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LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.-
Dinámica del movimiento curvilíneo. Momento de una fuerza. Momento angular
Fuerzas Centrales
Una fuerza central es aquella que:
 Está dirigida, en todo instante, hacia un punto llamado centro o polo de atracción cualquiera
que sea la posición de la partícula
 Su módulo depende sólo de la distancia de la partícula a dicho polo
Ejemplos de fuerzas centrales son:
- la fuerza gravitatoria
- la fuerza recuperadora de un M.A.S
- la fuerza electrostática de Coulomb
- la fuerza centrípeta
Momento de una fuerza (respecto de un punto): es una magnitud física que mide la capacidad de
dicha fuerza para hacer girar a un cuerpo respecto de un eje que pasa por el punto O
El momento de una fuerza F aplicada
en un punto P respecto de un punto O es
el vector
MO  rF
MO
O
d
90º 
r
P
m

F
El vector momento M O es el vector resultante del producto vectorial del vector de posición “ r ”
de la masa “m” que se encuentra en el punto “P” con respecto del punto O por el que pasa el eje de
giro y del vector fuerza “ F ” aplicado a dicha masa “m”
El vector momento M O tiene las siguientes características:
 Módulo: M o  r F sen
Siendo “  ” el ángulo que forman los dos vectores que se multiplican vectorialmente, “ r ” y “ F ”
d
, podemos escribir d  r sen , siendo “ d ” el brazo del momento, es decir, la
r
distancia desde el centro de rotación “O” hasta la dirección o línea de acción de la fuerza. Por
tanto:
Mo  F d
Como sen 
El módulo del momento de una fuerza es el producto de la fuerza por la distancia del punto
“O” a la línea de acción de la fuerza
La capacidad de giro aumenta al aumentar el valor de la fuerza “ F ” y al aumentar el brazo
del momento “ d ”
 Dirección: perpendicular al plano formado por los vectores “ r ” y “ F ”
 Sentido: el proporcionado por la regla del tornillo (el del avance del tornillo al llevar el vector “ r ”
sobre el vector “ F ” por el camino más corto y con origen común)
 Punto de aplicación: el punto “O”
Una vez definido el momento de una fuerza “ M o  r F sen ” puede comprobarse que este momento
“ M o ”, producido por la fuerza es nulo si:
 si “ r  0 ”, es decir, si “ P  O ”, lo cual quiere decir que la fuerza se aplica en el punto O
 si “   0, 180 ”; es decir, si la dirección del vector “ F ” pasa por el punto “O”, lo cual quiere decir
que F // r , son paralelos
Y también se puede comprobar que el momento de la fuerza “ M o ” producido por la fuerza es
máximo si “   90 ”, es decir, si “ F  r , son perpendiculares
Ambos casos, momento nulo y momento máximo, puede compararse con el ejemplo de apertura de
una puerta
Momento angular (de una partícula)
Se denomina momento lineal o cantidad de movimiento “ p ” de una partícula a la magnitud
vectorial, de igual sentido que el vector velocidad “ v ”, cuya expresión es:
p  mv
Es una magnitud que determina la interacción de una partícula con otras:
 F  ma  m
dv
d (m v) d p



dt
dt
dt
m  cte
F 
dp
dt
La interacción de una partícula con otras, es decir, la fuerza resultante que actúa sobre una
partícula es igual a la variación de la cantidad de movimiento p de dicha partícula con el tiempo
Si una partícula no experimenta interacción (partícula aislada:  F  0 ) su cantidad de movimiento p
permanece constante:
dp
F  0 

p  cte
dt
El momento angular o momento cinético L de una partícula es una magnitud importante a la hora
de describir su movimiento curvilíneo
El momento angular L de una partícula de masa “m” es el momento de la cantidad de
movimiento p respecto del punto “O”
L r p
L
p
Cuyo módulo es:
L  r p sen
L  r m v sen
O
r

v
m
Teorema del momento angular (muestra la relación entre el momento de una fuerza M y el
momento angular L de una partícula)
Derivando la expresión L  r  p con respecto del tiempo:
d L d (r  p)

dt
dt
dL dr
dp

 p  r
dt
dt
dt
dL
 v p  r  F
dt
Como los vectores “ v ” y “ p ” son paralelos, su producto vectorial es nulo ( sen 0  0 )
dL
 rF
dt
Por tanto, el momento de la fuerza resultante, con respecto a un punto “O”, que actúa sobre una
partícula es igual a la variación que experimenta con el tiempo el momento angular de dicha
partícula con respecto a ese mismo punto “O”
dL
M rF 
dt
M
dL
dt
Esta última expresión es la ecuación fundamental de la dinámica de rotación
Conservación del momento angular
Si el momento de la fuerza resultante M que actúa sobre una partícula es nulo, el momento
angular L de dicha partícula permanece constante en el tiempo
Como ya sabemos, el momento de la fuerza resultante M que actúa sobre una partícula es nulo
“ M  r  F  0 ” si la fuerza resultante F es paralela al vector de posición r de la partícula
Por tanto, y como conclusión, el momento angular L de una partícula permanece constante en el
tiempo si la fuerza resultante F es paralela al vector de posición r de la partícula
Este es el caso de la fuerzas centrales y, más
concretamente, de la fuerza gravitatoria
v
m
r
F
MO  rF
M
O
M o  r F sen  r F sen180º  0
El momento de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el planeta de masa “ m ” es siempre nulo ya
que cualquiera que sea la posición del planeta, la fuerza gravitatoria F será paralela al vector de
posición r del planeta con respecto al Sol (punto “O”), es decir, la fuerza gravitatoria pasa o está
dirigida siempre hacia el punto respecto del cual se toma el momento
Por tanto, en el movimiento de una partícula debido a fuerzas centrales la partícula conserva o
mantiene constante su momento angular L ; más concretamente, en el movimiento planetario o en el
movimiento de satélites debido a la fuerza gravitatoria, el planeta o el satélite conserva o mantiene
constante su momento angular L .
Esto implica que el momento angular mantiene constante su módulo, su dirección y su sentido; lo
cual conlleva las siguientes consecuencias:
 Si el momento angular mantiene constante su dirección, la trayectoria de la partícula está
siempre en el mismo plano, es decir, la partícula describe una órbita plana
Como el momento angular L es el resultado del producto vectorial de los vectores r y p , la
dirección de L es perpendicular al plano formado por r y p . Como la dirección de L no varía, r
y p deben formar siempre el mismo plano (las cónicas son curvas que cumplen esta condición)
 Si el sentido del momento angular es constante, la partícula recorre la trayectoria o la órbita
siempre en el mismo sentido
 Si el módulo del momento angular es constante ( L  cte ), el vector de posición de la partícula
barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, la velocidad areolar (área barrida por el
vector de posición en la unidad de tiempo) es constante
dA
vA 
 cte
dt
Este enunciado expresa la 2ª Ley de Kepler o “Ley de las áreas”: toda partícula que se mueve
bajo una fuerza central lo hace con velocidad areolar constante
Como el área del paralelogramo SPNM  r  d r
Y como el área barrida “ dA ” por el vector de posición
“ r ” del planeta “ P ” en el tiempo “ dt ” al pasar el
planeta desde la posición P cuyo vector de posición es
“ r ” a la posición N cuyo vector de posición es
“ r  d r ” es:
dA 
1
rd r
2
r P
dA
S
rdr
M
ds
dt
dr
N
Como v 
dA 
dr
, queda que d r  v dt , por lo que el área infinitesimal barrida “ dA ” es:
dt
1
1
1
m
1
1
L
r  v dt  r  v dt  r  v dt 
r  m v dt 
L dt 
dt
2
2
2
m 2m
2m
2m
dA
L

dt 2 m

cte
L , m  cte
vA 
2.-
dA
L

 cte
dt 2 m
Resumen histórico sobre los modelos explicativos del Universo
Los primeros modelos astronómicos. Aristóteles. Ptolomeo. Copérnico. Tycho Brahe. Galileo.
- Modelo geostático y circular (hasta el s. XVI)
- Modelo heliostático y circular (s. XVI)
- Modelo heliostático y elíptico (s. XVII y definitivo antes de la Teoría de la Relatividad
Generalizada)
Son modelos cinéticos, es decir, son descripciones geométricas y cinemáticas del movimiento
planetario que indican la posición del sistema de referencia y las trayectorias fundamentales de los
astros, sin explicar las causas de dichos movimientos.
MODELO GEOSTÁTICO Y CIRCULAR
Su formulación se debe a Aristóteles (500 a.C.), consiste en:
- La Tierra se encuentra en el centro del Universo y permanece inmóvil.
- Los cuerpos celestes giran en circunferencias concéntricas centradas en la Tierra y sobre esferas
perfectas.
Ptolomeo (siglo II d.C.) modificó este modelo debido a que el movimiento planetario no es
perfectamente circular, sino que presenta bucles (fenómeno de retrogradación). Esta nueva
formulación es el modelo de epiciclos por el que, un planeta con movimiento circular uniforme
describía una circunferencia o epiciclo cuyo centro se desplaza con movimiento circular uniforme en
una circunferencia mayor, llamada deferente, centrada en la Tierra. La resultante de estos dos
movimientos sería la trayectoria o epicicloide descrito por el planeta.
MODELO HELIOSTÁTICO Y CIRCULAR
La propuesta
Copérnico en
circunvalación
muerte y que
momento.
más elaborada del modelo heliostático y circular fue planteada en 1543 por
su obra "De revolutionibus orbium caelestium (Acerca de los movimientos de
de las esferas celestes)", publicada como hipótesis de trabajo el mismo año de su
simplificaba extraordinariamente los cálculos astronómicos que existían hasta ese
El modelo copernicano, además de enmarcarse en el modelo heliostático y circular, mantiene los
epiciclos y dota a la Tierra de tres movimientos: traslación, rotación y precesión que bastan para
explicar las trayectorias de los planetas.
Era tan profunda la autoridad de la filosofía aristotélica, que el astrónomo Tycho Brahe presentó un
sistema híbrido entre el geocéntrico y heliocéntrico circulares que fue aceptado, pese a que su
formulación era bastante artificial,.
La verosimilitud del modelo copernicano se empezó a plantear la última década del siglo XVI, gracias
a Galileo Galilei.
MODELO HELIOSTÁTICO Y ELÍPTICO
Modelo formulado por Kepler (1571-1630), discípulo de Tycho Brahe, estableciendo mediante sus
tres leyes la cinemática del movimiento planetario.
SÍNTESIS NEWTONIANA
Se conoce como Síntesis Newtoniana a la solución al problema del movimiento de los astros
propuesta por Isaac Newton en 1687, en su obra "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica".
Características de la Síntesis de Newton:
- Explica la causa del movimiento de los planetas: es una explicación dinámica de las leyes de
Kepler enmarcándose, por tanto, dentro del modelo heliostático elíptico.
- Unifica la física celeste y terrestre, la causa del movimiento planetario es la misma que el
movimiento de los cuerpos en la superficie terrestre
Para llevar a cabo esta obra no sólo formuló la Ley de Gravitación Universal, sino también unas
leyes dinámicas generales del movimiento, los Principios de la Dinámica
3.-
Leyes de Kepler
1ª Ley de las órbitas: los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol que se encuentra
en un foco de la elipse.
Si la fuerza central varía con
1
se puede demostrar que las órbitas descritas son elipses
r2
2ª Ley de las áreas o ley de la constancia de la velocidad areolar: el vector de posición que une el
Sol con cualquier planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, lo que implica que la
velocidad de traslación planetaria no es constante, siendo mayor en la zona del perihelio que en
la del afelio
A medida que un planeta describe su órbita en torno al Sol, su velocidad aumenta a medida que se
aproxima a éste, alcanzando su valor máximo en la posición del perihelio, y disminuye a medida
que se aleja hasta alcanzar la mínima velocidad en el afelio. El momento angular del planeta es
constante en todos los puntos de su trayectoria, como en las posiciones del perihelio y afelio el
vector de posición r es perpendicular al vector velocidad v , se cumple:
L p  La
rp m v p sen 90  ra m va sen 90
rp v p  ra va
Como ra  rp  v p  va
En una órbita elíptica, como el vector de posición r a lo largo del cual actúa la fuerza central
gravitatoria F g no es perpendicular en todo momento al vector velocidad v , se deduce que esta
fuerza tiene una componente en la dirección de la velocidad que hace variar el módulo de la
velocidad (la celeridad o rapidez)
En caso de elipses cuasicirculares el movimiento planetario sería circular uniforme
3ª Ley de los períodos: dados dos planetas cualesquiera, el cuadrado del cociente de los períodos
de revolución alrededor del Sol es igual al cubo del cociente de los semiejes mayores de las
órbitas elípticas correspondientes.
T
a
( 1 ) 2  ( 1 )3
T 2  K a3
T2
a2
Siendo K una constante de proporcionalidad idéntica para todos los planetas del Sistema Solar
Esta ley permite calcular distancias de un planeta al Sol sin más que conocer su período de
revolución, conociendo el período de otro planeta cuya distancia al Sol sea conocida
Si la órbita del planeta se puede considerar circular, las ecuaciones anteriores son sal mismas
cambiando el semieje mayor “a” de la órbita por el radio “r” de la órbita:
(
4.-
T1 2
r
)  ( 1 )3
T2
r2
T 2  K r3
Ley de la gravitación universal
Dos partículas de masas “ m 1 ” y “ m2 ” experimentan una fuerza de atracción mutua directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa. La línea de acción de dicha fuerza es la de la recta que une ambas masas
F G
m 1 m2
r2
G es la constante de gravitación universal, medida por Cavendish con una balanza de torsión
G  6,673 10
11
N m2
kg 2
El valor de G es tan pequeño que la intensidad de la fuerza gravitatoria es muy pequeña y, para que
sus efectos dinámicos se manifiesten es necesario que esté involucrado al menos un cuerpo de masa
cósmica (un planeta, una estrella, etc.)
Teniendo en cuenta el carácter vectorial de la fuerza gravitatoria:
u
F SP
r
F SP   G
O
S
P
Mm
u
r2