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Trabajo
Zoé Minerva Zamora Belío
Tipos de ángulos
Tipos de ángulos según su posición
Ángulos consecutivos son aquellos que
tienen el vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes son aquellos que
tienen el vértice y un lado común, y los
otros lados situados uno en prolongación
Ángulos opuestos por el vértice
Son los que teniendo el vértice común, los lados
de uno son prolongación de los lados del otro.
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Ángulos entre paralelas y una recta
transversal
Ángulos correspondientes
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son
dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son
secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo semiinscrito
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el
otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y
las prolongaciones de sus lados
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los
cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos
tienen cuatro vértices y dos diagonales. Otros nombres
usados para referirse a este polígono son tetrágono y
cuadrángulo.
Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:
4 vértices: los puntos de intersección de las rectas que
conforman el cuadrilátero;
4 lados: los segmentos limitados por dos vértices contiguos;
2 diagonales: los segmentos cuyos extremos son dos
vértices no contiguos;
4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice
común;
4 ángulos exteriores: conformados por un lado, un vértice y
la prolongación del lado adyacente.
Clasificación de los cuadriláteros
Los cuadriláteros se clasifican en:
Paralelogramos (sus lados enfrentados son paralelos)
Rectángulos
Cuadrado
Rectángulo
Oblicuángulos
Rombo
Romboide
Trapecios (dos de sus lados son paralelos y los otros dos no)
Trapecio rectángulo
Trapecio isóceles
Trapecio escaleno
Trapezoide (no tiene lados paralelos)
Trapezoide simétrico o deltoide
Trapezoide asimétrico
Triángulos
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por
tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no
se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las
rectas son los vértices y los segmentos de recta
determinados son los lados del triángulo. Dos lados
contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y
3 vértices.
Si está contenido en una superficie plana se denomina
triángulo, o trígono, un nombre menos común para este
tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie
esférica se denomina triángulo esférico.
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las
longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
Por las longitudes de sus lados
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma
longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas;
es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma
longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma
medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo
isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación
entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales1 ), y
como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados
tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos
ángulos que tengan la misma medida).
Clasificación según los lados y los ángulos
Los triángulos acutángulos pueden ser:
Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y
el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.
Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no
tiene eje de simetría.
Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las
tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).
Los triángulos rectángulos pueden ser:
Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45°
cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y
el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que
pasa por el ángulo recto.
Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos
son diferentes.
Los triángulos obtusángulos pueden ser:
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que
son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.
Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son
diferentes.
Ley de Senos y Cosenos
La Ley De Senos y la Ley De Cosenos te
permiten precisamente resolver para
triángulos que no son rectos. Se presentan
cada una de estas leyes;se aplican a la
solución de triángulos obtusángulos y
acutángulos. Se toma un gran cuidado en
mostrar cada uno de los pasos; sin saltar
pasos intermedios para facilitar la
comprensión.Se explica cómo y cuando usar
la Ley De Senos, o la Ley De Cosenos; y por
cuál ángulo o lado resolver primero para evitar
ambigüedad en la solución.
por la definición de las razones trigonométricas:
h = bsen*A, y h = asen*B
Luego bsen*A = asen*B, de donde se obtiene una de las igualdades del
teorema del seno:
La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo.
Si el triángulo es obtusángulo se demuestra igual:
Se demuestra igual pues h=asen(B-180º), pero sen(B-180º)=sen*B
Es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no
rectángulos. Puede verse en tres formas distintas pero
equivalentes:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la
magnitud de un ángulo. Un ángulo situado en un plano de coordenadas
rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen
y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
El punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que
forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y
pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se
encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero
si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre
positiva e igual a x ²+ y ², aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente
manera:
Seno (sen) del ángulo θ = sen θ = y/r
coseno (cos) del ángulo θ = cos θ = x/r
tangente (tan) del ángulo θ = tan θ = y/x
cotangente (cot) del ángulo θ= cot θ = x/y
secante (sec) del ángulo θ = sec θ = r/x
cosecante (csc) del ángulo θ= csc θ = r/y
Geometría
La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego
γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la
matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las
figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos,
rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas,
superficies, polígonos, poliedros, etc).
Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo
técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás,
el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global
(en especial cuando se la considera en combinación con el análisis
matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos
relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada,
mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica,
topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e
incluso en la elaboración de artesanías.
Volúmen
El volumen es una magnitud escalar definida como el
espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya
que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define
como los demás conceptos métricos a partir de una
distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva
asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser
extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de
Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema
Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque
temporalmente también acepta el litro, que se utiliza
comúnmente en la vida práctica.
Unidades de volumen
Se clasifican en tres categorías:
Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando
unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen
sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los
cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos
no es hueco sino que es sólido.
Unidades de volumen líquido. Estas unidades fueron creadas para medir
el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.
Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente
unidades de capacidad. Estas unidades fueron creadas para medir el
volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas)
almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque
hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las
cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando
volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque
ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.
Paralelogramos
Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un
polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son
paralelos dos a dos.
Los paralelogramos se clasifican en:
Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos
internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen
El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud,
El rectángulo, que tiene lados opuestos de igual longitud;
Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos
ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta
clasificación se incluye:
El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y dos
pares de ángulos iguales.
El romboide, que tiene los lados opuestos de igual longitud y
dos pares de ángulos iguales..
Propiedades comunes a todo paralelogramo
Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados (es un
subconjunto de los cuadriláteros).
Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por
definición), por lo cual nunca se intersecan.
Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud,
(congruentes).
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida.
Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son
suplementarios (suman 180 °).
La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es
siempre igual a 360 °.
El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo
creado por cualquiera de sus diagonales.
El área de un paralelogramo es igual a la magnitud del producto
vectorial de dos lados contiguos.
Todos los paralelogramos son convexos.2
Cualquier recta secante coplanar corta al paralelogramos en dos y
solo dos de sus lados.
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.
El llamado "centro" del paralelogramo se encuentra en el punto en
que se bisecan sus dos diagonales.
El "centro" del paralelogramo es también el baricentro del mismo.3
Cualquier recta coplanar que pase por el "centro" de un
paralelogramo divide a su área en dos partes iguales.
Cualquier recta coplanar que pase por el "baricentro"3 de un
paralelogramo es también "transversal de gravedad" del mismo.
Cualquier transformación afín no degenerada transforma un
paralelogramo en otro paralelogramo.
Existe un número infinito de transformaciones afines que
transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado
Poliedros
Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica
al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y
encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del
griego clásico, de la palabra πολύεδρον, de poli muchas y
edron caras.
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales,
pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier
dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico
del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo
es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el
polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son
conocidas como politopos, por lo que podemos definir un
poliedro como un polítopo tridimensional.
Denominación de los poliedros
Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras.
Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro
(4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro
(20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.
Frecuentemente un poliedro se cualifica por una descripción del
tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales se les
denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o
dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.
Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se
ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en
el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro
(cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto
14 caras, y es en este caso irregular ya que de sus caras, seis
tienen forma de octógono y ocho de triángulo.
Tipos de vectores
El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las
matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se
distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se
llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su
tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales
aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el
sentido en que se aplican.
En matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido
al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar,
puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir
6 km norte. Los vectores se representan normalmente como
segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se
muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de
aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es
la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la
misma que la del vector.
El vector a, u A, indica el movimiento de barca
durante un determinado periodo de tiempo si
estuviera navegando en aguas tranquilas; el
vector b, o $, representa la deriva o empuje de la
corriente durante el mismo periodo de tiempo. El
recorrido real de la barca, bajo la influencia de su
propia propulsión y de la corriente, se representa
con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede
resolver gráficamente cualquier problema
relacionado con el movimiento de un objeto bajo
la influencia de varias fuerzas.
Ángulo de elevación
Si un objeto esta por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación al ángulo
formado por una línea horizontal y la línea visual
hacia el objeto.
ÁNGULOS VERTICALES
Ángulo de Elevación :
Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira .
La línea de Mira está por encima de la línea Horizontal.
x Línea Horizontal Línea de Mira A B
b) Ángulo de Depresión : Es el ángulo formado por la línea de Mira y la línea
Horizontal. Pero la línea de Mira está por encima de la línea Horizontal x Línea
Horizontal Línea de Mira A B
Ejemplo Nº 1 : Un grillo se encuentra a 10 m. del pie de un árbol, observa el tamaño
total de dicho árbol con un ángulo de 30º ¿Cuál es el tamaño de dicho árbol? 30º h 10
m.
Solución : 2k 1k 3k h = 1k h = 10 3 3 3k = 10 K = 10 3 K = 10 3 3 tg 30º = h 10m. h =
10m. x tg 30º h = 10m. x 3 3 Rpta: h = 10 3 3
Ejemplo Nº 2 : De la altura de un faro se ve un bote en el mar con un ángulo de
depresión de 60º, si dicho faro tiene una altura de 20m. ¿A qué distancia se ubica el
bote con respecto al pie del faro? 60º 60º 20m. d
Solución : tg 60º = 20 d d = 20 tg 60º d = 20 3 Rpta : d = 20 3 3
Ángulo de depresión
Si un objeto esta por debajo de la
horizontal, se llama ángulo de
depresión al ángulo formado por una
línea horizontal y la línea visual hacia
el objeto.
Áreas planas
El área de una figura es la porción del plano que cubre. Para medir
las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo
lado es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros
cuadrados, decímetros cuadrados y metros cuadrados o,
simplemente, en unidades de área cuando se quiera que éstas
sean otras, como, por ejemplo, la cuadrícula de un papel
cuadriculado.
Área del rectángulo: es el área más sencilla para calcular. Es el
resultado de multiplicar la longitud de sus lados o también, como se
dice habitualmente, se obtiene multiplicando la base (b) por la
altura (h).
Fórmula: Área del rectángulo = base · altura A = b · h
Área del paralelogramo: Si consideramos el paralelogramo
ABCD. La base AB desde C y D se hacen perpendiculares sobre la
base AB.
Los triángulos ADM y BCN son iguales. Por tanto, el área del
paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo MNCD.
Observamos que las dos figuras tienen la misma base y la misma
altura. Este proceso nos permite afirmar que el área de un
paralelogramo es, también, el producto de su base por su altura.
Fórmula: Área del paralelogramo = base · altura A = b · h
Área del cuadrado: en un cuadrado la base y la altura son iguales a su
lado y por tanto:
Fórmula: Área del cuadrado de lado c = lado al cuadrado A = c2
Área del triángulo: consideremos un triángulo cualquiera ABC, de
base AB. Dibujemos una paralela a AB que pase por C y una
paralela a AC que pase por B. Éstas se encuentran en un punto D.
Los triángulos ABC y BCD serán iguales. Por tanto, la superficie
del paralelogramo ABCD será el doble del área del triángulo ABC.
Fórmula: Área del paralelogramo ABCD = 2 · área del triángulo
ABC O bien,
Área del triángulo ABC = área del paralelogramo : 2
Como la base y la altura del paralelogramo son la base y la altura
del triángulo obtendremos:
Fórmula: Área del triángulo = base por altura dividido por 2 / A
=b·h:2