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UNIDAD 03
Divisibilidad en los números
naturales
1. Múltiplos y divisores de un número
2. Propiedades de múltiplos y divisores
3. Criterios de divisibilidad
4. Números primos y números compuestos
5. Descomposición factorial
6. Máximo común divisor
7. Mínimo común múltiplo
1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS
DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
1. Múltiplos y divisores de un número
Un número natural a se dice que es múltiplo del número
natural b si podemos obtener a como resultado de multiplicar b
por un número natural k.
a=b·k
Notación
matemática:
múltiplos de
un número
7 = {7, 14, 21,…}
Un número natural a se dice que es
divisor del número natural b si b es
divisible entre a, es decir, b se puede
dividir entre a y la división es exacta.
Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a
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DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
2. Propiedades de múltiplos y divisores
- Los múltiplos de un número son infinitos:
= 5, 10, 15, 20, 25, ...
5
- Los divisores de un número no son infinitos, son finitos:
D (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
- El conjunto de múltiplos de 1 es:
1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
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2. Propiedades de múltiplos y divisores
- Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo:
a=a·1
- El cero es múltiplo de todos los números naturales:
a·0=0
- Los divisores de un número pueden formar parejas cuyo
producto es ese mismo número:
D (15) = 1, 3, 5, 15  1 · 15 = 3 · 5 = 15
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2. Propiedades de múltiplos y divisores
NUMEROS PERFECTOS: son los números cuyos
divisores, exceptuando el propio número, suman
exactamente su valor.
6 = 1+ 2 + 3
28 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
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3. Criterios de divisibilidad
Un número es divisible entre 2
Si acaba en cifra par
Un número es divisible entre 3
Si la suma de sus cifras
es múltiplo de 3
Un número es divisible entre 5
Si acaba en 0 ó en 5
Un número es divisible entre 11
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Si la diferencia de la suma
de las cifras que ocupan
lugar impar y la suma de las
que ocupan lugar par es
cero o múltiplo de 11
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3. Criterios de divisibilidad
Un número es divisible entre 4
Si sus dos últimas cifras
son divisibles entre 4 ó
si son 00
Un número es divisible entre 6
Si es divisible entre 2 y
3 a la vez
Un número es divisible entre 9
Si la suma de sus cifras
es múltiplo de 9
Un número es divisible entre 25
Si sus dos últimas cifras
son divisibles entre 25 ó si
son 00
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3. Criterios de divisibilidad
Un número es divisible entre 7
Si la diferencia entre el
número quitándole la
cifra de unidades y el
doble de la cifra de
unidades es múltiplo de
7ó0
343  34 – 2·3 = 28  múltiplo de 7.
105  10 – 2·5 = 0  múltiplo de 7.
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4. Números primos y compuestos
Un número es primo si solo admite como divisores a él
mismo y la unidad
Por ejemplo: 1, 2, 3, 13, 53,...
Para un número primo a solo es posible una
descomposición en factores:
a=a·1
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4. Números primos y compuestos
Un número es compuesto si admite otros divisores
distintos de sí mismo y de la unidad.
D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Dos números son primos entre sí cuando el único
divisor común que tienen es el uno.
D (8) = 1, 2, 4, 8, D (15) = 1, 3, 5, 15
8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor común es el 1.
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4. Números primos y compuestos
CRIBA DE ERATOSTENES
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5. Descomposición factorial
Cualquier número se puede descomponer en el producto de
sus factores primos (todos ellos números primos).
180
36
12
4
2
5
3
3
2
2
1
Divisores
180 = 22 · 32 · 5 · 1
Cocientes
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5. Descomposición factorial
NUMEROS AMIGOS: son parejas de números en los que
la suma de los divisores de uno de ellos da como
resultado el otro y recíprocamente.
D (220) = {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} 
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284
D (284) = {1,2,4,71,142}  1+2+4+71+142 = 220
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6. Máximo común divisor
El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el
mayor de los divisores comunes. Si descomponemos los
números en factores primos, multiplicamos los factores
comunes elevados al menor exponente
90 = 2· 32 · 5
m.c.d. (90, 84) = 2 · 3 = 6
84 = 22 · 3 · 7
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6. Máximo común divisor
Otra manera de calcular el máximo común divisor (m.c.d.)
72
80
200
2
36
40
100
2
18
20
50
2
9
10
25
No hay
más
m.c.d. (72, 80, 200) = 23 = 8
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7. Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es
el menor de los múltiplos comunes. Si descomponemos los
números en factores primos, se multiplican todos los factores
comunes y no comunes elevados al mayor exponente
90 = 2· 32 · 5
m.c.m. (90,84) = 22 · 32 · 5 · 7 = 1.260
84 = 22 · 3 · 7
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7. Mínimo común múltiplo
Otra manera de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.d.)
45
70
50
5
9
14
10
2
-
7
5
5
-
-
1
7
-
1
3
3
3
1
m.c.d. (45, 70, 50) = 2 · 32 · 52 · 7= 3150
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