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Curso de Estadística Básica
SESION 3
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN
MCC. Manuel Uribe Saldaña
MCC. José Gonzalo Lugo Pérez
Estadística Básica
Objetivo
Conocer y calcular las medidas de tendencia central
y medidas de dispersión
Estadística Básica
Agenda Sesión 2
•
•
Medidas de tendencia
central
–
Media
–
Mediana
–
Moda
–
Rango Medio
Medidas de dispersión
–
Rango
–
Varianza
–
Desviación estándar
Estadística Básica
Estadística descriptiva
Medidas de
tendencia
central
Medidas de
dispersión
Medidas de
posición
Tipos de
distribución
Estadística Básica
Medidas de tendencia central
Son valores numéricos que localizan, de alguna
manera, el centro de un conjunto de datos. El
término promedio a menudo es asociado con todas
las medidas de tendencia central.
•Media
•Mediana
•Moda
•Rango Medio
Estadística Básica
Media
Se representa por x (se lee como “x barra” o “ media de la
muestra”). Es la suma de todos los valores de la variable x (la suma
de valores x se simboliza como Σx) y dividiendo entre el número de
estos valores, n. Lo anterior se expresa con una fórmula como:
Media de la muestra:
x barra =
x=
suma de x
número
Σx
n
Estadística Básica
Ejemplo
Un conjunto de datos consta de cinco valores: 6, 3,
8, 6 y 4. Encuentre la media.
Solución
x=
Σx = 6 + 3 + 8 + 6 + 4
n
5
=
27
5
= 5.4
Estadística Básica
Media
2
3
4
5
6
7
8
x = 5.4
Centro de gravedad o punto de equilibrio
Estadística Básica
Mediana
Valor de los datos que ocupa la posición central
cuando los datos se ordenan según su tamaño. Se
representa por x (se lee como “x tilde” o “mediana
de la muestra”).
Estadística Básica
Procedimiento para encontrar la
mediana
1. Ordene los datos
2. Determine la profundidad de la mediana
•
La profundidad (número de posiciones a partir de cualquier
extremo), o posición, de la mediana se determina con la
siguiente fórmula:
Profundidad de la mediana = número + 1
2
•
d( x ) = n + 1
2
La profundidad (o posición) de la mediana se encuentra al
sumar los números de posición de los valores de los datos
más pequeños (1) y más grandes (n) y dividir el resultado entre
2. (n es el mismo número que la cantidad de porciones de los
datos).
Estadística Básica
Procedimiento para encontrar la
mediana
3.
Determine el valor de la mediana. Contar los datos ordenados,
localizando el dato que está en la d(x)-ésima posición. La mediana
será la misma sin importar a partir de cuál extremo de los datos
(máximo o mínimo) ordenados se cuente.
Estadística Básica
Ejemplo
Encuentre la mediana del conjunto de datos {6, 3, 8, 5, 3}
1.
Los datos, ordenados de manera creciente, son 3, 3, 5, 6, 8
2.
Profundidad de la mediana: d(x) = (n+1)/2 = (5 + 1)/2 = 3
3.
Es decir, la mediana es el tercer número desde cualquier extremo
en los datos ordenados, o bien, x = 5. Observe que la mediana
esencialmente separa el conjunto de datos ordenado en dos
subconjuntos de igual tamaño.
3
3
5
6
8
x=5
Estadística Básica
Nota…
•
El valor de d(x) es la
profundidad de la mediana,
NO el valor de la mediana, x.
Como se muestra en el anterior
ejemplo, cuando n es impar, la
profundidad de la mediana,
d(x), siempre es un entero. Sin
embargo, cuando n es par, la
profundidad de la mediana,
d(x), siempre es la mitad de un
número entero.
Estadística Básica
Ejemplo
Encontrar la mediana de la muestra {9, 6, 7, 9, 10, 8}
1.
Los datos, ordenados de manera creciente, son 6, 7, 8, 9, 9, 10
2.
Profundidad de la mediana: d(x) = (n+1)/2 = (6+1)/2 = 3.5
3.
Es decir, la mediana está a la mitad entre las porciones de datos
tercera y cuarta. Para encontrar el número situado a la mitad de
dos valores cualesquiera, se suman los dos valores y el resultado
se divide entre 2. En este caso, se suman el tercer valor (8) y el
cuarto valor (9), luego se divide entre 2. La mediana es 8.5.
Observe que de nuevo la mediana separa el conjunto de datos
ordenados en dos subconjuntos del mismo tamaño.
6
7
8
9
9
10
x = 8.5
Estadística Básica
Moda
Es el valor de x que ocurre más frecuentemente
Estadística Básica
Rango Medio
Número que está exactamente a la mitad del
camino entre un dato con menor valor Mín y un dato
con mayor valor Máx. Se encuentra promediando
los valores mínimo y máximo.
Rango Medio = valor mínimo + valor máximo
2
Rango Medio = Mín + Máx
2
Estadística Básica
Nota…
Las cuatro medidas de tendencia central representan cuatro
métodos distintos para describir el centro. Estos cuatro valores
pueden ser iguales, aunque es más probable que sean diferentes.
Para los datos muestrales 6, 7, 8, 9, 9, 10, la media es 8.2, la
mediana es 8.5, la moda es 9 y el rango medio es 8.
6
7
8
9
9
8 8.2 8.5
9
10
Estadística Básica
Media
Estadística Básica
Mediana
Estadística Básica
Moda
Estadística Básica
Rango Medio
Estadística Básica
Ejercicios
1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre:
•
•
•
•
La media
La mediana
La moda
El rango medio
2. A 15 estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se
les solicitó mencionar el número de horas que durmieron la
noche anterior. Los datos resultantes fueron, 5, 6, 6, 8, 7, 7,
9, 5, 4, 8, 11, 6, 7, 8, 7. Encontrar:
•
•
•
•
La media
La mediana
La moda
El rango medio
Estadística Básica
Ejercicios
A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar
un examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio.
Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de
los 20 reclutas:
25
26
a.
b.
c.
27
25
30
29
33
31
30
31
32
32
30
34
34
32
30
33
27
30
Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio.
Elabore una gráfica de barras para estos datos y localice la media,
la mediana, la moda y el rango medio sobre la gráfica.
Describa la relación que hay entre los cuatro promedios
(semejanza) y qué propiedades muestran los datos por las que
dichos promedios son semejantes
Estadística Básica
Estadística descriptiva
Medidas de
tendencia
central
Medidas de
dispersión
Medidas de
posición
Tipos de
distribución
Estadística Básica
Medidas de dispersión
Valores que describen la cantidad de variabilidad que se encuentra
entre los datos: datos bastante agrupados poseen valores
relativamente pequeños, y datos más dispersos tienen valores más
grandes. El agrupamiento más estrecho ocurre cuando los datos
carecen de dispersión (ya que todos los datos tienen el mismo
valor), para los cuáles la medida de dispersión es cero.
Las medidas de dispersión incluyen:
• Rango
• Varianza
• Desviación Estándar
Estadística Básica
Rango
• Es la diferencia en
valor entre las
porciones de datos
de mayor valor
(Máx) y de menor
valor (Mín):
rango = Máx - Mín
Estadística Básica
Ejemplo
El rango de la muestra 3, 3, 5, 6, 8 es
Máx – Mín = 8 – 3 = 5
3
3
5
6
8
Rango
Mín
Máx
Estadística Básica
Desviación con respecto a la media
Una desviación de la media, x – x, es la diferencia
entre el valor de x y la media x.
x>x
Desviación positiva
x<x
Desviación negativa
x=x
0
Estadística Básica
Ejemplo
Considere la muestra 6, 3, 8, 5, 3. Calcular la
desviación con respecto a la media de cada valor
de la muestra.
x=
Σx = 5
n
Datos
x
6
3
8
5
3
Desviación
x-x
1
-2
3
0
-2
Estadística Básica
Varianza de la muestra
La varianza de la muestra, s2, es la media de las
desviaciones al cuadrado, calculada usando como
divisor a n-1.
s2 = Σ(x – x)2
n-1
Donde n es el tamaño de la muestra, es decir, el número de
datos que hay en la muestra
Estadística Básica
Ejercicio
Calcular la varianza para la muestra {6, 3, 8, 5, 3}
Paso 1. Calcula Σx
Paso 2. Calcula x
Paso 3. Calcula x – x
Paso 4. Calcula Σ(x – x)2
Paso 5. Calcula la varianza
Estadística Básica
Cálculo de la varianza
Paso 1.
Encuentre Σx
Paso 2.
Encuentre
x
Paso 3.
Encuentre Cada
xx
Paso 4.
Encuentre
 x  x 
2
x
6-5=1
(1) * (1) = 1
n
3 - 5 = -2
(-2) * (-2) = 4
8
8-5=3
(3) * (3) = 9
5
5-5=0
(0) * (0) = 0
3
3 - 5 = -2
(-2) * (-2) = 4
6
x
3
25
5
Paso 5.
Varianza de la muestra
 x  x 

2
 x  x   0
 x
 x
2
s
2
n 1

18
 4.5
4
 18
Estadística Básica
Ejercicio
Calcular la varianza para la muestra {1, 3, 5, 6, 10}
Estadística Básica
Desviación estándar
• La desviación
estándar de una
muestra, s, es la raíz
cuadrada positiva de
la varianza:
s s
2
Estadística Básica
Rango
Estadística Básica
Varianza
Estadística Básica
Desviación estándar
Estadística Básica
Ejercicios
1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre:
•
•
•
Rango
Varianza
Desviación estándar
2. Dada la muestra 7, 6, 10, 7, 5, 9, 3, 7, 5, 13.
Encuentre:
•
•
Varianza
Desviación estándar
Estadística Básica
Ejercicios.
A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un
examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta
capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de los 20
reclutas:
25
26
•
•
•
•
•
27
25
30
29
33
31
30
31
32
32
30
34
34
32
30
33
27
30
Encuentre el rango
Encuentre la varianza
Encuentre la desviación estándar
Use la gráfica de barras que obtuvo en el anterior ejercicio y trace 1) una
recta que represente al rango y 2) una recta que empiece en la media y
cuya longitud represente el valor de la desviación estándar
Describa cómo están relacionados la distribución de los datos, el rango y
la desviación estándar.
Estadística Básica