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Probabilidad

Utilizar información extraída de una
muestra para elaborar conclusiones
respecto de las características de una
población, implica un riesgo basado
en la incertidumbre.
 La
Estadística provee una manera
racional de cuantificar esa
incertidumbre, denominada
probabilidad.
Contenidos





Concepto de probabilidad
Variable aleatoria
Función de distribución
Función de densidad
Modelos probabilísticos

Probabilidad: medida de la incertidumbre
sobre la ocurrencia de un evento o suceso.
La probabilidad de un evento A, P(A), es un
número que se encuentra en el intervalo [0,1]:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Si un evento no puede suceder tendrá probabilidad 0,
pero sucesos con probabilidad 0 pueden ocurrir.
La probabilidad de 1 indica que algo va a suceder
siempre.

Evento: uno o más de los posibles
resultados de un “experimento”.
Al tirar una moneda, si cae cara es un evento y
si cae cruz es otro.

Experimento: es la actividad que
origina dichos eventos.
Ejemplos: tirar una moneda, tirar un dado,
etc.

Espacio muestral: todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio.
Experimento: observar 3 semillas en un cierto
orden y registrar su estado sanitario.
Cada semilla puede estar:
sana ( + ) o enferma ( - )
Hay 8 resultados posibles que conforman el
siguiente espacio muestral:
 = {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}
Evento elemental - Evento
 = {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}
Evento elemental
Un evento elemental o evento simple es cada
uno de los posibles resultados contenidos en
un espacio muestral.
Evento elemental - Evento
Un evento es un subconjunto de eventos
elementales, que constituyen un espacio
muestral.
 = {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}
Evento
A = { + - - , - - + , - + - } representa el evento
“observar una sola semilla sana”.
Ejemplos
Se arroja un dado de seis caras
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Un subconjunto puede ser A: {1, 3, 5}
Se arroja una moneda
 = {C, X} (donde C: cara y X: cruz)
Se arroja una moneda dos veces
 = {CC, CX, XC, XX}
Un subconjunto puede ser B: {CX, XC, XX}
Probabilidad (enfoque clásico)
Probabilidad es una medida de la
incertidumbre asociada a la ocurrencia de
eventos o resultados.
Cada uno de los resultados debe ser
igualmente posible.
Ejemplos
Se extrae un naipe de una baraja inglesa de 52
cartas. A es el evento “corazón”. Considerar
que hay 13 corazones en el mazo. Así:
13 1
P ( A) 

52 4
Se extrae un naipe de una baraja inglesa de 52
cartas. B es el evento número menor a 6. Hay 5
cartas menores a 6 en cada uno de los 4 palos,
entonces 5x4=20. Así:
20 5
P( B) 

52 13
Probabilidad (enfoque frecuencial)
Para responder a preguntas tales como:
¿Cuál es la probabilidad que llueva mañana?
¿Cuál es la probabilidad que una persona viva hasta
los 85 años?
 La frecuencia relativa de un evento debe registrarse
durante un gran número de experimentos.
 La probabilidad es la proporción de veces que un
evento se presenta en un gran número de
experimentos, cuando las condiciones
experimentales son estables.
Ejemplo
Se sabe, por registros históricos, que de los hombres
de más de 40 años, 60 de cada 100.000, mueren por
enfermedades cardíacas.
¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de esa
edad sufra de una enfermedad cardíaca?
P ( A) 
60
100000
 0.0006
 Mayor número de intentos implican mayor
precisión.
Variable Aleatoria
Variable Aleatoria
En Estadística, interesa asignar
probabilidades de ocurrencia a los distintos
valores, o subconjuntos de valores, de la
variable en estudio.
Por ello interpretaremos a las observaciones
de una variable como valores realizados de
una variable aleatoria.
¿Qué es una variable aleatoria?
En el análisis de la información proveniente
de experimentos aleatorios, se trabaja con
variables definidas desde los espacios
muestrales.
Dichas variables se denominan variables
aleatorias.
Las variables aleatorias tienen asociada una
medida de probabilidad.
Variables aleatorias
• Discretas
(pueden tomar sólo un
número limitado o ilimitado
pero numerable de valores)
• Continuas
(pueden tomar cualquier
valor en un intervalo dado)
Experimento: Observar 3 semillas en un cierto
orden y registrar su estado sanitario.
Cada semilla puede estar:
sana ( + ) o enferma ( - )
Hay 8 resultados posibles que conforman el
siguiente espacio muestral:
 = {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}
Variable aleatoria discreta
Dado el espacio muestral:
 = {+ + + , + + - , + - + , - + + , + - - , - + - , - - + , - - -}
Definiendo una variable aleatoria:
X = número de semillas sanas
¿Cuál es la probabilidad de hallar 3 semillas
sanas?
P (X = 3) = 1/8
Variable aleatoria continua
-
+

Notar que:
 f ( y) dy = 1
-
Variable discreta
Distribución de probabilidades
Función de densidad
X
0
1
2
3
P(x) o f(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
8/8=1.0
Función de distribución
acumulada
F(x)
1/8
4/8
7/8
8/8
Variable discreta
Esperanza
E ( X )     xi f ( xi )
i
X
0
1
2
3
Total
P(x) o f(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
8/8=1.0
x f(x)
0  1/8 = 0
1  3/8 = 3/8
2  3/8 = 6/8
3  1/8 = 3/8
12/8 = 1.5
Variable discreta
Varianza
V ( X )   ( xi -  ) f ( xi )
2
i
X
0
1
2
3
Total
P(x) o f(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
8/8=1.0
(x-)2 f(x)
(0-1.5)2  1/8 = 0.28
(1-1.5)2  3/8 = 0.094
(2-1.5)2  3/8 = 0.094
(3-1.5)2  1/8 = 0.28
0.75
Variable aleatoria continua
P( A) 
x2
x f ( y)dy
1
Variable aleatoria continua
P ( A)  F ( x2 )  F ( x1 ) 
=
x2
x1
x2
-
-
x1
 f ( y ) dy   f ( y ) dy   f ( y ) dy
Variable continua
Medidas resumen de una distribución
Distribución 1
Distribución 2
¿Cuál es la diferencia?
Variable continua
Medidas resumen de una distribución
f1(x)
f2(x)


¿Cuál es la diferencia?
Variable continua
Medidas resumen de una distribución
E( X )   


x f ( x) dx
-
Esperanza
V (X )   
2

x




-
Varianza
2
f ( x) d ( x)
Variable continua
Medidas resumen de una distribución
 
2
Desviación estándar

CV  100

Coeficiente de variación