concentración, tenemos mayor velocidad. El coeficiente k es la constante de la reacción y se toma
siempre positiva. Este es un principio básico determinado por la siguiente ecuación:
dVdr
 k (Va)(Vi)
dt
Ley de conservación: Esta ley nos dice que la suma de las concentraciones de los productos y de
cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reacción. Va0 , Vi0 , Ps0 Son las
concentraciones iniciales de cada uno de los componentes de la reacción.
Vi  Ps  Vi0  Ps0
Va  Ps  Va0  Ps0
3
Resolución de ecuaciones y determinación de la ecuación diferencial:
Igualando velocidades del decaimiento radioactivo (Vdr) tenemos:
dVa
 k (Va)(Vi)
dt
dVi
 k (Va)(Vi)
dt
dPs
 k (Va)(Vi)
dt
A continuación eliminaremos las variables Ps y encontraremos Va y Vi:
Ps  Vi0  Ps0  Vi
Ps  Va0  Ps0  Va
 Vi  Va0  Va  Vi0
Vi  Va  Va0  Vi0
Va  Vi  Vi0  Va0
Reemplazando los valores obtenidos para Va y Vi tenemos las siguientes ecuaciones:
dVa
 k (Va)(Va  Va0  Vi0 )
dt
dVi
 k (Vi)(Vi  Vi0  Va0 )
dt
Integramos y obtenemos las ecuaciones de Va y Vi
Va  k (Va)(Va  Va0  Vi0 )t
Vi  k (Vi)(Vi  Vi0  Va0 )t
Reemplazamos los valores de Va y Vi en la ecuación de la ley de acción de masas, despejamos y
simplificamos para obtener la ecuación diferencial:
dVdr
 k Va  2Va0  Vi (Vi  2Vi0  Va0 )
dt
Integramos la ecuación diferencial y obtenemos la solución general que se convierte en nuestro
modelo matemático, el mismo que queda de la siguiente manera:
Vdr  2k Va  Va0  Vi (Vi  Vi0  Va0 )
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Vi0  Ps0  Vi  Va0  Ps0  Va
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RESOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO EN MATLAB
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SIMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO EN PROMODEL
En ProModel, todo se ajusta al paradigma de Locaciones, Entidades, Recursos, Llegadas y Proceso. Las
locaciones, entidades y recursos son las COSAS en el sistema. Las llegadas y el proceso definen QUÉ HACEN
LAS COSAS. Es por ello que en base a este paradigma nosotros elaboramos el modelo en promodel de nuestro
proyecto, a continuación detallamos las actividades realizadas durante el desarrollo del presente trabajo.
Locaciones:
Entidades
(Entities) Cosas que “se mueven a través” del modelo se llaman “entidades”. En nuestro caso las entidades serán
dos razas de perros como lo son los chiguaguas y los bichón de pelo rizado. Las entidades viajan de locación a
locación, realizando actividades. en nuestro caso, los chiguaguas pasaran por la zona de contagio de la rabia furiosa
y luego por las locaciones Va, Vi, k (variables que determinan la fórmula general del decaimiento radioactivo del
virus de la rabia) hasta llegar al final en donde cada perro luego del tratamiento queda sano. El mismo caso se da
con los perros bichón de pelo rizado la única diferencia está en que estos pasan por la zona de contagio de la rabia
muda. En el siguiente gráfico podemos ver la creación de dichas entidades en promodel.
LLEGADAS
(Arrivals) Cuando una entidad aparece inicialmente en una locación en el modelo, se le llama llegada. Las llegadas
pueden ocurrir de acuerdo al tiempo, o a alguna otra condición. En la siguiente figura podemos apreciar la
definición de las llegadas que utiliza nuestro modelo
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(Locations) Las locaciones representan lugares físicos fijos en el sistema donde ocurren las cosas. Las locaciones
de nuestro modelo son se muestran en el gráfico que se observa a continuación.
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Procesos
DECAIMIENTO RADIOACTIVO DEL VIRUS DE LA RABIA EN CANINOS DE 1 – 3 AÑOS | 21/01/2008
(Processing) El proceso describe las operaciones que toman lugar una entidad está en una locación, como la
cantidad de tiempo que la entidad permanece ahí, los recursos que necesita para completar el proceso y cualquier
cosa que sucede en la locación, incluyendo seleccionar el siguiente destino. A continuación se definen los
procesos de nuestro modelo.
Rutas
Las rutas son los caminos que las entidades van a recorrer durante la simulación. En el primer gráfico veremos
cómo se define una ruta y en el segundo tenemos todas las rutas graficadas.
7
RUN
RESULTADOS
Después de correr nuestro modelo Promodel nos permite ver los resultados estadísticos de la corrida de nuestro
modelo es así que a continuación detallamos estos resultados.
ESTADO DE LAS LOCACI ONES EN CONJUNTO
Scheduled Time
(WK)
% Empty
Name
% Part Occupied % Full
% Down
Chiguaguas
12,86
1,11E-03
0,02
99,9744444
0
BichonPeloRizado
12,86
1,11E-03
0,02
99,9755556
0
ESTADO DE LAS LOCACI ONES INDIVIDUALMENTE
Name
Scheduled Time
(WK)
% Operation
% Setup % Idle % Waiting % Blocked % Down
ZonaContagioRF
12,86
11,12
0
5,55
0
83,33
0
Va
12,86
33,34
0
11,1
0
55,54
0
V1
12,86
22,22
0
11,1
0,01
66,65
0
k
12,86
33,33
0
11,1
0,01
55,54
0
PsRF
12,86
94,43
0
5,57
0
0
0
ZonaContagioRM
12,86
11,12
0
5,55
0
83,33
0
psRM
12,86
94,43
0
5,57
0
0
0
A RRIBOS FALLIDOS
Entity Name
Location Name
Total Failed
ClasePerroChiguagua
Chiguaguas
84978
ClasePerroBichon
BichonPeloRizado
84978
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En esta parte es donde realizamos la corrida de nuestro modelo creado en promodel, la imagen que se observa a
continuación fue capturada durante la corrida de nuestro programa.
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A CTIVIDADES DE LAS ENTIDADES
Name
Current Qty In
System
Total Exits
Avg Time In
Move Logic
(DAY)
Avg Time In
System (DAY)
Avg Time Waiting Avg Time In
Avg Time
(DAY)
Operation (DAY) Blocked (DAY)
ClasePerroChiguagua
4999
23
0,43
0
0
0,03
0,4
ClasePerroBichon
4998
24
0,42
0
0
0,03
0,39
E STADO DE LAS ENTIDADES
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Name
% In Move Logic % Waiting
% In Operation
% Blocked
ClasePerroChiguagua
1,170857614
0
6,322631115
92,50651127
ClasePerroBichon
1,198745706
0
6,473226813
92,32802748
HISTOGRAMA QUE REPRE SENTA EL PROCESO EFE CTUADO DURANTE LA CO RRIDA DE NUESTRO MODELO EN PROMODEL
CONCLUSIONES
Luego de haber desarrollado este modelo matemático podemos concluir que:
Los modelos matemáticos son aplicables a cualquier problema o fenómeno de la vida real.
Se debe considerar todas las restricciones que se tiene en el ejercicio antes de plantear el
modelo.
Desarrollar un modelo matemático es aplicar, conceptos, reglas, principios y fundamentos de
diferentes ciencias que se relación con el problema tratado.
Modelar una situación del mundo real es un poco complicado por lo que se debe realizar una
buena investigación antes de desarrollar el modelo.
Promodel es una herramienta excelente para realizar simulaciones de situaciones del mundo
real.
BIBLIOGRAFÍA
Para el desarrollo del presente modelo se ha utilizado varias fuentes bibliográficas como son:
www.monografías.com
www.perrosamigos.com/m-la-rabia.html
http://www.vacunacion.com.ar/info/va_rabia.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matemático
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