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I. Variable compleja
II.Análisis de Fourier
III.Ecuaciones diferenciales
•Introducción
•Series de Fourier
•Integrales de Fourier
•Introducción
– Sucesiones
– Series
– Sucesiones y series de funciones
– Los espacios vectoriales
– Los espacios euclidianos
– Los espacios de Hilbert
De manera intuitiva podemos decir
que una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la
segunda.
Sean A y B dos conjuntos arbitrarios.
Una función de A en B es una asociación entre elementos
de A y B donde a todos y cada uno de los elementos de A
se les asocia un único elemento de B.
 El conjunto A se llama dominio de la función.
 Al conjunto B se le denomina codominio o contradominio.
•Todos los elementos del dominio tiene
que tener asociado un elemento del
contradominio
•A un elemento del dominio se le asociara
un único elemento del contradominio
•Elementos del contradominio pueden
tener asociados más de un elemento del
dominio
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función f : A  B el rango de f , es el conjunto
Rango de f   x  B : x  f  a  para alguna a  A
 Evidentemente el rango de f es un subconjunto del
contradominio:
El rango de Rango de f  Contradominio de f
Estamos tratando con
funciones
de los reales en los reales:
f :D f  R  R
f :D f  R  R
Supongamos que x0   a, b  y que tenemos
una función f tal que su dominio D f contiene
al intervalo  a, b  con excepción posiblemente
de x0 .
El que la función f  x  esté o no definida
en x0 es irrelevante.
Decimos que el límite de la función y  f  x  ,
cuando x tiende a x0 , es el número real 
si para números x   a, b  ,
suficientemente próximos a x0 ,
las imágenes correspondientes f  x  están
tan próximas a  como queramos.
Decimos que el límite de la función y  f  x  , cuando x tiende a x0 , es el
número real  si para números x   a, b  , suficientemente próximos a x0 ,
las imágenes correspondientes f  x  están tan próximas a  como queramos.
Si esto sucede, se dice que el
límite de f  x  en x0 existe
y es igual a  .
Decimos que el límite de la función y  f  x  , cuando x tiende a x0 , es el
número real  si para números x   a, b  , suficientemente próximos a x0 ,
las imágenes correspondientes f  x  están tan próximas a  como queramos.
Decimos que el límite de la función y  f  x  , cuando x tiende a x0 , es el
número real  si para números x   a, b  , suficientemente próximos a x0 ,
las imágenes correspondientes f  x  están tan próximas a  como queramos.
Decimos que el límite de la función y  f  x  , cuando x tiende a x0 , es el
número real  si para números x   a, b  , suficientemente próximos a x0 ,
las imágenes correspondientes f  x  están tan próximas a  como queramos.
Se denota: lim f  x   
x  x0
y se lee:
el límite de f  x  cuando x tiende a x0 es  .
También se usa:
f  x    cuando x  x0
En caso de existir,
el límite es único
Decimos que el límite de la función y  f  x  ,
cuando x tiende a x0 , es el número real 
si para números x   a, b  ,
suficientemente próximos a x0 ,
las imágenes correspondientes f  x  están
tan próximas a  como queramos.
lim f  x   
x  x0
si dado   0 existe  tal que si
x  x0  
entonces
f ( x)     .
Supongamos que
una función f  x 
está definida en
en un cierto intervalo  a, x0 
Supongamos que f  x  está definida en un cierto intervalo  a, x0  .
Si para números x del dominio de f ,
suficientemente próximos a x0 ,
y menores que x0 , los valores
correspondientes de f  x  están tan
próximos a 1 como queramos,
decimos que 1 es el límite por la
izquierda de f  x  , cuando x tiende a x0 .
Supongamos que f  x  está definida en un cierto intervalo  a, x0  .
Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 ,
y menores que x0 , los valores correspondientes de f  x  están tan
próximos a 1 como queramos, decimos que 1 es el límite por la
izquierda de f  x  , cuando x tiende a x0 .
Se denota mediante
lim f  x   1 o lim f  x     f  x  0 
 0
x  x0

0
x  x se lee: x tiende a x0 por la izquierda
Supongamos que
la función f  x 
está definida en un
cierto intervalo  x0 , b  .
Supongamos que f  x  está definida en un cierto intervalo  x0 , b  .
Si para números x del dominio de f ,
suficientemente próximos a x0 ,
y mayores que x0 ,
los valores correspondientes de f  x 
están tan próximos a  2 como queramos,
decimos que  2 es el límite por la
derecha de f  x  , cuando x tiende a x0 .
Supongamos que f  x  está definida en un cierto intervalo  x0 , b  .
Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 ,
y mayores que x0 , los valores correspondientes de f  x  están tan
próximos a  2 como queramos, decimos que  2 es el límite por la
derecha de f  x  , cuando x tiende a x0 .
Se denota mediante
lim f  x    2 o lim f  x     f  x  0 
 0
x  x0

0
x  x se lee: x tiende a x0 por la derecha
A los límites lim f  x   1 y lim f  x    2
x  x0
x  x0
se les conoce como límites laterales.
El límite existe
sí y sólo sí
existen los dos límites laterales
y son iguales.
Una función f : D  R  R es continua
en un punto c de su dominio, si el límite
de f  x  , cuando x se acerca a c dentro
del dominio de f , existe y es igual a f  c  .
Una función f : D  R  R es continua en un punto c de su dominio, si el límite
de f  x  , cuando x se acerca a c dentro del dominio de f , existe y es igual a f  c  .
Una función f : D  R  R
es continua en c si
lim f  x   f  c 
x c
Una función f : D  R  R es continua a
pedazos en un intervalo, si
i) el intervalo puede ser dividido en un número
finito de subintervalos en cada uno de los
cuales f  x  es continua.
ii) Los límites de f  x  cuando x se acerca a los
puntos finales de cada subintervalo son finitos.
Una función f : D  R  R es continua a
pedazos en un intervalo, si tiene como
máximo un número finito de
discontinuidades todas ellas finitas.
Una sucesión es un conjunto de números
reales
u1 , u2 , u3 ,..., ui ,...
con un orden definido (por ejemplo, en
correspondencia con los números enteros)
y formados o calculados de acuerdo a una
regla específica y bien definida.
Una sucesión de números reales
es una función cuyo dominio
son los números enteros Z
y su contradiminio son los reales.
s:Z  R
Una sucesión de números reales es una función cuyo dominio
son los números naturales Z y su contradiminio son los reales.
s:Z  R
11
11
24
2 1/ 2
39
3 1/ 3
4  16
4 1/ 4
...
...
Una sucesión es un conjunto de números u1 , u2 , u3 ,..., ui ,...
con un orden definido (por ejemplo, en correspondencia
con los números enteros) y formados o calculados de acuerdo
a una regla específica y bien definida.
* Cada uno de los números de la sucesión se
llama término
* El número un es llamado el término nesimo
* La sucesión puede ser finita o infinita
* Por brevedad, muchas veces se le designa un 
Una sucesión es un conjunto de números u1 , u2 , u3 ,..., ui ,...
con un orden definido (por ejemplo, en correspondencia
con los números enteros) y formados o calculados de acuerdo
a una regla específica y bien definida.
1, 2,3, 4,..., n,...
1, 4,9,16,..., n 2 ,...
1, 1/ 2, 1/ 3, 1/ 4,..., 1/ n,...
0,1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,89,... Serie de Fibonacci
Una sucesión un  tiene un límite l ,
y se escribe
lim un  l o un  l cuando n  ,
n 
si podemos hacer los términos un tan
cercanos a l como queramos tomando
n suficientemente grande.
Un número l es llamado el límite de una
sucesión infinita, si para cualquier número
positivo  , podemos encontrar un entero
positivo N    , dependiente de  , tal que
l  un  
para todos los enteros n  N    .
1
Sea la sucesión n 
n
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ....
1.0, 0.5, 0.33, 0.25, 0.2, 0.16, 0.14, 0.12, 0.11, 0.1
1
Sea la sucesión n 
n
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ....
1
Es claro, que lim  0
n  n
1
Sea la sucesión n 
n
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ....
1
Es claro, que lim  0
n  n
...,0.001, 0.000999001, 0.000998004,



0.000997009, 0.000996016, 0.000995025,...
Sea la sucesión
1
lim  0
n  n
1
n
n
Un número l es llamado el límite de una sucesión
infinita, si para cualquier número positivo 
podemos encontrar un entero positivo N    ,
dependiente de  , tal que l  un   para todos
los enteros n  N    .
1
N     
 
Sea la sucesión
1
n
n
1
lim  0
n  n
1
N     
 
Un número l es llamado el límite de una sucesión
infinita, si para cualquier número positivo 
podemos encontrar un entero positivo N    ,
dependiente de  , tal que l  un   para todos
los enteros n  N    .
1
1


n
1

1
  
Sea la sucesión
1
n
n
1
lim  0
n  n
1
N     
 
Un número l es llamado el límite de una sucesión
infinita, si para cualquier número positivo 
podemos encontrar un entero positivo N    ,
dependiente de  , tal que l  un   para todos
los enteros n  N    .
Si   0.001, entonces N     1000,
1
n  1001, y
 0.000999  0.001
1001
Sea la sucesión
1
n
n
1
lim  0
n  n
1
N     
 
Un número l es llamado el límite de una sucesión
infinita, si para cualquier número positivo 
podemos encontrar un entero positivo N    ,
dependiente de  , tal que l  un   para todos
los enteros n  N    .
Si   0.000, 001, entonces N     1, 000, 000,
1
n  1, 000, 001, y
 0.000, 000, 999  0.000, 001
1, 000, 001
Sea la sucesión
 1 
n
1, 1,1, 1,1, 1,1,...
Es claro que esta sucesión no tiene
un límite
Sea la sucesión  x n : x  1
x, x 2 , x 3 , x 4 , ..., x n ,...
4096
 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048

1,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,...


 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 
1.0, 0.666667, 0.444444, 0.296296, 0.197531, 0.131687, 0.0877915,



0.
0585277,
0.0390184,
0.0260123,
0.0173415,
0.011561,
0.00770735,...


x
n
: x  1
lim x  0,
n
n
x 1
18
18
18
19

...,
2.45965

10
,1.63977

10
,1.09318

10
,
7.28787

10
,




19
19
19


4.85858  10 , 3.23905  10 , 2.15936  10 ,...

Sea la sucesión n1/ n 
1/3
1/5
1/6
1/7
3/8
2/9
1/10
{1, 2,3 , 2,5 , 6 , 7 , 2 ,3 ,10
1/11
1/6 1/1 2
,11 , 2 3

 1.0,1.414,1.442,1.414,1.379,1.348, 




1.32,1.296,1.276,1.259,1.243,1.23,...

1/ n
lim n
n
1
,...}
n 
1/ n
1/ n
lim n
n
1
...,1.0009214, 1.0009213, 1.0009213, 1.0009212, 


1.0009211, 1.000921, 1.0009209,...

Del 10,000 al 10,006
1

Sea la sucesión 3  
n

1

lim  3    3
n 
n

Un número l es llamado el límite de una sucesión infinita,
si para cualquier número positivo  podemos encontrar un
entero positivo N    , dependiente de  , tal que
l - un  
para todos los enteros n  N    .
* Cuando el límite existe,
se dice que la sucesión converge a l
* Si el límite no existe,
se dice que diverge o que no converge
lim an  A
n 
y
lim bn  B
n 
1) lim  an  bn   lim an  lim bn  A  B
n 
n 
n 
2) lim  an  bn   lim an  lim bn  A  B
n 
n 
n 
3) lim  an  bn   lim an  lim bn  AB
n 
n 
n 
lim an  A
n 
 an
4) lim 
n  b
 n
y
lim bn  B
n 
an A
 lim
n 



bn B
 lim
n 
siempre y cuando B  0
Si B  0 y A  0 el límite no existe
Si B  0 y A  0 el límite puede ó no existir
lim an  A
y
n 

5) lim a  lim an
n 
p
n
n 

p
A
lim bn  B
n 
p
siendo p cualquier número real y siempre que A p exista
6) lim p  p
an
n 
lim an
n
 pA
A
siendo p cualquier número real y siempre que p exista
Se escribe
lim an  
n 
cuando dado M  R, M  0, existe N  M  tal que
an  M
siempre que n  N  M 
Nota. El infinito  no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen
Se escribe
lim an  
n 
cuando dado M  R, M  0, existe N  M  tal que
an   M
siempre que n  N  M 
Nota. El infinito   no es un número y estas
sucesiones no convergen.
Lo que se indica es cómo divergen
n
lim n  
n 
x
n
: x  1
lim x  
n
n 
Sea un  una sucesión.
Sea M una constante real.
Si un  M para toda n  1, 2,3,...
se dice que
la sucesión está acotada superiormente.
M es una cota superior
Un número M es la mínima cota
superior de una sucesión un  si
un  M , para n  1, 2,3,... , y al
menos un término es mayor que
M   para cualquier  .
Sea un  una sucesión.
Sea m una constante real.
Si un  m para toda n  1, 2,3,...
se dice que
la sucesión está acotada inferiormente.
m es una cota inferior.
Un número m es la máxima cota
inferior de una sucesión un  si
un  m, para n  1, 2,3,... , y al
menos un término es menor que
m   para cualquier 
Sea un  una sucesión.
Sean M y m constantes reales.
Si m  un  M para toda n  1, 2,3,...
se dice que
la sucesión está acotada.
Muchas veces esto se indica como un  P
Sea un  una sucesión. Sean M y m constantes reales.
Si m  un  M para toda n  1, 2,3,... se dice que la
sucesión está acotada.
* Una sucesión convergente es acotada.
* Lo inverso no es necesariamente cierto.
Es decir, una sucesión acotada, no
necesariamente converge.
Sea un  una sucesión.
Si un 1  un
para toda n,
se dice que la sucesión es
monotonamente creciente.
Sea un  una sucesión.
Si un 1  un
para toda n,
se dice que la sucesión es
estrictamente creciente.
Sea un  una sucesión.
Si un 1  un
para toda n,
se dice que la sucesión es
monotonamente decreciente.
Sea un  una sucesión.
Si un 1  un
para toda n,
se dice que la sucesión es
estrictamente decreciente.
Si un  una sucesión es monótona
 ya sea creciente o decreciente 
y acotada,
entonces su límite existe.
Un número l es el límite superior de la
sucesión un  , si dado un número real
positivo  , un número infinito de
términos de la sucesión son mayores que
l   mientras que solamente un número
finito de términos son mayores que l   .
Un número l es el límite inferior de la
sucesión un  , si dado un número real
positivo  , un número infinito de
términos de la sucesión son menores que
l   mientras que solamente un número
finito de términos son menores que l   .
Si un número infinito de términos
de la sucesión un  excede
cualquier número positivo M ,
se define
lim sup un   
Si un número infinito de términos de la
sucesión un  son menores que  M ,
siendo M cualquier número positivo,
se define
lim inf un   
1) Aún cuando no toda sucesión acotada
es necesariamente convergente, siempre
tiene un límite superior y un límite inferior.
2) Una sucesión un  converge si y sólo si,
lim sup un  liminf un y es finito.
Una sucesión un  converge si y sólo si
para toda  >0 podemos encontrar un
número N    tal que u p  uq  
para todos p, q  N    .
Una sucesión un  converge si y sólo si para
toda  >0 podemos encontrar un número N   
tal que u p  uq   para todos p, q  N   
Nota.- Este criterio de convergencia tiene
la ventaja de que no es necesario conocer
el límite
La suma

S   un  u1  u2  ...  un  ...
n 1
es una serie infinita

La suma S   un  u1  u2  ...  un  ... es una serie infinita
n 1
n 1
Sumas parciales:
S n   un
n0
Denotamos como
Sn  a la
sucesión de sumas parciales.

La suma S   un  u1  u2  ...  un  ... es una serie infinita
n 1
Su valor, en caso de existir, es el límite
de la sucesión de sumas parciales Sn  ;
es decir,
n 1
S  lim Sn  lim  un
n 
n 
n 0

La suma S   un  u1  u2  ...  un  ... es una serie infinita.
n 1
Su valor, en caso de existir, es el límite de la sucesión de
sumas parciales Sn  ; es decir,
S  lim Sn .
n 
Si existe S  lim Sn se dice que la
n 
serie converge, en caso contrario
que no converge o que diverge.

La serie geométrica: S   x
k 0
k

La serie geométrica: S   x
k
k 0
n
Sn   x
k
k 0
S0  1, S1  1  x, S 2  1  x  x ,...
2
S n  1  x  x  x  x  ...  x
2
3
4
n

La serie geométrica: S   x k
k 0
Si x  1 tenemos
n 1
Sn  1  n,
k 0
así que la serie diverge.

La serie geométrica: S   x k
k 0
Si x  1 tenemos
n 1
n
S n  xS n   x   x  1  x
k
k 0
y
1 x
Sn 
1 x
n
k
k 1
n

S   xk
x 1 ;
;
k 0
1  xn
Sn 
1 x
1
1) Si x  1 tenemos que Sn 
1 x
2) Si x  1 ó  1 ,

Sn diverge
1
La serie S   x converge a
si x  1
1 x
k 0
k
y diverge si x  1

1) Si la serie  un converge, entonces lim un  0.
n 0
n 

1) Si la serie
u
n 0
n
converge, entonces lim un  0.
n 
* El inverso no es cierto, es decir, si lim un  0,
n 

la serie  un puede o no converger.
n0
* Esto implica que si el n-esimo término de la serie no se
acerca a cero, la serie necesariamente es divergente.
* La condición lim un  0 es necesaria, pero no suficiente
n 
2) La multiplicación de cada uno de los términos
de la serie por una constante diferente de cero
no afecta la convergencia o la divergencia.
3) Quitar o poner un número finito de términos
de una serie no efecta la convergencia o la
divergencia
a) Convergencia.
Sea vn  0 para todo n  N y supongamos

que
v
n0
n
converge. Entonces si vn  un  0
para todo n  N ,

u
n0
n
también converge
b) Divergencia.
Sea vn  0 para todo n  N y supongamos

que
v
n0
n
diverge. Entonces si un  vn
para todo n  N ,

u
n0
n
también diverge
a) Si un  0 y vn  0
un
y si lim  A  0 ó ,
n  v
n
entonces ambas series,

u
n 0

n
y
v
n 0
n
,
convergen ó ambas divergen
b) Si un  0 y vn  0 y si
un
0 y
lim
n  v
n

v
n0
n
converge,

entonces
u
n0
n
converge
c) Si un  0 y vn  0 y si

un
lim   y
n  v
n
v
n0
n
diverge,

entonces
u
n0
n
diverge
Utilizando los criterios anteriores con vn  1/ n
p
y suponiendo que lim n un  A, tenemos
p
n 
i) Si p  1 y A es finito entonces

u
n0
n
ii) Si p  1 y A  0 (puede ser infinito)

entonces  un diverge
n0
converge
Suponiendo que lim n p un  A, tenemos
n 
i) Si p  1 y A es finito entonces

u
n 0
n
converge
ii) Si p  1 y A  0 (puede ser infinito) entonces

u
n 0
n
diverge

n
n
1
2
converge puesto que lim n  3


3
n 
4n  2 4
n  0 4n  2


n0
ln n
n 1
1/ 2
diverge puesto que lim n
n 

ln n
 n  1
1/ 2


Sea la serie
u
n 0
n
 u0  u1  u2  ....
un 1
Sea lim
 .
n  u
n
Entonces la serie
a 
b
converge (absolutamente) si   1
diverge si   1
(c) Si   1 el criterio falla.