Download números complejos - Villa Macul Academia

Villa Macul Academia
Depto. De Matemática
Prof. Lucy Vera
NÚMEROS COMPLEJOS
CONJUGADOS Y
DIVISIÓN
UNIDAD I
Un nuevo conjunto…los números
complejos
INTRODUCCIÓN
En las pasadas clases trabajamos con el
conjunto de los números complejos.
Simplificamos radicandos negativos, potencias
de números imaginarios puros y realizamos las
operaciones de suma, resta y multiplicación de
números complejos.
Hoy, determinaremos el
división de estos números.
conjugado
y
la
OBJETIVOS
•Determinar el conjugado y la división
números Complejos.
•Determinar el módulo y argumento de
número complejo.
•Graficar números complejos en el plano
Argand.
de
un
de
¿Cómo surgen los números
complejos?
“Las distintas necesidades permitieron su desarrollo. Los
números naturales para contar, los números racionales par
expresar partes fraccionarias y razones. Los números
negativos para expresar pérdidas, débitos y temperaturas
bajo cero. Cuando se observó que no se podía expresar un
tamaño exacto con un número racional aparecieron los
números irracionales. Luego el conjunto de los números
racionales en unión a los números irracionales formaron el
conjunto de números reales. Más tarde surgió la necesidad
de expandir el sistema de números reales con el conjunto
de los números complejos.”
Sacado de: http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/comple.htm
Recuerden su definición:
Un número complejo es un número de la forma
a  bi
donde
i
i
ayb
 Forma estándar
son números reales e
se llama unidad imaginaria.
es un símbolo usado en este nuevo
sistema de números complejos
CONJUGADO
DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
CONJUGADO DE NÚMEROS COMPLEJOS
Si
z  a  bi
su conjugado es:
es un número complejo
z  a  bi
La parte real permanece igual pero la
parte imaginaria cambia al signo
opuesto.
EJEMPLOS
DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
ESCRIBE EL CONJUGADO DE CADA
NÚMERO COMPLEJO
CONJUGADO

1) 5  3i  5  3i
2) 1  2i
3) 7   25  7  5i
5  3i

1  2i

7  5i
No olvides:
Sólo cambia el signo del imaginario
puro, no de la parte real.
REALICE LAS OPERACIONES NECESARIAS
Y ESCRIBE EN FORMA ESTÁNDAR
1i  i
1

i
1
i
1

2) 2i
1) 5i  5i  i
2i i



i
2
5i
i

5( 1)

i
5

i i 2
2
2i

i  1
2(  1)


1i

2
 
1
2

i
2
REALICE LAS OPERACIONES NECESARIAS Y ESCRIBA EN FORMA ESTÁNDAR
3)

1
1  3 i

3i
3i 3  i


3 i
9  i 2
4)
1i
7  2i

1i  7  2i
7  2i 7  2i

7  9i  2i 2
 2
49 i
7  9i   2
491
5 9 i
50
5  9i
50 50
1  9i
10 50

3 i
91


3  i
10


3
10


i
 10


REALICE LAS OPERACIONES NECESARIAS Y ESCRIBA EN FORMA ESTÁNDAR
5)
1
3 4

1
3  i 4

1  3 2i
3  2i 3 2i
3 2i

2
9  4i
3 2i
9 4
3 2i
13
3  2i
13 13




EJERCICIOS
DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
ESCRIBE EL CONJUGADO DE CADA
NÚMERO COMPLEJO
1) 3  i
2) 3  i

3) 2 7i
4) 1 

5) 3 

9
8
REALICE LAS OPERACIONES NECESARIAS
Y ESCRIBE EN FORMA ESTÁNDAR
1)
2)
3)
4)
1
3i
2
7i
1
2i
1
3i
5)
6)
7)
8)
13i
2i
2i
3i
3i
23i
2 i
3 2i
13

i
9) 2  i
15

3
i
10) 23i
1
11)

2 9
12)
1
3

16
MODULO Y ARGUMENTO
Sea
un
número
complejo
cualquiera.
Llamaremos módulo del número complejo , al
número real dado a2  b2
por y lo denotaremos
por z
. El módulo se interpreta como la
distancia al origen del número.
Por otra parte, llamaremos argumento del
número complejo , al ángulo comprendido entre
el eje y el radio vector que determina a . El
argumento de se denota por y se calcula
mediante la expresión:
b
arg( z )  arctan  
a
MODULO Y ARGUMENTO
PRÁCTICA
Calcula el módulo y el argumento de los
siguientes números complejos
-7-3i
12+2i
-5+8i
4-13i
-1+i
9-6i
PLANO DE ARGAND
Por la definición de número complejo dicha
anteriormente, suena razonable representarlo como
un punto en un plano cartesiano, lo cual descubrió
Argand, quien fue contemporáneo de Gauss y
Leibniz quienes hicieron grandes avances en el
análisis complejo.
Este plano es de coordenadas rectangulares por lo que
consta de dos ejes perpendiculares entre sí, uno
horizontal y otro vertical llamados eje real y eje
imaginario, respectivamente. La parte real e imaginaria
se representaran en su respectivo eje cada uno. La
localización de los puntos es igual que en el plano
euclidiano.
El punto donde se intersectan los ejes es el origen el
cual representa al 0 (cero), del
origen hacia la derecha y arriba
son números positivos y hacia
abajo y la izquierda son números
negativos.
Ejemplos
Práctica
Grafica los siguientes números complejos
en el plano de Argand..
• 5+7i
• 2+3i
• –1–i
• –3+2i
• 2 – 3i
• -4 – i