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Transcript
Concepto de Matriz
Una matriz es una colección de elementos (números o expresiones)
dispuestos en filas y columnas formando una “caja”. Normalmente,
se nombran por letras mayúsculas.
Columna 1 Columna 2
 0 1


A   2
4
 9 3 


G3w
rupo
Fila 1
Fila 2
A es una matriz de 3
filas y 2 columnas, por
lo que se dice que A es
una matriz 3x2.
Fila 3
Conocimientos básicos de Matemáticas para estudiantes de primeros cursos
© Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
Bloque 2. Álgebra. Tema 2. Matrices
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
1
Representación de una Matriz
En general, una matriz de m filas y n columnas se representa como:
 a11 a12

a21 a22

A


 am1 am 2
a1n 

a2 n 


amn 
Nº de fila
Nº de columna
aij
Elemento general
La DIMENSIÓN (u orden) de una matriz viene dada por el número
de filas y el de columnas, y se representa como mxn.
Dos matrices son IGUALES, A = B, si tienen el mismo orden y
coinciden elemento a elemento.
Los elementos aij donde i = j, es decir, aii forman la
DIAGONAL PRINCIPAL.
G3w
rupo
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© Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
Bloque 2. Álgebra. Tema 2. Matrices
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2
Tipos de Matrices
Matriz cuadrada
nº filas = nº columnas
Matriz fila
1 sola fila
 1 0 3  Matriz cuadrada de orden 3
3x3


Diagonal principal
 3 9 12 
 2 1 6 


 4
5 11
 4 
 
 5
 11 
 
Matriz columna (ó vector)
1 sola columna
Matriz fila 1x3
Matriz columna 3x1
Matriz identidad (In)
Matriz cuadrada donde los
elementos de la diagonal
principal son iguales a 1, y los
de fuera iguales a 0.
G3w
rupo
1

0

I4 
0

0
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0 0 0

1 0 0  Matriz identidad 4x4
0 1 0

0 0 1
Bloque 2. Álgebra. Tema 2. Matrices
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3
Tipos de Matrices
Matriz triangular
Matriz cuadrada en la que
los elementos por debajo o
por encima de la diagonal
principal son ceros.
Matriz diagonal
Matriz cuadrada en la que
los elementos fuera de la
diagonal principal son ceros.
Matriz nula (0)
Matriz donde todos los
elementos son iguales a 0.
G3w
rupo
1 0 3 


0
9
12


0 0 6 


1 0 0


2
9
0


 6 7 6


Triangular superior
2

0
0

0
0 0 0

3 0 0
Matriz diagonal 4x4
0 4 0

0 0 5
0 0 0 0 0


0
0
0
0
0


0 0 0 0 0


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Triangular inferior
Matriz nula 3x5
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Operaciones con Matrices
Suma de matrices
Misma dimensión mxn.
Se suman elemento a
elemento que ocupen la
misma posición.
aij + bij = cij
Propiedades de la suma
Producto de una matriz
por un número
Se multiplican todos los
elementos de la matriz por
ese número.
G3w
rupo
1 2 3
A

5
0

7


1 + (-2) = -1
 2 0
B
 4 1
12 

7 
 1 2 15 
C  A B  

 1 1 14 
Conmutativa: A+B = B+A
Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C
Elemento neutro: A+0 = 0+A = A
Elemento opuesto: A+(-A) = -A+A =0
 1 0


A   3 11
 2 5


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 5 0


5 A   15 55 
 10 25 


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5
Operaciones con Matrices
Producto de matrices A*B
nº columnas A = nº filas B
Amxn. Bnxp = Cmxp
cij = fila i de A x columna j de B
C2 x 2
 10 3 
 A B  


2
3


Propiedades del Producto
de matrices
Se supone que todos los
productos se pueden
realizar
G3w
rupo
A2 x 3
1 2
1
2
3





B

3

1
 3x2 

5
0

7




Se pueden multiplicar
1
1
c11 = 10 = 1.1 + 2.3 + 3.1
c12 = 3 = 1.2 + 2.(-1) + 3.1
c21 = -2 = 5.1 + 0.3 + (-7).1
c22 = 3 = 5.2 + 0.(-1) + (-7).1
Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C
Distributiva: A.(B+C) = A.B+A.C
(B+C).A = B.A+C.A
Elemento neutro: A.I = I.A = A
No Conmutativa en general: A.B  B.A
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Operaciones con Matrices
Potencia de matrices Ak
Ak = A.A...k) .. .A
A debe ser cuadrada
 1 2
A


1

3


 1 2  1 2   1 4 
2
A 



 1 3  1 3   2 7 
Trasposición de matrices
La traspuesta de Amxn, AT,
se obtiene intercambiando A
3x2
las filas por las columnas.
Por tanto, la dimensión de
la traspuesta (AT) es nxm.
 1 0
 1 2 4 


T
  2 15   A2 x 3  

0
15
7


 4 7 


Propiedades de la
Trasposición de matrices
G3w
rupo
(AT)T = A
(A+B)T = AT + BT
(k.A)T = k.AT
(A.B)T = BT.AT
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7
Operaciones con Matrices
Inversa de una matriz A (A-1)
A debe ser cuadrada (nxn)
A  A1  A1  A  I n
Si A posee inversa se dice que
es REGULAR ó INVERSIBLE
Si A no posee inversa, se dice
que es SINGULAR
Propiedades de la Inversa
de matrices
 1 1

A   2 2
 0.5 5

0
 10 / 9

1
A   1/ 9
0
 1/ 6 1/12

0

12 
0 
2 / 9 

2 / 9 
0 
A  A1  A1  A  I 3
La inversa, si existe, es única
A 
1 1
A
1
1
A

B

B

A
 
1
G3w
rupo
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Transformaciones Elementales por filas
Intercambio de dos filas
Fi  Fj
Multiplicar una fila por un
número k distinto de cero
Fi  kFi
Sumarle a una fila otra
fila multiplicada por un
número k distinto de cero
Fi  Fi  kFj
G3w
rupo
 1 0 3  F  F  2 1 6 

 1 3

 3 9 12    3 9 12 
 2 1 6 
 1 0 3




0
3 
 1 0 3  F  2 F  1
2

 2


 3 9 12    6 18 24 
 2 1 6 
 2

1
6




 1 0 3  F  F 3 F  1 0 3 

 3 3 1


3
9
12


3
9
12




 2 1 6 
 1 1 15 




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Método de Gauss-Jordan o método
de eliminación gaussiana
Este método consiste en aplicar las transformaciones elementales
apropiadas a una matriz, de cualquier orden, hasta conseguir tener
ceros debajo de la diagonal principal.
A la matriz así obtenida se le denomina “matriz escalonada”.
Ejemplos de matrices
escalonadas:
2 1


A   0 4
0 0


G3w
rupo
1 2 3

 C   33 4 7 
B  0 4 5


 0 8 9
0 0 6


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10
Método de Gauss-Jordan o método
de eliminación gaussiana
Ejemplo de aplicación del método de Gauss:
0
1 5
0
 1 5

F2  F2 3 F1




A  3
2
1    0 17
1
 0 17 1 
 0 17 1 




1 5 0 

F3  F3  F2


“matriz escalonada”
  0 17 1 
0

0
0


G3w
rupo
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Cálculo de la matriz inversa por el
método de Gauss-Jordan
Para el cálculo de la inversa de una matriz cuadrada A por este
método, se construye una “matriz ampliada” de la forma (A|In) a la
que se le aplican transformaciones elementales hasta llegar a otra
matriz de la forma (In|B). La matriz resultante B es la inversa A-1.
 A | In  
  In | A
1

1 0 
Ejemplo 1: calcular la inversa de la
A

matriz
1 1 
1 0 | 1 0  F2 F2  F1  1 0 | 1 0 
 A | I2   
  

1 1 | 0 1 
 0 1 | 1 1 
1
G3w
rupo
A
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Ejemplo 2: calcular la inversa de la
matriz
 2 1 1


A   4 1 0
 2 2 1 


 2 1 1 | 1 0 0  F F 2 F
2
2
1


 A | I3    4 1 0 | 0 1 0  
 2 2 1 | 0 0 1  F3  F3  F1


 2 1 1 | 1 0 0  F  F 3 F  2 1 1 | 1 0 0 

 3 3 2

 0 1 2 | 2 1 0    0 1 2 | 2 1 0 
0 3 2 | 1 0 1
 0 0 4 | 5 3 1 




G3w
rupo
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13
3 4 1 4  F F  F
 2 1 0 | 1 4
1
1
2


1  0 1 0 | 1 2 1 2 1 2  

F2  F2  F3 
0
0

4
|

5
3
1
2 

1
F1  F1  F3
4
2 0 0 |

 0 1 0 |
 0 0 4 |

1 4 1 4  F1  1 F1
2

1 2 1 2 1 2  
F2  F2

5
3
1  F  1 F
3
3
14
18
1 8 1 8 
1 0 0 |


12
1 2
 0 1 0 | 1 2
0 0 1 |

5
4

3
4

1
4


G3w
rupo
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4
1
A
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Rango de una matriz
El rango de una matriz A es el número de filas no nulas de la matriz
escalonada correspondiente. Lo denominamos rang(A)
1 1 0 0


Ejemplo 1: Rango deA  1 0 1 0


0 1 0 1


 1 1 0 0  F F  F  1

 2 2 1
1 0 1 0  0
0 1 0 1
0



1 1

 0 1
0 0

G3w
rupo
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1 0 0  F F  F
 3 3 2
1 1 0  
1 0 1 
0 0

1 0   rang  A  3
1 1 
Bloque 2. Álgebra. Tema 2. Matrices
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15
Ejemplo 2: Rango de
1

1
A
0

0
1 0 0
1 1
 F2  F2  F1 
0 1 0
0

1

0 1 1  0 0


1 0 1
0 1
1 1

0

1

0 0

0 0
0 0
1 1
 F4  F4  F3 
1 0
0

1

1 1  0 0


1 1
0 0
G3w
rupo
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0 0
 F4  F4  F2
1 0
1 1 

0 1
0 0

1 0
 rang  A   3
1 1

0 0
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