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Números complejos Material realizado por el profesor Darío Cassoli Entrar Presentación En el presente trabajo se tratará el tema números complejos, para lo cuál se desarrollarán los siguientes tópicos: Definición Partes de un número complejo Opuesto de un número complejo Conjugado de un número complejo Operaciones Representación gráfica A su vez, la estructura está diseñada para ser recorrida mediante la utilización enlaces. En todas las páginas se encuentran los Hipervínculos (para volver a la Presentación), y (para obtener Ayuda de navegación). Para empezar, leer la Ayuda de navegación haciendo clic en y luego en comenzar. Comenzar Ayuda de navegación Para navegar correctamente por el contenido de este material se recomienda: Desplazarse por los temas principales utilizando los vínculos de la barra de navegación. (A la izquierda de la pantalla.) Desplazarse por los subtemas haciendo clic en las palabras resaltadas del cuerpo del texto. (A la derecha de la pantalla.) 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Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros. Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, valiéndose de construcciones geométricas exactas, o bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. Unidad imaginaria Definimos el número i, al que llamamos unidad imaginaria, como aquel cuyo cuadrado es -1: i2 = -1 ¡recuerda! i2 = -1 Partes de un número complejo Definición Partes de un número complejo Opuesto de un número complejo Conjugado de un número complejo Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica Si z es un número complejo: z = a + bi a es la parte real de z b es la parte imaginaria de z Ejemplos: Nº Parte real Parte imaginaria lasificación -2+3i -2 3 Complejo 0+2i 0 2 Imaginario puro 5+0i 5 0 Real Actividades Opuesto de un número complejo Definición Partes de un número complejo Opuesto de un número complejo Conjugado de un número complejo Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica El complejo opuesto de z = a + bi es –z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de z. -z = - a – bi. Ejemplos: z -z 5+i -5-i 1/3-6i -1/3+6i -9+2i 9-2i -1-3i 1+3i Conjugado de un número complejo Definición Partes de un número complejo Opuesto de un número complejo Conjugado de un número complejo Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica Dado un complejo z = a + bi , su conjugado (z) tiene la misma parte real y opuesta la parte imaginaria. z= a – bi Ejemplos: z z 5+i 5-i 1/3-6i 1/3+6i -9+2i -9-2i -1-3i -1+3i Operaciones Definición Partes de un número complejo Opuesto de un número complejo Conjugado de un número complejo Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica En el conjunto de los números complejos (C) están bien definidas las cuatro operaciones básicas: Suma Resta Multiplicación División Actividades Suma Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica La suma de números complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. Ejemplo: Para sumar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y -2, dando como resultado z1+ z2 = 3 + 2i. En general decimos que para la suma se cumple siempre que: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Actividades Resta Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica Definimos a la resta z1- z2 como la suma entre z1 y el opuesto de z2. Ejemplo: Para restar z1 = 1 + 4i y z2 = 2 - 2i se suman z1 y - z2. Hacemos (1+4i)+(2+2i), luego sumamos las partes reales 1 y -2, y a continuación las partes imaginarias 4 y 2, dando como resultado z1- z2 = -1 + 6i. En general decimos que para la resta se cumple siempre que: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Actividades Multiplicación Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica La multiplicación de números complejos se basa en que i2 = -1, y que es válida la propiedad distributiva respecto de la suma y de la resta. Ejemplo: Sean z1 = 3+2i y z2 = 2-4i. Para hacer z1* z2 , aplicamos la propiedad distributiva: (3+2i).(2-4i) = 6 – 12i + 4i – 8i2 = 6 – 12i + 4i – 8.(-1) = 6 – 12i + 4i + 8 = 14 – 8i Actividades División Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica La división de números complejos se basa en que i2 = -1, y que es válida la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta. Ejemplo: Sean z1= 3+2i y z2=2-4i. Para hacer z1: z2 , multiplicamos z1 y z2 por el conjugado del divisor (z2) aplicando la propiedad distributiva: 3 2i 2 4i 6 12i 4i 8i 2 2 4i 2 4i 4 8i 8i 16i 2 6 12i 4i 8(1) 4 16(1) 6 16i 8 4 16 2 16i 1 4 i 20 10 5 Actividades Representación gráfica Definición Partes de un número complejo Opuesto de un número complejo Conjugado de un número complejo Operaciones Suma Resta Multiplicación División Representación gráfica Los números complejos se representan en el plano mediante un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, donde el eje horizontal será el eje real y el vertical el eje imaginario. El número quedará representado por un par ordenado (a ; b) o bien mediante un vector que une el origen con el punto (a ; b). Eje imaginario Ejemplo: 2 Z = 4 + 2i 4 Eje real