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Algebra Booleana
Características fundamentales a definir
El dominio del álgebra
El conjunto de elementos sobre los cuáles se define el
álgebra
Un conjunto de operaciones que se van a efectuar
sobre los elementos
Un conjunto de postulados o axiomas, aceptados
como premisa sin demostración
Un conjunto de consecuencias denominado
teoremas, leyes o reglas, los cuales se deducen de
los postulados
Postulados de Huntington
1. Cierre
Existe un dominio B que tiene al menos 2
elementos distintos y dos operadores binarios (+)
y () tales que:
A. si x e y son elementos, entonces x+y es un elemento
La operación efectuada por (+) se conoce como suma
lógica
B. si x e y son elementos, entonces xy es un elemento
La operación efectuada por () se conoce como
multiplicación lógica
Postulados de Huntington
2. Elementos de identidad
Sea x un elemento en el dominio B:
A. Existe un elemento 0 en B, llamado
elemento identidad con respecto a (+), que
tiene la propiedad x+0=x
B. Existe un elemento 1 en B, denominado
elemento identidad con respecto a (), que
tiene la propiedad x1=1
Postulados de Huntington
3. Ley conmutativa
A. Ley conmutativa con respecto a la suma
x+y=y+x
B. Ley conmutativa con respecto a la
multiplicación
xy=yx
Postulados de Huntington
4. Ley distributiva
A. La multiplicación es distributiva sobre la
suma
x (y + z)=(x  y) + (x  z)
B. La suma es distributiva sobre la
multiplicación
x +(y  z)=(x + y)  (x + z)
Postulados de Huntington
5. Complementación
Si x es un elemento en el dominio B,
entonces existe otro elemento x’, el
complemento de x, que satisface las
propiedades:
A. x + x’ = 1
B. x  x’ = 0
El complemento x’ efectúa la operación de
complementación sobre x
Principio de dualidad
Los postulados de Huntington reflejan cierta
simetría: vienen en pares
Uno de los postulados en cada par puede
obtenerse del otro...
Intercambiando los dos operadores binarios, e
Intercambiando los dos elementos identidad cuando
aparecen en forma explícita
Por tanto, cualesquiera resultados que sea posible
deducir de los postulados debe permanecer
válidos si
Los operadores (+) y () se intercambian, y
Los elementos identidad 0 y 1 se intercambian
Teoremas
Teorema 1: Ley de elementos nulos
1a. x + 1 = 1
1b. x 0 = 0
Teorema 2: Involución
(x ’ ) ’ = x
Se establece que el complemento del
complemento de un elemento es el elemento
mismo
Teoremas
Teorema 3: idempotencia
3a. x + x = x
3b. x x = x
Teorema 4: absorción
4a. x + xy = x
4b. x ( x + y) = x
Teorema 5: simplificación
5a. x + x’y = x + y
5b. x (x’ + y) = xy
Teoremas
Teorema 6: ley asociativa
6a. x + (y + z) = (x + y ) + z = x + y + z
6b. x (yz) = (xy)z = xyz
Teorema 7: consenso
7a. xy + x’z + yz = xy + x’z
7b. (x + y)(x’ + z)(y + z) = (x + y)(x’ + z)
Teorema 8: Ley de Morgan
8a. (x + y) = x’y’
8b. (xy)’= x’ + y’