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Trigonometría esférica
Tema 1
1.1 Triángulos esféricos
a, b, c: lados
A, B, C: ángulos
Los lados a, b, c pueden también
ser medidos desde el centro O de
la esfera.
Tanto ángulos como lados se
expresan en sexageximal ( grados,
minutos y segundos)
1. 2. Triedro correspondiente al triángulo
Al unir el centro O de la esfera con los vértices A, B, C del triángulo
se forma el triedro correspondiente al triángulo.
Sobre la arista OC se forma un
ángulo diedro. Este diedro en su
intersección con la superficie
esférica forma el ángulo C.
El ángulo diedro C es igual al
ángulo C del triángulo
esférico.
1.3 Triángulos polares suplementarios.
El triángulo polar del Δ ABC es otro
Δ A’B’C’ de modo que:
A’: polo del círculo máximo del lado
a que se halla en el mismo
hemisferio que el vértice A.
B’: polo del círculo máximo del lado b
que se halla en el mismo hemisferio que
el vértice B.
C’: polo del círculo máximo del lado c
que se halla en el mismo hemisferio que
el vértice C.
1.4 Propiedades de los triángulos esféricos.
1. En todo ΔABC los lados y los ángulos son menores que 2(π/2):
a, b, c, A, B, C < 180º
2. Todo lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su resta:
b–c< a<b+c
3. La suma de los lados es menor que 4(π/2):
a + b + c < 360º.
4. La suma de los ángulos es mayor que 2(π/2) y menor que 6(π/2):
180º < A + B + C < 540º
5. A lados iguales se oponen ángulos iguales (y viceversa)
a=b
↔
A=B
6. A mayor lado se opone mayor ángulo (y viceversa).
a<b
↔
A<B
7. Todo ángulo aumentado en 2(π/2) es mayor que la suma de los otros dos.
A + 180º > B + C
8. La suma de dos lados es menor (*) que 180º si y solo si la suma de sus
ángulos opuestos es menor (*) que 180º.
a + b < 180º
↔ A + B < 180 º
(*) : Análogamente sucede con el “>” y con el “=“.
a + b > 180º
↔ A + B > 180 º
a + b = 180º
↔ A + B = 180 º
9. Entre un ΔABC y su polar ΔA’B’C’ correspondiente se verifica que los lados
de uno son suplementarios de los ángulos respectivos del otro:
a + A’ = 180º,
b + B’ = 180º,
c + C’ = 180º
A + a’ = 180º,
B + b’ = 180º,
C + c’ = 180º
Se tiene:
A’N = 90º, C’M = 90º (ecuadores)
→ A’N + C’M = 180º →
A’N + C’N + MN = 180º
→
b’ +
B = 180º
Análogamente:
A + a’ = 180º, C + c’ = 180º, etc.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS ESFÉRICOS.
• Rectángulos: Un ángulo rectos.
• Birrectángulos: Dos ángulos rectos.
• Trirrectángulos: Tres ángulo rectos.
•
Rectiláteros: Un lado recto.
•
Birrectiláteros: Dos lados rectos.
•
Trirrectilateros: Tres lados rectos.