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Introducción a la Informática
Introducción a los Modelos
Introducción a los Modelos Matemáticos
Discretos
Modelo Matemático: Modelo en que se
establecen correspondencias entre los valores
de las variables del modelo y las magnitudes,
estados o propiedades.
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Introducción a Modelos
Y = F(X, E)
E = T (X,E)
X
E
Y
Modelo matemático de respuesta inmediata
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Introducción a Modelos Matemáticos
Mts.
Mts.
29,6
22,8
15,6
8
0
0,2 0,4 0,6 0,8
Seg.
Modelo a intervalos
discretos
Seg.
Modelos a intervalos
continuos
3
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Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
E[t]
X[t]
Y[t]
Variables a intervalos de tiempo discretos
T = 0,1,2,3...
El tiempo como una variable discretea
Conjuntos de variables que toman valores o enteros
X[t] variables que describen las entradas al instante t
Y[t] variables que describen las salidas en el instante t
E[t] variables que describen el estado al instante t
Y[t] = F(X[t],E[t]) las salidas en función de las entradas y el estado
del sistema si se considera una respuesta inmediata o instantánea.
Y[t+1] = F(X[t],E(t) las salidas en función de las entradas y el estado
del sistema si se considera un tiempo de respuesta de un intervalo.
E[t+1] = T(X[t],E[t])
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Introducción a Modelos Matemáticos
X[t], Y[t] coordenadas
Vx[t], Vy[t] velocidades proyectadas en ejes x e y
g aceleración de gravedad
Y
Vy
Vx
m*g
X
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Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
Método de Desarrollo de Modelos.
1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar
2. Identificación de variables.
3. Conjunto de valores para la variables.
4. Formular de relaciones variables.
5. Definición de escenarios.
6. Simulación.
7. Ajuste de modelos
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Modelos Matemáticos
Conjuntos de números
•
•
•
•
•
•
Números naturales.
Enteros
Racionales
Reales
Imaginarios.
Complejos.
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Modelos Matemáticos
Conjuntos de números
• Números Naturales
N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
Ejemplo: La edad de una persona
• Números Enteros.
Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}
Ejemplo: La altura de una ciudad en relación al
nivel del mar
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Modelos Matemáticos
Conjuntos de números
• Números racionales.
½, 2/4, 3/6
Ejemplo: El peso de una cantidad de alimento.
• Número irracional
Pi = 3.1459265358979323846
El conjunto de los números racionales e irracionales
forman el conjunto de los número reales.
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Discretos
Ejemplo de Variable, Constante y Parámetro
Variable
Const.
Mes
Producc.
Mat. Imp.
($)
Costo mat. Precio
importada Dolar
Enero
2000
0.25
500
1900
-----
-----
-----
----
-----
0.25
1250
1900
Diciembre 5000
Param.
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Discretos
Ejemplo de Variable, Constante y Parámetro
Variable
Const.
Param.
Modelo
Precio
Intereses
Número
Meses
Modelo 1
30000000
0.25
12,24,36
Modelo 2
40000000
-----
12,24,36
Modelo 3
50000000
0.25
12,24,36
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Discretos
Conceptos de Escenario y Simulación
Escenario: Caracterización del experimento a simular.
Objetivo de la simulación: La simulación tiene como
principal objetivo, la producción, es decir, puede mostrar
la que sucedera en un sistema real cuando se realicen
determinados cambios bajo determinados cambios.
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Ejemplo No. 1
1. Descripción narrativa del sistema
Velocidad inicial eje X
Velocidad eje X [t]
Velocidad inicial eje X
Velocidad eje Y [t]
Gravedad
Proyectil
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Ejemplo No. 1
2. Identificar las variables.
X[t], Y[t] coordenadas
Vx[t], Vy[t] velocidades proyectadas en ejes x e y
g aceleración de gravedad
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Ejemplo No. 1
3. Conjunto de valores para las variables
X,Y Conjunto de los número racionales.
Vx, Vy = Conjunto de los número naturales.
G = Gravedad (Constante) Conjunto de los número naturales
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Ejemplo No. 1
4. Formular relaciones entre la variables.
Vx[t+1] = Vx[t]
No hay roce ni fuerza que se oponga sobre
el eje x, luego la velocidad es constante.
Vy[t+1] = Vy[t] – g*t La velocidad sobre el eje y crece o
decrece según la aceleración de gravedad
“g”. Esta es una aproximacióon si “dt”
tiende a cero.
X[t+1] = X[t] + Vx[t]*dt Cambio de posición en eje X.
Y[t+1] = Y[t] + Vy[t]*dt Cambio de posición en eje, éstas son
aproximacione válidas si “dt” es muy
pequeño.
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1. Descripición gráfica del problema
Alumnos que ingresan
Alumnos en Alumnos que egresan
cada año.
Alumnos que abandonan
Modelo de un año
Año
1
Año
2
Año
3
Modelo para los 5 años
Año
4
Año
5
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AP[i-1,t-1]
AP[i,t]
AL[i,t]
AB[i,t]
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2. Identificación de las variables (año de estudio “i” en al año
calendario “t”).
AL[i,t] Alumnos cursan año de estudios i en año t
IN[1,t] Alumnos que ingresan al primer año de estudios en
t.
AB[i,t] Alumnos que abandonan la carrera el año t, estando
en años de estudios i
AP[i,t] Alumnos que aprueban el año de estudios i en año t
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RE [i,t] Alumnos que repiten el año de estudios i en año t
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3. Conjunto de valores para la las variables
AL[i,t]: Conjunto de los números naturales.
IN[1,t]: Conjunto de los números naturales.
AB[i,t]: Conjunto de los números naturales.
AP[i,t]: Conjunto de los números naturales.
RE [i,t] Conjunto de los números naturales.
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Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
4. Formular relaciones entre las variables.
HIPOTESIS:
ABAND [i]:
APROB [i]:
Tasa de abandono en año de estuidos i
Tasa de aprobación en año de estudios i
REPET [i]:
Tasa de repitencia en años de estudios i
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4. Establecer relaciones entre las variables (Cont.).
a) AP[i,t] = APROB[i]*AL[i,t]
Alum. que aprueban el año de estudios en año t
b) AB[i,t] = ABAND[i]*AL[i,t]
Alum. que abandonan la carrera en año t, cursando el
año de estudios i.
c) RE[i,t] = REPET[I]*AL[i,t]
Alum. que repiten el curso i (año de estudios) el año t
d) AL[1,t] = IN[t]+RE[1,t-1]
Alum. Del primer año de estudios son los que ingresan
más los que repitieron el añon anterior.
e) AL[i,t] = AP[i-1,t-1]
+RE[i,t-1]
Alumnos del año de estudios i, son los que aprobaron el
curso i-1 anterior al año anterior más los que repitieron
el curso i el año anterior.
AL[i,t] = AP[i-1,t-1] RE[i,t1]
Los alumnos del año de est. I, son los que aprob. El
curso i-1 anterior más los que reptitieron el curso i en el
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año anterior
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Modelos Matemáticos – Simulación - Ejemplos
5.Definición de escenario.
Año de estudio
1
2
3
4
5
% de repitencia
20
15
10
10
15
% de repitencia
10
5
5
5
5
% de repitencia
70
80
85
85
80
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1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar.
Deuda Total: 23. 000 M US$
Exportaciones: 6.000 M US$
Importaciones: 4.500 M $
Plazo de contratación de la deuda: Entre 5 y 20 años.
Tasa de interés: 8% y 16%
Monto a pagar este año: 2.5000 M$ en intereses y 2.000 M$
en amortizaciones
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Capital disponible: 1.500 M$
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1. Descripción gráfica y narrativa del sistema a modelar
(Cont.)
Ingresos
exporataciones
Pagos
Otros
País
Gastos
Bancos
paises
importaciones
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Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2 y 3. Identificación de las variables y parámetros y conjunto
de valores que puede tomar las variables.
DEUDA [t]
Deuda total al año t.
INTDE [t]
Intereses a pagar por la deuda en año t.
AMORT [t]
Amortización a pagar por la deuda en año t
EXPTR [t]
Valor de exportaciones tradicionales en año t.
EXPNO [t]
Valor de exportaciones no tradicionales en año t.
IMPORT [t]
Valor de importaciones en año t
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Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2 y 3. Identificación de variables y parámetros y conjunto
de valores que puede tomar (Cont).
I tasa de interés de deuda, a negociar (6% a 9%).
P fracción del valor de las exportaciones que se dedica a pagos
de la deuda externa (10% a 20%).
AT tasa anual de invremento de exportaciones tradicionales
(0,5% a 1%).
AN tasa anual de incremento no tradicionales (3% a 6%).
Todas las variables toman valores de los conjunto de números
27
reales.
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Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
3. Formulación de relaciones entre variables:
EXPTR[t+1] = EXPTR[t+1]
+ AT*EXPTR[t]
Crecimiento de exportaciones no tradicionales.
EXPNO[t+1] = EXPNO[t] + Crecimiento de exportaciones no tradicionales.
AN*EXPNO[t]
INTDE[t] = I*DEUDA[t]
Interés de pagar por la deuda en año t.
AMORT[t] =
P*(EXPTR[t]+EXPNO[t] –
INTDE[t]
Se amortiza lo disponible luego de pagar los intereses
siempre se paga una fracción P de las exportaciones. Si
no se cubren los intereses, la amortización es negativa
e
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implica capitalización de intereses
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Introducción a Modelos
Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
Formulación de relaciones entre variables (Cont.):
IMPORT[t] =
Las importaciones son una
(1-P)*(EXPTR[t]+EXPNO[t]) fracción de las exportaciones.
DEUDA[t+1] = DEUDA[t] –
AMORT[t]
La deuda se amortiza cada
año t.
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Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
5. Definición de escenarios:
Condiciones iniciales
EXPTR[1] = 4200; EXPONO[1] = 1800; DEUDA[1] = 23.000
Parámetros:
I = 0,06 (6%); AN = 0,06 (6%); AT 0 0,01 (1%) P = 0,2 (20%)
Variables exógenas no hay.
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Introducción a la Informática
Introducción a Modelos
Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
1. Descripción gráfica del sistema a modelar.
C[t] Población de conejos en el periodo t
L[t] Población de lobos en el periodo t
CL[t] Conejos que se comen los lobos en el periodo t
CL[t]
Conejos
C[t]
Conejos cazados
Caza
Lobos
L[t]
L[t]
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Introducción a la Informática
Introducción a Modelos
Modelos Matemáticos a Intervalos Discretos
2 y 3. Identificación de las variables y conjuntos
de valores que pueden tomar:
C[t] = población de conejos en el periodo t
L[t] = población de lobos en el periodo t
CL[t] = conejos que se comen los lobos en el
periodo t
Todas las variables toman valores del conjunto
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de números naturales
Introducción a la informática
introducción a Modelos
Modelos Matemáticos – Simulación - Ejemplos
4. Formulación de relaciones entre las variables.
a) CL[t] = D*C[t]*L[t]
Conejos cazados por lobos en periodo t.
b) C[t+1] = C[t]+A*C[t]CL[t]
Los conejos en el periodo t+1 son:
Los conejos del periodo t
Mas el aumentos de conejos en periodo t
Menos los que son cazados en periodo t
c) L[t+1] = L[t] – B*L[t]
+E*CL[t]
Los lobos al periodo t+1 son:
Los lobos del período y
Menos los que mueren en periodo t
Mas el aumento de acuerdo al alimento
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consumido
Intoducción a la informática
Introducción a Modelos
Modelos Matemáticos – Simulación - Ejemplos
5. Definición de escenarios:
Situación inicial : C[1] = 1000; L[1] = 100
Parámetros y coeficientes:
A = 0,2; B = 0,07; D = 0,002; E = 0,02
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Intoducción a la Informática
Introducción a los Modelos
Modelos Matemáticos Discretos
Ingresos
Dinero
Ganancia
Egresos
Pérdida
Tiempo
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Intoducción a la Informática
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Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio
Inventario Inicial
Bs. 40.000.000
Num. Inicial Vídeos
Costo Video
Costos Fijos Mes
Num. Inic. Cltes.
Incr. Mens. Cltes.
Num. Interc. Sem.
Costo Interc.
Costo Bolsa
Inflac. Mens.
2.000
Bs. 20.000
Bs. 5.000.000
500
2%
3
Bs. 2000
Bs. 500
2%
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Intoducción a la Informática
Introducción a los modelos
Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio
2 y 3 Identificacón de Variables y conjunto de valores que
puede tomar
Inventario Inicial
Constante, Natural
Num. Inicial Vídeos
Constante, Natural
Costo Video
Constante, Natural
Costos Fijos Mes
Constante, Natural
Num. Inic. Cltes.
Constante, Natural
Incr. Mens. Cltes.
Parametro
Num. Interc. Sem.
Constante, Natural
Costo Interc.
Constante, Natural
Costo Bolsa
Constante, Natural
Inflac. Mens.
Parametro
Tiempo Retorno
Variable, Natural
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Intoducción a la Informática
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Modelos Matemáticos Discretos- Ejercicio
4. Establecer relaciones
entre las variables
CLIENTES (I+1) = CLIENTES (I)*0,1
Los clientes se incrementan en 10% cada mes.
INGRESOS (I+1) = CLIENTES (I+1)*12*2000
Los ingresos son iguales al número de clientes
ese
mes multiplicado por el valor del cambio del vídeo y por el
número de cambios hechos por mes.
COSTO BOLSA (I+1) = COSTO BOLSA (I) + COSTO BOLSA
(I)*0,02
El costo de una bolsa se incremente en 2% mensual.
COSTO CAMBIO (I) = CLIENTES (I)*COSTO BOLSA
El costo de cambio (o sea el costo de las bolsas suministradas a
los cliente) es igual al número de clientes que existen en ese mes
multiplicado por el costo de una bolsa.
COSTO ALQUILER LOCAL (I+1) = (COSTO ALQUILER
LOCAL (I) + COSTO ALQUILER LOCAL(I)*0.2
El costo alquiler del local cada mes se incrementa en un 2%.
GANANCIA (I+1) = GANANCIA (I) + GANANCIA (I+1)
La ganancia acumulada es igual a la ganancia del año anterior
mas la ganancia del mes actual.
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